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2013年高三数学数列专题训练题


2013 年高三数学数列专题训练题
一.选择题: 1.lgx,lgy,lgz 成等差数列是 x,y,z 成等比数列的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 2.(文)在等比数列 ?an ? 中,则 a7 · a11 =6, a4 ? a14 ? 5 ,则

a20 =( ) a10
2 3 或

? 3 2

A.

2 3

B.

3 2

C.

2 3 或 3 2

D. ?
2

(理)若

?an ?

是 等 比 数 列 , 其 中 a3 , a7 是 方 程 2 x ? 3kx ? 5 ? 0 的 两 根 , 且

(a3 ? a7 )2 ? 4a2a8 ? 1 ,则 k 的值为( )
A. ?

2 11 3

B.

2 11 3

C. ?

2 11 3

D.

8 3

3.数列 ?an ? 满足 an < an ?1 , an ? n 2 ? ?n ,则实数 ? 的取值范围是( ) A. ? >0 B. ? <0
2 2

C. ? =0
n?1

D. ? >-3 )的前 n 项和为 Sn ,则 Sn 等于( )
n?1

4.设数列 1,(1+2),(1+2+ 2 )…(1+2+ 2 +…+ 2 A. 2
n

B. 2 -n

n

C. 2

-n

D. 2

n?1

-n-2

5.某工厂月生产总值平均增长率为 p,则年平均增长率为( ) A.12P B. p
12

C. (1 ? p) ?1
12

D. (1 ? p)

12

6.在数列 ?an ? 中,已知 a1 ? 1 , a2 ? 5 , an?2 ? an?1 ? an (n ? N? ) ,则 a2006 等于( ) A.5 B.4 C.-1 D.-4

7.(理)给出一系列碳氢化合物的分子式: C6 H 6 , C10 H8 , C14 H10 …,则该系列化合物的分子 中含碳元素的质量分数最大可无限接近于( ) A.95% B.96% C.97% D.98% )

(文)若数列 ?xn ? 的前 n 项和为 Sn ,且 loga (sn ? 1) ? n ,则数列 ?xn ? ( A.只能是递增的等比数列 C.只能是递减的等比数列 8.已知 1 是 a 与 b 的等比中项,又是 A.1 或- ?
2

B.只能是递减的等差数列 D.可能是常数列

2

2

1 2

B.1 或2

1 3

1 1 a?b 与 的等差中项,则 2 的值为( ) a b a ? b2 1 1 C.1 或 D.1 或 3 2

9.若方程 x ? 5x ? m ? 0 与 x ? 10 x ? n ? 0 的四个实根适当排列后,恰好组成一个首项为

1 的等比数列,则 m:n 的值为( A.4 B.2
?5

) C.

1 2
5

D.

1 4

10.等比数列 ?an ? 的首项为 2 ,其前 11 项的几何平均数为 2 ,若在这前 11 项中抽取一项 后的几何平均数为 2 ,则抽出的是( ) A.第 6 项 B. 第 7 项 C. 第 9 项 D. 第 11 项 11. 如图所示,在杨辉三角中,斜线 AB 上方箭头所示的数组成的 一个锯齿形的数列:1,2,3,3,6,4,10,…,记这个数列的前 n 项 的和为 S(n),则 S(16)等于( ) A.128 B.144 C.155 D.164 12. (理)在等比数列 ?an ? 中, a1 ? sec? ( ? 为锐角),且前 n 项 和 Sn 满足 lim S n ?
n ??
5

1 ,那么 ? 的取值范围是( a1
B.(0,

)

A.(0,

? ) 6

? ) 4

C.(0,

? ) 3

D.(0,

? ) 2

(文)根据调查,预测某家电商品从年初开始的 n 个月内累积的需求量 Sn (万件)近似的 满足 Sn ?

n ? 21n ? n2 ? 5? ? n ? 1,2,3,?,12? ,按此预测,在本年度需求量超过 1.5 万件的月 90
B.6 月和 7 月 C.7 月和 8 月 D.8 月和 9 月

份是( ) A.5 月和 6 月 二.填空题:
2

13.已知 lg x ? lg x ? ... ? lg x ? 110 ,则 lg x ? lg x ? ?? ? lg x =_____________
10

2

10

14. 设数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ( n ? N * ). 关于数列 ? an ? 有下列三个命题: (1)若 ? an ? 既是等差数列又是等比数列,则 an ? an?1 (2)若 S n ? a n 2 ? b n ? a 、 ? R ? ,则 ? an ? 是等差数列; b (3)若 S n ? 1 ? ? ? 1 ? ,则 ? an ? 是等比数列.
n

(n ? N*) ;

这些命题中,真命题的序号是

.

