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导数历年高考题精选(理科)

时间:2015-03-27


导数历年高考题精选(理科)
1、曲线 y ? x2 ? 2 x ? 1在点(1,0)处的切线方程为 ( (A) y ? x ? 1 (B) y ? ? x ? 1 (C) y ? 2 x ? 2 ) (D) y ? ?2 x ? 2 )

2、若曲线 y ? x2 ? ax ? b 在点 (0, b) 处的切线方程是 x ? y ? 1 ? 0 ,则

( (A) a ? 1, b ? 1 (B) a ? ?1, b ? 1 (C) a ? 1, b ? ?1

(D) a ? ?1, b ? ?1

1 1 ? ? ? ? 3、若曲线 y ? x 2 在点 ? a, a 2 ? 处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为 18, ? ?

则a ? ( (A)64

) (B)32 (C)16 (D)8

4、若 a>0,b>0,且函数 f(x)=4x3-ax2-2bx+2 在 x=1 处有极值,则 ab 的最大值等 于( A.2 ) B.3 C.6 D.9

5、已知函数 f ?x? ? x3 ? 3ax2 ? 3x ? 1 . (1)设 a ? 2 ,求 f ?x ? 的单调期间; (2)设 f ?x ? 在区间(2,3)中至少有一个极值点,求 a 的取值范围。

第 1 页 共 1 页

6、已知函数 f ( x) ? ax3 ? x2 ? bx (其中 a, b ? R ), g ( x) ? f ( x) ? f ?( x) 是奇函数. (1)求 f ( x) 的表达式; (2)讨论 g ( x) 的单调性,并求 g ( x) 在区间[1,2]上的最大值和最小值.

1 1 7、设 f ( x) ? ? x 3 ? x 2 ? 2ax . 3 2 2 (1)若 f ( x) 在 ( ,?? ) 上存在单调递增区间,求 a 的取值范围; 3 16 (2)当 0 ? a ? 2 时, f ( x) 在 [1,4] 上的最小值为 ? ,求 f ( x) 在该区间上的最 3

大值.

第 2 页 共 2 页

3 8、已知函数 f ? x ? ? ax3 ? x 2 ? 1 ? x ? R ? ,其中 a ? 0 . 2

(1)若 a ? 1 ,求曲线 y ? f ? x ? 在点 ? 2, f ? 2?? 处的切线方程;
? 1 1? (2)若在区间 ? ? , ? 上, f ? x ? ? 0 恒成立,求 a 的取值范围. ? 2 2?

9、设 f ( x) ? 2 x3 ? ax2 ? bx ? 1 的导数为 f ? ? x ? ,若函数 y ? f ? ? x ? 的图象关于直线
1 x ? ? 对称,且 f ? ?1? ? 0 . 2

(1)求实数 a , b 的值; (2)求函数 f ? x ? 的极值.

第 3 页 共 3 页

10、设 f ? x ? ?

1 3 x ? mx 2 ? nx . 3

(1)如果 g ?x? ? f ??x? ? 2 x ? 3 在 x ? ?2 处取得最小值 ? 5 ,求 f ?x ? 的解析式; (2)如果 m ? n ? 10?m, n ? N ? ? , f ?x ? 的单调递减区间的长度是正整数,试求 m 和 n 的值.(注:区间 ?a, b ? 的长度为 b ? a )

11、已知函数 f ( x) ? x3 ? 3ax2 ? (3 ? 6a) x ? 12a ? 4(a ? R) (1)证明:曲线 y ? f ( x)在x ? 0 的切线过点(2, 2); (2)若 f ( x)在x ? x0处取得极小值,x0 ? (1,3) ,求 a 的取值范围。

第 4 页 共 4 页

3 2 2 12、设函数 f , gx ,其中 x ? R , a、 b 为常 () x? x ? 2 a x ? b x ? a ( )? x ? 3 x ? 2

