3.2.2直线的两点式方程(2)

温故知新
1.点斜式 y ?
y0

(存 在 ) ?斜 率 k ? k ( x ? x0 ) 条 件 ： ? ? 一 个 点 的 坐 标 P0 ( x 0 , y 0 )

2.斜截式 y ? kx ? b
y ? y1 y 2 ? y1 ? x ? x1 x 2 ? x1

(存 在 )

?斜 率 k 条件 ? ?在 y轴 上 的 截 距 b
? 两 点 坐 标 P1 ( x 1 , y 1 ), P2 ( x 2 , y 2 ) 条件 ? ? x1 ? x 2 , y 1 ? y 2

3.两点式

4.截距式

x a

?

y b

?1

? 两 坐 标 轴 的 截 距 a 和 b ,( 存 在 ) 条件 ? ? a ? 0 且 b ? 0 ,( a b ? 0 )

例 1 ： 在 ? A B C 中 ， 点 A (1, 3 )， A B 边 上 的 中 线 C D的 直 线 方 程 为 x - 2 y +1= 0 ， A C 边 上 的 中 线 B E的 直 线 方 程 为 y - 1= 0 ， 求 直 线 B C 的 方 程 。
解 ： 设 B ( x ,1) 则 A B 的 中 点 （ 在 C D 直 线 x - 2 y +1= 0 上 x+1 2 同 理 可 得 ： C ( ? 3 ， 1)， ? 由 两 点 是 直 线 方 程 得 B C ： x - 4 y -1 = 0 ? 2? 2 ?1? 0 x+1 2 ,2 ）

y A

x-2y+1=0
D B x

?

y-1=0
0 C

? x = 5即 B （ 5 ,1 ）

过 例2： 点 P ( 2 ,1) 作 直 线 l 分 别 交 x 轴 的 正 半 轴 和 y轴 的 正 半 轴 于 A , B点 。

（1 ） 当 ? A O B O 为 原 点 ） 的 面 积 S 最 小 时 ， 求 直 线 l 的 方 程 ； （

（ 2 ） 当 P A ? P B 取 最 小 值 时 ， 求 直 线 l的 方 程 。
解：设直线l的方程为
2 1 由 ? ?1? 2 ? a b a b 2 1

x a

?

y b

?1 得

2 a

?

1 b

? 1(a ? 0, b ? 0)
y

得ab ? 8
当 2 a ? 1 b ? 1 2
B

S ?AOB ?

1 2

ab ?

4

时

F 0

θ
E

P A x

即a ? 4, b ? 2时，
S?AOB的最小值为 4，此时 x 4 ? y 2 ?1

解：
( 2 ) 如 图 ， 在 ? P B F 中 ， P As i n ? = 1 在 ? P A E中 ， P B c o s ? = 2 ? PA ? PB= 2 s in ? ? c o s ?
0

=

4 s in 2 ?
0

当 s in 2 ? =1时 ， ? = 9 0 即 ? = 4 5 2
0

? 直 线 的 倾 斜 角 为135 ， k = ? 1 即 y ? 1= ? 1( x ? 2 ) ? y= ? x + 3

对截距概念的深刻理解 求过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距相等的直线? 当两截距都不为0时 解: 设 直线的方程为: x ? y ? 1 a a
把(1,2)代入得：
1 a ? 2 a ?1

即：a=3

法二：用点斜式求解 所以直线方程为：x+y-3=0 那还有一条呢？ 当两截距都等于0时y=2x (与x轴和y轴的截距都为0)
变式练习：求过定点P(1,2)且横截距比纵截距大1的 直线方程

对截距概念的深刻理解

变： 过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的 绝对值相等的直线有几条? x y 解：三条 ? ? 1 ? a b 设 ? a?b ?
解得：a=b=3或a=-b=-1 直线方程为：y+x-3=0、y-x-1=0或y=2x

变：过(1,2)并且在y轴上的截距是x轴上的截 距的2倍的直线是（ ）
A、 x+y-3=0 C、 2x+y-4=0 B、x+y-3=0或y=2x D、2x+y-4=0或y=2x

练习：
1 ， 过 点 A （ 2 ,3 ） 可 作 于 x 轴 ， y 轴 的 截 距 都相等的直线的有条并求出相应的 直线方程。
2 ， 若 5 x1 + 2 y1 + 1 2 = 0 ,5 x 2 + 2 y 2 + 1 2 = 0,

则 经 过 A ( x 1 ,y 1 ) , B ( x 2 ,y 2 ) 的 直 线 m的 方 程 为 ______________

数形结合与对称的灵活应用 已知一条光线从点A(2，-1)发出、经x轴反射后， 通过点B(-2,-4)，试求点P坐标 变：已知两点A(2，-1)、B(-2,-4) 试在x轴上求一点P，使|PA|+|PB|最小 变：试在x轴上求一点P，使|PB|-|PA|最大

P (x,0) A(2,-1) B(-2,-4)

数形结合与对称的灵活应用 已知直线l:x-2y+8=0和两点A(2,0)、B(-2,-4) （1）求点A关于直线l的对称点 (-2,8) （2）在直线l是求一点P，使|PA|+|PB|最小 (-2,3) （3）在直线l是求一点Q，使|PA|-|PB|最大 (12,10) A1(x,y) G P G A(2,0) B(-2,-4) B(-2,-4) A(2,0)

小结
斜率和一点坐标 斜率k和截距b

点斜式
斜截式

y ? y0 ? k ( x ? x0 )

y ? kx ? b
y ? y1 y 2 ? y1 ? x ? x1 x 2 ? x1

两点式 两点坐标 点斜式 两个截距 截距式

y ? y0 ? k ( x ? x0 )

x a

?

y b

?1