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《函数的单调性和奇偶性》经典例题

时间:2016-12-23


类型二、求函数的单调区间
2. 判断下列函数的单调区间; (1)y=x2-3|x|+2; (2) 解:(1)由图象对称性,画出草图

∴f(x)在

上递减,在

上递减,在

上递增.

(2) ∴图象为

∴f(x)在 举一反三: 【变式 1】求下列函数的单调区间:

上递增.

(1)y=|x+1|; (2)

(3)

.

解:(1) ∴函数的减区间为

画出函数图象, , 函数的增区间为(-1, +∞);

(2)定义域为

, 其中 u=2x-1 为增函数,

1

在(-∞,0)与(0,+∞)为减函数,则

上为减函数;

(3)定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),

单调增区间为:(-∞,0),单调减区间为(0,+∞).

类型三、单调性的应用(比较函数值的大小,求函数值域,求函数的最大值或最小值)
3. 已知函数 f(x)在(0,+∞)上是减函数,比较 f(a2-a+1)与

的大小.

解:

又 f(x)在(0,+∞)上是减函数,则

.

4. 求下列函数值域:

(1)



1)x∈[5,10]; 2)x∈(-3,-2)∪(-2,1); 1)x∈[-1,1]; 2)x∈[-2,2].

(2)y=x2-2x+3;

1)f(x)在[5,10]上单增,



2) (2)画出草图



1)y∈[f(1),f(-1)]即[2,6]; 举一反三:

2)

.

【变式 1】已知函数 (1)判断函数 f(x)的单调区间;

.

2

(2)当 x∈[1,3]时,求函数 f(x)的值域.

解:(1)

上单调递增,在

上单调递增;

(2)

故函数 f(x)在[1,3]上单调递增

∴x=1 时 f(x)有最小值,f(1)=-2

x=3 时 f(x)有最大值

∴x∈[1,3]时 f(x)的值域为

.

5. 已知二次函数 f(x)=x2-(a-1)x+5 在区间 的取值范围.

上是增函数, 求: (1)实数 a 的取值范围; (2)f(2)

解:(1)∵对称轴

是决定 f(x)单调性的关键,联系图象可知

只需



(2)∵f(2)=22-2(a-1)+5=-2a+11 又∵a≤2,∴-2a≥-4 ∴f(2)=-2a+11≥-4+11=7 举一反三: .

【变式 1】 (2011 北京理 13)已知函数 不同的实根,则实数 k 的取值范围是________.

,若关于 x 的方程

有两个

解: 由图象知,若

单调递减且值域(0,1],

单调递增且值域为



有两个不同的实根,则实数 k 的取值范围是(0,1).

类型四、判断函数的奇偶性
3

6. 判断下列函数的奇偶性:

(1)

(2)

(3)f(x)=x2-4|x|+3

(4)f(x)=|x+3|-|x-3|

(5)

(6

(7) 解:(1)∵f(x)的定义域为 (2)∵x-1≥0,∴f(x)定义域 ,不关于原点对称,因此 f(x)为非奇非偶函数; 不关于原点对称,∴f(x)为非奇非偶函数;

(3)对任意 x∈R,都有-x∈R,且 f(-x)=x2-4|x|+3=f(x),则 f(x)=x2-4|x|+3 为偶函数 ; (4)∵x∈R,f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x),∴f(x)为奇函数;

(5)

,∴f(x)为奇函数; (6)∵x∈R,f(x)=-x|x|+x ∴f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x),∴f(x)为奇函数;

(7) 举一反三: 【变式 1】判断下列函数的奇偶性: (1) ; (2)f(x)=|x+1|-|x-1|; (3)f(x)=x2+x+1;

,∴f(x)为奇函数.

(4)

.

思路点拨:利用函数奇偶性的定义进行判断. 解:(1) (2)f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x) ∴f(x)为奇函数; (3)f(-x)=(-x)2+(-x)+1=x2-x+1 ∴f(-x)≠-f(x)且 f(-x)≠f(x) ∴f(x)为非奇非偶函数; (4)任取 x>0 则-x<0,∴f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-(-x2+2x+1)=-f(x) 任取 x<0,则-x>0 f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-(x2+2x-1)=-f(x)
4



x=0 时,f(0)=-f(0) ∴x∈R 时,f(-x)=-f(x) ∴f(x)为奇函数.

