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2015高考理科数学《数列的综合应用》练习题


2015 高考理科数学《数列的综合应用》练习题
[A 组 一、选择题 1.已知数列{an},{bn}满足 a1=1,且 an,an+1 是函数 f(x)=x2-bnx+2n 的两个零点,则 b8+a9 =( ) A.24 C.48 B.32 D.64
n
2 2 3

基础演练·能力提升]

解析:依题意有,a

n+an+1=bn,an·an+1=2 ,又 a1=1,故 a2=2,a3=2,a4=2 ,a5=2 ,a6=2 ,

a7=23,a8=24,a9=24,故 b8+a9=(a8+a9)+a9=a8+2a9=3×24=48.
答案:C 2.已知数列{an}为等差数列,数列{bn}是各项为正数的等比数列,其公比 q≠1,若 a4 =b4,a12 =b12,则( A.a8=b8 C.a8<b8 ) B.a8>b8 D.a8>b8 或 a8<b8

解析:∵{bn}为等比数列,其公比 q≠1,∴b4≠b12, ∴a4≠a12,∴a8= 答案:B 3.已知正项等差数列{an}满足:an+1+an-1=a2 n(n≥2),等比数列{bn}满足:bn+1bn-1=2bn(n≥2), 则 log2(a2+b2)=( A.-1 或 2 C.2 ) B. 0 或 2 D.1

a4+a12
2

>

a4a12=

b4b12=b8.

解析:由题意可知,an+1+an-1=2an=a2 n,解得 an=2(n≥2)(由于数列{an}每项都是正数),又 bn
+1

bn-1=b2 n=2bn(n≥2),所以 bn=2(n≥2),log2(a2+b2)=log24=2.
答案:C 4.(2013 年高考辽宁卷)下面是关于公差 d>0 的等差数列{an}的四个命题:

P1:数列{an}是递增数列; P2:数列{nan}是递增数列; an P3:数列{ }是递增数列; n
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P4:数列{an+3nd}是递增数列.
其中的真命题为( A.p1,p2 C.p2,p3 ) B.p3,p4 D.p1,p4

解析:设 an=a1+(n-1)d=dn+a1-d,它是递增数列,所以 p1 为真命题;若 an=3n-12,则满

an 1 足已知,但 nan=3n2-12n 并非递增数列,所以 p2 为假命题;若 an=n+1,则满足已知,但 =1+ 是 n n
递减数列,所以 p3 为假命题;设 an+3nd=4dn+a1-d,它是递增数列,所以 p4 为真命题. 答案:D 5.(2014 年保定调研)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,且 acos C,bcos B,

ccos A 成等差数列,若 b= 3,则 a+c 的最大值为(
A. 3 2 B.3 D.9

)

C.2 3

解析:∵acos C,bcos B,ccos A 成等差数列, ∴2bcos B=acos C+ccos A, 1 ?a+c? 2 ? = ∴ cos B = , b2 = a2 + c2 - 2accos B = (a + c)2 - 3ac≥(a + c)2 -3· ? 2 ? 2 ? 3≥

a+c
4

2

,即

a+c
4

2

,当且仅当 a=c 时,等号成立,

∴a+c≤2 3. 答案:C 1 6.若关于 x 的方程 x2-x+a=0 与 x2-x+b=0(a≠b)的四个根组成首项为 的等差数列,则 a 4 +b 的值是( A. C. 3 8 13 24 ) B. D. 11 24

31 72

解析:设两个方程的根分别为 x1、x4 和 x2、x3. 1 3 5 7 因为 x1+x4=x2+x3=1,所以 x1= ,x4= ,从而 x2= ,x3= . 4 4 12 12
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则 a=x1x4= 答案:D 二、填空题

3 35 35 3 3 35 31 ,b=x2x3= ,或 a= ,b= ,∴a+b= + = . 16 144 144 16 16 144 72

7.(2013 年高考重庆卷)已知{an}是等差数列,a1=1,公差 d≠0,Sn 为其前 n 项和,若 a1,a2,

a5 成等比数列,则 S8=________.
解析:因为{an}为等差数列,且 a1,a2,a5 成等比数列,所以 a1(a1+4d)=(a1+d)2,解得 d=2a1 =2,所以 S8=64. 答案:64 8. 《九章算术》之后,人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题, 《张丘建算经》卷上 第 22 题为:“今有女善织,日益功疾,且从第 2 天起,每天比前一天多织相同量的布,若第 一天织 5 尺布,现在一月(按 30 天计),共织 390 尺布”,则每天比前一天多织________尺布.(不作近似计 算) 解析:由题意知,a1=5,n=30,Sn=390 =30×5+ 答案: 16 29 30×29 16 d?d= . 2 29

