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安徽省淮南二中2009届高三第四次月考数学(理科)试卷


安徽省淮南二中2009届高三第四次月考数学(理科)试卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的 1.若不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 的解集 ? x | ?
2

? ?

1 1? ? x ? ? 则 a-b 值是 2 3?

/>C.10 D.14

A.-10

B.-14

2.已知 P 1 P ? 2 | PP 2 | ,则点 P 坐标是 1 ?2,?1?, P 2 ?0,5?且点 P 在 P 1 P2 延长线上,使 P A. (-2,11) B (

4 ,3) 3

C (

2 ,3) 3

D (2,-7)

3.下列命题错误的有几个 (1) .命题“若 x 2 ? 3x ? 2 ? 0, 则x ? 1 ”是逆命题为“若 x ? 1, 则x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ” (2) .对于命题 p : ?x ? R, 使得x 2 ? x ? 1 ? 0,

则?p为 : ?x ? R, 均有x 2 ? x ? 1 ? 0
(3) .若 p ? q 为假命题,则 p,q 均为假命题 (4) .“x>2”是“ x ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件
2

A. 1 C. 3

B. 2 D. 4

4.右图给出了下一个算法流程图,该算法流程图的功能是 A.求 a,b,c 三数的最大数 B.求 a,b,c 三数的最小数 C.将 a,b,c 按从小到大排列 D.将 a,b,c 按从大到小排列

q

5.已知函数 y ? x p ( p, q 互质)的图象如图,则 A. p, q 均为奇数 B. p 是奇数, q 是偶数且 0 ?

q ?1 p q ?1 p

C. p 是偶数, q 是奇数

D. p 是奇数, q 是偶数且

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6.已知点 A、B、C 是直线 l 上不同的三个点,点 O 不在直线 l 上,则关于 x 的方程

x2 OA ? xOB ? AC ? 0 的解集为
A. ? B.

??1?

C. ?

? ? ?1 ? 5 ?1 ? 5 ? ? , ? 2 ? ? 2 ? ?

D. ??1,0?

7.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? n3 ,则 a6 ? a7 ? a8 ? a9 等于 A.729 B. 387 C. 604 D. 854

8.已知以 x, y 为自变量的目标函数 ? ? kx ? y (k ? 0) 的可行域 如图阴影部分(含边界) ,若使 ? 取最大值时的最优解有无穷多个, 则 k 的值为 A.1 B.

3 2

C.2

D.4

9 如图,非零向量 OA ? a, OB ? b且BC ? OA, C为垂足, 若OC ? ? a, 则? ? A.

a ?b | a |2 a ?b |b|
2

B.

| a |?|b | |a| |b|

C.

D.

a ?b a ?b

10.要得到函数 y ? sin(

?
3

? 2 x) 的图象,只需将函数 y ? cos 2 x 的图象

? 个单位 6 ? C.向左平移 个单位 6
A.向右平移

? 个单位 12 ? D.向左平移 个单位 12
B.向右平移

11.锐角三角形 ABC 中,若 ?C ? 2?B, 则 A. (0,2) B. ( 2 ,2 )

AB 的范围是 AC
C. ( 2, 3 ) D. ( 3 ,2 )

12.若 a?0,b?0,则不等式-b?

1 ?a 等价于 x 1 1 ?x? a b 1 1 D.x? - 或 x? b a
B.-

1 1 ?x?0 或 0?x? b a 1 1 C.x?- 或 x? a b
A. -

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二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。将答案填在答题卡上) 13.如图,测量河对岸的塔高 AB 时,可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与 D . 测得 ?BCD ? 150,?BDC ? 300,CD ? 30 米,并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 60 ,则塔高 14.设 m 为实数,
0



? ? x ? 2 y ? 5 ≥ 0? ? ? ? 2 2 若 ?( x,y ) ?3 ? x ≥ 0 ? ? ( x,y ) x ? y ≤ 25 , ? ? ? ?mx ? y ≥ 0 ? ?

?

?

则 m 的取值范围是

. .