数,已知曲线 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 在点(2,0)处有相同的切线 l . (1)求 a、 b 的值,并写出切线 l 的方程; (2)若方程 f( 有三个互不相同的实根 0、 x 1 、 x 2 ,其中 x 1 ? x 2 , x ) ? gx ( )? m x 且对任意的 x??x 恒成立,求实数 m 的取值范围。 () x ? g () x ? m ( x ? 1 ) 1, x 2 ?, f

13、设函数 f ( x) ? x2e x?1 ? ax3 ? bx2 ,已知 x ? ?2 和 x ? 1 为 f ( x) 的极值点. (1)求 a 和 b 的值; (2)讨论 f ( x) 的单调性; (3)设 g ( x) ?
2 3 x ? x 2 ,试比较 f ( x) 与 g ( x) 的大小. 3

第 5 页 共 5 页

14、已知函数 f ( x) ?

1 N*,a 为常数. ? a ln( x ? 1), 其中 n∈ (1 ? x)n

(1)当 n ? 2 时,求函数 f ?x ? 的极值; (2)当 a ? 1 时,证明:对任意的正整数 n, 当 x ? 2 时,有 f ?x ? ? x ? 1 .

1 15、已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx 2 ? x ? 3 ,其中 a ? 0 3

(1)当 a , b 满足什么条件时, f ( x) 取得极值? (2)已知 a ? 0 ,且 f ( x) 在区间 (0,1] 上单调递增,试用 a 表示出 b 的取值范围.

16、观察 ( x2 )' ? 2 x , ( x 4 )' ? 4 x 2 , (cos x) ' ? ? sin x ,由归纳推理可得:若定义在
R 上的函数 f ( x) 满足 f (? x) ? f ( x) ,记 g (x) 为 f (x) 的导函数,则 g (? x) =(



A. f ( x)

B. ? f ( x)

C. g ( x)
第 6 页 共 6 页

D. ? g ( x)

17、已知函数 f ( x) ? 1nx ? ax ?

1? a ? 1(a ? R). x

(1)当 a ? ?1时,求曲线 y ? f ( x)在点( 2,f (2))处的切线方程; (2)当 a ?
1 时,讨论 f ( x) 的单调性. 2

18、已知函数 f ( x) ? loga x ? x ? b (a ? 0 , 且a ? 1) , 当 2 ? a ? 3 ? b ? 4 时,函数
f ( x ) 的零点 x0 ? (n , n ? 1) , n ? N * ,则 n ? __________.

19、某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米) ,其中容器的中 间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的容积为
80? 立方米, 3

且 l ? 2r .假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建 造费用为 3 千元, 半球形部分每平方米建造费用为 c (c ? 3) 千元.设该容器的建造 费用为 y 千元。 (1)写出 y 关于 r 的函数表达式,并求该函数的定义域; (2)求该容器的建造费用最小值时的 r .

第 7 页 共 7 页

20、曲线 y ? x 3 ? 11在点 P(1,12) 处的切线与 y 轴交点的纵坐标是( A. ? 9 B. ? 3 C. 9 D. 15 ) D.120°



3) 处的切线的倾斜角为( 21、曲线 y ? x3 ? 2x ? 4 在点 (1,

A.30°

B.45°

C.60°

22、已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? x ? 1 , a ? R . (1)讨论函数 f ( x) 的单调区间;
? 2 1? (2)设函数 f ( x) 在区间 ? ? , ? ? 内是减函数,求 a 的取值范围. ? 3 3?

1 23、设函数 f ( x) ? x3 ? (1 ? a) x 2 ? 4ax ? 24a ,其中常数 a ? 1 3

(1)讨论 f ?x ? 的单调性; (2)若当 x ? 0 时, f ?x ? ? 0 恒成立,求 a 的取值范围。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

24、已知直线 y ? x ? 1 与曲线 y ? ln?x ? a ? 相切,则 a 的值为( A.1 B.2 C. ? 1
第 8 页 共 8 页

)