9.(2014 年合肥模拟)已知数列{an}满足 anan+1an+2an+3=24,且 a1=1,a2=2,a3=3,则 a1+a2 +a3+?+a2 013=________. 解析:由 anan+1an+2an+3=24 可知,an+1an+2an+3·an+4=24,得 an+4=an,所以数列{an}是周期为 4 的数列,再令 n=1,求得 a4=4,每四个一组可得(a1+a2+a3+a4)+?+(a2 009+a2 010+a2 011+a2 012)+

a2 013=10×503+1=5 031.
答案:5 031 三、解答题 3 10.(2014 年大同模拟) 已知公比为 q 的等比数列{an}的前 6 项和 S6=21,且 4a1, a2,a2 成等差 2 数列. (1)求 an; (2)设{bn}是首项为 2,公差为-a1 的等差数列,其前 n 项和为 Tn,求不等式 Tn-bn>0 的解集. 3 解析:(1)∵4a1, a2,a2 成等差数列,∴4a1+a2=3a2, 2
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即 4a1=2a2,∴q=2. 则 S6=

a1

-26 1-2

1 2n-1 =21,解得 a1= ,∴an= . 3 3

1 (2)由(1)得-a1=- , 3 ? 1? 7-n ∴bn=2+(n-1)?- ?= , 3 ? 3?
2 ? 1? 13n-n Tn=2n+ (n-1)·?- ?= , 2 6 ? 3?

n

∴Tn-bn>0,即-

n-
6

n-

>0,解得 1<n<14(n∈N*),

故不等式 Tn-bn>0 的解集为{n∈N*|1<n<14}. 11.已知单调递增的等比数列{an}满足 a2+a3+a4=28,且 a3+2 是 a2,a4 的等差中项. (1)求数列{an}的通项公式; 1 (2)若 bn=anlog an,Sn=b1+b2+?+bn,求使 Sn+n·2n+1>50 成立的正整数 n 的最小值. 2 解析:(1)设等 比数列{an}的首项为 a1,公比为 q,依题意,有 2(a3+2)=a2+a4,代入 a2+a3+

a4=28,得 a3=8,∴a2+a4=20,
?a1q+a1q =20 ∴? 2 ?a1q =8
3

?q=2 ,解得? ?a1=2

?q=1 2 或? ?a =32
1

.又数列{an}单 调递增,∴q=2,a1=2,∴

an=2n.
1 (2)由题意知 bn=2n·log 2n=-n·2n, ∴-Sn=1×2+2×22+3×23+?+n×2n,① 2 ∴-2Sn=1×22+2×23+3×24+?+(n-1)×2n+n×2n+1,② ∴①-②得 Sn=2+22+23+?+2n-n·2n+1= -2 1-2
n

-n·2n+1=2n+1-n·2n+1-2,

∵Sn+n·2n+1>50,∴2n+1-2>50,∴2n+1>52,又当 n≤4 时,2n+1≤25=32<52,当 n≥5 时,2n+1≥26 =64>52.故使 Sn+n·2n+1>50 成立的正整数 n 的最小值为 5. 12.(能力提升)(2013 年高考广东卷)设数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 a1=1, 2 - ,n∈N*. 3
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2Sn

1 =an+1- n2-n n 3

(1)求 a2 的值; (2)求数列{an}的通项公式; 1 1 1 7 (3) 证明:对一切正整数 n,有 + + ?+ < . a1 a2 an 4 1 2 解析:(1)依题意,2S1=a2- -1- ,又 S1=a1=1,所以 a2=4. 3 3 1 2 (2)当 n≥2 时,2Sn=nan+1- n3-n2- n, 3 3 1 2 2Sn-1=(n-1)an- (n-1)3-(n-1)2- (n-1), 3 3 1 2 两式相减得 2an=nan+1-(n-1)an- (3n2-3n+1)-(2n-1)- , 3 3 整理得(n+1)an=nan+1-n(n+1),即 故数列?
?an? ? ? ?是首项为 ? ?n? ?