15.已知等差数列有一性质:若 ?an ? 是等差数列.则通项为 bn ?

a1 ? a2 ? ...an 的数列 ?bn ? 也 n

是等差数列,类似上述命题,相应的等比数列有性质:若 ?an ? 是等比数列 (an ? 0) ,则通项为

bn =______
_______的数列 ?bn ? 也是等比数列

16.依次写出数 a1 ? 1 , a 2 , a3 ,…法则如下:如果 an ? 2 为自然数且未写出过,则写

an ?1 ? an ? 2 ,否则就写 an ?1 ? an ? 3 ,那么 a 6 ?
三.解答题: 17.设数列{a n}的前 n 项和为 S n,已知 an=5S n-3 (n∈N+) bn}是{a n}的奇数项构成的 ,{ 数列,求数列{bn} 的通项公式.

?1? 18.数列 ?an ? 满足条件 a1 ? 1, an ? an?1 ? ? ? ? 3?
(1)求 a n ;

n ?1

(n ? 2,3,?)

(2)求 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an .

19.已知数列 ?an ? 是等差数列,其前项和为 sn , a3 ? 7, s4 ? 24 。 (1)求数列 ?an ? 的通项公式 (2)设 p,q 是正整数,且 p ? q,证明 S p ? q ?

1 ( S2 p ? S2 q ) 2

20.用分期付款方式购买家用电器一件,价格为 1150 元,购买当天先付 150 元,以后每月 这一天都交付 50 元,并加付欠款的利息,月利率为 1%,若交付 150 元后的第一个月开始算 分期付款的第一个月, 问分期付款的第十个月该交付多少钱?全部货款付清后, 买这件家电 实际花了多少钱?

21.已知数列 ?an ? 的首项 a1 ? 0 ,公比 q ? ?1 且 q ? 0 的等比数列,设数列 ?bn ? 的通项

bn ? an?1 ? kan?2 (n ? N ? ) ,数列 {an } ,{b n } 的前 n 项之和分别为 Sn , Tn ,如果存在常数 k,

使得对所有的适合条件的两个数列,均有 Tn ? kSn 对一切 n ? N 都成立,试求实数 k 的取 值范围。

?

22.已知 f (x)在 ? ?1,1? 上有定义, f ( ) ? 1 ,且满足 x, y ? (?1,1) 时有

1 2

? x? y ? 2 xn 1 f ( x) ? f ( y ) ? f ? ? ,对数列 {an } 满足 x1 ? , xn?1 ? 2 2 1 ? xn ? 1 ? xy ?
(1)证明: f (x)在(-1,1)上为奇函数; (2)求 f ( xn ) 的表达式; (3) 是否存在自然数 m, 使得对于任意 n ? N , 有 成立?若存在,求出 m 的最小值.
?

1 1 1 m?8 ? ? ?? ? ? f ( x1 ) f ( x2 ) f ( xn ) 4

参考答案 一. 选择题: 1.A 2.C(C) 3.D 二,填空题: 13. 2046 15.
n

4.D

5.C

6.A. 7.B(A) 8.B

9.D 10.A

11.D

12.B(C)

14.(1)(2)(3) 、 、 16. 6

a1a2 ...an

三.解答题: 17.由 an=5S n-3(n∈N+)…(1);知 a1=

3 4

,且 an+1=5S n+1-3 (n∈N+) …(2);

(2)-(1)得:an+1-an=5an+1,移项得-an=4an+1, an+1= -

1 4

an,

因为 a1?0,所以 an?0,得

a n ?1 1 ? ? ,所以{an}为等比数列, an 4
3 4
为首项,

an=

3 1 ? (? ) n ?1 ; 4 4

a 1,a 3,…,a 2 n-1,…构成以
∴{bn} 的通项公式为 bn =

1 为公比的等比数列; 16

3 4

· (

1 n ) 16

-1



18.(1) a n

n n 1 ? a1 ? ? (ak ? ak ?1 ) ? 1 ? ? ( ) k ?1 k ?2 k ?2 3

1 1 [1 ? ( ) n?1 ] 3 1 1 3 ? 1? 3 ? ? ( ) n?1 1 2 2 3 1? 3
1 1 ? ( )n 3 1 3 ? 3 n ? 3 ? 3 ? (1) n (2) a1 ? a 2 ? ? ? a n ? n ? , 1 2 2 2 4 4 3 1? 3
19.(1)设等差数列

?an ? 的公差为 d, 依题意得
解得 ?

