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2018年高考数学考点通关练第五章不等式推理与证明算法初步与复数38直接证明与间接证明试题理

时间:2017-10-29


考点测试 38

直接证明与间接证明

一、基础小题 1. 命题“对于任意角 θ , cos θ -sin θ =cos2θ ”的证明: “cos θ -sin θ =(cos θ -sin θ )(cos θ +sin θ )=cos θ -sin θ =cos2θ ”过程应用了( A.分析法 B.综合法 C.综合法、分析法综合使用 D.间接证明法 答案 B 解析 因为证明过程是“从左往右”,即由条件? 结论. 2.用反证法证明结论“三角形内角至少有一个不大于 60°”,应假设( A.三个内角至多有一个大于 60° B.三个内角都不大于 60° C.三个内角都大于 60° D.三个内角至多有两个大于 60° 答案 C 解析 “三角形内角至少有一个不大于 60°”即“三个内角至少有一个小于等于
2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 2

)

)

60°”,其否定为“三角形内角都大于 60°”.故选 C. 3.若 a,b,c 是不全相等的实数,求证:a +b +c >ab+bc+ca. 证明过程如下: ∵a、b、c∈R,∴a +b ≥2ab,
2 2

b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac.
又∵a,b,c 不全相等,
1

∴以上三式至少有一个“=”不成立. ∴将以上三式相加得 2(a +b +c )>2(ab+bc+ac). ∴a +b +c >ab+bc+ca. 此证法是( A.分析法 C.分析法与综合法并用 答案 B 解析 由已知条件入手证明结论成立,满足综合法的定义. 4. 分析法又称执果索因法, 若用分析法证明: “设 a>b>c, 且 a+b+c=0, 求证 < 3a”索的因应是( A.a-b>0 C.(a-b)(a-c)>0 答案 C 解析
2 2 2 2 2 2 2

) B.综合法 D.反证法

b2-ac

) B.a-c>0 D.(a-b)(a-c)<0

b2-ac< 3a?b2-ac<3a2
2 2 2 2

?(a+c) -ac<3a
2 2

?a +2ac+c -ac-3a <0 ?-2a +ac+c <0 ?2a -ac-c >0 ?(a-c)(2a+c)>0?(a-c)(a-b)>0. 5.若 P= a+ a+7,Q= a+3+ a+4,a≥0,则 P、Q 的大小关系是( A.P>Q C.P<Q 答案 C 解析 令 a=0,则 P= 7≈2.6,Q= 3+ 4≈3.7, ∴P<Q. 据此猜想 a≥0 时 P<Q. 证明如下: 要证 P<Q, 只要证 P <Q , 只要证 2a+7+2 a?a+7?<2a+7+2 ?a+3??a+4?, 只要证 a +7a<a +7a+12, 只要证 0<12, ∵0<12 成立,∴P<Q 成立.故选 C. 6.两旅客坐火车外出旅游,希望座位连在一起,且有一个靠窗,已知火车上的座位如图 所示,则下列座位号码符合要求的应当是( 窗 口 1 6 11 2 7 12 过 道 ) 3 8 13 4 9 14 5 10 15 窗 口
2 2 2 2 2 2

)

B.P=Q D.由 a 的取值确定

2

? A.48,49 C.75,76 答案 D

?

?

? B.62,63 D.84,85

?

解析 由已知图形中座位的排序规律可知, 被 5 除余 1 的数和能被 5 整除的座位号靠窗, 由于两旅客希望座位连在一起,且有一个靠窗,分析答案中的 4 组座位号知,只有 D 符合条 件. 7.已知直线 l⊥平面 α ,直线 m? 平面 β ,有下列命题: ①α ∥β ? l⊥m;②α ⊥β ? l∥m; ③l∥m? α ⊥β ;④l⊥m? α ∥β . 其中正确命题的序号是________. 答案 ①③ 解析 ①
? l⊥α ? ?? l⊥β , α ∥β ? ?

又∵m? β ,∴l⊥m,①正确; ②l⊥α ,当 l? β 且 m 不垂直 α 时, 则 l 必与 m 相交,故②错误; ③

l∥m ? ?
? l⊥α ?

