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2017届高考数学大一轮总复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 4.4 数系的扩充与复数的引入课件 理

时间:2016-08-03


第四章 平面向量、数系的扩充分与 复数的引入

第四节

数系的扩充与复数的引入

基础知识 自主学习

热点命题 深度剖析

思想方法 感悟提升

最新考纲

1.理解复数的基本概念;2.理解复数相等的充要条件;3.了

/>解复数的代数表示法及其几何意义;4.会进行复数代数形式的四则运算;5. 了解复数代数形式的加减运算的几何意义。

J 基础知识

自主学习

知 识 梳 理
1.复数的有关概念 (1)复数的定义 形如a+bi(a、b∈R)的数叫做复数,其中实部是__ a ,虚部是 ___ b (i是 虚数单位)。 (2)复数的分类

(3)复数相等 a=c且b=d (a、b、c、d∈R)。 a+bi=c+di? ______________

(4)共轭复数

a=c且b=-d a+bi 与 c+di 互为共轭复数?________________ (a、b、c、d∈R)。
(5)复数的模 → 点 Z 到原点的距离|OZ|(即向量OZ的模)叫做复数 z=a+bi 的模或绝对

z |或|______ a+bi |, 值,记作|___
a2+b2 即|z|=|a+bi|=r=____________ (r≥0,a、b∈R)。

2.复数的几何意义
(1)复平面的概念 当用直角坐标平面内的点来表示复数时,我们称这个直角坐标平面为

复平面。
(2)实轴、虚轴 在复平面内,x轴叫做________ 实轴 ,y轴叫做_______ 虚轴 ,实轴上的点都表示 实数 ;除原点以外,虚轴上的点都表示________ 纯虚数 。 ________ (3)复数的几何表示 一一对应 Z(a,b) 复数 z=a+bi ――→ 复平面内的点___________
→ 一一对应 OZ ――→ 平面向量_______。

3.复数的运算

(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、d∈R),则 ①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=_____________________ ; (a+c)+(b+d)i

②减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=______________________ ; (a-c)+(b-d)i (ac-bd)+(ad+bc)i ; ③乘法:z1·z2=(a+bi)(c+di)=_______________________ ac+bd bc-ad z1 a+bi ?a+bi??c-di? 2 2+ 2 2i ④除法: = = = ____________________ (c + c + d c + d z c+di ?c+di??c-di?
2

di≠0)。

(2)复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z1、z2、z3∈C,有z1+z2= z z1+(z2+z3) 。 _________ ,(z +z )+z =____________ 2+z1
1 2 3

(3)复数的乘法的运算定律 复 数 的 乘 法 满 足 交 换 律 、 结 合 律 、 分 配 律 , 即 对 于 任 意 z1 , z2 ,

z3∈C,有z1·z2=z2·z1,(z1·z2)·z3=z1·(z2·z3),z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.

基 础 自 测
(1)任何数的平方都不小于0。( × ) 解析 1<0。 (2)方程x2+x+1=0没有解。( × ) 解析 错误。方程x2+x+1=0无实数根。 错误。任何实数的平方都不小于 0 ,而在复数集内, i2 =-

(3)复数z=a+bi(a,b∈R)中,虚部为bi。( × )
解析 错误。复数z=a+bi(a,b∈R)中,虚部为b。 (4)两个虚数的和还是虚数。( × ) 解析 错误。例如z1=1+i,z2=1-i是两个虚数,它们的和z1+z2= (1+i)+(1-i)=2是实数。

(5)复数中有相等复数的概念,因此复数可以比较大小。( × )

解析
小。

错误。复数集中的虚数不能比较大小,但是实数可以比较大

(6)原点是实轴与虚轴的交点。( √ )

解析 正确。
(7)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是 复数对应的向量的模。( √ )

解析 正确。

[练一练] 1.(2015·安徽卷)设i是虚数单位,则复数(1-i)(1+2i)=( A.3+3i B.-1+3i )

C.3+i
解析

D.-1+i
由复数的乘法运算法则,得(1-i)(1+2i)=1-i+2i-2i2=1

+i+2=3+i,因此选C。 答案 C

2.(2015·课标全国卷Ⅰ)已知复数z满足(z-1)i=1+i,则z=(

)