? a1 ? 2d ? 7 ? ? 4?3 ?4a1 ? 2 d ? 24 ?


? a1 ? 3 ?d ? 2

?an ? 的通项公式为 ?an ? = 2n ? 1
(2)证明∵ an ∵ 2S p ? q

? 2n ? 1∴ S n ?

n(a1 ? an ) ? n 2 ? 2n 2

? ( S 2 p ? S 2 q ) ? 2 ?( p ? q ) 2 ? 2( p ? q ) ? ? (4 p 2 ? 4 p) ? (4q 2 ? 4q) ? ?
= ?2( p ? q)
2



p?q

∴ 2S p?q

? (S2 p ? S2q ) ? 0

∴ S p?q

?

1 ( S2 p ? S2 q ) 2

20.解:购买时付了 150 元,欠款 1000 元,每月付 50 元,分 20 次付完. 设每月付款顺次组成数列{an},则

a1=50+1000×0.01=60(元). a2=50+(1000-50)×0.01=(60-0.5)(元). a3=50+(1000-50×2)×0.01=(60-0.5×2)(元).
依此类推得

a10=60-0.5×9=55.5(元), an=60-0.5(n-1)(1≤n≤20).
∴付款数{an}组成等差数列,公差 d=-0.5,全部货款付清后付款总数为 S20+150=

20 2

(a1+a20)+150

=(2a1+19d)×10+150 =(2×60-19×0.5)×10+150 =1255(元). 答:第十个月该交付 55.5 元,全部货款付清后,买这件家电实际花了 1255 元 21. ∵ bn ∴ Tn

? an?1 ? kan?2 ? an q ? kq2an

? qSn ? kq2 Sn
? na1 ? 0
a1 (1 ? q n ) 1? q
∵q

当 q=1 时 Sn

当q

? 1 时, Sn ?

? ?1 且 q ? 0

∴ Sn

?

a1 (1 ? q n ) ?0 1? q
即 qSn

∴ Tn

? kSn
2

? kq2 Sn ? kSn
?

对于 n ? N ? 恒成立

∴ k (1 ? q

)?q

即k

q 1 ? 2 1 1? q q? q

当 ?1 ? q ? 0 时, q ?

1 1 ? ?2 ;当 q ? 0 时 q ? ? 2 q q

∴ ?1 ? q

? 0时?

1 1 1 ? ? 2 q? 1 2 q

∴k

??

1 2

22.(1)∵ x. y ? (?1.1) 有

x? y f ( x) ? f ( y ) ? f ( ) 1 ? xy

当x

? y 时,可得 f (o) ? 0

当x

o? y ? 0 时 f (o) ? f ( y ) ? f ( ) ? f (? y ) 1 ? oxy
f (? y) ? ? f ( y) ∴ f ( x) 在 (?1,1) 上为奇函数




(1)

? 2 xn ? f ( xn?1 ) ? f ? ? 2 ? ? 1 ? xn ?
=

? x ? (? xn ) ? f? n ? ? 1 ? xn ? (? xn ) ?

f ? xn ? ? f (?xn ) ? 2 f ( xn )




f ( xn ? 1) ?2 f ( xn )

1 f ( x1 ) ? f ( ) ? 1 2



? f ( xn )? 为等比数列,其通项公式为
f ( xn ) ? f ( x1 ) ? 2n?1 ? 2n?1

(2)

假设存在自然数 m,则

1 1 1 1 1 1 ? ? ... ? ? 1 ? ? 2 ? ... ? n?1 f ( x1 ) f ( x2 ) f ( xn ) 2 2 2
=2?

1 m ?8 ? ? 对于 n ? N 恒成立 n ?1 2 4

16 ? 对于 n ? N 恒成立 n 2 ∴ m ? 16 且 m ? N ,即可
∴m

? 16 ?


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