?? m⊥α ,

又 m? β ,∴β ⊥α ,故③正确; ④若 α ∩β =n,且 m∥n 时,

l⊥α ? l⊥n? l⊥m,故④错误.
1 1 1 1 8.记 S= 10+ 10 + 10 +?+ 11 ,则 S 与 1 的大小关系是________. 2 2 +1 2 +2 2 -1 答案 S<1 1 1 1 1 解析 ∵ 10 < 10, 10 < 10,?, 2 +1 2 2 +2 2 1 1 1 = 10 < 10, 10 2 -1 2 +2 -1 2
11

1 1 1 1 1 1 1 ∴S= 10+ 10 + 10 +?+ 11 < 10+ 10+?+ 10=1. 2 2 +1 2 +2 2 -1 2 2 2 二、高考小题 9.[2014·山东高考]用反证法证明命题“设 a,b 为实数,则方程 x +ax+b=0 至少有 一个实根”时,要做的假设是(
3 3 3 3 3

)

A.方程 x +ax+b=0 没有实根 B.方程 x +ax+b=0 至多有一个实根 C.方程 x +ax+b=0 至多有两个实根 D.方程 x +ax+b=0 恰好有两个实根 答案 A

3

解析 根”.

“方程 x +ax+b=0 至少有一个实根”的否定是“方程 x +ax+b=0 没有实

3

3

三、模拟小题 10. [2017·山东济南模拟]用反证法证明: 若整系数一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0) 有有理数根, 那么 a, b,c 中至少有一个是偶数. 用反证法证明时, 下列假设正确的是( A.假设 a,b,c 都是偶数 B.假设 a,b,c 都不是偶数 C.假设 a,b,c 至多有一个偶数 D.假设 a,b,c 至多有两个偶数 答案 B 解析 “至少有一个”的否定为“都不是”,故选 B. 11.[2016·宁夏银川二模]设 a,b,c 是不全相等的正数,给出下列判断: ①(a-b) +(b-c) +(c-a) ≠0; ②a>b,a<b 及 a=b 中至少有一个成立; ③a≠c,b≠c,a≠b 不能同时成立, 其中正确判断的个数为( A.0 C.2 答案 C 解析 ①②正确;③中,a≠b,b≠c,a≠c 可以同时成立,如 a=1,b=2,c=3,故正 确的判断有 2 个. 1 1 1 12.[2016·长春模拟]设 a,b,c 都是正数,则 a+ ,b+ ,c+ 三个数( ) B.1 D.3
2 2 2 2

)

b

c

a

)

A.都大于 2 C.至少有一个不大于 2 答案 D

B.都小于 2 D.至少有一个不小于 2

1 1 1 1 1 1 解析 假设 a+ ,b+ ,c+ 都小于 2,则有 a+ +b+ +c+ <6.

b

c

a

b

c

a

因为 a,b,c 都是正数, 1 1 1 所以 a+ +b+ +c+

b

c

a c? c· c
1

? 1? ? 1? ? 1? =?a+ ?+?b+ ?+?c+ ? ?
a? ?
1

b? ?

≥2

a· +2 a b c

b· +2 b a

1

1 1 1 =6 与 a+ +b+ +c+ <6 矛盾. 1 1 1 故假设不成立,所以 a+ ,b+ ,c+ 至少有一个不小于 2,故选 D.

a

b

a

13.[2017·山东烟台模拟]设 a>b>0,m= a- b,n= a-b,则 m,n 的大小关系是
4

________. 答案 n>m 解析 解法一(取特殊值法):取 a=2,b=1,则 m<n. 解 法二 ( 分析法 ) : a - b < a-b ? b + a-b > a ? a<b + 2 b · a-b + a - b ? 2 b· a-b>0,显然成立.

一、高考大题 1.[2016·北京高考]设数列 A:a1,a2,?,aN(N≥2).如果对小于 n(2≤n≤N)的每个 正整数 k 都有 ak<an,则称 n 是数列 A 的一个“G 时刻”.记 G(A)是数列 A 的所有“G 时刻” 组成的集合. (1)对数列 A:-2,2,-1,1,3,写出 G(A)的所有元素; (2)证明:若数列 A 中存在 an 使得 an>a1,则 G(A)≠?; (3)证明:若数列 A 满足 an-an-1≤1(n=2,3,?,N),则 G(A)的元素个数不小于 aN-a1. 解 (1)G(A)的元素为 2 和 5.
*

(2)证明:因为存在 an 使得 an>a1, 所以{i∈N |2≤i≤N,ai>a1}≠?. 记 m=min{i∈N |2≤i≤N,ai>a1}, 则 m≥2,且对任意正整数 k<m,ak≤a1<am. 因此 m∈G(A).从而 G(A)≠?. (3)证明:当 aN≤a1 时,结论成立. 以下设 aN>a1. 由(2)知 G(A)≠?. 设 G(A)={n1,n2,?,np},n1<n2<?<np.记 n0=1,则 an0<an1<an2<?<anp. 对 i=0,1,?,p,记 Gi={k∈N |ni<k≤N,ak>ani}. 如果 Gi≠?,取 mi=min Gi,则对任意 1≤k<mi,ak≤ani<ami. 从而 mi∈G(A)且 mi=ni+1. 又因为 np 是 G(A)中的最大元素,所以 Gp=?. 从而对任意 np≤k≤N,ak≤anp,特别地,aN≤anp. 对 i=0,1,?,p-1,ani+1-1≤ani. 因此 a ni+1=a ni+1-1+(a ni+1-a ni+1-1)≤ani+1.
* *

p
所以 aN-a1≤anp-a1= ∑ (a ni-a ni-1)≤p. i=1 因此 G(A)的元素个数 p 不小于 aN-a1. 2.[2016·浙江高考]设数列{an}满足?an-

