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不等式,斜三角形期末复习题


2015 级期末复习资料
一不等式的性质 (一)用“<”或“>”填空: ⑴若 a-b<c-b,则 a ⑶若-a<-b,则 a (5)若 a-b>a 则 b (7) 若 a<-b 则 ? a b 0 -? b c ⑵若 3a>3b,则 a (6) 若 ac > bc 则 a (8)若 a<b 则 a-b 0
2 2 2

b b b

>
⑷若 2a+1<2b+1,则 a

(9) 若 a<0,b 0 时 ab≥0 (10)已知 a >b,若 a <0 则 a (二)选择题 1、已知 a ? b ? 0 ,下列不等式恒成立的是( )

a b,

A.a2 ? b2

a B. ? 1 b

1 1 C. ? a b

D.

1 1 ? a b


2、已知 a ? 0, b ? ?1,下列不等式恒成立的是(

A.a ?

a a ? b b2

B.

a a ? ?a b2 b

a a C. ? 2 ? a b b

a a D. ? a ? 2 b b


3、若 a, b, c, d 四个数满足条件: ?1? d ? c; ? 2? a ? b ? c ? d ; ?3? a ? d ? b ? c ,则(

A.b ? c ? d ? a

B. a? d ? c? b


C. d ? b? a ? c

D. b? d ? c? a

4、下列命题中正确的是(

A.a ? b, k ? N * ? ak ? bk
C.a ? b, c ? d ? ? a ? b ? ? ? c ? d ?
2 2

B.a ? b, c ? 1 ?

c ?1 c ?1 ? b a a b D.a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ? d c
(3)- x +x-1<0
2

二.解下列不等式 (1)-6 x -x+2≤0
2

(2)4 x +4x+1≤0

2

(4) (1-x) (3-x)>0

(5)2

2x

>4

(6) ( )

1 3

x 2 ?8

1 ? ( ) ?2 x 3

(7)log 2 (x-3)>log 2 3

(8)㏒ 1 (4x+2) >㏒ 1 10
2
2

(9) lg( x ? 2 x ? 2) ? 1
2

(10)

x?2 ?0 x?3

(11)

2? x ?0 x?3

(12)

x?2 ?0 x?3

(13)

x?2 ?2 x?3

(14) 2x ? 5 ? 7 .

(15) 2 ? x ? 3

(16)|1-2x|<5

三.含参数问题 1.关于 x 的不等式 ax ? bx ? 21 ? 0 的解集为 {x | ?7 ? x ? ?1} .
2

(1)求 a 、 b 的值;

(2)求关于 x 的不等式 x 2 ? (a ? 1) x ? b ? 0 的解集..

2.解关于 x 的不等式 (1) x2 ? ? a ?1? x ? a ? 0 思考: (1) x 2 ? 2ax ? 3a 2 ? 0(a ? R).(2)ax2 ? (a ? 1) x ? 1 ? 0.

3.关于 x 的不等式 ?m ? 2?x ? 2?m ? 2?x ? 4 ? 0 对一切实数 x 恒成立,求实数 m 的取值范围.
2

变式 1.关于 x 的不等式 ?m ? 2?x ? 2?m ? 2?x ? 4 ? 0 对一切实数 x 恒成立,求实数 m 的取值范围.
2

2.关于 x 的不等式 ?m ? 2?x ? 2?m ? 2?x ? 4 ? 0 对一切实数 x 恒成立,求实数 m 的取值范围.
2

四.练习题

1 例1 若 0<a<1,则不等式 (x-a)(x- ) < 0的解是 [ ] a 1 1 1 1 A.a ? x ? B.x ? 或x ? a A. ? x ? a D.x ? 或x ? a a a a a
2.不等式 ?

?1 ?? 1 ? ? x ?? ? x ? ? 0 的解集为 ( ?2 ?? 3 ? 1 1? ?x? ? 3 2?
B、 ? x | x ?



A、 ? x |

? ?

? ?

1? ? 2?


C、 ? x | x ? ? )

? ?

1? 3?

D、 ? x | x ?

? ?

1 1? 或x? ? 3 2?

3.在下列不等式中,解集为 ? 的是 A、 2 x ? 3x ? 2 ? 0
2 2

B、 x ? 4 x ? 4 ? 0

C、 4 ? 4 x ? x ? 0
2

D、 ?2 ? 3x ? 2 x ? 0
2

4.函数 y ?

x 2 ? 2 x ? 3 ? log 2 ? x ? 3? 的定义域为
B、 ? ?3, ?1?

