nbhkdz.com冰点文库

2008年正弦定理与余弦定理单元练习卷


正弦定理与余弦定理单元练习卷
1. 符合下列条件的三角形有且只有一个的是 A.a=1,b=2 ,c=3 C.a=1,b=2,∠A=100° B.a=1,b= 2 ,∠A=30° D.b=c=1, ∠B=45°

2.在△ABC 中,已知三边 a、b、c 满足(a+b+c)·(a+b-c)=3ab, 则∠C= (A) 15° (B) 30° (C) 4

5° (D) 60° 3. 在△ABC 中,若

a A cos 2

=

b B cos 2

=

c C cos 2

,则△ABC 的形状是

(A) 等腰三角形

(B) 等边三角形

(C) 直角三角形

(D) 等腰直角三角形

4.在 ?ABC 中, AB ? 3 , BC ? 13 , AC ? 4 ,则边 AC 上的高 (A)

2 3 3

(B)

5. ?ABC 中, A ? (A) 4 3 sin ? B ? (C) 6sin ? B ?

?
3

3 3 2

(C)

3 2

(D) 3 3

, BC ? 3 ,则 ?ABC 的周长为 (B) 4 3 sin ? B ? (D) 6sin ? B ?

? ?

??

??3 3?

? ?

??

??3 6?

? ?

??

??3 3?

? ?

??

??3 6?

6. 若 ?ABC 的内角 A 满足 sin 2 A ?

2 ,则 sin A ? cos A ? 3
C.

A.

15 3

B. ?

15 3

5 3

D. ?

5 3

7. 如果 ?A B1C1 的三个内角的余弦值分别等于 ?A2 B2C2 的三个内角的正弦值,则 1 A.?A B1C1 和 ?A2 B2C2 都是锐角三角形 1 B.?A B1C1 和 ?A2 B2C2 都是钝角三角形 1 C. ?A B1C1 是钝角三角形, ?A2 B2C2 是锐角三角形 1 D. ?A B1C1 是锐角三角形, ?A2 B2C2 是钝角三角形 1 8.已知关于 x 的方程 x ? x cos A ? cos B ? 2sin
2 2

C ? 0 的两根之和等于两根之积的一半, 则 2
(D)等边三角形.

?ABC 一定是
(A)直角三角形 (B)钝角三角形 (C)等腰三角形 9.锐角△ ABC 中,若 A ? 2 B ,则 A. (1, 2) B. (1, 3)

a 的取值范围是 b
C. ( 2, 2) D. ( 2, 3)

10.在△ ABC 中,已知 ?B ? 60 ,最大边与最小边的比为
? ? ? ?

3 ?1 ,则三角形的最大角为 2
D. 115
?

A. 60

B. 75

C. 90

11.在 ?ABC 中,边 AB 为最长边,且 sin A ? sin B ?

2? 3 ,则 cos A ? cos B 的最大值是 4

2? 3 . 4
4. 【答案】因为 cos A ? cos B ? sin A ? sin B ? cos( A ? B) ? 1 ,易得 cos A ? cos B 的最大值



2? 3 . 4
A ? __________. 2

12.已知 ?ABC 的三个内角为 A、B、C 所对的三边为 a 、 b 、 c ,若 ?ABC 的面积为

S ? a2 ? (b2 ? c2 ) ,则 tan
【答案】 S ?

1 bc sin A , S ? a2 ? (b2 ? c2 ) , a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A , 2 A 2sin 2 1 1 1 ? cos A 2 ? tan A ∴ bc sin A ? 2bc ? 2bc cos A ,∴ ? ? A A 2 4 sin A 2 2sin cos 2 2
13. 在等腰三角形 ABC 中,已知 sinA∶sinB=1∶2,底边 BC=10,则△ABC 的周长是 50. 14.在△ABC 中,若∠B=30°, AB=2 3 , AC=2, 则△ABC 的面积是 2 3 或 3 . 15.在△ OAB 中, OA ? (2cos ? , 2sin ? ) , OB ? (5cos ? ,5sin ? ) ,若 OA ? OB ? ?5 ,则

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

△ OAB 的面积是

5 3 . 2

7 16. 在△ABC 中, 已知角 A、 C 所对的边分别是 a、 c, c= , tanA+tanB= 3 tanA· B、 b、 边 且 tanB 2 - 3 ,又△ABC 的面积为 S△ABC= 3 3 ,求 a+b 的值. 2

