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实际问题的函数建模


知识点一

§2 第 四 章 函 数 应 用
实 际 问 题 的 函 数 建 模

理解 教材 新知

知识点二 考点一 考点二 考点三

把握 热点 考向

应用创新演练

在现实世界中,存在着许许多多的函数关系,建立合 适的函数模型是解决

这种关系的关键.怎样选择恰当的函 数模型呢? 问题1:在人口增长,复利计算中,选择什么样的函数 模型呢?

提示:指数函数模型.

问题2:在加速直线运动中,物体运动的路程与时 间的关系是什么样的函数模型?

提示:二次函数模型.
问题3:在使用测震仪衡量地震能量的等级,地震 能量越大,测震仪记录的地震曲线的振幅就越大,这里 常要说的里氏震级M,使用的是什么样的函数模型? 提示:对数函数模型.

常用到的函数模型:
(1)正比例函数模型: y=kx(k≠0) ; k (2)反比例函数模型: y=x(k≠0) ; (3)一次函数模型: y=kx+b(k≠0) ;
2 (4)二次函数模型: y=ax +bx+c(a≠0) ;

(5)指数函数模型:y=m·x+b(a>0,且a≠1,m≠0); a (6)对数函数模型:y=mlogax+c(m≠0,a>0,且a≠1);

(7)幂函数模型:y=k·n+b(k≠0). x

某公司拟投资100万元获利,打算5年后收回本金和

利息,有两种获利方式可供选择:一种是年利率10%按
单利计算;另一种是年利率9%按每年复利一次计算. 问题1:按单利(每年的本金不变,均为最初的投资) 计算,5年后收回的本金和利息是多少? 提示:100×(1+10%×5)=150(万元).

问题2:按复利(今年的本金和利息全作为明年的 本金)计算,5年后收回的本金和利息是多少? 提示: 100×(1+9%)5≈153.86(万元). 问题3:该公司应该选择哪种方式投资?

提示:第二种.按复利投资.

用数学眼光看问题,用数学思想、方法、知识
解决实际问题的过程叫作数学建模,可以用图表示数 学建模的过程.

1.函数模型就是用函数知识对我们日常生活中普

遍存在的实际问题进行归纳加工,运用函数的方法进行
求解,最后实际问题得以解决. 2.解函数应用问题的步骤

[例1]

某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得

知,从2月1日起的300天内,西红柿市场售价与上市时间 的关系用图1的一条拆线表示;西红柿的种植成本与上市 时间的关系用图2的抛物线表示.

(1)写出图1表示的市场售价与上市时间的函数关系式P=f(t);

写出图2表示的种植成本与上市时间的函数关系式Q=g(t).
(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的西 红柿纯收益最大? (注:市场售价和种植成本的单位:元/102 kg,时间单位: 天)

[思路点拨]

本题由函数图像给出基本条件,解题时要抓住

图像特征,抓住关键点的坐标,确定函数关系式解题.

[精解详析]

?-t+300,0≤t≤200, ? (1)f(t)=? ?2t-300,200<t≤300. ?

设 g(t)=a(t-150)2+100(a≠0), 1 将 t=50,Q=150 代入得 a=200. 1 ∴g(t)=200(t-150)2+100(0≤t≤300).

(2)设纯收益为 y 元,当 0≤t≤200 时, y=f(t)-g(t) 1 =(-t+300)-[200(t-150)2+100] 1 2 1 175 =-200t +2t+ 2 1 =-200(t-50)2+100.

当 t=50 时,y 取到最大值,且最大值为 100. 当 200<t≤300 时, 1 y=f(t)-g(t)=(2t-300)-[200(t-150)2+100]= 1 2 7 1 025 1 -200t +2t- 2 =-200(t-350)2+100. 当 t=300 时取到最大,最大值为 87.5. 故从 2 月 1 日起第 50 天上市的西红柿纯收益最大.

[一点通]

处理此类问题的一般思路是:认真读题、

审题,弄清题意,明确题目中的数量关系,可充分借助
图像、表格信息确定解析式,对于分段函数图像要特别 注意虚实点,写准定义域,同时要注意它是一个函数.

