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初高中衔接第二讲因式分解(教师)


鹰迪教育系列丛书·初高中数学衔接教材

第二讲

因式分解

因式分解是代数式的一种重要的恒等变形,它与整式乘法是相反方向的变形。在分式 运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用。是一种重要的基本技能。 因式分解的方法较多, 除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完 全平方公式)外,还有公式法(立方和、

立方差公式)、十字相乘法和分组分解法,另外还 应该了解求根法及待定系数法等等。

2.1 因式分解 一、核心要点
2.1.1 因式分解 1、因式分解的一般步骤 (1)一提:如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式; (2)二用:如果多项式的各项没有公因式,那么可以尝试用公式法来求解; (3)三想:如果以上方法不能解决,想想其它方法。 (4)四查:因式分解必须进行到每一个多项式都不能再分解为止。

二、考点突破
一)用公式法分解因式 在第一讲里,我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式。由乘法公式和因式 分解互逆可以得到如下几个因式分解的公式:

a3 ? b3 ? (a ? b)(a2 ? ab ? b2 ) a3 ? b3 ? (a ? b)(a2 ? ab ? b2 )
运用这两个公式,可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解。 【例 1】分解因式: (1) ? a 4 ? 16 (2) ?3x ? 2 y?2 ? ?x ? y?2

解:(1) ? a 4 ? 16 = 42 ? (a2 )2 ? (4 ? a2 )(4 ? a2 ) ? (4 ? a2 )(2 ? a)(2 ? a) (2) ?3x ? 2 y?2 ? ?x ? y?2 = (3x ? 2 y ? x ? y)(3x ? 2 y ? x ? y) ? (4 x ? y)(2 x ? 3 y) 练习:用立方和或立方差公式分解下列各多项式: (1) 8 ? x 3 (2) 0.125 ? 27b3

分析: (1)中, 8 ? 23 ,(2)中 0.125 ? 0.53 , 27b3 ? (3b)3 。 说 明 : (1) 在 运 用 立 方 和 ( 差 ) 公 式 分 解 因 式 时 , 经 常 要 逆 用 幂 的 运 算 法 则 , 如

8a3b3 ? (2ab)3 ,这里逆用了法则 (ab)n ? an bn ;(2) 在运用立方和(差)公式分解因式时,
一定要看准因式中各项的符号。

鹰迪教育系列丛书·初高中数学衔接教材 【例 2】分解因式:(1) 3a3b ? 81b4 ; (2) a 7 ? ab6

分析:(1) 中应先提取公因式再进一步分解;(2) 中提取公因式后,括号内出现 a 6 ? b6 , 可看作是 (a3 )2 ? (b3 )2 或 (a 2 )3 ? (b2 )3 。

【练习】1、 a 2 ? 2ab ? b 2 , a 2 ? b 2 , a 3 ? b 3 的公因式是______________________________。 2、分解因式: 4a 3b ? 32b 4

二)用十字相乘法分解因式 1.对于二次项系数为 1 的二次三项式 x 2 ? ( p ? q) x ? pq ? ( x ? p)(x ? q) 型的因式分解 这类式子在许多问题中经常出现,其特点是:①二次项系数是 1;②常数项是两个数 之积;③一次项系数是常数项的两个因数之和。 (1)这种方法的特征是“拆常数项,凑一次项” ,即把常数项分解成两个数的积,且 其和等于一次项系数,通常借助画十字交叉线的办法来确定,故称为十字相乘法。 (2)当常数项为正数时,把它分解为两个同号因数的积,因数的符号与一次项的系 数的符号相同;当常数项为负数时,把它分解为两个异号因数的积,其中绝对值较大的因 数的符号与一次项系数的符号相同。 【例 3】把下列各式因式分解: (1) x2 ? 7 x ? 6 ; (2) x2 ? 13x ? 36 ;

【例 4】把下列各式因式分解: (1) x 2 ? 5 x ? 24 ; (2) x 2 ? 2 x ? 15 ; (3) ? 6 x 2 ? 12 ? x

【例 5】在实数范围内分解下列因式:

