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2016届高考数学第二轮总复习第20讲-圆锥曲线中的定点、定值与最值问题


专题六 解析几何 专题一 函数与导数

1.圆锥曲线有关定点、定值、最值问题等综合性问 题,它涉及到圆锥曲线的定义、几何性质、直线与

圆锥曲线位置关系,同时又与三角函数、函数、不
等式、方程、平面向量等代数知识紧密联系,解这 类问题时,需要有较强的代数运算能力和图形识别 能力,要能准确地进行数与形的语言转换和运算、 推理转换,

并在运算过程中注意思维的严密性,以

保证结果的完整性.

2 .研究变量的最值问题时,一般先建立目标

函数,再转化为函数或不等式问题求解,或运
用“数形结合”、“几何法”求解. 3 .解析几何定值包括几何量的定值或曲线系 ( 直线系)过定点等问题,处理时可以直接推理求 出定值,也可以先通过特定位置猜测结论后进

行一般性证明,对于客观题,通过特殊值法探
求定点、定值能达到事半功倍的效果.

一、圆锥曲线背景下的定点问题 x2 y2 例1(2010 ? 广州二模)已知椭圆C1: 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? a b 的右焦点F2与抛物线C2:y 2 ? 4x的焦点重合,椭圆C1 5 与抛物线C2 在第一象限的交点为P, PF2 ? .圆C3的 3 圆心T 是抛物线C2 上的动点,圆C3与y轴交于M ,N 两点,且 MN ? 4.

?1? 求椭圆C1的方程; ? 2 ? 证明:无论点T 运动到何处,圆C3恒经过椭圆
C1上一定点.

解析:?1? 方法1:因为抛物线C2:y 2 ? 4 x 的焦点 坐标为?1,0 ?,所以点F2的坐标为?1,0 ?. 所以椭圆C1的左焦点F1的坐标为F1 ? ?1,0 ?,抛物线C2的 准线方程为x ? ?1. 设点P的坐标为( x1,y1 )( x1 ? 0,y1 ? 0). 由抛物线的定义可知 PF2 ? x1 ? 1. 5 5 2 因为 PF2 ? ,所以x1 ? 1 ? ,解得x1 ? . 3 3 3 8 2 6 由y ? 4 x1 ? ,且y1 ? 0,得y1 ? . 3 3 2 2 6 所以点P的坐标为( , ). 3 3

x2 y 2 在椭圆C1: 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ?中,c ? 1. a b 2 2 6 2 又2a ? PF1 ? PF2 ? ? ? 1? ? ? ? 0?2 3 3 2 2 6 ? ? ? 1?2 ? ? ? 0?2 ? 4, 3 3 所以a ? 2,则b ? a 2 ? c 2 ? 3. x2 y 2 所以椭圆C1的方程为 ? ? 1. 4 3 方法2:因为抛物线C2:y 2 ? 4x的焦点坐标为?1,0 ?, 易知抛物线C2的准线方程为x ? ?1. 设点P的坐标为( x1,y1 )( x1 ? 0,y1 ? 0),

由抛物线的定义可知 PF2 ? x1 ? 1. 5 5 2 因为 PF2 ? ,所以x1 ? 1 ? ,解得x1 ? . 3 3 3 8 2 6 由y ? 4x1 ? ,且y1 ? 0,得y1 ? . 3 3 2 2 6 所以点P的坐标为( , ). 3 3 x2 y 2 在椭圆C1: 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ?中,c ? 1. a b ? ?c ? 1 ? ? 2 ?a ? 2 2 2 由 ?a ? b ? c ,解得 ? . ? ?b ? 3 ? 4 24 ? 2 ? 2 ?1 9b ? 9a

x2 y 2 所以椭圆C1的方程为 ? ? 1. 4 3 ? 2 ? 证法1:设点T的坐标为( x0,y0 ),圆C3的半径为r. 因为圆C3与y轴交于M 、N 两点,且 MN ? 4,
2 2 所以 MN ? 2 r 2 ? x0 ? 4,所以r ? 4 ? x0 . 2 所以圆C3的方程为? x ? x0 ? ? ? y ? y0 ? ? 4 ? x0 .① 2 2