1.某商场以每件42元的价钱购进一种服装,根据试销得知: 这种服装每天的销售量t(件)与每件的销售价x(元/件)可 看成是一次函数关系:t=-3x+204. (1)写出商场卖这种服装每天的销售利润与每件的销售价 x之间的函数关系式(销售利润是指所卖出服装的销售价 与购进价的差); (2)通过对所得函数关系式进行配方,指出:商场要想

每天获得最大的销售利润,每件的销售价定为多少最为
合适?最大销售利润为多少?

解:(1)由题意,销售利润y与每件的销售价x之间的函 数关系为:y=(x-42)(-3x+204), 即y=-3x2+330x-8 568; (2)配方,得y=-3(x-55)2+507. ∴当每件的销售价为55元时,可取得最大利润,每天

最大销售利润为507元.

2.甲、乙两人连续6年对某县农村甲鱼养殖业的规模(产 量)进行调查,提供了两个方面的信息,如图.

甲调查表明:每个甲鱼池平均产量从第1年1万只甲鱼上升

到第6年2万只.
乙调查表明:甲鱼池个数由第1年30个减少到第6年10个. 请你根据提供的信息说明: (1)第2年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼总数; (2)到第6年这个县的甲鱼养殖业的规模比第1年是扩大了还 是缩小了?说明理由; (3)哪一年的规模最大?说明理由.

解:(1)由图可知,直线 y 甲=kx+b 经过(1,1)和(6,2),可求得 k=0.2,b=0.8. ∴y 甲=0.2(x+4). 17 同理可得 y 乙=4(-x+ ). 2 故第二年甲鱼池的个数为 26 个,平均生产量为 1.2 万只,全 县出产甲鱼的总数为 26× 1.2=31.2(万只); (2)规模缩小,原因是:第一年出产甲鱼总数 30 万只,而第 6 年出产甲鱼总数为 20 万只;

(3)设第 x 年规模最大, 17 即求 y 甲· 乙=0.2(x+4)· y 4(-x+ )=-0.8x2+3.6x+27.2 2 的最大值. 函数图像对称轴为 3.6 1 x=- =2 ,因为 x∈N+, 4 2×?-0.8? ∴当 x=2 时,y 甲· 乙=31.2,即第二年规模最大,为 31.2 y 万只.

[例2]

截止到1999年底,我国人口约为13亿,若今后

能将人口平均增长率控制在1%,经过x年后, 我国人口为

y(亿).
(1)求y与x的函数关系式y=f(x); (2)求函数y=f(x)的定义域; (3)判断函数f(x)是增函数还是减函数?并指出函数增 减的实际意义.

[思路点拨]
系式.

先根据增长率的意义列出y与x的函数关

[精解详析]

(1)1999年底人口数:13亿.

经过1年,2000年底人口数: 13+13×1%=13×(1+1%)(亿). 经过2年,2001年底人口数: 13×(1+1%)+13×(1+1%)×1% =13×(1+1%)2(亿).

经过3年,2002年底人口数:

13×(1+1%)2+13×(1+1%)2×1%
=13×(1+1%)3(亿). … ∴经过年数与(1+1%)的指数相同. ∴经过x年后人口数:13×(1+1%)x(亿).

∴y=f(x)=13×(1+1%)x.

(2)∵此问题以年作为单位时间.
∴x∈N+是此函数的定义域. (3)y=f(x)=13×(1+1%)x. ∵1+1%>1,13>0, ∴y=f(x)=13×(1+%)x是增函数, 即只要递增率为正数,随着时间的推移,人口的总数总 在增长.

[一点通] 1.指数函数模型:能用指数函数表示的函数模型叫做指数

函数模型.指数函数增长的特点是随着自变量的增大,函数值
增大的速度越来越快(底数a>1),常形象地称之为指数爆炸. 2.对数函数模型:能用对数函数表示的函数模型叫对数函 数模型.对数增长的特点是随着自变量的增大(底数a>1),函数 值增大的速度越来越慢. 注意:(1)增长率与减少率问题都应归结为指数函数模型. (2)平均增长(或减少)率问题的表示:y=a(1+p%)x(或y= a(1-p%)x).

