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2017届高考数学一轮复习 第三章 函数 课时9 函数的概念学案 文

时间:2016-07-25


课时 9

函数的概念及表示

一、高考考纲要求 1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域; 2.了解映射的概念。 3.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法,解析法)表示函数. 4.了解简单的分段函数,并能简单应用。 二、高考考点回顾 ⒈映射 (1)映射的概念:设 A、B 是两个集合,如果按照某种对应法则

f,对于集合 A 中的____一个元素, 在集合 B 中都有_________的元素与它对应,这样的对应关系叫做从集合 A 到集合 B 的映射,记作 f:A→B。 (2)象和原象:给定一个集合 A 到 B 的映射,且 a∈A,b∈B,如果元素 a 和元素 b 对应,那么我们把元素 b 叫 做元素 a 的象,元素 a 叫做元素 b 的原象. ⒉函数 (1)定义:设集合 A 是一个非空数集,对 A 中任意数 x,按照确定的法则 f,都有唯一确定的数 y 与 它对应,则这种对应关系叫做集合 A 上的一个函数,记作 y=f(x),x∈A,其中 x 叫做自变量,自变量的取值范 围(数集 A)叫做这个函数的定义域, 当 x=a 时, 由对应法则 f 确定的值 y 叫做函数在 a 处的函数值, 记作 y=f(a), 所有函数值构成的集合{y|y=f(x),x∈A}叫做这个函数的值域. 从映射的角度看,函数是由一个_________到另一个________的映射. (2)函数的表示法有: 、 、 . 理解函数概念还必须注意以下几点: ①函数是一种特殊的映射. ②若两个函数的定义域、对应法则分别相同,这两个函数就相同. ③函数的定义域是自变量 x 的取值范围.同一个对应法则,若定义域不相同,则函数的图象与性质一般也不 相同. ④函数的图象可以是一条或几条平滑的曲线. ⑤对于以 x 为自变量的函数,f(a)的含义与 f(x)的含义不同.f(a)表示自变量 x=a 时所得的函数值,它是 一个常量;f(x)是 x 的函数,通常它是一个变量. 3、函数的定义域及其求法 (1)根据函数解析式求函数定义域的依据有:①分式的分母不得为__; ②偶次方根的被开方数不得小于__; ③对数函数的真数必须大于__; ④指数函数和对数函数的底数必须________________;
? ? ? π ⑤三角函数中的正切函数 y=tanx 定义域为?x?x∈R,且x≠kπ + ,k∈Z 2 ? ? ? ? ? ?. ? ?

(2)已知 f(x)的定义域是[a,b],求 f[g(x)]的定义域,是指满足____________的 x 的取值范围;已知 f[g(x)] 的定义域是[a,b],求 f(x)的定义域,是指在 x∈______的条件下,求 g(x)的值域. (3)实际问题或几何问题给出的函数的定义域:这类问题除要考虑函数解析式有意义外,还应考虑使实际问题或 几何问题有意义. (4)如果函数是由几个部分的数学式子构成的,那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合. (5)求定义域的一般步骤: ①写出函数式有意义的不等式(组);②解不等式(组);③写出函数的定义域.

1

三、课前检测 1.函数 f ( x) ?
1 ? 4 ? x 2 的定义域为( ln( x ? 1)

) C、 [?2, 2] D、 (?1, 2]

A、 [?2, 0) ? (0, 2]

B、 (?1, 0) ? (0, 2]

? x 2 ? 1, x ? 1, ? 2 设函数 f ( x) ? ? 2 ,则 f ( f (3)) ? ( , x ? 1, ? ?x
A、



1 5

B、 3

C、 2

D、 13

3

9

? 1, x ? 0, ?1,x为有理数, ? 3.设 f ( x) ? ? 0, x ? 0 , g ( x) ? ? 则 f ( g (? )) 的值为( ?0,x为无理数, ??1x ? m, ?
A 、1 4.函数 f ( x) ? B、 0 C 、 -1 D、



?

1 的定义域是____________。 (用区间表示) 1? 2x
.