( ) D、 ? ?3, ?1? ? ?3, ??? ) D. ? ?2, 2?

A、 ? ??, ?1? ? ?3, ???
2

C、 ? ??, ?1? ??3, ???

5.若不等式 x ? mx ? 1 ? 0 的解集为 R ,则 m 的取值范围是( A. R
2

B. ? ?2, 2 ?
2

C. ? ??, ?2? ? ? 2, ??? ) C. ? ?3, 4?

6.不等式 x ? ax ?12a ? 0 ? a ? 0? 的解集是( A. ? ?3a,4a ?
2

B. ? 4a, ?3a ?

D. ? 2a,6a ? ) D. 10 )

7.不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 的解集是 ? x ?

? ?

1 1? ? x ? ? ,则 a ? b ? ( 2 3?
C. ?10

A. ?14

B. 14

8.如果 a, b, c满足c ? b ? a, 且ac ? 0, 则以下选项中不一定成立的是 (

A.ab ? ac

B.c ?b ? a ? ? 0

C.cb2 ? ab2

D.ac ? a ? c ? ? 0

9.若关于 x 的方程 x2+ax+a2-1=0 有一正根和一负根,则 a 的取值范围为_______ 10.设 A ? x | x ? 9 , B ? ? x |
2

?

?

? ?

x?7 ? ? 0? ,则 A ? B ? ________ x ?1 ?
__

2 11.已知 U ? {x | x ? 3x ? 2 ? 0} , A ? {x || x ? 2 |? 1} ,则 CU A =____________

12.不等式 ax ? x ? a ? 0 的解集是 R,则实数 a 的取值范围是__________________.
2

13. y ?

kx 2 ? 6kx ? (k ? 8) 的定义域为 R,则 k 的取值范围__________________.

14.若 m ? 0, n ? 0, m ? n ? 0, 则m, n, ?m, ?n的大小关系为

考点梳理:
1.几个重要的不等式 (1)a +b ≥2ab(a,b∈R). (3)ab≤?
2 2

(2) + ≥2(a,b 同号). (4)

≥? ? (a,b∈R). 2 ? 2 ? 注意:使用均值不等式求最值,前提是“一正、二定、三相等” . 2.利用均值不等式求最值问题 已知 x>0,y>0,则 (1) 如果积 xy 是定值 p,那么当且仅当________时,__________有最_____值是_____(简记:积定和 最小) (2)如果和 x+y 是定值 s,那么当且仅当_____时,____有最______值是_______.(简记:和定积最大)

?a+b?2(a,b∈R). ? ? 2 ?

b a a b a2+b2 ?a+b?2

典型例题 类型一 利用均值不等式求最值 5 技巧一:凑项 例 1:已知 x ? ,求函数 y ? 4 x ? 2 ? 1 的最大值。 4 4x ? 5

技巧二:凑系数 例 2. 当

时,求 y ? x(8 ? 2 x) 的最大值。

技巧三: 分离 换元 例 3. 求 y ?

x 2 ? 7 x ? 10 ( x ? ?1) 的值域。 x ?1

技巧四:注意:在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况,应结合函数 f ( x ) ? x ? 例 4:求函数 y ?

a 的单调性。 x

x2 ? 5 x2 ? 4

的最值。

a b 条件求最值例 5.若实数满足 a ? b ? 2 ,则 3 ? 3 的最小值.

变式:若 log 4 x ? log 4 y ? 2 ,求

1 1 ? 的最小值.并求 x,y 的值 x y

技巧六:整体代换:多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错。 。 例 6:已知 x ? 0, y ? 0 ,且

1 9 ? ? 1 ,求 x ? y 的最小值。 x y

?x ? 2 ? 例 7: 1) 若 x、 y 满 足 约 束 条 件 ? y ? 2 ( ?x ? y ? 2 ?
A、 [2,6] B、 [2,5]

, 则 z= x + 2 y 的 取 值 范 围 是





C、 [3,6]

D、 3,5] (

?2 x ? y ? 6 ? 0 ? ( 2 ) 不 等 式 组 ?x ? y ? 3 ? 0 表 示 的 平 面 区 域 的 面 积 为 ?y ? 2 ?
A、4 B、1 C、5 D、无穷大





巩固练习:
1 1.函数 y=x+ (x>0)的值域为____________.

x

2.若函数 f(x)=x+

1

x-2

(x>2)的最小值为____________.

