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双曲线及抛物线的参数方程(含答案)

时间:2013-08-10


博文教育讲义 课题:双曲线的参数方程 学习目标:1、理解双曲线的参数方程,掌握参数方程的应用 2、通过学习圆锥曲线的参数方程,得出参数方程与普通方程互化的方法. 学习重点:双曲线的参数方程及其应用 学习难点:双曲线的参数方程及其应用 学习过程: 1、复习回顾 1.圆 x2+y2=r2 的参数方程为 2.圆(x-a)2+(y-b)2=r2 的参数方程为 3.椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的一个参数方程 a 2 b2
如图2 ? 10,以原点O为圆 心,a , ? a ? 0, ? 0 ? 为半 b b 径分别作同心圆C1 , 2 . 设 C A为圆C1上任一点,作直 线OA,过点A作圆C1的切 线AA?与x轴交于点A?,过 圆C 2与x轴的交点B作圆C 2的切线BB ?与直线OA交于 点 B ?. 过点 A?,B ?分别作 y 轴,x 轴的平行线A?M, B ?M 交于点M .
设Ox为始边,OA为终 边的角为?,点M的坐 标为 ? x, ? . 那么点A? y 的坐标为 ? x, ?,点B ? 0 的坐标为 ? b, ? . y

2、双曲线参数方程的探求

类似于探究椭圆参数方程的方法,我们来探究 2 y2 双曲线 x2 ? 2 ? 1 ? a ? 0, ? 0 ? b ② a b 的参数方程.

y
B?
C1
C2
O

M

?

A

B

A?

x

图 2 ? 10

因为点A在圆C1上,由圆 的参数方程得点A 的坐标 ??? ? 为? a cos ? , sin ? ?,所以OA ? ? a cos ?,b sin ? ?, b ???? AA? ? ? x ? a cos ? , a sin ? ? . ? ??? ???? ? ??? ???? ? 因为OA ? AA?,所以OA ? AA? ? 0,从而
2

a cos ? ? x ? a cos ? ? ? ? a sin ? ? ? 0.
因为点B?在角?的终边上,由 y 三角函数定义有 tan ? ? , b 即y ? b tan ? .

解得 x ?

a . 记 cos ?

1 ? sec? ,则x ? a sec? . cos?

?

所以,点M的轨迹的参数方程为 x ? a sec? ?? 为参数 ? ③ y ? b tan ?

1 ? sin ? ? 1,即sec2 ? ? tan 2 ? ? 1, cos 2 ? cos 2 ? 所以,从③消去参数? 后得到点M的轨迹的普通 方程为②,这是中心在原点,焦点在x轴上的双 曲线. 所以③就是双曲线②的参数方程 .
2

因为

在双曲线的参数方程③中,通常规定参数?的范 围为? ? ? 0, ? ?,且? ? ? ,? ? 3? . 2 2 2

由图 2 ? 10 ? 或通过动画演示 ? 可以看到, 参数? 是点M 所对应 的圆的半径 OA 的旋 转角 (称为点 M 的离 心角),而不是OM的 旋转角 .
与椭圆类似,双曲线 2 x 2 ? y ? 1上任意一点的坐标可以设为 a 2 b2 ? a sec ?,b tan ? ?,这是解决与双曲线有关 的问题的重要方法 .

3、自主练习 1 双曲线 ?

? x ? 2 sec? (?为参数), 的渐近线方程为 ? y ? tan?

2 双曲线

y2 x2 ? ? 1(a >0, b >0)的参数方程为 a2 b2

4、 例题讲解: 例题 1、设 M 为双曲线

x2 y2 ? ? 1(a , b ? 0) 任意一点,O 为原点,过点 M 作双曲线两渐近线的平行线, a 2 b2

分别与两渐近线的平行线,分别与两渐近线交于 A、B 两点.探究平行四边形 MAOB 的面积,由此可以发现 什么结论?

解:双曲线的渐近线方程为 y ? ? b x . 不妨设 M 为 a 双曲线右支上一点,其坐标为 ? a sec ? ,b tan ? ?, A 则直线MA的方程为 M b ? x ? a sec ? ? . ④ x O y ? b tan ? ? ? B a 将y ? b x代入④,解得点A 的横 a 坐标为x A ? a ? sec ? ? tan ? ? . 所以,平行四边形MAOB的面积为 2 S平行四边形MAOB ?| OA | ? | OB | sin 2? ? x A ? xB ? sin 2? 同理可得点B 的横坐标为 cos? cos? x B ? a ? sec ? ? tan ? ? . 2 a 2 ? sec2 ? ? tan 2 ? ? b. ? ? sin 2? 设?AOx ? ?,则tan? ? 4cos 2 ? a 2 2 ? a ? tan? ? a ? b ? ab . 2 2 a 2 由此可见,平行四边形MAOB的面积恒为定值, 与点M 在双曲线上的位置无关.
2 求点 M0(0,2)到双曲线 x2-y2=1 的最小距离(即双曲线上任一点 M 与点 M0 距离的最小值) .5、 课堂小结 双曲线

y

? x2 y 2 ? x ? a sec ? , ( ? 为参数) ? 2 ? 1(a ? 0,b ? 0) 的一个参数方程 ? 2 a b ? y ? b tan ? . ?