鹰迪教育系列丛书·初高中数学衔接教材 (1) x2 ? xy ? 6 y 2 ; (2) ( x2 ? x)2 ? 8( x2 ? x) ? 12

分析: (1) 把 x2 ? xy ? 6 y 2 看成 x 的二次三项式, 这时常数项是 ?6 y 2 , 一次项系数是 y , 把 ?6 y 2 分解成 3 y 与 ?2 y 的积,而 3 y ? (?2 y) ? y ,正好是一次项系数。 (2) 由换元思想,只要把 x 2 ? x 整体看作一个字母 a ,可不必写出,只当作分解二次 三项式 a 2 ? 8a ? 12 。

当堂练习 一、填空题: 1、把下列各式分解因式: (1) x 2 ? 5x ? 6 ? ________________; (2) x 2 ? 5x ? 6 ? ____________________; (3) x 2 ? 5x ? 6 ? ________________; (4) x 2 ? 5x ? 6 ? ____________________; (5) x 2 ? ?a ? 1?x ? a ? ____________; (6) x 2 ? 11x ? 18 ? __________________; (7) 6 x 2 ? 7 x ? 2 ? _______________; (8) 4m2 ? 12m ? 9 ? _________________; (9) 5 ? 7 x ? 6 x 2 ? _______________; (10) 12x 2 ? xy ? 6 y 2 ? _______________。 2、 x 2 ? 4x ? ? ? ?x ? 3??x ? 2 3、若 x ? ax ? b ? ?x ? 2??x ? 4? 则 a ? ,b ? 。 二、选择题: (每小题四个答案中只有一个是正确的) 1、 在多项式 (1)x 2 ? 7 x ? 6 (2)x 2 ? 4 x ? 3 (3)x 2 ? 6 x ? 8 (4)x 2 ? 7 x ? 10 , (5)x 2 ? 15x ? 44 中,有相同因式的是( ) A、只有(1) (2) B、只有(3) (4) C、只有(3) (5) D、 (1)和(2) ; (3)和(4) ; (3)和(5) 2 2 2、分解因式 a ? 8ab ? 33b 得( ) A、 ?a ? 11??a ? 3? B、 ?a ? 11b??a ? 3b? C、 ?a ? 11b??a ? 3b? D、 ?a ? 11b??a ? 3b? 3、 ?a ? b?2 ? 8?a ? b? ? 20 分解因式得( ) A、 ?a ? b ? 10??a ? b ? 2? B、 ?a ? b ? 5??a ? b ? 4? C、 ?a ? b ? 2??a ? b ? 10? D、 ?a ? b ? 4??a ? b ? 5? 2 4、若多项式 x ? 3x ? a 可分解为 ?x ? 5??x ? b? ,则 a 、 b 的值是( ) A、 a ? 10 , b ? 2 B、 a ? 10 , b ? ?2 C、 a ? ?10 , b ? ?2 D、 a ? ?10 , b ? 2 2 5、若 x ? mx ?10 ? ?x ? a??x ? b? 其中 a 、 b 为整数,则 m 的值为( ) A、 3 或 9 B、 ? 3 C、 ? 9 D、 ? 3 或 ? 9 三、把下列各式分解因式

(1) x -3 x +2;

2

鹰迪教育系列丛书·初高中数学衔接教材 (2) x 2 +4 x -12;

(3) 2 y 2 ? 4 y ? 6 ;

(4) b 4 ? 2b 2 ? 8 ;

(5) x2 ? (a ? b) xy ? aby 2 ;

(6) xy ? 1 ? x ? y ;

(7) ? x 2 ? 4 x ? 12 ;

(8) a 3 ? 5a 2 b ? 6ab2

2.对于二次项系数不是 1 的二次三项式

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ax2 ? bx ? c ? a1a2 x 2 ? (a1c2 ? a2c1 ) x ? c1c2 ? (a1x ? c1 )(a2 x ? c2 )
它的特征是“拆两头,凑中间”,画十字交叉线为 a1 ?c1 。
a2 c2