因为点T 是抛物线C2:y 2 ? 4 x上的动点,
2 y0 所以y ? 4 x0 ( x0 ? 0),所以x0 ? . 4 2 y0 把x0 ? 代入①,消去x0,整理得 4 x (1 ? ) y ? 2 yy0 ? ? x 2 ? y 2 ? 4 ? ? 0.② 2

方程②对任意实数y0 恒成立, ? x ?1 ? 2 ? 0 ? ?x ? 2 所以 ??2 y ? 0 ,解得 ? . ?y ? 0 ? x2 ? y 2 ? 4 ? 0 ? ? x2 y 2 因为点? 2,0 ? 在椭圆C1: ? ? 1上,所以无论点T 4 3 运动到何处,圆C3 恒经过椭圆C1上一定点 ? 2,0 ?. 证法2:设点T的坐标为( x0,y0 ),圆C3的半径为r. 因为点T 是抛物线C2:y 2 ? 4x上的动点, 所以y ? 4x0 ( x0 ? 0). 因为圆C3与y轴交于M 、N 两点,且 MN ? 4,

2 2 所以 MN ? 2 r 2 ? x0 ? 4,所以r ? 4 ? x0 . 2 所以圆C3的方程为? x ? x0 ? ? ? y ? y0 ? ? 4 ? x 0 .③ 2 2

令x0 ? 0,则y ? 4x0 ? 0,得y0 ? 0, 此时圆C3的方程为x 2 ? y 2 ? 4. ? x2 ? y 2 ? 4 ? x ? ?2 ? 2 由? x ,解得 ? . y2 ?1 ?y ? 0 ? ? 3 ?4 所以圆C3:x 2 ? y 2 ? 4与椭圆C1的两个交点为? 2,0 ?、 ? ?2,0 ?. 分别把点? 2,0 ?、 ? ?2,0 ? 代入方程③进行检验,可知点

? 2,0 ? 恒符合方程③,点? ?2,0 ? 不恒符合方程③.
所以无论点T 运动到何处,圆C3 恒经过椭圆C1上一定点? 2,0 ?.

【点评】 ?1? 利用两曲线间的共同点进行转化, 是解决这类问题的关键.

? 2 ? 证明曲线系(直线系)过定点时,可求出其
含参变量的方程,由方程特点或利用关于参 变量的方程有无穷多解条件处理.

二、圆锥曲线背景下的定值问题 x2 y 2 例2已知点A ?1,1? 是椭圆 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? a b 上一点,F1,F2是椭圆的两个焦点, 且满足 AF1 ? AF2 ? 4.

?1? 求椭圆的方程及离心率; ? 2 ? 设点C、D是椭圆上的两点,直线AC、AD
的倾斜角互补,试判断直线CD的斜率是否为 定值?并说明理由.

解析:思路:要判断CD的斜率是否为定值,可计算 C、D坐标,求其斜率是否与参变量取值有关. x2 y 2 ?1?因为点A ?1,1? 是椭圆 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 上的一点, a b F1,F2是椭圆的两焦点, 1 1 ? ? 1, AF1 ? AF2 ? 2a ? 4, 2 2 a b 4 8 所以a ? 2,b 2 ? ,所以c 2 ? a 2 ? b 2 ? , 3 3 2 6 c 6 3 所以e ? ? ? , a 2 3 x2 3 y 2 且椭圆的方程为 ? ? 1. 4 4 所以

? 2 ? 设点C ( xC,yC ),D ( xD,yD ).
因为AC、AD的倾斜角互补,所以k AC ? k AD ? 0. 设直线AC的方程为y ? 1 ? k ? x ? 1?, 则直线AD的方程为y ? 1 ? ? k ? x ? 1?. ? y ? 1 ? k ? x ? 1? ? 2 由? x , 3y2 ?1 ? ? ?4 4

得 ?1 ? 3k 2 ? x 2 ? 3 ? 2k ? 2k 2 ? x ? 3 ? k 2 ? 2k ? ? 1 ? 0. 3? k 2 ? 2k ? ? 1 所以xC ? . 2 1 ? 3k

因为A点的横坐标x ? 1是该方程的一根,

3? k 2 ? 2k ? ? 1 同理,xD ? , 2 1 ? 3k yC ? yD 所以kCD ? xC ? xD k ? xC ? 1? ? 1 ? k ? xD ? 1? ? 1 ? xC ? xD k ? xC ? xD ? ? 2k 1 ? ? (为定值). xC ? xD 3 1 故直线CD的斜率为定值 . 3

【点评】求证或判断某几何量是否为定值时, 可引进适当的参变量,直接求出相应几何量 的值,说明或证明其为定值.

