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直线与圆、圆与圆的位置关系


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一、选择题(每小题6分,共30分) 1.(2010·宁德中考)如图,在7×4的方格(每个方格的边长为

1个单位长度)中,⊙A的半径为1,⊙B的半径为2,将⊙A由图
示位置向右平移1个单位长后,⊙A与静止的⊙B的位置关系是 ( )

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(A)内含 (C)相交

(B)内切 (D)外切

【解析】选D.向右平移一个单位长度后,圆心距为3等于它们 半径的和,即为外切.

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2.如图,AB是⊙O的直径,AD是⊙O的切线,点C在⊙O上, BC∥OD,AB=2,OD=3,则BC的长为( (A) 2
3

)

(B) 3
2

(C) 3
2

(D) 2
2

【解析】选A.由△AOD∽△CBA可求出BC.

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3.(2010·德州中考)已知三角形的三边长分别为3,4,5,则它
的边与半径为1的圆的公共点个数所有可能的情况是( (A)0,1,2,3 (C)0,1,2,3,4 (B)0,1,2,4 (D)0,1,2,4,5 )

【解析】选C.三边长分别为3,4,5的三角形是直角三角形,它 的内切圆的半径正好为1,故最多的交点个数为4,所有可能 的情况是0,1,2,3,4.

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4.△ABC中,AB=AC,∠A为锐角,CD为AB边上的高,I为

△ACD的内切圆圆心,则∠AIB的度数是(
(A)120° (B)125° (C)135° (D)150°

)

【解析】选C.根据等腰三角形的三线合一性和内心的定义得
∠AIB=∠AIC,再由两条角平分线的夹角等于90°,加上第三 个角的一半得∠AIC=90°+ 1 ∠ADC=135°.
2

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5.如图,在平面直角坐标系中,⊙P与x轴相切于原点O,平行
于y轴的直线交⊙P于M,N两点.若点M的坐标是(2,-1),则 点N的坐标是( (A)(2,-4) (C)(2,-5) ) (B)(2,-4.5) (D)(2,-5.5)

【解析】选A.由点M的坐标是(2,-1)知,P点到MN的距离为2, 点M到x轴的距离为1,设圆的半径为r,由勾股定理得 (r-1)2+22=r2,∴r=2.5,∴MN=3,则N点到x轴的距离为4.

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二、填空题(每小题6分,共24分)

6.(2010·河南中考)如图,AB切⊙O于
点A,BO交⊙O于点C,点D是 CmA上异于 点C、A的一点,若∠ABO=32°, 则∠ADC的度数是_____. 【解析】∵AB是切线,故∠OAB=90°,∴∠BOA=58°, ∵∠ADC是劣弧AC所对的圆周角, 则∠ADC的度数是29°. 答案:29°
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7.如图,DB为半圆的直径,A为BD延长线 上一点,AC切半圆于点E,BC⊥AC于点C, 交半圆于点F.已知BD=2,设AD=x,CF=y,

则y关于x的函数解析式是_____.
【解析】由切线的性质知∠AEO=90°,

∴△AOE∽△ABC,∴BC=(x+2)/(x+1);
又∵BD是直径, ∴∠DFB=90°,∴△BDF∽△BAC可得y= 答案:y= x .
1+x
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x . 1+x

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8.(2010·台州中考)如图,正方形ABCD 边长为4,以BC为直径的半圆O交对角线 BD于E.则直线CD与⊙O的位置关系是 _____,阴影部分面积为(结果保留π ) _____.

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【解析】OC⊥CD,故直线CD与⊙O的位置关系是相切,要求阴 影部分的面积,可以连接EO,∵∠DBC=45°,

∴∠EOC=90°,
S阴影=S梯形EOCD-S扇形EOC

= 1 (2+4)×2- 1 ·π×22
2 4

=6-π. 答案:相切 6-π

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9.(2009·杭州中考)如图,AB为
半圆的直径,C是半圆弧上一点, 正方形DEFG的一边DG在直径AB上, 另一边DE过△ABC的内切圆圆心O, 且点E在半圆弧上.①若正方形的顶点F也在半圆弧上,则半 圆的半径与正方形边长的比是_____; ②若正方形DEFG的面积为100,且△ABC的内切圆半径r=4,则 半圆的直径AB=______. 答案:① 5 ∶2 ②21

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三、解答题(共46分) 10.(10分)(2010·常德中考)如图,AB是⊙O的直径,∠A= 30°,延长OB到D使BD=OB.