15. 对?k ? R, 关于x的不等式(1 ? k 2 ) x ? k 4+4的正整数解 是

16. 设a、b、c ? R, 若a ? b ? c ? 1, a 2 ? b2 ? c 2 ? 1, 且a ? b ? c ,

则c的取值范围是 ____________
三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (12 分) 等比数列 {a n } 同时满足下列三个条件: (1) a 1 ? a 6 ? 11 (2) a 3 ? a 4 ? 三个数

32 9

(3)

2 4 2 a2, a3 , a 4 ? 成等差数列。 试求数列 {a n } 的通项公式. 3 9

18 . (12 分) 已知 A 、B 、 C 为 Δ ABC 的三个内角, OM

? (sin B ? cos B, cosC) ,

ON ? (sin C, sin B ? cos B) .
(Ⅰ)若 OM ? ON ? 0 求角 A; (Ⅱ)若 OM

? ON ? ?

1 ,求 tan 2 A . 5

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19.(12 分)某汽车厂有一条价值为 a 万元的汽车生产线,现要通过技术改造来提高该生产 线的生产能力,提高产品的增加值,经过市场调查,产品的增加值 y 万元与技术改造投入 x 万元之间满足:①y 与(a-x)和 x 的乘积成正比;②当 x ?
2

a x 3 时,y=a ; ③ ? ?0, t ?, 2 2(a ? x)

其中 t 是常数,且 t ? ?0,2? (1)设 y=f(x),求 f(x)的表达式及定义域,其中定义域用 a 和 t 表示; (2)求出产品增加值 y 的最大值及相应的 x 的值。

0 ? ≤ ) 的图象与 y 20. (12 分)如图,函数 y ? 2 cos ? x cos ? ? 2sin ? x sin ? , ( x ? R,≤
轴交于点 (0,3) ,且在该点处切线的斜率为 ?2 . (1)求 ? 和 ? 的值; (2) 已知点 A ? , 点 P 是该函数图象上一点, 点 Q( x0,y0 ) 0? ,

π 2

y

3
O
A

P

?π ?2

? ?

x

是 PA 的中点,当 y0 ?

3 ?π ? , x0 ? ? ,π ? 时,求 x0 的值. 2 ?2 ?

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21. (12 分)在 1 与 2 之间插入 n 个正数 a1 , a2 , a3 ,..., an ,使这 n+2 个数成等比数列;又在 1 与 2 之 间 插 入 n 个 正 数 b1 , b2 , b3 , . . .n b ,,使这个 n+2 个数成等差数列。记 An= a1 ? a2 ? a3 ? ... ? an ,Bn= b1 ? b2 ? b3 ? ... ? bn (1)求数列 ?An ?和 ?Bn ?的通项; (2)当 n≥7 时,比较 ?An ?和 ?Bn ?的大小,并证明你的结论。

22. (14 分)已知函数 f ( x) 与 g ( x) ? a ln x ? x 2 (a 为常数)的图象关于直线 x=1 对称,x=1 是 f ( x) 的一个极值点. (1)求出函数 f ( x) 的表达式和单调区间; (2) 若已知当 x ? [?2,?1] 时, 不等式 ln[4 ? 2 x ? f ?( x)] ? m ? ln(? x) ? ? ln[4 ? 2 x ? f ?( x)] 恒成立,求 m 的取值范围.

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安徽省淮南二中高三 2009 届第四次月考试题 参考答案(理科)
一) :选择题: (60 分) 题号 答案 1 A 2 A 3 B 4 B 5 B 6 A 7 C 8 A 9 A 10 D 11 C 12 D

二) :填空题: (16 分) 13—— 15 6 ———— 14—— m ? [0, ] ———

4 3

15——1 , 2————

(? , 0) 16——— ——
三) :解答题(74 分) 17 题(12 分)