an+1 an a2 a1 - =1,又 - =1, n+1 n 2 1

1,公差为 1 的等差数列,

所以 =1+(n-1)×1=n,所以 an=n2. 1 7 (3)证明:当 n=1 时, =1< ; a1 4 1 1 1 5 7 当 n=2 时, + =1+ = < ; a1 a2 4 4 4 1 1 当 n≥3 时, = 2<

an n

an n

1 n-

n



1 1 - ,此时 n-1 n

1? 1 1 1 1 1 1 1 ?1 1? ?1 1? 1 1 1 7 ? 1 - ? = 1+ + - = + +?+ =1+ 2+ 2+ 2+?+ 2<1+ +? - ?+? - ?+?+? a1 a2 an 2 3 4 n 4 ?2 3? ?3 4? 4 2 n 4 ?n-1 n? 1 1 7 - < . n 4 1 1 1 7 综上,对一切正整数 n,有 + +?+ < . a1 a2 an 4 [B 组 因材施教·备选练习] )

1 1.各项都是正数的等比数列{an}的公比 q≠1,且 a2, a3,a1 成等差数列,则 q 的值为( 2

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A. C.

1- 5 2 5+1 2

B. D.

5-1 2 5+1 5-1 或 2 2

1 5+1 - 5+1 解析:∵a2, a3,a1 成等差数列,∴a3=a1+a2,∴q2=1+q,∴q= 或 q= ,等比 2 2 2 数列{an}的各项都是正数,∴q= 答案:C 2. (2014 年成都模拟)已知数列{an}满足 an+2-an+1=an+1-an, n∈N*, 且 a5= 2x+2cos2 ,记 yn=f(an),则数列{yn}的前 9 项和为( 2 A.0 C.9 B.-9 D.1 π .若函数 f(x)=sin 2 - 5+1 5+1 不满足题意,舍去,∴q= . 2 2

x

)

解析:由数列{an}满足 an+2-an+1=an+ 1-an,n∈N*可知该数列是等差数列,根据题意可知只要该 π 数列中 a5= ,数列{yn}的前 9 项和就能计算得到一个定值,又因为 f(x)=sin 2x+1+cos x,则可 2 令数列{an}的公差为 0,则数列{yn} 的前 9 项和为 S9=(sin 2a1+sin 2a2+?+sin 2a9)+(cos a1+ π? π ? cos a2+?+cos a9)+9=9sin 2a5+9cos a5+9=9sin?2× ?+9cos +9=9. 2 2 ? ? 答案:C 1 1 3.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,点(n,Sn)(n∈N*)在函数 f(x)= x2+ x 的图象上. 2 2 (1)求数列{an}的通项公式; (2)设数列? 取值范围. 1 1 解析:(1)∵点(n,Sn)在函数 f(x)= x2+ x 的图象上, 2 2 1 1 ∴Sn= n2+ n,① 2 2
? ? ? ? ?的前 ? ?anan+2? ?

1

n 项和为 Tn,不等式 Tn> loga(1-a)对任意正整数 n 恒成立,求实数 a 的

1 3

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1 1 当 n≥2 时,Sn-1= (n-1)2+ (n-1),② 2 2 ①-②得 an=n. 1 1 当 n =1 时,a1=S1= + =1,符合上式, 2 2 ∴an=n. (2)由(1)得 ∴Tn= 1 1 1

anan+2 n
+ 1



1 n+ +?+

1 ? 1?1 ?, = ? - 2?n n+2? 1

a1a3 a2a4 a3a5



anan+2

1? 1?1 1? 1?1 1? 1? = ?1- ?+ ? - ?+ ? - ?+? 3? 2?2 4? 2?3 5? 2? 1 ? 1? 1 1 ? 1? 1 - ?+ ? - ? + ? 2?n-1 n+1? 2?n n+2? 1 1 1 ? 3 1? 1 1 ? 1? - + ?= - ? ?. = ?1+ - 2 n+1 n+2? 4 2?n+1 n+2? 2? ∵Tn+1-Tn= 1

n+

n+

>0,∴数列{Tn}单调递增.

1 ∴(Tn)min=T1= . 3 1 1 1 要使不等式 Tn> loga(1-a)对任意正整数 n 恒成立,只要 > loga(1-a)即可. 3 3 3 1 ∵1-a>0,∴0<a<1,∴1-a>a,即 0<a< , 2 1? ? ∴实数 a 的取值范围是?0, ?. 2? ?

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