(1)△OBC是否是等边三角形?说明理由.

(2)求证:DC是⊙O的切线.

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【解析】(1)是.理由:

∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°, 又∵∠A=30°,∴∠ABC=60°. ∵OB=OC,∴△OBC是等边三角形. (2)∵BD=OB,OB=BC,

∴BC=BD,∴∠D= 1 ∠OBC=30°,
2

∴∠COD+∠D=60°+30°=90°, ∴∠OCD=90°, ∴DC是⊙O的切线.

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11.(12分)(2010·义乌中考) 如图,以线段AB为直径的⊙O交 线段AC于点E,点M是弧AE的中点,OM交AC于点D, ∠BOE=60°,cosC=
1 ,BC= 2 3 . 2

(1)求∠A的度数;

(2)求证:BC是⊙O的切线;
(3)求MD的长度.
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【解析】(1)∵∠BOE=60°,∴∠A =
2

(2) 在△ABC中,∵cosC= 1 ,∴∠C=60°,

1 ∠BOE=30°. 2

又∵∠A =30°
∴∠ABC=90°,∴AB⊥BC,

∴BC是⊙O的切线.
(3)∵点M是弧AE的中点,∴OM⊥AE , 在Rt△ABC中 ∵BC= 2 3 ∴AB=BC·tan60°= 2 3 ? 3 =6,∴OA= AB =3, ∴OD= 1 OA= 3 ,∴MD= 3 .
2 2 2
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12.(12分)如图,已知在等腰△ABC中,∠A=∠B=30°,过点C作
CD⊥AC交AB于点D. (1)尺规作图:过A,D,C三点作 ⊙O(只要求作出图形,保留痕迹,不要求写作法); (2)求证:BC是过A,D,C三点的圆的切线; (3)若过A,D,C三点的圆的半径为 3 ,则线段BC上是否存在 一点P,使得以P,D,B为顶点的三角形与△BCO相似.若存在, 求出DP的长;若不存在,请说明理由.

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【解析】(1)作出圆心O,以点O为圆心,OA长为半径作圆.
(2)∵CD⊥AC, ∴∠ACD=90°. ∴AD是⊙O的直径.连结OC, ∵∠A=∠B=30°, ∴∠ACB=120°,又∵OA=OC, ∴∠ACO=∠A=30°, ∴∠BCO=∠ACB-∠ACO=120°-30°=90°. ∴BC⊥OC,∴BC是⊙O的切线.
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(3)存在.

∵∠BCD=∠ACB-∠ACD=120°-90°=30°,
∴∠BCD=∠B,即DB=DC.

又∵在Rt△ACD中,DC=AD·sin 30°= 3 ,
∴BD= 3 .

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方法一:①过点D作DP1∥OC,
则△P1DB∽△COB, ∴

②过点D作DP2⊥AB,
则△BDP2∽△BCO,∴

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方法二:①当△BP1D∽△BCO时, ∠DP1B=∠OCB=90°. 在Rt△BP1D中,DP1=BD·sin 30°= 3 .
2

②当△BDP2∽△BCO时,∠P2DB=∠OCB=90°.
在Rt△BP2D中,DP2=BD·tan 30°=1.

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13.(12分)如图,⊙O的直径AB=6 cm,P是AB延长线上的一点,过

P点作⊙O的切线,切点为C,连结AC.
(1)若∠CPA=30°,求PC的长; (2)若点P在AB的延长线上运动, ∠CPA的平分线交AC于点M,你认为∠CMP的大小是否发生变化? 若变化,请说明理由;若不变,求出∠CMP的值.

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【解析】(1)连结OC,
PC是⊙O的切线, ∴∠OCP=90°. ∵∠CPA=30°,OC= AB =3, ∴tan30°= 3 ,即PC=3 3 .
PC 2

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(2)∠CMP的大小不发生变化.

∵PM是∠CPA的平分线,∴∠CPM=∠MPA.
∵OA=OC,∴∠A=∠ACO. 在△APC中,∵∠A+∠ACP+∠CPA=180°, ∴2∠A+2∠MPA=90°,∠A+∠MPA=45°. ∴∠CMP=∠A+∠MPA=45°. 即∠CMP的大小不发生变化.

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§9.3 直线与圆、圆与圆的位置关系

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