1 3

1 32 ? ? ? a1 ? 3 ?a 1 ? 3 ? ? a1 ? a6 ? 11 ? 32 ? 1 ? ? 解: a 1 ? a 6 ? a 3 ? a 4 , ? 或 ?a 6 ? 32 ? ? a6 ? 3 ? 3 a1 ? a6 ? ? ? 9 ? 1 ?q ? 2 ? ? ?q ? 2 ? ?
2 4 2 4 2 2 ? a 2 ? a 4 ? ????① a2, a3 , a 4 ? 成等差数列,? 2a 3 3 9 3 9 1 2 4 8 当 a 1 ? 时, a 2 ? a 1q ? ? a 3 ? , a 4 ? 代入① 3 3 3 3 4 2 2 2 8 4 1 ? 2( ) ? ? ? ? (成立), ? a n ? a 1q n ?1 ? ? 2 n ?1. 3 3 3 3 9 3
又?

32 ? a1 ? ? ? 3 当? 时, 不成立. ?q ? 1 ? 2 ?

18 题(12 分) 解:(Ⅰ)由已知 OM ? ON ? 0 得: (sin B ? cos B) sin C ? cos C (sin B ? cos B) ? 0 化简得 sin(B ? C ) ? cos(B ? C ) ? 0 即 sin A ? cos A ? 0 .

第 6 页 共 10 页

? tan A ? ?1 而 A ? (0, ? ) ? A ?
(Ⅱ) OM ? ON ? ?

3? 4

1 1 1 sin(B ? C) ? cos(B ? C) ? ? ?sin A ? cos A ? ? 5 5 5 24 24 ? 平 方 得 : 2 sin A cos A ? ? ? ? ? 0? A ? ( , ? ) 25 25 2 7 sin A ? cos A ? 1 ? 2 sin A cos A ? 5 3 ? 3 4 3 2 ? ? 24 联立得: sin A ? , cos A ? ? ? tan A ? ? , ? tan 2 A ? 9 7 5 5 4 1? 16
19 题(12 分) (1)设 y=f(x)=k(a-x)x ∵当 x ?
2



a2 a a 3 3 ? ∴k=8 时,y=a ,即 a ? k 2 4 2
2

∴f(x)=8(a-x)·x ∵0 ?

x ?t 2(a ? x)
2at 】 2t ? 1 2a 3

∴函数的定义域是( 0,
2

(2)f’(x)=-24x +16ax,令 f’(x)=0,则 x=0(舍) ,x=

当 0<x<

2a 2a ) 上是增函数 时,f’(x)>0,∴f(x)在 (0, 3 3

当 x>

2a 2a ,?? ) 上是减函数 时,f’(x)<0,∴f(x)在 ( 3 3 2a 为极大值点 3

所以 x=



2at 2a 2a 32 3 ? a 时,即 1≤t≤2, y max ? f ( ) ? 2t ? 1 3 3 27 2at 2a 2at 32a 3t 2 ? 时,即 0<t<1, y max ? f ( )? 2t ? 1 3 2t ? 1 (2t ? 1) 3 2a 32 3 a 万元,最大增加值 3 27



综上:当 1≤t≤2 时,投入

当 0<t<1 时,投入

2at 32a 3 t 2 万元,最大增加值 2t ? 1 (2t ? 1) 3

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20 题(12 分) (1)由 y ? 2cos ? x cos? ? 2sin? x sin? ,得 y ? 2cos(? x ? ? ) 。将 x ? 0 , y ? 3 代入 函数 y ? 2cos(? x ? ? ) 得 cos ? ? 因为 0 ≤ ? ≤

3 , 2

? ? ,所以 ? ? . 2 6
x?0

又因为 y? ? ?2? sin(? x ? ? ) , y? 因此 y ? 2cos ? 2 x ?

? ?2 , ? ?

? ,所以 ? ? 2 , 6

? ?

?? ?. 6? ? ? 3 , 2

(2)因为点 A ? , 0 ? , Q( x0,y0 ) 是 PA 的中点, y0 ?

?? ?2

所以点 P 的坐标为 ? 2 x0 ?

? ?

? ? ,3 ? . 2 ? ?? 5? ? 3 ? . ? 的图象上,所以 cos ? 4 x0 ? ? ? 6? 6 ? 2 ?