3.20世纪70年代,里克特制订了一种表明地震能量大小
的尺度,就是使用测震仪衡量地震能量的等级,地震 能量越大,测震仪记录的地震曲线的振幅就越大,这 就是我们常说的里氏震级M,其计算公式为:M= lgA -lgA0.其中A是被测地震的最大振幅,A0是“标准 地震”的振幅.

(1)假设在一次地震中,一个距离震中1 000千米的测震仪 记录的地震最大振幅是20,此时标准地震的振幅是0.002, 计算这次地震的震级; (2)5级地震给人的震感已比较明显,我国发生在汶川的8

级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍?

A 20 解:(1)M=lg =lg =4,即这次地震的震级为 4 级. A0 0.002
?5=lgA -lgA , ? 5 0 ? (2) ?8=lgA8-lgA0, ?

A8 A8 lg =3, =1 000.即 8 级地震的最 A5 A5

大振幅是 5 级地震的最大振幅的 1 000 倍.

4.我们知道,燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬, 研究燕子的科学家发现,两岁燕子的飞行速度可以表 Q 示为函数 v=5log210,单位是 m/s,其中 Q 表示燕子 的耗氧量. (1)计算:燕子静止时的耗氧量是多少个单位? (2)当一只燕子的耗氧量是 80 个单位时,它的飞行速 度是多少?

解:(1)由题知,当燕子静止时,它的速度 v=0, Q 可得 0=5log210, 解得 Q=10, 即燕子静止时的耗氧量是 10 个单位; (2)将耗氧量 Q=80 代入所给公式,得 80 v=5log210=5log28=15(m/s). 即当一只燕子的耗氧量是 80 个单位时, 它的飞行速度为 15 m/s.

[例3]

某个体经营者把开始六个月试销A、B两

种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表: 投资A种商品金额 (万元) 获纯利润(万元) 投资B种商品金额 1 (万元) 获纯利润(万元) 0.25 0.49 0.76 1 1.26 1.51 2 3 4 5 6

1
0.65

2

3

4
2

5

6

1.39 1.85

1.84 1.40

该经营者准备下月投入12万元经营这两种商品,但不

知投资A、B两种商品各多少才最合算.请你帮助制定一个
资金投入方案,使得该经营者能获得最大利润,并按你的

方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润.(结果保留两
个有效数字)

[思路点拨]
模型.

先画出投资额与获利的图像,再选择函数

[精解详析]

设投资额为x万元时,

获得的利润为y万元.在直角坐标系中 画出散点图并依次连接各点,如图所示,

观察散点图可知图像接近直线和抛物线,
因此可考虑用二次函数描述投资A种商品的利润y万元 与投资额x万元之间的函数关系;用一次函数描述投资 B种商品的利润y万元与投资额x万元之间的函数关系.

设二次函数的解析式为y=-a(x-4)2+2(a>0);

一次函数的解析式为y=bx.
把x=1,y=0.65代入y=-a(x-4)2+2(a>0), 得0.65=-a(1-4)2+2,解得a=0.15. 故前六个月所获纯利润关于月投资A种商品的金额的函 数关系可近似地用y=-0.15(x-4)2+2表示.

把x=4,y=1代入y=bx,得b=0.25, 故前六个月所获纯利润关于月投资B种商品的金额的函数 关系可近似地用y=0.25x表示. 令下月投入A、B两种商品的资金分别为xA万元、xB万元,

总利润为W万元,得
W=yA+yB=-0.15(xA-4)2+2+0.25xB,

其中xA+xB=12.