3.已知 0<x<1,则 x(3-3x)取得最大值时 x 的值____________.
4、已知 0 ? x ? 1 ,求函数 y ? 5、 0 ? x ?

x(1? x) 的最大值____________.

2 ,求函数 y ? 3

x(2 ? 3x) 的最大值.____________.
x y

1 1 6. 已知 x>0,y>0,且 2x+y=2,则 + 的最小值为________;

?x≥1, ? 7.(2011·天津文, 2)设变量 x, 满足约束条件?x+y-4≤0, y ?x-3y+4≤0, ?
解答题 1.求下列函数的最小值,并求取得最小值时,x 的值.

则目标函数 z=3x-y 的最大值为(

)

(1) y ?

x 2 ? 3x ? 1 , ( x ? 0) x

(2) y ? 2 x ?

1 , ( x ? 3) x?3

2.把一段长 16 米的铁丝截成两段,分别围成正方形,则两个正方形面积之和的最小值为

3.已知 a、b、c ? R ,且 a ? b ? c ? 1 。求证: ?

?

? 1 ?? 1 ?? 1 ? ? 1?? ? 1?? ? 1? ? 8 ? a ?? b ?? c ?

4.某单位投资生产 A 产品时,每生产 1 百吨需要资金 2 百万元,需场地 2 百平方米,可获利润 3 百万元; 投资生产 B 产品时,每生产 1 百米需要资金 3 百万元,需场地 1 百平方米,可获利润 2 百万元.现该单位 有可使用资金 14 百万元,场地 9 百平方米,如果利用这些资金和场地用来生产 A、B 两种产品,那么分别 生产 A、B 两种产品各多少时,可获得最大利润?最大利润是多少?

解三角形复习题 一、基本定理及公式 1.正弦定理: 2.余弦定理: 3.三角形的面积公式: 二、题型 (一)选择题 1. 若△ABC 的三个内角满足 sinA:sinB:sinC=5:11:13.则△ABC( ) (A)一定是锐角三角形. (B)一定是直角三角形. (C)一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形 2. 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a, b, c ,若∠C=1 20°,c= 2a ,则( A. a ? b B. a ? b C. a ? b D. )

a 与 b 的大小关系不能确定

3.设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c,若 b+c=2a,3sinA=5sinB,则角 C= (A) π /3 (B)2π /3 (C)3π /4 (D)5π /6

4.在△ABC 中,a=3,b=5,sinA= ,则 sinB=(



(A)

(B)

(C)

(D)1
)

5.已知锐角△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,23cos? A+cos2A=0,a=7,c=6,则 b=( (A)10 (B)9 (C)8 (D)5 6.△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 b=2,B= ,C= ,则△ABC 的面积为( (A)2 (B) (C)2 (D) )

+2

+1

-2

-1 )

7.在锐角 ? ABC 中,角 A,B 所对的边长分别为 a,b. 若 2sinB= 3 b,则角 A 等于( A.

? 3

B.

? 4

C.

? 6

D.

? 12

(二)填空题

2? ,则 a=________________ 3 2.在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c .
1.在 ?ABC 中,若 b=2,c=3, ?C ?

? 若 a ? 2 , b ? 2, A= ,则角 C 的大小为____________________.
4
3. 在 ?ABC 中,若 a=b=2,c=3,则它的面积为_________ (三)解答题 1.在 ?ABC 中, a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边,且 2a sin A ? (2b ? c)sin B ? (2c ? b)sin c . (Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)若 sin B ? sin C ? 1 ,试判断 ?ABC 的形状.

2.

?ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c, ? a ? b ? c ?? a ? b ? c ? ? ac.

(I)求 B;

(II)若

sin A sin C ?

3 ?1 , 求 C. 4

3.在锐角△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 且 2asinB= 3b . (Ⅰ )求角 A 的大小; (Ⅱ 若 a=6,b+c=8,求△ABC 的面积. )

4.在△ ABC 中,角 A , B ,C 对应的边分别是 a ,b ,c . 已知 cos 2 A ? 3cos( B ? C ) ? 1 . (Ⅰ )求角 A 的大小; (Ⅱ)若△ ABC 的面积 S ? 5 3 , b ? 5 ,求 sin B sin C 的值.


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