D. ? 2

25、设函数 f ? x ? ? x3 ? 3bx2 ? 3cx 在两个极值点 x1、x2 ,且 x1 ?[?1 , 0], x2 ?[1, 2]. (1)求 b、c 满足的约束条件,并在下面的坐标平面内,画出满足这些条件的点 (2)证明: ?10 ? f ? x2 ? ? ? ? b, c ? 的区域; 2
1

26、曲线 y ?

x 在点 ?1,1? 处的切线方程为( 2x ?1

) D. x ? 4 y ? 5 ? 0

A. x ? y ? 2 ? 0

B. x ? y ? 2 ? 0

C. x ? 4 y ? 5 ? 0

27、设函数 f ?x ? ? x 2 ? a ln?1 ? x? 有两个极值点 x1、x2 ,且 x1 ? x2 (1)求 a 的取值范围,并讨论 f ? x ? 的单调性; (2)证明: f ?x2 ? ?
1 ? 2 ln 2 4

第 9 页 共 9 页

28、已知函数 f ( x) ? 3ax4 ? 2(3a ? 1) x2 ? 4 x (1)当 a ?
1 时,求 f ( x) 的极值; 6

(2)若 f ( x) 在 ? ?1,1? 上是增函数,求 a 的取值范围.

29、已知函数 f ( x) ? x3 ? 3ax2 ? 3x ? 1 (1)设 a ? 2 ,求 f ( x) 的单调区间; (2)设 f ( x) 在区间(2,3)中至少有一个极值点,求 a 的取值范围.

第 10 页 共 10 页

30、已知函数 f ( x) ? ( x ? 1) ln x ? x ? 1 . (1)若 xf '( x) ? x2 ? ax ? 1 ,求 a 的取值范围; (2)证明: ( x ? 1) f ( x) ? 0 .

31、设函数 f ? x ? ? 1 ? e? x . (1)证明:当 x>-1 时, f ? x ? ? (2)设当 x ? 0 时, f ? x ? ?
x ; x ?1

x ,求 a 的取值范围. ax ? 1

32、曲线 y ? e?2 x ? 1 在点(0,2)处的切线与直线 y ? 0 和 y ? x 围成的三角形的 面积为( (A)
1 3

) (B)
1 2

(C)
第 11 页 共 11 页

2 3

(D) 1

33、已知函数 f ( x) ? x3 ? 3ax2 ? (3 ? 6a) x+12a ? 4 ? a ? R ? (1)证明:曲线 y ? f ( x)在x ? 0处的切线过点(2,2); (2)若 f ( x)在x ? x0处取得最小值,x0 ? 求 a 的取值范围. (1,3),

34、设函数 f ? x ? ? ? x ?1? ex ? kx2 (其中 k ? R ).
?1 ? (1)当 k ? 1 时,求函数 f ? x ? 的单调区间;(2)当 k ? ? ,1? 时,求函数 f ? x ? 在 ?0, k ? ?2 ?

上的最大值 M .

第 12 页 共 12 页

35、设函数 f ( x) ? x 3 ? kx 2 ? x ?k ? R ? . (1)当 k ? 1 时,求函数 f ( x) 的单调区间; (2)当 k ? 0 时,求函数 f ( x) 在 ?k ,?k ? 上的最小值 m 和最大值 M .

36、设 l 为曲线 C : y ? ln x 在点 (1,0) 处的切线. x (1)求 l 的方程; (2)证明:除切点 (1,0) 之外,曲线 C 在直线 l 的下方.

第 13 页 共 13 页

37、已知函数 f ( x) ? x2 ? x sin x ? cos x (1)若曲线 y ? f ( x) 在点 (a, f (a)) 处与直线 y ? b 相切,求 a 与 b 的值; (2)若曲线 y ? f ( x) 与直线 y ? b 有两个不同交点,求 b 的取值范围.

38、已知函数 f ( x) ? x3 ? 3ax2 ? 3x ? 1 (1)求当 a ? ? 2 时,讨论 f ( x) 的单调性; (2)若 x ? [2, ??) 时, f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围.