解: tanA+tanB= 3 tanA· 由 tanB- 3 可得

tan A ? tan B =- 3 , tan(A+B)=- 3 即 1 ? tan A ? tan B

∴tan(π -C)= - 3 , ∴-tanC=- 3 , ∴tanC= 3 ,∵C∈(0, π ), ∴C=

? 3

3 3 1 3 3 1 3 3 3 又△ABC 的面积为 S△ABC= ,∴ absinC= ,即 ab× = , ∴ab=6, 2 2 2 2 2 2 ? 7 2 2 2 2 2 2 又由余弦定理可得 c =a +b -2abcosC,∴( ) = a +b -2abcos 2 3 7 2 2 2 2 2 121 ∴( ) = a +b -ab=(a+b) -3ab,∴(a+b) = , ∵a+b>0, 2 4 11 ∴a+b= 2

17. 已知在四边形 ABCD 中,BC=a,DC=2a,四个角 A、B、C、D 度数的比为 3∶7∶4∶10, 求 AB 的长。 解:设四个角 A、B、C、D 的度数分别为 3x、7x、4x、10x,根据四边形的内角和有 3x+7x+4x+10x=360°。解得 x=15° ∴A=45°, B=105°, C=60°, D=150° 连结 BD,得两个三角形△BCD 和△ABD 在△BCD 中,由余弦定理得 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 BD =BC +DC -2BC·DC·cosC=a +4a -2a·2a· =3a ,∴BD= 3 a.这时 DC =BD +BC ,可得△ 2 BCD 是以 DC 为斜边的直角三角形。∴∠CDB=30°, 于是∠ADB=120°在△ABD 中,由正弦定

BD ? sin ?ADB 3a sin ?120? 理有 AB= = = sin A sin 45?

3a ?

3 2 = 3 2a 2 2 2

∴AB 的长为

3 2a 2

18.在 ?ABC 中,已知 A ? C ? 2 B , tan A ? tanC ? 2 ? 3 ,求 A、B、C 的大小,又知顶 点 C 的对边 C 上的高等于 4 3 ,求三角形各边 a、b、c 的长.

C a

A

D

B

由已知 A ? C ? 2 B ,及 A ? B ? C ? 180? ? B ? 60?, 由 tan( A ? C ) ?

A ? C ? 120?

tan A ? tan C 及 tan(A ? C) ? ? 3, tan A ? tanC ? 2 ? 3 1 ? tan A tan C

得 tan A ? tanC ? 3 ? 3 ,以 tan A, tanC 为一元二次方程

x 2 ? (3 ? 3) x ? 2 ? 3 ? 0 的两个根,解方程,得
?t an A ? 1 ?t an A ? 2 ? 3 ? A ? 45? ? A ? 75? 或? 或? ?? ? ?C ? 75? ?C ? 45? ?t anC ? 2 ? 3 ?t anC ? 1
若 A ? 45?, C ? 75? ,则 a ? 4 3 ? 8 , b ? 4 3 ? 4 6 ,

sin 60?

sin 45?

c?

a sin C 8 sin 75? ? ? 4( 3 ? 1) sin A sin 45?

若 A ? 75?, C ? 45? ,则 a ? 4 3

sin 60?

? 8, b ?

4 3 ? 4 6 ( 3 ? 1) ? 4(3 2 ? 6 ) sin 75?

c?

b sin C ? 8( 3 ? 1) sin B

19. 已知锐角三角形 ABC 中, sin( A ? B ) ?

3 1 , sin( A ? B ) ? . 5 5

(1)求证 tan A ? 2 tan B ; (2)设 AB ? 3 ,求 AB 边上的高.

3 ? sin A cos B ? cos A sin B ? ? 3 1 ? 5 (1)证明:因为 sin( A ? B ) ? , sin( A ? B ) ? ,所以 ? , 1 5 5 ?sin A cos B ? cos A sin B ? ? 5 ? 2 ? ?sin A cos B ? 5 tan A ? ? 2 .所以 tan A ? 2 tan B ?? ,? tan B ?cos A sin B ? 1 ? 5 ?
3 3 ? A ? B ? ? , sin( A ? B) ? , 所以 tan( A ? B) ? ? , 2 5 4 tan A ? tan B 3 ? ? ,将 tan A ? 2 tan B 代入上式并整理得 即 1 ? tan A tan B 4
(2)因为

?

2 tan 2 B ? 4 tan B ?1 ? 0 .解得 tan B ?

2? 6 2? 6 ,舍去负值得 tan B ? , 2 2

从而 tan A ? 2 tan B ? 2 ? 6 .设 AB 边上的高为 CD. 则 AB ? AD ? DB ?