A.-2-i
C.2-i
解析 ∵(z-1)i=1+i,

B.-2+i
D.2+i

1+ i ?1+i??-i? ∴z= +1= +1=1-i+1=2-i。 i -i2 答案 C

3. z 是 z 的共轭复数,若 z+ z =2,(z- z )i=2(i 为虚数单位),则 z= ( ) A.1+i C.-1+i B.-1-i D.1-i

解析 设 z=a+bi(a∈R,b∈R),则 z =a-bi。 由 z+ z =2,得 2a=2,即 a=1; 又由(z- z )i=2,得 2bi· i=2, 即 b=-1。故 z=1-i。 答案 D

1+i a 1 4.设 a 是实数,且 + 是实数,则 a=________ 。 2 1+i

解析

1+ i a- ai 1+ i a + = + 2 2 2 1+ i

?a+1?+?1-a?i = 为实数, 2 故 1-a=0,即 a=1。

R

热点命题

深度剖析

考点一 复数的有关概念
【例 1】 ( ) A.2-3i C.3+2i
【解析】 【答案】

(1)(2015· 广东卷)若复数 z=i(3-2i)(i 是虚数单位),则 z =

B.2+3i D.3-2i

因为 z=i(3-2i)=3i-2i2=2+3i,所以 z =2-3i。 A

2-i (2)(2016· 河南省八市重点高中高三质量检测试题)已知复数 z= 为 x-i 纯虚数,其中 i 为虚数单位,则实数 x 的值为( 1 A.- 2 1 B. 2 C.-3 1 D. 3 )

2-i ?2-i??x+i? 2x+1+?2-x?i 2- i 【解析】 z= = = , 因为复数 z= x- i x2+1 x2+1 x- i
?2x+1=0 1 ? 为纯虚数,所以 ,即 x=- ,故选 A。 2 2 - x ≠ 0 ?

【答案】

A

【规律方法】 解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应 该满足的条件问题,只需把复数化为代数形式,列出实部和虚部满足的方 程(不等式)组即可。 (2)解题时一定要先看复数是否为 a+bi(a,b∈R)的形式,以确定实部 和虚部。

变式训练 1 =( ) A.-4 C.3

2+ai (1)(2015· 课标全国卷Ⅱ)若 a 为实数,且 =3+i,则 a 1+i

B.-3 D.4

解析 由题意,得 2+ai=(3+i)(1+i)=2+4i,则 a=4。 答案 D

(2)(2015·北京卷)复数i(1+i)的实部为________ -1 。 解析 复数i(1+i)=i-1=-1+i,其实部为-1。

考点二 复数的几何意义
【例 2】 (1)(2015· 安徽卷)设 i 是虚数单位,则复数 对应的点位于( A.第一象限 C.第三象限 ) B.第二象限 D.第四象限 2i 在复平面内所 1-i

2i?1+i? 2i-2 2i 【解析】 由复数除法的运算法则可得, = = = 2 1-i ?1-i??1+i? -1+i,对应点为(-1,1)在第二象限。故选 B。 【答案】 B

(2) 设复数 z1 ,z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称, z1 =2 +i,则 z1z2
=( ) A.-5 B.5

C.-4+i

D.-4-i

【解析】 由题意知:z2=-2+i。 又z1=2+i,所以z1z2=(2+i)(-2+i)=i2-4=-5。故选A。 【答案】 A

【规律方法】 对复数几何意义的理解及应用
(1) 复 数 z 、 复 平 面 上 的 点 Z 及 向 量 相 互 联 系 , 即 z = a + bi(a , b∈R)?Z(a,b)?=(a,b)。

(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系,因此可把复数、
向量与解析几何联系在一起,解题时可运用数形结合的方法,使问题的解 决更加直观。

变式训练 2

(1)已知复数 z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-2i,它们所对

→ → → 应的点分别为 A,B,C。O 为坐标原点,若OC=xOA+yOB,则 x+y 的值

5 是________ 。 解析 由已知得 A(-1,2),B(1,-1),C(3,-2),
→ → → ∵OC=xOA+yOB, ∴(3,-2)=x(-1,2)+y(1,-1)=(-x+y,2x-y)。
?-x+y=3, ?x=1, ∴? 解得? 故 x+y=5。 2 x - y =- 2 , y = 4 , ? ?