第 14 页 共 14 页

39、已知函数 f ( x) ? x ? a ln x(a ? R) (1)当 a ? 2 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 A(1, f (1)) 处的切线方程; (2)求函数 f ( x) 的极值.

40、已知函数 f ( x) ? x ? 1 ?

a (a ? R), ( e 为自然对数的底数) ex

(1)若曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线平行于 x 轴,求 a 的值; (2)求函数 f ( x) 的极值; (3)当 a ? 1 时,若直线 l : y ? kx ? 1 与曲线 y ? f ( x) 没有公共点,求 k 的最大值.

第 15 页 共 15 页

41、设函数 f n ( x) ? ?1 ? x ?

x 2 x3 ? ? 22 32

?

xn ( x ? R, n ? N * ) ,证明: 2 n

2 (1)对每个 n ? N * ,存在唯一的 xn ? [ ,1] ,满足 f n ( xn ) ? 0 ; 3

(2)对于任意 p ? N * ,由(1)中 xn 构成数列 ?xn ? 满足 0 ? xn ? xn ? p ?

1 . n

42、已知函数 f ( x) ? e x , x ? R . (1)若直线 y ? kx ? 1 与 f ( x) 的反函数的图像相切, 求实数 k 的值; (2)设 x ? 0 , 讨论曲线 y ? f ( x) 与曲线 y ? mx2 (m ? 0) 公共点的个数. (3)设 a ? b , 比较
f (a) ? f (b) f (b) ? f (a) 与 的大小, 并说明理由. 2 b?a

第 16 页 共 16 页

43、已知函数 f ( x) ? e x , x ? R . (1)求 f ( x) 的反函数的图象上图象上点 (1, 0) 处的切线方程;
1 2 a?b? f (b) ? f (a) (3)设 a ? b , 比较 f ? 的大小, 并说明理由. ? ?与 2 b?a ? ?

(2)证明: 曲线 y ? f ( x) 与曲线 y ? x2 ? x ? 1 有唯一公共点.

44、设函数 f ? x ? ? ln x ? ax , g ? x ? ? ex ? ax ,其中 a 为实数. (1) 若 f ? x ? 在 ?1, ?? ? 上是单调减函数,且 g ? x ? 在 ?1, ?? ? 上有最小值,求 a 的 范围; (2) 若 g ? x ? 在 ? ?1, ?? ? 上是单调增函数,试求 f ? x ? 的零点个数,并证明你的结 论.

第 17 页 共 17 页

45、设 n 为正整数, r 为正有理数. (1)求函数 f ? x ? ? ?1 ? x ?
r ?1

? ? r ? 1? x ? 1? x ? ?1? 的最小值;
r

nr ?1 ? ? n ? 1? (2)证明: r ?1

r ?2

?n

? n ? 1? ?

? nr ?1 ; r ?1

r ?1

3? (3)设 x ? R, 记 ? x?为 不小于 ? =-1. ?? ? =4,? ...x 的最小整数,例如 ? 2? =2, ? ? 2? ?

令 S ? 3 81 ? 3 82 ? 3 83 ??????? ? 3 125, 求 [ S ] 的值。 (参考数据: 80 3 ? 344.7,813 ? 350.5,124 3 ? 618.3,126 3 ? 631.7. )
4 4 4 4

46、已知函数 f ( x) ?

1? x x e . 1 ? x2

(1)求 f ( x) 的单调区间; (2)证明:当 f ( x1 ) ? f ( x2 )( x1 ? x2 ) 时, x1 ? x2 ? 0 .

第 18 页 共 18 页

47、设 a ? 0 , b ? 0 ,已知函数 f ( x) ?

ax ? b . x ?1

(1)当 a ? b 时,讨论函数 f ( x) 的单调性; (2)当 x ? 0 时,称 f ( x) 为 a 、 b 关于 x 的加权平均数. ①判断 f (1) , f (
b b b b ) , f ( ) 是否成等比数列,并证明 f ( ) ? f ( ) ; a a a a

② a 、 b 的几何平均数记为 G . 称
H ? f ( x) ? G ,求 x 的取值范围.