(1)竖向的两个数必须满足关系 a1a2 ? a, c1c2 ? c ;在十字交叉线中,斜向的两个数必 须满足关系式 a1c2 ? a2c1 ? b ,分解思路为“拆两头,凑中间”。 (2)由十字交叉线中的四个因数写出分解后的两个一次因式时,上一行两个数中, a1 是第一个因式中的一次项的系数, c1 是常数项;在下一行的两个数中, a2 是第一个因式中 的一次项的系数, c2 是常数项。 (3)二次项系数 a 一般都看作是正数(如果是负数,则应提取负号。利用恒等变形把 它转化为正数),只需把它分解成两个正的因数。 (4)当常数项为正数时,应将它分解为两同号因数,它们的符号与一次项系数的符号 相同;当常数项为负数时,应将它分解为两异号因数,使十字连线上两数之积绝对值较大 的一组与一次项系数的符号相同。 必须注意,分解因数及十字相乘都有多种可能情况,所以往往要经过多次尝试,才能 确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解。 【例 6】把下列各式因式分解: (1) 12 x2 ? 5x ? 2 (2) 5x2 ? 6 xy ? 8 y 2

说明:用十字相乘法分解二次三项式很重要.当二次项系数不是 1 时较困难,具体分 解时,为提高速度,可先对有关常数分解,交叉相乘后,若原常数为负数,用减法“凑”, 看是否符合一次项系数,否则用加法“凑”,先“凑”绝对值,然后调整,添加正、负号。

【练习】(1) 2a 2 ? 5ab ? 33b 2 ;

(2) 6?2 p ? q?2 ?11?q ? 2 p? ? 3 。

三)用提取公因式与分组分解法分解因式

鹰迪教育系列丛书·初高中数学衔接教材 从前面可以看出,能够直接运用公式法分解的多项式,主要是二项式和三项式。而对 于四项以上的多项式,如 ma ? mb ? na ? nb 既没有公式可用,也没有公因式可以提取。因 此,可以先将多项式分组处理。这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法。分组分 解法的关键在于如何分组。 1.分组后能提取公因式的 【例 7】把 ab(c2 ? d 2 ) ? (a2 ? b2 )cd 分解因式。 分析:按照原先分组方式,无公因式可提,需要把括号打开后重新分组,然后再分解 因式。

说明:由例 7 可以看出,分组时运用了加法结合律,而为了合理分组,先运用了加法 交换律,分组后,为了提公因式,又运用了分配律。由此可以看出运算律在因式分解中所 起的作用。

【练习】把 2ax ? 10ay ? 5by ? bx 分解因式。 分析:把多项式的四项按前两项与后两项分成两组,并使两组的项按 x 的降幂排列, 然后从两组分别提出公因式 2a 与 ?b ,这时另一个因式正好都是 x ? 5 y ,这样可以继续提 取公因式。 说明:用分组分解法,一定要想想分组后能否继续完成因式分解,由此合理选择分组的 方法。本题也可以将一、四项为一组,二、三项为一组,同学不妨一试。

【练习】分解因式: (1)a 2 ?b ? 5? ? a?5 ? b? ; (2) x3 ? 9 ? 3x2 ? 3x ; (3) x 2 ? xy ? 3 y ? 3x

2.分组后能直接运用公式

鹰迪教育系列丛书·初高中数学衔接教材 【例 8】把 x2 ? y 2 ? ax ? ay 分解因式。 分析:把第一、二项为一组,这两项虽然没有公因式,但可以运用平方差公式分解因 式,其中一个因式是 x ? y ;把第三、四项作为另一组,在提出公因式 a 后,另一个因式也 是x ? y。

【练习】把 2 x2 ? 4 xy ? 2 y 2 ? 8z 2 分解因式。 分析:先将系数 2 提出后,得到 x2 ? 2 xy ? y 2 ? 4 z 2 ,其中前三项作为一组,它是一个 完全平方式,再和第四项形成平方差形式,可继续分解因式。

说明:从上面可以看出可以看出:如果一个多项式的项分组后,各组都能直接运用公 式或提取公因式进行分解,并且各组在分解后,它们之间又能运用公式或有公因式,那么 这个多项式就可以分组分解法来分解因式。 【练习】分解因式: (1) x3 ? 9 ? 3x2 ? 3x ; (2) 2x2 ? xy ? y 2 ? 4x ? 5 y ? 6 .