三、圆锥曲线背景下的最值问题 x2 y 2 例3已知椭圆 ? ? 1上的两个动点P、Q, 4 2 设P( x1,y1 ),Q( x2,y2 ),且x1 ? x2 ? 2.

?1? 求证:线段PQ的垂直平分线经过一个定点A; ? 2 ? 设点A关于原点O的对称点是B,求 PB 的最

小值及相应的P点坐标.

解析 : ?1? 证明:因为P( x1,y1 ),Q( x2,y2 ), ? x12 ? 2 y12 ? 4 且x1 ? x2 ? 2,当x1 ? x2时,由 ? 2 , 2 ? x2 ? 2 y2 ? 4 y1 ? y2 1 x1 ? x2 得 ?? ? . x1 ? x2 2 y1 ? y2 设线段PQ的中点N (1,n),所以k PQ 所以? 2 x ? 1? n ? y ? 0. y1 ? y2 1 ? ?? , x1 ? x2 2n

所以线段PQ的垂直平分线方程为y ? n ? 2n ? x ? 1?,

1 该直线恒过一个定点A( ,, 0) 2 1 当x1 ? x2时,线段PQ的中垂线也过定点A( ,. 0) 2 1 综上,线段PQ的垂直平分线恒过定点A( ,. 0) 2 1 0) ? 2 ?由于点B与点A关于原点O对称,故点B(? ,. 2 因为 ? 2 ? x1 ? 2, ? 2 ? x2 ? 2,所以x1 ? 2 ? x2 ? ? 0, 2?, 1 2 1 7 9 2 2 PB ? ( x1 ? ) ? y1 ? ? x1 ? 1? ? ? . 2 2 4 4
2

所以当点P的坐标为(0, ? 2)时, PB min

3 ? . 2

【点评】 ?1? 本题是圆锥曲线中的综合问题, 涉及到了定点问题以及最值问题.本题是 建立二次函数、利用二次函数的图象求最值.

? 2 ? 本题的第一个易错点是,表达不出线段
PQ的中垂线方程,第二个易错点是,易忽 视P点坐标的取值范围.实质上是忽视了椭 圆的范围.

x2 y 2 6 例4已知椭圆C: 2 ? 2 ? 1(a>b>0)的离心率为 , a b 3 短轴一个端点到右焦点的距离为 3.

?1? 求椭圆C的方程; ? 2 ? 设直线l与椭圆C交于A、B两点,坐标原点O到
3 直线l的距离为 ,求?AOB面积的最大值. 2

?c 6 ? ? 解析:?1? 设椭圆的半焦距为c,依题意 ? a 3 , ?a ? 3 ? x2 所以b ? 1,所以所求椭圆的方程为 ? y 2 ? 1. 3 ? 2 ? 设A( x1,y1 ),B( x2,y2 ). ①当AB ? x轴时, AB ? 3. ②当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y ? kx ? m. 3 3 2 2 由已知 ? ,得m ? ? k ? 1?. 2 2 4 1? k 把y ? kx ? m代入椭圆方程,整理得 |m|

? 3k

2

? 1? x ? 6kmx ? 3m ? 3 ? 0,
2 2

?6km 3? m 2 ? 1? 所以x1 ? x2 ? 2 ,x1 x2 ? . 2 3k ? 1 3k ? 1 所以 AB ? ?1 ? k
2 2

?? x

2

? x1 ?
2

2 2

36k m 12? m ? 1? ? ?1 ? k ?[ 2 ? ] 2 2 ?3k ? 1? 3k ? 1
2 2

12? k ? 1??3k ? 1 ? m ? ? ?3k 2 ? 1?2
2 2 2

3? k 2 ? 1??9k 2 ? 1? 12k 2 ? ? 3? 4 , 2 2 2 ?3k ? 1? 9k ? 6k ? 1

12 12 当k ? 0时, AB ? 3 ? ? 3? ? 4, 1 2 ? 3 ? 6 2 9k ? 2 ? 6 k
2

1 3 当且仅当9k ? 2 ,即k ? ? 时等号成立. k 3
2

当k ? 0时, AB ? 3, 综上所述, AB max ? 2. 所以当 AB 最大时,?AOB面积取最大值 1 3 3 S ? ? AB max ? ? 2 2 2

【点评】 ?1? 求高为定值的三角形的面积的最 大值,只需求边长AB的最大值,即AB弦 长的最大值,由弦长公式建立相应函数, 利用基本不等式求其最值.