又因为点 P 在 y ? 2cos ? 2 x ? 因为

? ?

? 7? 5? 19? ≤ x0 ≤ ? ,所以 ≤ 4 x0 ? ≤ , 2 6 6 6 5? 11? 5? 13? ? ? 从而得 4 x0 ? 或 4 x0 ? . 6 6 6 6 2? 3? 即 x0 ? 或 x0 ? . 3 4
21 题(12 分) 解:(1)因为 1, a1 , a2 所以 a1 ? an ? a2 ? an?1 ?
2

, an , 2 成等比数列。
? ak ? an?1?k ? ? 1? 2 ? 2

所以 An = (a1 ? an ) ? (a2 ? an?1 )
n

(an ? a1 ) ? 2n

所以 An= 2 2 因为 1, b1 , b2 , b3 ,..., bn ,2 成等差数列,所以 b1 ? b2 =1+2=3 所以 Bn=

b1 ? bn 3 ·n= n 2 2

第 8 页 共 10 页

所以数列 ?An ?的通项为 An= 2 , ?Bn ?的通项为 Bn=
x

n 2

3 n 2
7

(2)构造函数 f(x)= 2 2 -
x

3 21 x(x≥7) ,则 f (7) = 2 2 - >0 2 2
7 5

又因为 f′ (x)=

1 1 1 ( 2 2 ln2-3) > ( 2 2 ln e -3)= ( 2 2 -3)>0 2 2 2

所以 f (x)在 [7,+∞]上单调递增。于是 f (x)≥f (7) >0
n 2

故有 f (n) >0,即 2

3 > 2

n,也就是 An>Bn(n≥7)

22 题(14 分) 解: (1)设 P(x,y)是函数 f ( x) 的图象上任意一点,则容易求得 P 点关于直线 x=1 的对 称点为 Q(2 ? x, y),依题意点 Q(2 ? x, y)在g ( x) 的图象上,

? y ? a ln(2 ? x) ? (2 ? x) 2 .? f ( x) ? a ln(2 ? x) ? (2 ? x) 2 .??????2 分
? f ?( x) ? ?a ? 2(2 ? x). 2? x

? x ? 1是f ( x) 的一个极值点,? f ?(1) ?

?a ? 2(2 ? 1) ? 0, 解得 a ? 2. 2 ?1

?函数f ( x)的表达式是 f ( x) ? 2 ln(2 ? x) ? (2 ? x) 2 ( x ? 2).
? f ?( x) ? ?2 ( x ? 1)( x ? 3) ? 2(2 ? x) ? ? ? ? . 2? x x?2

?函数f ( x)的定义域为 (??,2),? f ( x)只有x ? 1一个极值点 , 且显然当x ? 1时, f ?( x) ? 0;当 1 ? x ? 2时, f ?( x) ? 0.
?函数f ( x)的单调递增区间是 (??,1];单调递减区间是 [1,2).
(2) 由 x ? [?2,?1] 时, 不等式 ln[4 ? 2 x ? f ?( x)] ? m ? ln(? x) ? ? ln[4 ? 2 x ? f ?( x)] 恒

2 2 ? m ? ln(? x) ? ln . 2? x 2? x 2 x( x ? 2) 即: ln ? m ? ln 在x ? [?2, ?1] 时恒成立. 2? x 2 ? 2x x( x ? 2) ? 只需求出 ln 在x ? [?2,?1]时的最大值和 ln 在x ? [?2,?1] 时的最小 2? x 2
成立, 得 ln(? x) ? ln 值,即可求得 m 的取值范围.
第 9 页 共 10 页

? ln

? 2x 4 4 ? ln(2 ? ) ? ln(2 ? ) ? 0(当x ? [?2,?1]时); 2? x x?2 ?2?2 x( x ? 2) ( x ? 1) 2 ? 1 (?1 ? 1) 2 ? 1 3 ln ? ln ? ln ? ln (当x ? [?2,?1]时). 2 2 2 2

3 ? m的取值范围是 (0, ln ). 2

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