解: (1) x3 ? 9 ? 3x2 ? 3x = ( x3 ? 3x2 ) ? (3x ? 9) = x2 ( x ? 3) ? 3( x ? 3) = ( x ? 3)( x2 ? 3) . 或 x3 ? 9 ? 3x2 ? 3x = ( x3 ? 3x2 ? 3x ? 1) ? 8 = ( x ? 1)3 ? 8 = ( x ? 1)3 ? 23 = [( x ? 1) ? 2][( x ? 1)2 ? ( x ? 1) ? 2 ? 22 ] = ( x ? 3)( x2 ? 3) . (2) 2x2 ? xy ? y 2 ? 4x ? 5 y ? 6 = 2x2 ? ( y ? 4) x ? y 2 ? 5 y ? 6 = 2x2 ? ( y ? 4) x ? ( y ? 2)( y ? 3) = (2 x ? y ? 2)( x ? y ? 3) . 或 提 示

2x2 ? xy ? y 2 ? 4x ? 5 y ? 6 = (2x2 ? xy ? y 2 ) ? (4x ? 5 y) ? 6 = (2 x ? y)( x ? y) ? (4 x ? 5 y) ? 6 = (2 x ? y ? 2)( x ? y ? 3) .

熟练进行分 解因式运算是高 中数学的基本要 求.

【练习】用分组分解法分解多项式 (1) x 2 ? y 2 ? a 2 ? b2 ? 2ax ? 2by ;

(2) a 2 ? 4ab ? 4b 2 ? 6a ? 12b ? 9

四)用求根公式法分解因式

鹰迪教育系列丛书·初高中数学衔接教材 若关于的方程 ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的两个实数根分别是 x1 , x2 ,则二次三项式

ax2 ? bx ? c (a ? 0) 就可分解为 a( x ? x1 )(x ? x2 )

【例 9】在实数范围内分解因式: 2 x 2 ? 5xy ? 4 y 2

【练习】把下列关于 x 的二次多项式分解因式: (1) x 2 ? 2 x ? 1; (2) x2 ? 4 xy ? 4 y 2 。 解: (1)令 x 2 ? 2 x ? 1=0,则解得 x1 ? ?1 ? 2 , x2 ? ?1? 2 ,
?? ? ∴ x 2 ? 2 x ? 1= ? ? x ? (?1 ? 2) ? ? x ? (?1 ? 2) ? = ( x ? 1 ? 2)( x ? 1 ? 2) 。

(2)令 x2 ? 4 xy ? 4 y 2 =0,则解得 x1 ? (?2 ? 2 2) y , x1 ? (?2 ? 2 2) y , ∴ x2 ? 4 xy ? 4 y 2 = [ x ? 2(1 ? 2) y][ x ? 2(1 ? 2) y] 。

【练习】1、选择题:多项式 2x2 ? xy ?15 y 2 的一个因式为( (A) 2 x ? 5 y (B) x ? 3 y (C) x ? 3 y



(D) x ? 5 y

2、分解因式: (1) x 2 ? 6 x ? 8

(2) 8a 3 ? b3

(3) x 2 ? 2 x ? 1

(4) 4( x ? y ? 1) ? y( y ? 2 x) 。

五)其它因式分解法

鹰迪教育系列丛书·初高中数学衔接教材 1.配方法 【例 10】分解因式 x 2 ? 6 x ? 16

说明: 这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法, 配方后将二次三项式化为两个平 方式,然后用平方差公式分解。当然,本题还有其它方法,请大家试验。

