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甘肃省庆阳市宁县第五中学高中数学 第三章 数系的扩充和复数的引入学案 新人教A版选修1-2


课 题 教 学 目 标 教 材 分 析 教 学 设 想

第三章 数系的扩充和复数的引入
知识与技能 过程与方法 情感态度价值观

授课时间

课型

复习

二次修改意见

理解数系的扩充是与生活密切相关的,明白复数及其相关概念,掌握复数的代数形式的

乘除运算及 共轭复数的概念。 对章节知识点 进行归纳整理,通过典型例题对本节知识的应用,提高学生对本章知识的掌握程度; 培养学生探究意识,合作意识,应用用所学知识解决生活中的实际问题。

重难点

章节知识点进行归纳整理,典型例题的解决思路及变式训练。

教法 学法 教具 章节知识网络

引导归纳 , 三主互位导学法 归纳训练 多媒体, 刻度尺

课 堂 设 计 归纳专题 专题一 复数的概念及分类 复数是在实数的基础上扩充的,其虚数单位为 i,满足 i2=-1,且 i 同实数间可以进行加、减、乘、除法的运算,结合 复数的代数形式 z=a+bi(a,b∈R)中,a,b 的条件可把复数分为: 复数(z=a+bi, a,b∈R)

?实数? b=0?, =0,b≠0?, ?纯虚数? a ?虚数? b≠0?? ? ?非纯虚数? a≠0 ,b≠0? . ? ?
其中纯虚数中“b≠0”这个条件易被忽略,学习中应引起足够的注意. 例 1 A. 2 1 C. - 2 1+ai 设 i 是虚数单位,复数 为纯虚 数,则实数 a 为( 2-i B. -2 D. 1 . 2 )

【思路点拨】 先将已知复数化为“a+bi” 的形式,再由纯虚数定义求 a. 【规范解答】 法一 1+ai ? 1 +ai? ? 2 +i? = = 2-i ? 2 -i? ? 2 +i? 故选 A. 故选 A.
1

2-a+? 2a +1? i 为纯虚数,所以 2-a=0,a=2, 5 法二 1+ai i? a -i? = 为纯虚数,所以 a=2, 2-i 2-i

【答案】A 专题二 复数的四则运算

复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加减乘除,加减法是对应实、虚部相加减,而乘法类比多项式乘法,除法类 比根式的分母有理化,要注意 i2=-1.在进行复数的运算时,要灵活利用 i,ω 的性质,或适当变形创造条件,从而转 化为关于 i,ω 的 计算问题,并注意以下结论的灵活应用: 1 3 1 (1)设 ω=- ± i,则 ω2= ω , =ω2,ω3n=1,ω3n+1=ω(n∈N+)等. 2 2 ω 1 3 (2)( ± i)3=-1. 2 2 a+bi ? a +bi? i ? a +bi? i (3)作复数除法运算时,有如 下技巧: = = =i,利用 此结论可使一些特殊的计算过程简化. b-ai ? b -ai? i a+bi z2-2z + z =( z-1

例 2 已知复数 z=1-i,则 A.1-i C.1+i B.-2i D.-2

)

【思路点拨】 【规范解答】 法一 ∴

z2-2z 先计算 z1= ,再计算 z1+ z . z-1

z2-2z ? 1 -i? 2 -2? 1 -i? -2i-2+2i -2i = = = =-2i, z-1 ?1 -i?-1 -i -i· i

z2-2z + z =-2i+1+i=1-i.故选 A. z-1 z2-2z ? z -1? 2 -1 1 = =z-1- z-1 z-1 z-1

法二

1 i =(-i)- =-i- =-2i. ?-i? -i· i ∴ z2-2z + z =-2i+1+i=1-i .故选 A. z-1

专题三 共轭复数与模 共轭复数与复数的模是复数中两个重要 的概念,在解决有关复数问题时,除用共轭复数定义与模的计算公式解题外, 也常用下列结论简化解题过程: (1)|z|=1?z= 1 z ;

(2)z∈R? z =z; (3)z≠0,z 为纯虚数? z =-z.

z1+z2 设 z1,z2∈C,且|z1|=1,|z2|≠1,求| |的值. 1+ z1 · z2 【思路点拨】 利复数模的性质:z·z =|z|2 进行化简. 【规范解答】 ∵|z1|=1,∴|z1|2=z1·z1 =1. 从而| z1+z2 1 1 |=| |=| |= =1. |z1| 1+ z1 z2 z1 ? z1 +z2? z1 z1+z2

专题四 复数的几何意义 1.复数的几何意义包括三个方面:复数的表示(点和向 量)、复数的模的几何意义及复数运算的几何意义.复数的几何意 义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法,即通过几何图形来研究代数问题. 2.任何一个复数 z=a+bi(a,b∈R)与复平面内一点 Z(a,b)对应,而任一 点(a,b)又可以与以原点为起点,点 Z(a,b) → 为终点的向量OZ对应,这些对应都是一一对应,由此得到复数的几何解法,特别注意|z|,|z-a|的几何意义——距离. 3.复数加减法几何意义的实质就是平行四边形法则和三角形法则. 由减法的几何意义知|z-z1|表示复平面上两点 Z,Z1 间的距离. 4.复数形式的基本轨迹 (1)当|z-z1|=r 时,表示复数 z 对应的点的轨迹是以 z1 对应的点为圆心,半径为 r 的圆;单位圆|z|=1. (2)当|z-z1|=|z-z2|时,表示以复数 z1,z2 的对应点为端点的线段的垂直平分线. 例4 已知复数 z1=i(1-i)3,
2

(1)求|z1|; (2)若|z|=1,求|z-z1|的最大值. 【思路点拨】 (1)利用模的定义求解; (2)可以利用三角代换,也可利用几何法数形结合. 【规范解答】(1)z1=i(1-i)3=i(-2i)(1-i)=2(1-i), ∴|z 1|= 22+?-2? 2 =2 2. (2)法一 |z|=1,∴设 z=cos θ+isin θ, |z-z1|=|cos θ+isin θ-2+2i| = ? cos θ -2? 2 +? sin θ +2? 2 = π 9+4 2sin? θ - ?. 4

π 当 sin(θ- )=1 时, 4 |z-z1|取得最大值 9+4 2, 作业布置 课本 63 页 第 2,3 题

板 书 设 计

第三章 数系的扩充和复数的引入 章节知识网络 专题一 复数的概念及分类 例1 分析 专题二 复数的四则运算 分析 专题三 共轭复数与模 例3 分析 专题四 复数的几何意义

教 学 反 思

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