19 2 19 2 则 W=-0.15(xA- 6 ) +0.15· 6 ) +2.6(0≤xA≤12). ( 19 则当 xA= 6 ≈3.2 万元时,W 取得最大值, 19 2 53 0.15· 6 ) +2.6≈4.1 万元,此时 xB= 6 ≈8.8 万元. ( 即投资 A 商品 3.2 万元,投资 B 商品 8.8 万元时,下 月可获得的最大纯利润为 4.1 万元.

[一点通] 此类题为开放性的探究题,函数模型不确定,需要我们 去探索尝试,找到最适合的模型,此类题目解题的一般步骤 为:

(1)作图:根据已知数据作出散点图;
(2)选择函数模型:根据散点图,结合基本初等函数的图 像形状,找出比较接近的函数模型; (3)求出函数模型:选出几组数据代入,求出函数解析式; (4)利用所求得的函数模型解决问题.

5.18世纪70年代,德国科学家提丢斯发现金星、地球、 火星、木星、土星离太阳的平均距离(天文单位)如下表:


星 距 1(金星) 2(地球) 3(火星) 4( ) 5(木星) 6(土星) 7( )



0.7

1.0

1.6

5.2

10.0

他研究行星排列规律后预测在火星与木星之间应该有一颗 大的行星,后来果然发现了谷神星,但不算大行星,它可 能是一颗大行星爆炸后的产物,请你推测谷神星的位置,

在土星外面是什么星?它与太阳的距离大约是多少?
解:由数值对应表作散点图如图.

由图采用指数型函数作模型,设 f(x)=a·x+c. b ?ab+c=0.7, ① ? 2 代入(1,0.7),(2,1.0),(3,1.6)得:?ab +c=1.0, ② ?ab3+c=1.6, ③ ? (③-②)÷ (②-①)得 b=2,代入①②,

3 ? ?2a+c=0.7, ?a=20, ? 得? 解得? ?4a+c=1.0. ? ?c=2. ? 5 3 x 2 26 ∴f(x)=20· +5.∵f(5)= 5 =5.2,f(6)=10, 2 ∴符合对应表值,∴f(4)=2.8,f(7)=19.6, 所以谷神星大约在离太阳 2.8 天文单位处.在土星外面是 天王星,它与太阳的距离大约是 19.6 天文单位.

6.某商场经营一批进价是30元/件的商品,在市场试销中
发现,此商品的销售单价x元与日销售量y件之间有如 下关系(见下表): x y … 30 60 40 30 45 15 50 0 …





(1)在所给的坐标系中,根据表中提供的数据描出实数对 (x,y)对应的点,并确定y与x的一个函数关系式y=f(x);

(2)设经营此商品的日销售利润为P元,根据上述关系写
出P关于x的函数关系式,并指出销售单价x为多少元 时,才能获得最大日销售利润? 解:(1)根据上表作图,点(30,60)、(40,30)、(45,15)、 (50,0)它们近似在同一条直线上,设直线

为:y=kx+b, ∴
?50k+b=0, ? ? ?45k+b=15, ?

?

?k=-3, ? ? ?b=150. ?

∴y = - 3x +

150(x∈N). 经检验点(30,60)、(40,30)也在此直线上, 故所求函数关系式为 y=-3x+150(x∈N);

(2)依题意有P=y(x-30)

=(-3x+150)(x-30)
=-3(x-40)2+300, ∴当x=40时,P有最大值300. 故销售单价为40元时,才能获得最大日销售利润.

1.选择函数模型时,要让函数的性质、图像与所解

决的问题基本吻合.根据散点图猜想函数模型,通过待定
系数法求模拟函数的解析式,再通过数据验证.

2.解函数应用问题的一般步骤?

(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系.
(2)建模:将文字语言转化为数学语言,用数学知识建 立相应的数学模型.? (3)求模:求解数学模型,得到数学结论.? (4)还原:将用数学方法得到的结论还原为实际问题.?

3.函数拟合问题 对于此类实际应用问题,首先是建立适当的函数关系

式,再解决数学问题,最后验证并结合问题的实际意义作
出回答,这个过程就是先拟合函数再利用函数解题.

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4.2实际问题的函数建模.doc

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