2.拆、添项法 【例 11】分解因式 x3 ? 3x 2 ? 4 分析:此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式,分组也不易进行.细查式中无 一次项,如果它能分解成几个因式的积,那么进行乘法运算时,必是把一次项系数合并为 0 了,可考虑通过添项或拆项解决。

说明:本解法把原常数 4 拆成 1 与 3 的和,将多项式分成两组,满足系数对应成比例, 造成可以用公式法及提取公因式的条件。本题还可以将 ?3x 2 拆成 x 2 ? 4 x 2 ,将多项式分成 两组 ( x3 ? x 2 ) 和 ?4 x 2 ? 4 。

总结:一般地,把一个多项式因式分解,可以按照下列步骤进行: (1) 如果多项式各项有公因式,那么先提取公因式; (2) 如果各项没有公因式,那么可以尝试运用公式来分解; (3) 如果用上述方法不能分解,那么可以尝试用分组或其它方法(如十字相乘法)来分 解; (4) 分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。

课堂练习

鹰迪教育系列丛书·初高中数学衔接教材 一、填空题:1、多项式 6 x y ? 2 xy ? 4 xyz 中各项的公因式是_______________。 2、 m?x ? y ? ? n? y ? x? ? ?x ? y ? ? __________________。
2 2

3、 m?x ? y?2 ? n? y ? x?2 ? ?x ? y?2 ? ____________________。 4、 m?x ? y ? z ? ? n? y ? z ? x? ? ?x ? y ? z ? ? _____________________。 5、 m?x ? y ? z ? ? x ? y ? z ? ?x ? y ? z ? ? ______________________。 6、 ? 13ab2 x 6 ? 39a 3b 2 x 5 分解因式得_____________________。 7.计算 992 ? 99 = 二、判断题: (正确的打上“√” ,错误的打上“×” ) 2 2 1、 2a b ? 4ab ? 2ab?a ? b? ( ) 2、 am ? bm ? m ? m?a ? b? ( 3 2 2 3、 ? 3x ? 6 x ?15x ? ?3x x ? 2 x ? 5 ( ) 4、 x n ? x n?1 ? x n?1 ?x ? 1? (

?

?

) )

4 ?2 ? ?2 ??2 ? 5、 x 2 ? 0.01 ? ? x ? ? ?0.1?2 ? ? x ? 0.1? ? x ? 0.1? ( 9 ?3 ? ?3 ??3 ? 6、 9a2 ? 8b2 ? ?3a?2 ? ?4b?2 ? ?3a ? 4b??3a ? 4b? ( ) 2 7、 25a ?16b ? ?5a ? 4b??5a ? 4b? ( ) 8、 ? x 2 ? y 2 ? ? x 2 ? y 2 ? ??x ? y ??x ? y ?( )
9、 a ? ?b ? c? ? ?a ? b ? c??a ? b ? c? (
2 2

2



?

?



三、把下列各式分解 (1) ? 9?m ? n?2 ? ?m ? n?2 ;
1 (2) 3 x 2 ? ; 3

(3) 4 ? x 2 ? 4 x ? 2 ;

?

?

2

(5) x 4 ? 2 x 2 ? 1 ;

(5) 4 x 4 ? 13x 2 ? 9 ;

(6) b2 ? c 2 ? 2ab ? 2ac ? 2bc ;

(7) 3x2 ? 5xy ? 2 y 2 ? x ? 9 y ? 4 ;

(8) x2 ? 2 2 x ? 3 ;

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(9) 3x2 ? 4 xy ? y 2 ;

(10) ( x2 ? 2x)2 ? 7( x2 ? 2x) ?12 ;

(11) x 2 ? x ? (a 2 ? a)

四、 ?ABC 三边 a , b , c 满足 a 2 ? b2 ? c2 ? ab ? bc ? ca ,试判定 ?ABC 的形状。


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