? ?

an+1?

≤1,n∈N . 2 ? ?
*

5

(1)证明:|an|≥2

n-1

(|a1|-2),n∈N ;

*

?3?n * * (2)若|an|≤? ? ,n∈N ,证明:|an|≤2,n∈N . ?2?
证明 (1)由?an-

? ?

an+1?

1 ?≤1,得|an|-2|an+1|≤1,故 2 ?

|an| |an+1| 1 * n - n+1 ≤ n,n∈N , 2 2 2 所以 <1, 因此|an|≥2
n-1
*

|an|? 1 1 |a1| |an| ?|a1| |a2|? ?|a2| |a3|? -1| 1 ?|an 1 - 2 ?+? 2 - 3 ? +?+ ? n-1 - n ? ≤ 1 + 2 +?+ n-1 1 - n =? 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? 2 2 (|a1|-2).

(2)任取 n∈N ,由(1)知,对于任意 m>n, |am|? 1 |an| |am| ?|an| |an+1|? ?|an+1| |an+2|? -1| 1 1 ? |am +?+ m-1 n - n+1 ?+? n+1 - n+2 ? +?+? m-1 - m ?≤ + n - m =? 2 2 2 ? 2n 2n+1 2 2 2 ? 2 ? ? 2 ? ? 2 < 1 2
n-1

, 1 |am|? n ? 1 1 ?3?m? ? n n -1+ m ?·2 ≤? n-1+ m·? ? ?·2 2 2 ? 2 2 ? ? ?2 ? ?

故|an|<?

?3?m n =2+? ? ·2 . ?4?
从而对于任意 m>n,均有

?3?m n |an|<2+? ? ·2 . ① ?4?
由 m 的任意性得|an|≤2. 否则,存在 n0∈N ,有|an0|>2,取正整数 m0>log3 4 log3 3?m n ?3? ? n 4 且 m0>n0,则 2 0·? ? 0<2 0·? ? ?4? ?4?
* *

|a n0|-2 20
n

|a n0|-2 20
n

=|a n0|-2,与①式矛盾,

综上,对于任意 n∈N ,均有|an|≤2. 二、模拟大题 3.[2017·贵州安顺调研]已知函数 f(x)=3 -2x,求证:对于任意的 x1,x2∈R,均有
x

f?x1?+f?x2?
2

≥f?

?x1+x2?. ? ? 2 ?
2
x

证明 要证明

f?x1?+f?x2?

≥f?

?x1+x2?, ? ? 2 ?
x1+x2
-2·

2 ?3 1-2x1?+?3 2-2x2? 即证明 ≥3 2

x

x1+x2
2



6

x1+x2
3 1+3 2 因此只要证明 -(x1+x2)≥3 2
x x

2

-(x1+x2),

x1+x2
2 3 1+3 2 即证明 ≥3 2
x x x x



3 1+3 2 x x 因此只要证明 ≥ 3 1·3 2, 2 由于 x1,x2∈R 时,3 1>0,3 2>0, 3 1+3 2 x x 由基本不等式知 ≥ 3 1·3 2显然成立, 2 故原结论成立. 4.[2016·山东临沂三校联考]已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 an+Sn=2. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求证:数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列. 解 (1)当 n=1 时,a1+S1=2a1=2,则 a1=1. 又 an+Sn=2,所以 an+1+Sn+1=2, 1 两式相减得 an+1= an, 2 1 1 所以{an}是首项为 1,公比为 的等比数列,所以 an= n-1. 2 2 (2)证明(反证法):假设存在三项按原来顺序成等差数列,记为 ap+1,aq+1,ar+1(p<q<r, 且 p,q,r∈N ), 1 1 1 则 2· q= p+ r, 2 2 2 所以 2·2
r-q
*

x

x

x

x

=2

r-p

+1.①
*

又因为 p<q<r,所以 r-q,r-p∈N . 所以①式左边是偶数,右边是奇数,等式不成立. 所以假设不成立,原命题得证.

7


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