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第12章圆锥曲线12.4(椭圆的性质)

时间:2016-02-16


12.4 椭圆的性质

霁虹桥—云南省澜沧江上“西南第一桥”,是我国最早的铁索桥之一

—明成化年间(1465-1487)建铁索吊桥,现为清康熙二十年(1681)造.

M

复习

M

. F


F1

>F2



定义:平面内与两定点F1、F2的距离之和等于 常数2a (2a>|F1F2|) 的点的轨迹叫做椭圆. 其中,两个定点叫做椭圆的焦点, 两个焦点的距离叫做椭圆的焦距.
x2 y2 一般地,焦点在 x轴上的椭圆标准方程 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0); a b 2 2 y x 焦点在y轴上的椭圆标准方程 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0). a b 2 2 2

其中a ? b ? c

椭圆的性质

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 1、对称性: a b 椭圆既是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形,

又是以原点为对称中心的中心对称图形. 椭圆的对称中心 叫做椭圆的中心.
P2(-x,y)

y
P(x,y)

关于y轴对称
O

关于x轴对称

x
P1(x,-y)

关于原点对称
P3(-x,-y)

椭圆的性质
2、椭圆的顶点
x y A1 ? ? 1( a ? b ? 0) (-a,0) F1 a 2 b2 当 x = 0,得 y = ?;
2 2

y
B2 (0,b)

b o c

a
F2

A2(a,0)

x

当 y = 0,得 x = ?.

B1 (0,-b)

? 椭圆的顶点:椭圆与它的对称轴的四个交点. ? 椭圆的长轴、短轴:线段A1A2、线段B1B2. 长轴的长为2a,短轴的长为2b. ? a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 显然,椭圆的焦点位于椭圆的长轴上.

椭圆的性质
3、椭圆的范围
x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b
x2 y2 由 2 ? 1, 2 ? 1得 a b
A1 B2

y
a F2
A2

b F1

o c
B1

x

? a ? x ? a, ? b ? y ? b.

椭圆位于x =±a,y = ±b 围成的矩形内.

椭圆的性质
1、对称性; 2、椭圆的顶点;3、椭圆的范围.

例1 已知椭圆方程为9x2+4y2=36,
它的长轴长是: 6 ;短轴长是: 4 ; 焦距是: 2 5 ;焦点坐标是: (0, 5 ), (0, ? 5 ) ;

(2,0)和(?2, 0) ; 顶点坐标是: (0, 3)和(0, ? 3) ,
外切矩形的面积等于: 24 .

写出: 与椭圆9x2+4y2=36有相同焦点的 椭圆的标准方程. (至少两个)
y2 x2 形 如 :2 ? 2 ? 1 (a ? 5 ) a a ?5

· · ·· ·

例2 我国发射的第一颗人造卫星的运行轨道 是以地球的中心F2为一个焦点的椭圆. 已知它的近地点A(离地面最近的点)距地 面439km,远地点B(离地面最远的点)距地面 2384km,地球中心位于椭圆长轴AB上,地球 半径约为6371km,求卫星运行的轨道方程. y (精确到0.1km)
F1 B F2 O C

A

D

x

解:如图建立平面直角坐标系

求卫星运行的轨道方程.(精确到0.1km)
x2 y2 设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a b
1

y

x y ? ? 1. 则卫星运行的轨道方程是 2 2 7782 .5 7721 .5

则AC=439,BD=2384, F F A D O C x B F2C=F2D=6371 a-c = OA-OF2 = F2A =439+6371 = 6810 a+c = OB+OF2 = F2B 解得 a = 7782.5 = 2384+6371 = 8755 c = 972.5 b ? a 2 ? c 2 ? 7721 .5 2 2
2

思考 1、已知 M 是焦点为 F1、F2 的椭圆

变式:已知焦点在 x 轴上的椭圆,其焦点与 短轴两端点的连线互相垂直,且此焦点 与长轴较近的端点距离为 10 ? 5 , 求 2 2 x y 该椭圆的标准方程 ? ?1 10 5 x2 y2
25 16 上的一点,且 ?F1MF2 ? 30? ,求 ?F1MF2 的面积. ? ?1

x2 y2 ? ? 1 的左焦点, P 是此椭圆上的 思考 2、已知 F 是椭圆 9 5 动点, A(1, 1) 是一定点,求 PA ? PF 的最大值和最小值.
A . . . F F’ P P2

P1

椭圆的性质
图 形
x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

标准方程
范 围

y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

|x|≤ a,|y|≤ b

|x|≤ b,|y|≤ a

对称性

顶点坐标
焦点坐标

关于x轴、y轴成轴对称; 关于x轴、y轴成轴对称; 关于原点成中心对称. 关于原点成中心对称. (a,0)、(-a,0), (b,0)、(-b,0), (0,b)、(0,-b) (0,a)、(0,-a) (c,0)、(-c,0) 长半轴长为a, 短半轴长为b(a>b)
2 2 = + a b c 2

(0,c)、(0,-c) 长半轴长为a, 短半轴长为b(a>b)

半轴长
a,b,c的关系

a2=b2+c2


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