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【解析】山东省潍坊市2014届高三上学期期末考试 数学(理)试题


【解析】山东省潍坊市 2014 届高三上学期期末考试 数学(理)试题

第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的.
1. A ? {x x 2 ? 2}, B ? {x 2 x ? } 则 A ? B ? ( (A) ? ?2, ?? ? (B)

r />
1 4

) (D) ? ??, ?2?

? ??, ?2?

(C) ? 2, ?? ?

2.下列命题中的假命题是( (A) ?x ? R, e ? 0
x

) (B) ?x ? N , x ? 0
2

(C) ?x ? R,ln x ? 1

(D) ?x ? N ,sin

?

?x
2

?1

3.“ a ? ?1 ”是“直线 a x ? y ? 1 ? 0 与直线 x ? ay ? 2 ? 0 互相垂直”的(
2



(A)充分不必要条件 (C)充要条件 【答案】A 【解析】

(B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

4.函数 y ? log 2 x ? ( ) x 的零点个数是( (A)0 (B)l (C)2

1 2

) (D)4

5.某学校从高二甲、乙两个班中各选 6 名同掌参加数学竞赛,他们取得的成绩(满分 100 分)的茎叶图如图,其中甲班学生成绩的众数是 85,乙班学生成绩的平均分为 81,则 x+y 的值为( )

(A)6 (C)8

(B)7 (D)9

6.函数 y ? x sin x ? cos x 的图象大致是(



7.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(



(A)

4 5 3

(B)

8 3

(C) 4 5

(D)

4 3

8.函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0, ? ? 位后关于 y 轴对称,则( (A) ? ? 2,? ? (C) ? ? 4,? ? )

?
2

) 的最小正周期为 ? ,若其图象向右平移

? 个单 3

?
3

(B) ? ? 2,? ?

?
6

?

6

(D) ? ? 2,? ? ?

?
6

9.已知双曲线

x2 y 2 x2 y 2 的顶点恰好是椭圆 且焦距 ? ? 1( a ? 0, b ? 0) ? ? 1 的两个顶点, a 2 b2 9 5
) (C) y ? ? 2 x (D) y ? ?2 x

是 6 3 ,则此双曲线的渐近线方程是( (A) y ? ?

1 x 2

(B) y ? ?

2 x 2

10.等差数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,且 a3 ? a8 ? 13, S7 ? 35 ,则 a8 ? ( (A)8 (B)9 (C)1 0 (D) 11



考点:等差数列的通项公式,前 n 项和公式

x?2 点 A( 其 a,b) 在直线 mx ? ny ? 1 ? 0 上, ? 0 的解集为 ? x | a ? x ? b? , x ?1 2 1 中 mn ? 0 ,则 ? 的最小值为( ) m n
11.已知不等式 (A) 4 2 (B)8 (C)9 (D) 12

12.已知函数 f ( x ) ? ? ( )

? ? x,
2

x>0,

? ? ? x ? 4 x, x ? 0

,若 f ( x) ? ax ? 1 恒成立,则实数 a 的取值范围是

(A) ? ??, ?6? (C) ? ??, ?1?

(B) ? ?6,0? (D) ? ?1,0?

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 4 分,满分 16 分,将答案填在答题纸上)
13.已知 sin a ?

2 ? ?? ? , a ? ? , ? ? ,则 sin( a ? ) =____________. 3 2 ?2 ?

14.在边长为 1 的正方形 ABCD 中,E、F 分别为 BC、DC 的中点,则 AE ?AF ? __________.

??? ? ??? ?

? 15.过抛物线 y ? 4 x 的焦点且倾斜角为 60 的直线被圆 x ? y ? 4 x ? 4 3 y ? 0 截得的弦
2

2

2

长是__________. 【答案】 37 【解析】

16.已知正四棱柱 ABCD ? A' B' C' D' 的外接球直径为 6 ,底面边长 AB ? 1 ,则侧棱 BB' 与平面 AB' C 所成角的正切值为_________。

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.)
17.已知向量 m ? (cos x, ?1), n ? (sin x, ? ), f ( x) ? (m ? n)? m.

3 2

(I)求函数 f ( x) 的单调增区间; (Ⅱ)已知锐角△ABC 中角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.其面积 S ?

3,

? 2 f (A ? ) ? ? , a ? 3, 求 b+c 的值. 8 4

18.如图,在几何体 ABC ? A1B1C1 中,点 A1 , B1 , C1 在平面 ABC 内的正投影分别为 A,B,C, 且 AB ? BC , AA1 ? BB1 ? 4, AB ? BC ? CC1 ? 2 ,E 为 AB1 中点, (Ⅰ)求证;CE∥平面 A1B1C1 , (Ⅱ)求证:求二面角 B1 ? AC1 ? C 的大小.

(Ⅱ)由题知 AB ? BC , 又? BB1 ? AB, BB1 ? AC, 分别以 BA, BC, BB1 所在直线为 x 轴,

y 轴, z 轴建

19.已知各项均不为零的数列 ? an ? ,其前 n 项和 S n 满足 S n ? 2 ? an ;等差数列 ?bn ? 中

b1 ? 4 ,且 b2 ? 1 是 b1 ? 1 与 b4 ? 1 的等比中项
(I)求 an 和 bn , (Ⅱ)记 cn ?

bn ,求 ?cn ? 的前 n 项和 Tn . an

当 bn ? 3n ? 1 时, C n ?
0 1

bn ? ?3n ? 1? ? 2 n ?1 an
2 n ?1

此时 Tn ? 4 ? 2 ? 7 ? 2 ? 10 ? 2 ? ? ? ?3n ? 1? ? 2



20.交通指数是交通拥堵指数的简称,是综合反映道路网畅通或拥堵的概念,记交通指数为 T.其范围为[0,10],分别有五个级别:T∈[0,2)畅通;T∈[2,4)基本畅通; T∈[4,6)轻 度拥堵; T∈[6, 8)中度拥堵;T∈[8,10]严重拥堵,晚高峰时段,从某市交通指挥中心选取了市区 20 个交通 路段,依据其交通指数数据绘制直方图如图所示.

(I)这 20 个路段轻度拥堵、中度拥堵的路段各有多少个? (Ⅱ)从这 20 个路段中随机抽出的 3 个路段,用 X 表示抽取的中度拥堵的路段的个数,求 X 的分布列及期望.

考点:1.频率分布直方图的应用;2.超几何分布;3.离散型随机变量的分布列的求法及数学 期望.

21.已知椭圆

x2 y 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,离心率为 ,P 是椭圆 2 2 a b

上一点,且 ?PF1 F2 面积的最大值等于 2. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)直线 y=2 上是否存在点 Q,使得从该点向椭圆所引的两条切线相互垂直?若存在,求

点 Q 的坐标;若不存在,说明理由。

22.已知函数 f ( x) 的定义域为 (??, ?1) ? (1, ??) ,对定义域内的任意 x,满足

f ( x) ? f (? x) ? 0 ,当 x ? ?1 时, f ( x) ?
的一个极值点, (I)求实数 a 的值;

1 ? ln(? x ? 1) (a 为常) ,且 x ? 2 是函数 f ( x) x?a

m 恒成立,求实数 m 的最大值; x 1 2 3 n (Ⅲ)求证: n ? 2( ? ? ? ? ? ? ? ) ? ln(n ? 1) 2 3 4 n ?1
(Ⅱ)如果当 x ? 2 时,不等式 f ( x) ?

则若 m ? g ?x ? 在 ?2,??? 恒成立,则 m ? g ?x ?min ? 2


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