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2015必修五2.6.3 数列求和之裂项相消 2015.04.13

时间:2015-04-18


2.6.3 数列求和之裂项相消
命题人——王峰

2015.04.13
学号

班级

姓名

1 1.[2012· 全国高考文] 已知在数列{an}中,a1=1,前 n 项和 Sn= (n+2)· an. 3 (1)求 a2 , a3 ; (2)求{an}的通项公式.

2.[2013· 全国大纲文] 等差数列{an}中,a7=4,a19=2a9. (1)求{an}的通项公式; 1 1 (2)设 bn= · ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. n an

3.在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+2n. an (1)设 bn= n-1证明:数列{bn}是等差数列; 2 (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn.

2 4.[2013· 唐山模拟] 已知数列{an}的前 n 项和 Sn= (8n-1). 7 1 1 1 (1)求数列{an}的通项公式 an; (2)设 bn=log2an,求 + +…+ . b1b2 b2b3 bnbn+1

5.[2012· 浙江高考文] 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2n2+n,数列{bn}满足 an=4log2bn+3. (1)求 an,bn; (2)求数列{an· bn}的前 n 项和 Tn.

6.已知数列{an}的各项均为正数,Sn 为其前 n 项和,对于任意的 n∈N*满足 2Sn=3an-3. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设数列{bn}的通项公式是 bn= 1 , log3an· log3an+1

前 n 项和为 Tn,求证:对于任意的正数 n,总有 Tn<1.

n+2 1.[2012· 全国高考文] 已知在数列{an}中,a1=1,前 n 项和 Sn= a. 3 n (1)求 a2 , a3 ; (2)求{an}的通项公式.

解:(1)由 a1 ? 1 与 S n ?

n?2 2?2 an 可得: S 2 ? a2 ? a1 ? a2 ? a2 ? 3a1 ? 3 , 3 3 3? 2 2 S3 ? a3 ? a1 ? a2 ? a3 ? a3 ? a1 ? a2 ? 4 ? a3 ? 6 3 3

故所求 a2 , a3 的值分别为 3, 6 。 (2)当 n ? 2 时, S n ?

n?2 n ?1 an ① Sn ?1 ? an ?1 ② 3 3 n?2 n ?1 an ? an ?1 即 ①-②可得 S n ? S n ?1 ? 3 3 a n?2 n ?1 n ?1 n ?1 n ?1 an ? an ? an?1 ? an ? an?1 ? n ? 3 3 3 3 an?1 n ? 1
故有 an ? 而

an an?1 ? ? an?1 an?2

?

a2 n ?1 n ? a1 ? ? ? a1 n ?1 n ? 2

3 n2 ? n ? ?1 ? 1 2

12 ? 1 n2 ? n ? 1 ? a1 ,所以{an}的通项公式为 an ? 2 2

2.[2013· 全国大纲文] 等差数列{an}中, a7 ? 4, a19 ? 2a9 , . (1)求{an}的通项公式; (2)设 bn ?

1 , 求数列?bn ?的前n项和Sn . nan

(1)设等差数列 {an } 的公差为 d,则 an ? a1 ? (n ?1)d 因为 ?

a1 ? 6d ? 4 ? a7 ? 4 ? ,所以 ? . ?a1 ? 18d ? 2(a1 ? 8d ) ?a19 ? 2a9
1 . 2 n ?1 . 2

解得, a1 ? 1, d ?

所以 {an } 的通项公式为 an ? (2) bn ?

1 2 2 2 , ? ? ? nan n(n ? 1) n n ? 1
2 1 2 2 2 2 2 3 2 2 2n ?( ? )? . n n ?1 n ?1

所以 S n ? ( ? ) ? ( ? ) ?

3.在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+2n. an (1)设 bn= n-1证明:数列{bn}是等差数列; 2 例 2 (1)证明 由已知 an+1=2an+2n,

(2)求数列{an}的前 n 项和 Sn.

an+1 2an+2n an = = n-1+1=bn+1. 2n 2n 2 ∴bn+1-bn=1,又 b1=a1=1. ∴{bn}是首项为 1,公差为 1 的等差数列. an (2)解 由(1)知,bn=n, n-1=bn=n. 2 - ∴an=n· 2n 1. - ∴Sn=1+2· 21+3· 22+…+n· 2n 1, - 1 两边乘以 2 得:2Sn=1×2 +2· 22+…+(n-1)· 2n 1+n· 2n, - 两式相减得:-Sn=1+21+22+…+2n 1-n· 2n=2n-1-n· 2n=(1-n)2n-1, n ∴Sn=(n-1)· 2 +1. 得 bn+1= 2 4.[2013· 唐山模拟] 已知数列{an}的前 n 项和 Sn= (8n-1). 7 1 1 1 (1)求数列{an}的通项公式 an; (2)设 bn=log2an,求 + +…+ . b1b2 b2b3 bnbn+1 2 1.解:(1)a1=S1= (81-1)=2. 7 当 n≥2 时, 2 2 - - an=Sn-Sn-1= (8n-1)- (8n 1-1)=23n 2. 7 7 当 n=1 时上式也成立, - 所以 an=23n 2(n∈N*). (2)由(1)知,bn=log223n 2=3n-2, 1 1 1 所以 + +…+ b1b2 b2b3 bnbn+1 1 1 1 = + +…+ 1×4 4×7 (3n-2)(3n+1) 1 1 1 1 1 1 = 1- + - +…+ - 3 4 4 7 3n-2 3n+1 1 1 n = 1- = . 3 3n+1 3n+1


5.[2012· 浙江高考文] 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2n2+n,数列{bn}满足 an=4log2bn+3. (1)求 an,bn;
2 解:(1)由 Sn= 2n ? n ,得

(2)求数列{an· bn}的前 n 项和 Tn.

当 n=1 时, a1 ? S1 ? 3 ;
2 2 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n ? n ? ? ? 2(n ? 1) ? (n ? 1) ? ? ? 4n ? 1 ,n∈N﹡.

由 an=4log2bn+3,得 bn ? 2n ? 1,n∈N﹡. (2)由(1)知 anbn ? (4n ?1) ? 2n?1 ,n∈N﹡ 所以 Tn ? 3 ? 7 ? 2 ?11? 2 ? ... ? ? 4n ?1? ? 2
2 n?1



2Tn ? 3? 2 ? 7 ? 22 ?11? 23 ? ... ? ? 4n ?1? ? 2n , 2Tn ? Tn ? ? 4n ?1? ? 2n ? [3 ? 4(2 ? 22 ? ... ? 2n?1 )]
? (4n ? 5)2n ? 5
Tn ? (4n ? 5)2n ? 5 ,n∈N﹡.
6.已知数列{an}的各项均为正数,Sn 为其前 n 项和,对于任意的 n∈N*满足 2Sn=3an-3. 1 (1)求数列{an}的通项公式; (2)设数列{bn}的通项公式是 bn= , log3an· log3an+1 前 n 项和为 Tn,求证:对于任意的正数 n,总有 Tn<1. ? ?2Sn=3an-3, (1)解 由已知得? (n≥2). ?2Sn-1=3an-1-3 ? 故 2(Sn-Sn-1)=2an=3an-3an-1, 即 an=3an-1 (n≥2). 故数列{an}为等比数列,且 q=3. 又当 n=1 时,2a1=3a1-3, ∴a1=3.∴an=3n. 1 1 1 (2)证明 bn= = - . n?n+1? n n+1 ∴Tn=b1+b2+…+bn 1? ?1 1? ?1- 1 ? =? ?1-2?+?2-3?+…+?n n+1? 1 =1- <1. n+1


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