? 2 ? 注意直线的特殊位置的检验.

1 备选题 已知定点A ? ?1,0 ?,F ? 2,0 ?,定直线l:x ? , 2 不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2 倍.设点P的轨迹为E,过点F的直线交E于B、C 两点, 直线AB、AC分别交l于点M 、N .

?1? 求轨迹E的方程; ? 2 ? 试判断以线段MN 为直径的圆是否过点F,
并说明理由.

解析:?1? 设P( x,y ),y ? 0, 1 则 ? x ? 2? ? y ? 2 | x ? | , 2 2 y 化简得x 2 ? ? 1( y ? 0). 3 ? 3), ? 2 ?当BC ? x轴,其方程为x ? 2,则B ? 2,3?,C (2,
2 2

1 3 AB的方程为y ? x ? 1,因此点M 的坐标为M ( , ), 2 2 ???? ? ???? ? 3 3 3 3 FM ? (? , ). 同理,可得 FM ? (? , ? ), 2 2 2 2 ???? ? ???? 因此, FM ? FN ? 0,即FM ? FN .

当BC与x轴不垂直时,设BC的方程为y ? k ? x ? 2 ? (k ? 0). y 与双曲线方程x ? ? 1联立,消去y, 3 得 ? 3 ? k 2 ? x 2 ? 4k 2 x ? ? 4k 2 ? 3? ? 0.
2 2

由题意知, 3 ? k 2 ? 0且? ? 0. 设B( x1,y1 ),C ( x2,y2 ), 4k 2 4k 2 ? 3 则x1 ? x2 ? 2 ,x1 x2 ? 2 , k ?3 k ?3 y1 y2 ? k 2 ? x1 ? 2 ?? x2 ? 2 ? ? k 2 ? ? x1 x2 ? 2 ? x1 ? x2 ? ? 4 ? ?
2 2 2 4 k ? 3 8 k ? 9 k ? k2( 2 ? 2 ? 4) ? 2 . k ?3 k ?3 k ?3

因为x1,x2 ? ?1, y1 所以直线AB的方程为y ? 1 ? x ? 1?. x ?1 ???? ? 3 y1 1 3 3y2 因此点M 的坐标为( , ), FM ? (? , 2 ), 2 2? x1 ? 1? 2 2? x ? 1? ???? 3 3y2 同理,可得 FN ? (? , 2 ), 2 2? x ? 1? ???? ? ???? 3 3 9 y1 y2 因此 FM ? FN ? (? ) ? (? ) ? 2 2 4? x1 ? 1?? x2 ? 1?

?9k 2 9? 2 9 k ?3 ? ? 4k 2 ? 3 4k 2 4 4? 2 ? 2 ? 1? k ?3 k ?3 9 9 ? ? ? 0, 4 4 ???? ? ???? 所以FM ? FN,即FM ? FN . 综上所述,以MN 为直径的圆必定过点F .

1 .对圆锥曲线中定值的计算,一般利用相关公 式或方程思想求解,如果求值对象有相关公式计 算( 如距离、斜率、面积等 ),并且公式中所需数 据可由已知或相关参变量表示,则套用公式求解, 或将求值对象看成一个未知数,根据已知条件建 立方程或方程组,再解方程求未知数的值. 2 .对圆锥曲线中定点的确立,通常求相应曲线 系(或直线系)方程,利用方程思想或曲线系(直线 系 ) 特征确定点或由特殊值确定一定点,再进行 一般性证明.

3 .圆锥曲线中最值问题的解法常用方法有几何

法、函数法或不等式法,其中几何法是根据图形
几何性质求解的方法;函数法是指将所求变量表

示成某个相关变量的函数,再求函数的最值;不
等式法是根据曲线性质及条件建立一个关于所求 变量的不等式,再解不等式,求其最值的方法.


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