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3.3.3导数的实际应用(文

时间:2014-03-04


3.3 导数的实际应用导学案 徐万山
学习目标: 掌握导数在解决实际问题中的应用 学习重点难点: 掌握导数在解决实际问题中的应用. 自主复习 1 2 1、 已知 a ? 0 ,函数 f (x 1 ) ?1 2,则 a ? ) ?a x3 ? x,且 f ' ( a
A.4 B.3
3

建立适当的函数关系。再通过研究相应函

数的性质,提出优化方案,使问题得以解决, 在这个过程中,导数是一个有力的工具. 利用导数解决优化问题的基本思路:
优化问题 ( ) 优化问题的答案
建立数学模型

用函数表示的数学问题
解决数学模型

作答

C.2

D.1

用导数解决数学问题

x? 2.设点 P 是曲线 y ? x ? 3
角 ? 的取值范围是 A. [ ? , ? )

2 上的任意一点,P 点处切线的倾斜角为 ? ,则 3
( )

三、例题解析:

2 3

? 5 B. ( , ? ]
2 6

? 5 C. [0, ) ?[ ?,?)
2 6

? 2 D. [0, ) ?[ ?,?)
2 3

3 .已知函数

f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1

既有极大值又有极小值,则实数 a 的取值范围

是 . 4.已知函数 y?x f?(x )的图象如右图所示(其中 f '( x) 是函数 f ( x ) 的 导函数),下面四个图象中 y? f (x )图象大致是( ) -2 -1 -1

y
1

O

x
1 2

例1. 在边长为a的正方形铁片的四角切去 相等的正方形,再把它的边沿虚线折起 (如图),做成一个无盖的长方体容器,为 使其容积最大,截下的小正方形边长应是 多少?

自主学习: 一、知识再现: 利用导数求函数极值和最值的方法 二、新课探究: 导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题,主要有 以下几个方面: 1、与几何有关的最值问题; 2、与物理学有关的最值问题; 3、与利润及其成本有关的最值问题; 4、效率最值问题。 解决实际问题的方法:首先是需要分析问题中各个变量之间的关系,建立适当的函 数关系,并确定函数的定义域,通过创造在闭区间内求函数取值的情境,即核心问题是

3.3 导数的实际应用导学案 徐万山

例 2. 横截面为矩形的横梁的强度同它的断面高的平方与宽 的积成正比,要将直径为 d 的圆木锯成强度最大的横梁, 断面的宽度和高度应是多少?
d x

例 4 已知某商品生产成本 C 与产量 q 的函数关系式为 C=100+4q,价格 p 与产量 q 的函数 1 关系式为 p ? 25 ? q .求产量 q 为何值时,利润 L 最大? 8 分析:利润 L 等于收入 R 减去成本 C,而收入 R 等于产量乘价格.由此可得出利润 L 与 产量 q 的函数关系式,再用导数求最大利润.

h

例3.如图,一海岛驻扎一支部队,海岛 离岸边最近点B的距离是150km,在岸边 距点B300km的点A处有一军需品仓库,有 一批军需品要尽快送达海岛,A与B之间有 一铁路,现有海陆联运方式运送。火车时 速为50km,船时速为30km,试在岸边选 一点C,先将军需品用火车 送到点C,再用轮船从点C 运到海岛,问点C选在何处 可使运输时间最短?

课堂巩固: 用总长为 14.8m 的钢条制作一个长方体容器的框架,如果所制作的容器的底面的一 边比另一边长 0.5m,那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积. 归纳反思:

3.3 导数的实际应用导学案 徐万山
课后自主导学 合作探究 1.某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料. 瓶子的制造成本是 0.8? r2 分, 其中 r 是瓶 子的半径,单位是厘米。已知每出售 1 mL 的饮料,制造商可获利 0.2 分,且制造商能 制作的瓶子的最大半径为 6cm 问题: (1)瓶子的半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大? (2)瓶子的半径多大时,每瓶的利润最小?
) ,gx ( )均是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f? ( xgx ) ( )? 1、设 f(x f() xgx ? () ? 0 ? 2 )?0 x? g () x? 0 ,且 f ( ,则不等式 f() 的解集是

? 2 , 0 ? 2 ,? ? ? ? , ? 2 ? 2 , ? ? ? ? ,? 2 ? 0 ,2 ? ? ? B . ? ?2, 2 ? C . ? ? ? ? D.? ? ? ? A. ? 4 3 2 ( ) ?? x 4 x ? 1 0 x ) ?0在区间 ? 1, 2 ? 上的根有 2、已知函数 fx ,则方程 f (x A. 3 个 B. 2 个 C.1 个 D.0 个 )在 R 上可导且满足不等式 3、若函数 y? f (x x f ? () x ? f () x ? 0 恒成立,且常数 a , b 满足 a ? b ,则下列不等式一定成立的是

f( a ) ? b f() b B. a f() b? b f( a )C.a f( a ) ? b f() b D. a f() b? b f( a ) A. a

4、如图,是函数
3 2 2 2 f ( x ) ? x ? bx ? cx ? d 的大致图像,则 x1 ? x2 等于

8 A. 9

10
B. 9

16
C. 9

28 D. 9

?a,b ? , 5、函数 f ( x ) 的定义域是开区间 ? a , b ? 内的图象如图所示, 导函数 f ?( x) 在
2.已知矩形的两个顶点位于 x 轴上,另两个顶点位于抛物线 y =4-x2 在 x 轴上方的曲线 上,求这种矩形中面积最大者的边长. 则函数 f ( x ) 在开区间内有极小值点有
A. 1 个 B. 2 个 C.3 个 D. 4 个

1 , 3 , 5

y

y ? f ??x?
b

a

O

x

? x c o s x ? s i n x 6、函数 y 在下面哪个区间内是增函数

? ? 3? ? ? , ? A. ? 2 2 ?

B . ?? , 2? ?

? 3? 5 ? ? , ? ? C.? 2 2 ?

D . ?2?,3? ?

3 ( ) ? xc ? x ? d ( a ? 0 ) 7、已知函数 fxa 是 R 上的奇函数,当 x ? 1 时 f ( x ) 取得极值 ? 2 .

(1)求 f ( x ) 的单调区间和极大值; (2)证明对任意 (3)若对任意
x1 , x 2 ? (? 1 ,1 ),

不等式

|f ( x ) ? f ( x ) | ? 4 1 2 恒成立.

( x ) ? f ( x )? m x1 , x 2 ???1 ,1?不等式 f 1 2 恒成立,求 m 的取值范围

3.3 导数的实际应用导学案 徐万山


第3讲导数的实际应用

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