5.函数 y ?

x ?1 的定义域为 x

? x , x ? 0, ? 6.设函数 f ( x) ? ? 1 则 f ( f (?4)) ? x ?( ) , x ? 0, ? 2
7.函数 f ( x) ? 1 ? 2 log6 x 的定义域为

课内探究案 班级: 姓名:
2

考点 一 函数的概念 【典例 1】下列各组函数表示同一函数的是( A、 y ?



x2 ? 9 与 y ? x?3 x ?3

B、 y ?

x 2 ?1 与 y ? x ? 1

C、 y ? x0 ?x ? 0? 与 y ? 1?x ? 0?

D、 y ? 2 x ? 1, x ? Z 与 y ? 2 x ? 1, x ? Z

【变式 1】下列选项中,表示同一函数的是( A. f ?x ? ? x , g ? x ? ? C. f ?x ? ? 1 , g ? x ? ?

) B. f ?x ? ? x , g?x? ? 3 x3 D. f ?x ? ? 1 , g ?x? ? x 0

? x?
x x

2

考点二

求函数的定义域

【典例 2】 (1)函数 f ( x) ? A. (??, ?1) B. (1, ??)

1 ? lg( x ? 1) 的定义域是 1? x
C. (?1,1) ? (1, ??)



) D. (??, ??)

(2)已知函数 f 2 的定义域为 ?- 1 , 1? ,求 f ?log2 x? 的定义域.
x

? ?

【变式 2】 (1)(2011 安徽 13)函数 y ? (2)已知函数 f ?log2 x ? 的定义域是

1 6 ? x ? x2

的定义域是

.

? 2,4?,求函数 f ?x ? 3?的定义域。
2

考点三

求函数的解析式

【典例 3】 (1)已知 f(x)是一次函数,且 f[f(x)]=16x-25,求 f ?x ? 。

3

(2)若 f ( x ? 4) ? x ? 8 x ,求 f ?x ? 。 (3)已知 f ?x ? 满足 2 f ?x ? ? f ? ? ? 3x ,求 f ?x ? 的解析式.

?1? ? x?

【变式 3】设 f ( x) ? 2 f ( ) x ? 1 且 x∈(1,+∞) ,求 f(x).

1 x

考点四

分段函数

? x ? 2, ? ? 【典例 4】已知函数 f ( x) ? ? x 2 , ? ? ?2 x,

( x ? ?1), (?1 ? x ? 2) , 若 f(a)=3,则 a=________。 ( x ? 2),

【变式 4】 (2011 福建文 8)已知函数 f(x)= ? A. -3 B. -1

?2 x,x ? 0, ,若 f(a)+f(1)=0,则实数 a 的值等于( ? x ? 1, x ? 0
D. 3



C. 1

【当堂检测】 1.设集合 A 和集合 B 都是实数集 R,映射 把集合 A 中元素 x 映射到集合 B 中的元素 x ? x ? 1 ,则 “ f : A ? B”
3

在映射 f 下,象 1 的原象所成的集合是( A ? 1? B、 ?0, - 1, 1?

) D、 ?0, -1, - 2?
2

C、 ?0?

2.给定映射 f: (x,y)→( x ,x+y) ,在映射 f 下象(2,3)的原象是(a,b) ,则函数 f(x)=ax +bx 的 顶点坐标是________。 3.已知 f ? x ? ?

5x ,且 f ?a ? ? 2 ,则 a ? x 2 ?1

.

4

? x 2+2( x ? 2), 4.设函数 f(x)= ? 则 f(-4)=____,又知 f( x0 )=8,则 x0 = ?2 x( x ? 2),
5.已知函数 f ?x ? ? ?

.

?2 x , x ? 2 ,则 f ?log4 5? ? ? ? f x ? 2 , x ? 2 ?

.

6.若函数 y ? f ?x ? 的定义域是 ?0, 2? ,则函数 g ? x ? ?

f ?2 x ? 的定义域是 x ?1

.