2ab 为 a 、 b 的调和平均数,记为 H . 若 a?b

48、设函数 f ?x ? ?

x ? c?e ? 2.71828 ? 是自然对数的底数, c ? R ? . e2 x

(1)求 f ?x ? 的单调区间,最大值; (2)讨论关于 x 的方程 ln x ? f ?x? 根的个数.

第 19 页 共 19 页

49、已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ?

x?a x ? 2a

(1)记 f ( x) 在区间 [0, 4] 上的最大值为 g (a) ,求 g (a) 的表达式 (2)是否存在 a ,使函数 y ? f ( x) 在区间 (0, 4) 内的图象上存在两点,在该两点 处的切线互相垂直?若存在,求出 a 的取值范围,若不存在,请说明理由

50、已知函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? ln x (a, b ? R) (1)设 a ? 0 ,求 f ( x) 的单调区间 (2)设 a ? 0 ,且对于任意 x ? 0 , f ( x) ? f (1) ,试比较 ln a 与 ?2b 的大小

第 20 页 共 20 页

51、设函数 f ( x) ? ax ? (1 ? a2 ) x2 (a ? 0) ,区间 l ? ? x f ( x ) ? 0? (1)求 l 的长度(注:区间 (? , ? ) 的长度定义为 ? ? ? ) ; (2)给定常数 k ? (0,1) ,当 1 ? k ? a ? 1 ? k 时,求 l 长度的最小值.

52、已知 a ? R ,函数 f ( x) ? 2x3 ? 3(a ? 1) x2 ? 6ax (1)若 a ? 1 ,求曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程; (2)若 a ? 1 ,求 f ( x) 在闭区间 [0, 2a ] 上的最小值.

第 21 页 共 21 页

1 53、已知函数 f ( x) ? a(1 ? 2 x ? ), a 为常数且 a ? 0 . 2

(1)证明:函数 f ( x) 的图像关于直线 x ?

1 对称; 2

(2)若 x0 满足 f ( f ( x0 )) ? x0 ,但 f ( x0 ) ? x0 ,则 x0 称为函数 f ( x) 的二阶周期点, 如果 f ( x) 有两个二阶周期点 x1 , x2 ,试确定 a 的取值范围; (3)对于(2)中的 x1 , x2 ,和 a ,设 x3 为函数 f ( f ( x)) 的最大值点,

A( x1, f ( f ( x1 ))), B( x2 , f ( f ( x2 ))), C( x3 ,0) ,记 ?ABC 的面积为 S (a) ,讨论 S (a) 的单
调性。

54、已知函数 f ( x) ? (1 ? x)e?2 x , g ( x) ? ax ? (1)求证: 1 ? x ? f ( x) ?
1 ; 1? x

x3 ? 1 ? 2 x cos x ,当 x ? [0,1] 时, 2

(2)若 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围.

第 22 页 共 22 页

?1 x(0 ? x ? a 2 ) ? ?a 55、设函数 f ( x) ? ? 错误!未找到引用源。常数且 a ? (0,1) . ? 1 (1 ? x)(a 2 ? x ? 1) ? ?1 ? a

(1)当 a ?

1 1 时,求 f ( f ( )) ; 2 3

(2) 若 x0 满足 f ( f ( x0 )) ? x0 但 f ( x0 ) ? x0 ,则称 x0 为 f ( x) 的二阶有且仅有两个二 阶周期点,并求二阶周期点 x1 , x2 ; (3)对于(2)中 x1 , x2 ,设 A(x 1, f ( f (x ))), B ( x, 2f( f( x))) 2 1 , C (a2 ,0) ,记 ?ABC 的

1 1 面积为 S (a) ,求 S (a) 在区间 [ , ] 上的最大值和最小值。 3 2

56、已知函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ?

x(1 ? ? x) . 1? x

(1)若 x ? 0 时 f ( x) ? 0 ,求 ? 的最小值;
1 1 (2)设数列 {an } 的通项 an ? 1 ? ? ? 2 3 1 1 ? ,证明: a2 n ? an ? ? ln 2 . n 4n

第 23 页 共 23 页

57、已知函数 f ? x ? =x3 ? 3ax2 ? 3x ?1. (1)求 a ? 2 时,讨论 f ( x) 的单调性; (2)若 x ?? 2, ?? ? 时, f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围.