6、课后作业 1)把下列普通方程化为参数方程,把参数方程化为普通方程.

x2 y 2 (1) ? ?1 4 9
? x ? 3sec ? (3) ? (?为参数) ? y ? 5 tan ?

y2 (2) x ? ?1 16
2

? x ? 8sec ? (4) ? (?为参数) ? y ? 10 tan ?
2

2)设 P 为等轴双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 上的一点, F1 , F2 为两个焦点,证明 F1 P ? F2 P ? OP
课题:抛物线的参数方程 学习目标:1、理解抛物线的参数方程,掌握参数方程的应用. 2、通过学习圆锥曲线的参数方程,得出参数方程与普通方程互化的方法. 学习重点:双曲线的参数方程及其应用 学习难点:双曲线的参数方程及其应用 学习过程: 一、自学导读 1、复习引入 1).圆 x2+y2=r2 的参数方程为 2).圆(x-a)2+(y-b)2=r2 的参数方程为 3.)椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的参数方程为 a 2 b2 x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的参数方程为 a 2 b2

4). 双曲线

2、抛物线参数方程的探求

设抛物线的普通方程为 y 2 ? 2 px.......... .(5) 因为点M在?的终边上,根据三角函数的

如果令t ?
2

1 , t ? (??,0) ? (0,??), 则有 tan ?

? x ? 2 pt y (t为参数) ? 定义可得 ? tan ? .......... .......... .......... ....( 6) x ? y ? 2 pt 2p ? 当t ? 0时,由参数方程表示的点正好就是抛物线 ? x ? tan2 ? ? 由(5), (6)解出x, y,得到? (?为参数)的顶点(0,0)因此当t ? (??,??)时,参数方程就表 2p ?y ? 示抛物线。参数t表示抛物线上除顶点外的任意 ? tan ? ? 一点与原点连线的斜率的倒数。 这就是抛物线(5)(不包括顶点)的参数方程
则:抛物线 y2=2px 的参数方程为: 学生自主探求:其他三种抛物线标准方程的参数方程: 1. .抛物线 y2= —2px 的参数方程为 2.抛物线 x ? 2 py 的参数方程为
2

3.抛物线 x ? ?2 py 的参数方程为
2

4.已知点 M(3,m)在以 F 为焦点的抛物线 ?

2 ? ? x ? 4t , 上求 MF ? y ? 4t ?

3、例题讲解: 1. 如图,O 是直角坐标原点,A,B 是抛物线 y2=2x 上异于顶点的两动点,且 OA⊥OB,OM⊥AB 并与 AB 相交于点 M,求点 M 的轨迹方程.

解:根据条件,设点M , A, B的坐标分别为( x, y )
2 (2 pt12 ,2 pt1 ), (2 pt2 ,2 pt2 )(t1 ? t 2 , 且t1 ? t 2 ? 0)则 2 OM ? ( x, y ), OA ? (2 pt12 ,2 pt1 ), OB ? (2 pt2 ,2 pt2 ) 2 AB ? (2 p (t 2 ? t12 ), 2 p(t 2 ? t1 )) ? ? ? ?

y A M O B x

因为OA ? OB, 所以 OA? OB ? 0,即 (2 pt1t 2 ) 2 ? (2 p ) 2 t1t 2 ? 0, 所以t1t 2 ? ?1.......... .(8) ? ? ? ? 2 因为OM ? AB, 所以 OM ? OB ? 0, 即 所以( x ? 2 pt12 )( 2 pt2 ? y ) ? (2 pt2 ? x)( y ? 2 pt1 ) 2 2 px(t 2 ? t12 ) ? 2 py(t 2 ? t1 ) ? 0 化简,得y (t1 ? t 2 ) ? 2 pt1t 2 ? x ? 0.......... .....(10)
所以x(t1 ? t 2 ) ? y ? 0, 即t1 ? t 2 ? ?
?

?

?

?

?

将(8), (9)代入(10), 得到 y y (? ) ? 2 p ? x ? 0 x 2 即x ? y 2 ? 2 px ? 0( x ? 0) 这就是点M的轨迹方程

y ( x ? 0)......... .......... .......... ...( 9) x

因为 AM ? ( x ? 2 pt12 , y ? 2 pt1 ),
2 MB ? (2 pt2 ? x,2 pt2 ? y )且A, M , B三点共线, ?

探 究:点 A,B 在什么位置时,△AOB 的面积最小?最小值是多少?

由例3可得 OA = (2 pt12 ) 2 ? (2 pt1 ) 2 ? 2 p t1 t12 ? 1
2 2 OB ? (2 pt2 ) 2 ? (2 pt2 ) 2 ? 2 p t 2 t 2 ? 1

所以,?AOB的面积为
2 S ?AOB ? 2 p 2 t1t 2 (t12 ? 1) ? (t 2 ? 1)

y o M( x,y)

?

2 ? 2 p 2 t12 ? t 2 ? 2 ? 2 p 2 (t1 ? t 2 ) 2 ? 4 ? 4 p 2

当且仅当t1 ? ?t 2,即当点A, B关于x轴对称时, ?AOB的面积最小,最小值为4 p 2 .

4、课堂小结 5、课后作业: 1、经过抛物线 y2=2x 的顶点 O 任作两条互相垂直的线段 OA 和 OB,以直线 OA 的斜率 k 为参数,求线段 AB 的中点 M 的轨迹的参数方程. 6、 课后反思


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