类型五、函数奇偶性的应用(求值,求解析式,与单调性结合)
7.已知 f(x)=x5+ax3-bx-8,且 f(-2)=10,求 f(2). 解:法一:∵f(-2)=(-2)5+(-2)3a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=10 ∴8a-2b=-50 ∴f(2)=25+23a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26 法二:令 g(x)=f(x)+8 易证 g(x)为奇函数 ∴g(-2)=-g(2) ∴f(-2)+8=-f(2)-8 ∴f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26. 举一反三: 【变式 1】 (2011 湖南文 12)已知 解: 为奇函数, ,又 为奇函数,所以 ,则 为: .

8. f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x<0 时,f(x)=x2-x,求当 x≥0 时,f(x)的解析式,并画出 函数图象. 解:∵奇函数图象关于原点对称, ∴x>0 时,-y=(-x)2-(-x)

即 y=-x2-x 又 f(0)=0,

,如图

9.设定义在[-3,3]上的偶函数 f(x)在[0,3]上是单调递增,当 f(a-1)<f(a)时,求 a 的取值范围. 解:∵f(a-1)<f(a) ∴f(|a-1|)<f(|a|) 而|a-1|,|a|∈[0,3]

.

类型六、综合问题
10. 定义在 R 上的奇函数 f(x)为增函数, 偶函数 g(x)在区间 的图象与 f(x)的图象重合,
5

设 a>b>0,给出下列不等式,其中成立的是_________. ①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b); ②f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b);③f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a); ④f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a). 答案:①③. 11. 求下列函数的值域: (1) (2) (3)

思路点拨:(1)中函数为二次函数开方,可先求出二次函数值域;(2)由单调性求值域,此题也可换 元解决;(3)单调性无法确定,经换元后将之转化为熟悉二次函数情形,问题得到解决,需注意此时 t 的范围. 解:(1) ;

(2)

经观察知,





(3)令

.

12. 已知函数 f(x)=x2-2ax+a2-1. (1)若函数 f(x)在区间[0,2]上是单调的,求实数 a 的取值范围; (2)当 x∈[-1,1]时,求函数 f(x)的最小值 g(a),并画出最小值函数 y=g(a)的图象. 解:(1)∵f(x)=(x-a)2-1 ∴a≤0 或 a≥2 (2)1°当 a<-1 时,如图 1,g(a)=f(-1)=a2+2a

2°当-1≤a≤1 时,如图 2,g(a)=f(a)=-1

3°当 a>1 时,如图 3,g(a)=f(1)=a2-2a

6

,如图

13. 已知函数 f(x) 在定义域 (0 , + ∞ ) 上为增函数, f(2)=1 ,且定义域上任意 x 、 y 都满足 f(xy)=f(x)+f(y),解不等式:f(x)+f(x-2)≤3. 解:令 x=2,y=2,∴f(2×2)=f(2)+f(2)=2 ∴f(4)=2 再令 x=4,y=2,∴f(4×2)=f(4)+f(2)=2+1=3 ∴f(8)=3 ∴f(x)+f(x-2)≤3 可转化为:f[x(x-2)]≤f(8)

.

14. 判断函数 证明:任取 0<x1<x2,

上的单调性,并证明.

∵0<x1<x2,∴x1-x2<0,x1·x2>0 (1)当 时

0<x1·x2<1,∴x1·x2-1<0 ∴f(x1)-f(x2)>0 即 f(x1)>f(x2)
7

上是减函数. (2)当 x1,x2∈(1,+∞)时,

上是增函数. 15. 设 a 为实数,函数 f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R,试讨论 f(x)的奇偶性,并求 f(x)的最小值. 解:当 a=0 时,f(x)=x2+|x|+1,此时函数为偶函数; 当 a≠0 时,f(x)=x2+|x-a|+1,为非奇非偶函数.

(1)当 x≥a 时,

[1]



[2]

上单调递增, 上的最小值为 f(a)=a2+1.

(2)当 x<a 时,

[1]

上单调递减, 上的最小值为 f(a)=a2+1

[2]

上的最小值为

综上:

.
8


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