? x 2 ? 2 x ? a( x ? 0) 58、 已知函数 f ( x) ? ? , 其中 a 是实数,A( x1 , f ( x1 )) , B( x2 , f ( x2 )) ln x ( x ? 0) ?
为该函数图象上的点,且 x1 ? x2 . (1)指出函数 f ( x) 的单调区间; (2)若函数 f ( x) 的图象在点 A, B 处的切线互相垂直,且 x2 ? 0 ,求 x2 ? x1 的最 小值; (3)若函数 f ( x) 的图象在点 A, B 处的切线重合,求 a 的取值范围.

第 24 页 共 24 页

59、已知函数 f ( x) ? x2 ln x . (1)求函数 f ( x) 的单调区间; (2)证明: 对任意的 t ? 0 , 存在唯一的 s, 使 t ? f ( s ) . ( 3 )设 ( Ⅱ ) 中所确定的 s 关于 t 的函数为 s ? g (t ) , 证明 : 当 t >e 2 时 , 有
2 ln g (t ) 1 ? ? 5 ln t 2

? x 3 ? (a ? 5) x, x ? 0, ? 60、设 a ? [?2, 0] ,已知函数 f ( x) ? ? 3 a ? 3 2 x ? ax , x ? 0 . ?x ? ? 2

(1)证明 f ( x) 在区间 (?1,1) 内单调递减, 在区间 (1, ??) 内单调递增; (2)设曲线 y ? f ( x) 在点 Pi ( xi , f ( xi ))(i ? 1, 2,3) 处的切线相互平行, 且 x1 x2 x3 ? 0, 证 明 x1 ? x2 ? x3 ? .
1 3

第 25 页 共 25 页

61、已知函数 f ( x) ? x2 ? ax ? b , g ( x) ? ex (cx ? d ) ,若曲线 y ? f ( x) 和曲线
y ? g ( x) 都过点 P(0, 2) ,且在点 P 处有相同的切线 y ? 4 x ? 2 .

(1)求 a, b, c, d 的值; (2)若 x ? ?2 时, f ( x) ? kg ( x) ,求 k 的取值范围.

62、已知函数 f ( x) ? e x (ax ? b) ? x2 ? 4x ,曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处切线方程 为 y ? 4x ? 4 (1)求 a , b 的值 (2)讨论 f ( x) 的单调性,并求 f ( x) 的极大值.

第 26 页 共 26 页

63、已知函数 f ( x) ? ex ? ln( x ? m) (1)设 x ? 0 是 f ( x) 的极值点,求 m ,并讨论 f ( x) 的单调性; (2)当 m ? 2 时,证明 f ( x) ? 0 .

64、己知函数 f ( x) ? x 2e? x (1)求 f ( x) 的极小值和极大值; (2)当曲线 y ? f ( x) 的切线 l 的斜率为负数时,求 l 在 x 轴上截距的取值范围.

第 27 页 共 27 页

65、已知 a ? R ,函数 f ( x) ? x3 ? 3x2 ? 3ax ? 3a ? 3 (1)求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)当 x ? [0,2] 时,求 f ( x) 的 最大值。

66、已知 a ? R ,函数 f ( x) ? 2x3 ? 3(a ? 1) x2 ? 6ax (1) 若 a ? 1, 求曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程; (2) 若 a ?1 , 求 f ( x) 在闭区间 [0, 2a ] 上的最小值.

67、设 f ( x) ? a( x ? 5)2 ? 6ln x ,其中 a ? R ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线 与 y 轴相交于点 (0, 6) . (1)确定 a 的值; (2)求函数 f ( x) 的单调区间与极值.

第 28 页 共 28 页


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