(2)已知复数z对应的向量如图所示,则复数z+1所对应的向量正确的是
( )

解析 答案

由题图可知z=-2+i,所以z+1=-1+i,则复数z+1所对 A

应的向量的坐标为(-1,1)。故选项A正确。

考点三

复数的代数运算高频考点·发散思维

复数代数形式的四则运算是每年高考的必考内容,题型为选择题或填 空题,难度较小,属容易题。 角度一:复数的乘法运算

1.(2015·北京卷)复数i(2-i)=(
A.1+2i C.-1+2i

)

B.1-2i D.-1-2i

解析 i(2-i)=2i-i2=2i-(-1)=1+2i。
答案 A

2 . (2015· 课标全国卷 Ⅱ) 若 a 为实数,且 (2 + ai)(a - 2i) =- 4i ,则 a =
( ) A.-1 B.0

C.1
解析

D.2
∵(2+ai)(a-2i)=4a+(a2-4)i=-4i,

?4a=0, ∴? 2 解之,得 a=0。 ?a -4=-4,

答案

B

角度二:复数的除法运算 1+z 3.(2015· 课标全国卷Ⅰ)设复数 z 满足 =i,则|z|=( 1-z A.1 C. 3
解析 答案 ∵ A

)

B. 2 D.2
1+ z i-1 ?i-1??-i+1? =i,∴z= = =i,∴|z|=1。 1- z i+1 ?i+1??-i+1?

-i 4.(2015·天津卷)i是虚数单位,计算的结果为________ 。
解析 1-2i ?1-2i??2-i? 2-i-4i-2 -5i = = = =-i。 5 5 2+i ?2+i??2-i?

角度三:复数的运算与复数概念及其几何意义的综合问题 z1 5.设复数 z1=1+i,z2=2+bi,若 为纯虚数,则实数 b=( z2 A.-2 C.-1
解析

)

B.2 D.1
z1 1+i ?1+i??2-bi? ?2+b?+?2-b?i = = = 为纯虚数,得 2+b z2 2+bi 4+ b2 4+ b2

=0,即 b=-2。 答案 A

6.设复数z满足|z|=5且(3+4i)z是纯虚数,则=__________ ±(4-3i) 。
解析 设 z=a+bi(a,b∈R),则有 a2+b2=5。 于是(3+4i)z=(3a-4b)+(4a+3b)i。
?3a-4b=0, 3 ? 由题设得 得 b= a 代入得 4 4 a + 3 b ≠ 0 , ? ?3 ? a2+?4a?2=25,a=± 4, ? ? ?a=4, ?a=-4, ∴? 或? ∴ z =4-3i 或 z =-4+3i。 ?b=3 ?b=-3。

【规律方法】 复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略
(1)复数的乘法。复数的乘法类似于多项式的四则运算,可将含有虚数 单位i的看作一类同类项,不含i的看作另一类同类项,分别合并即可。

(2)复数的除法。除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,解题
中要注意把i的幂写成最简形式。 (3)复数的运算与复数概念及其几何意义的综合题。先利用复数的运算

法则化简,一般化为a+bi(a,b∈R)的形式,再结合相关定义解答。

S

思想方法

感悟提升

⊙1个分类——复数的分类
对复数z=a+bi(a,b∈R), 当b=0时,z为实数;

当b≠0时,z为虚数;
当a=0,b≠0时,z为纯虚数。 ⊙1个实质——复数除法的实质 复数除法的实质是分母实数化,其操作方法是分子、分母同乘以分母 的共轭复数。 ⊙2个技巧——复数的运算技巧 (1)设z=a+bi(a,b∈R),利用复数相等和相关性质将复数问题实数化

是解决复数问题的常用方法。
(2)在复数代数形式的四则运算中,加、减、乘运算按多项式运算法则 进行,除法则需分母实数化。


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