CD CD 3CD ? ? ,由 AB=3,得 CD= 2 ? 6 , tan A tan B 2 ? 6

所以 AB 边上的高等于 2 ? 6 20. 在 ?ABC 中, a, b, c 分别为角 A, B, C 的对边,且 4sin (1)求 ? A 的度数 (2)若 a ? 3 , b ? c ? 3 ,求 b 和 c 的值
2

B?C 7 ? cos 2 A ? 2 2

2 ?1 ? cos( B ? C )? ? 2 cos 2 A ? 1 ? 2 ?1 ? cos ? ? ? 2 cos 2 A ? 1 ? 7 2

7 2 1 2 0? A?

∴ cos A ?

?
3

b ?c ?a 1 2 ? ? b ? c ? ? a 2 ? 3bc 将 a ? 3, b ? c ? 3 代 入 得 bc ? 2, 由 2bc 2 b ? c ? 3 及 bc ? 2 ,得 b ? 1, c ? 2 或 b ? 2, c ? 1 . cos A ?
2 2 2

21. 已知圆 O 的半径为 R,它的内接三角形 ABC 中,

2R(sin 2 A ? sin 2 C) ? ( 2a ? b) sin B成立,求??BC面积S的最大值。

分析:观察已知等式的结构特征可知,先用正弦定理将角转化为边,再用余弦定理求 cosC, 得出角 C 后,利用正弦定理,将面积 S 表示为某角的三角函数形式,再求最值。 解: ?2R(sin 2 A ? sin 2 C) ? ( 2a ? b) sin B ,
? (2R) 2 sin 2 A ? (2R) 2 sin 2 C ? ( 2a ? b)2R sin B 由正弦定理得a 2 ? c 2 ? ( 2a ? b) b , 即a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2ab ,
由余弦定理得 cos C ? ?S ? ? a 2 ? b2 ? c2 2 ab 2 ? ? ? ,?0 ? C ? ? , ? C ? 2ab 2ab 2 4

1 2 2 2 2 ab sin C ? ab ? ? 4 R 2 ? sin A ? sin B ? R [cos(A ? B) ? cos(A ? B)] 2 4 4 2

2 2 3 2 2 2 R [cos(A ? B) ? cos ? ] ? R [cos( A ? B) ? ] 2 4 2 2 2 ?1 2 R 2

? 当A ? B时,S有最大值


2008年正弦定理与余弦定理单元练习卷

2008年正弦定理与余弦定理单元练习卷_数学_高中教育_教育专区。正弦定理与余弦定理单元练习卷 1. 符合下列条件的三角形有且只有一个的是 A.a=1,b=2 ,c=3 C...

《正弦定理、余弦定理》单元测试题

正弦定理余弦定理单元测试题_数学_小学教育_教育专区。高一数学《正弦定理余弦定理单元测试题(1) 班级 A.1 B. 2 姓名 ) D. 3 C.3 2 ) D.30...

正弦定理和余弦定理习题及答案

正弦定理和余弦定理习题及答案_高二数学_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档正弦定理和余弦定理习题及答案_高二数学_数学_高中教育_教育...

正弦定理和余弦定理测试题

正弦定理和余弦定理测试题_数学_高中教育_教育专区。正弦定理和余弦定理测试题 文理科 带答案正弦定理和余弦定理测试题 1.若△ABC 的内角 A、B、C 所对的边 a...

正弦定理、余弦定理单元测试及答案

正弦定理余弦定理单元测试及答案_数学_高中教育_教育专区。正弦定理、余弦定理一、选择题 1.在△ABC 中,已知 a ? 5 2 , c ? 10, A ? 30?, 则 B= ...

正弦定理余弦定理习题及答案

正弦定理余弦定理习题及答案_数学_高中教育_教育专区。正余弦定理 A ? B 是 ...文档贡献者 chenqunzy 贡献于2016-08-06 1/2 相关文档推荐 正弦与余弦定理...

正弦定理和余弦定理测试题(新课标)

正弦定理和余弦定理测试题(新课标)_高一数学_数学_高中教育_教育专区。正弦定理和余弦定理测试题 新课标) 正弦定理和余弦定理测试题(新课标) 测试一、选择题 1....

正弦定理和余弦定理练习题(新课标)

正弦定理和余弦定理中等难度练习题正弦定理和余弦定理中等难度练习题隐藏>> 正弦定理和余弦定理练习题一、选择题 1、在△ABC 中, a ? ? , b ? A.0 ? B....

正弦定理和余弦定理测试题(用)

正弦定理和余弦定理测试题姓名:一、选择题 1. 在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,A= A. 1 B. 2 C. 高一(8)班用 得分: ? ,a= 3 ...

正弦定理余弦定理习题及答案

正弦定理余弦定理习题及答案_初三数学_数学_初中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档正弦定理余弦定理习题及答案_初三数学_数学_初中教育_教育专区。...