课后巩固案 班级:

姓名:

完成时间:30 分钟

1.下列说法中,正确的是个数有( ) ①定义域不同,两个函数也就不同; ②对应法则不同,两个函数不同; ③定义域值域都分别相同的函数一定是同一个函数. A.1 B.2 C.3 D.0 2.下列四个等式中,能表示 y 是 x 的函数的是( ) ① x ? 2 y ? 2 ;② 2 x ? 3 y ? 1 ;③ x ? y ? 1 ;④ 2 x ? y ? 4 。
2 2 2 2

A.①② B.①③ 3.下列表示同一函数的是(

C.②③ )

D.①④

5

A. f ( x) ? C. f ( x) ?

x2 , g ( x) ? ( x )2
x2 ?1 , g ( x) ? x ? 1 x ?1

B. f ( x) ?

x ? 1 ? x ? 1, g ( x) ? x 2 ? 1

D. f ( x) ? 1 ? x ? 1 ? x , g ( x) ? 1 ? x 2 )

4.设集合 A ? {x | 0 ? x ? 2}, B ? { y | 0 ? y ? 2} ,下列图形中表示集合 A 到集合 B 的函数图形的是(

y 2
2

y 2

y

y 2

1

1

1

1

o
A.

2

x

o
B.

2

x

o
C. )

2

x

o
D.

2

x

5.函数 f ( x) ? A.R 6.函数 y ? A. ? ?1, ?? ?

x ?1 ? 1 ? x 的定义域是(
B. ? 0, ?? ? C. ??1,1? )

D. (?1,1)

x ? 1 的定义域为(
B.

?0, ?? ?

C. ? ??,0?

D. ? ??, ?1?

? x ? 1, ( x ? 0), 7、设 f ( x ) ? ? ?? , ( x ? 0), ,则 f { f [ f (?1)]} ? ( ?0, ( x ? 0), ?
A. ? ? 1 B.0 C. ?



D. ? 1

1.设 是从集合 A 到集合 B 的一个映射, 其中 A ? B ? ??x, y ? | x, y ? R?,f : ?x, y ? ? ?x ? y, x ? y ? , “ f : A ? B” 那么与 A 中的元素 ?- 1, 2 ? 对应的 B 中的元素是
2

,与 A 中的元素

对应的 B 中的元素是 ?- 1, 2? 。

2.若 f ( x) ? x ? ax ? b ,且 f(1)=-1,f(-1)=4,则 f(-5)=_______. 3.已知 f ? x ? ? ?

? ?2 x, x ? 0, ,则 ? ? f ? x ? 1? , x ? 0,

?4? f ? ?? ?3?

? 4? f ? ? ? 的值等于 ? 3?

.

4.设二次函数 f ?x ? 满足 f ?x ? 2? ? f ?? x ? 2? ,且图象在 y 轴上的截距为 1,被 x 轴截得的线段长为 2 2 ,求

f ?x ? 的解析式.

6

参考答案 课前检测 1. B;2.D;3.B;4. (??, ) ;5. [?1, 0) ? (0, ??) ;6.4;7. (0, 6] . 【典例 1】C 【变式 1】B 【典例 2】 (1)C; (2) [ 2, 4] . 【变式 2】 (1) (?3, 2) (2) [? 5, ?

1 2

14 14 ] ?[ , 5] . 2 2
25 ; 3

【典例 3】 (1) f ( x) ? 4 x ? 5 或 f ( x) ? ?4 x ? (2) f ( x) ? x ?16( x ? 4) ;
2

(3) f ( x ) ? 2 x ?

1 . x
7

【变式 3】

2 x ?1 . 3

【典例 4】 3 【变式 4】A 【当堂检测】 1.B;2. ( , ?

1 8

1 1 ) ;3. 或 2;4.18; ? 6 或 4.5. 4 5 ;6. [0,1) 16 2

1. B;2.A;3.D;4. D;5. C. 6.A.7.A.

1. (?3,1) ; ( , ) ;2.38;3.4;4. f ( x) ?

1 3 2 2

1 2 x ? 2x ?1 2

8


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