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广东省重点高中2015年高一数学竞赛试题及参考答案


2015 年高一数学竞赛试题 一、填空题(本题满分 72 分,每小题 6 分。直接将答案写在横线上。 ) 1.已知集合 A ? {x | x ? a}, B ? {x | x ? b}, a, b ? N,且 A ? B ? N ? {1} ,则 a ? b ? 2.函数 f ( x) ? . x ? 5 ? 24 ? 3x 的值域为 . 3.一个长方体的体对角线在其相

邻的三个面上的投影长分别为 5 , 10 , 13 ,则该长方体的表面 积为 . 4.新高一某班的 50 名学生中,参加数学竞赛辅导的有 22 人,参加物理竞赛辅导的有 20 人,参加化 学竞赛辅导的有 19 人,既参加数学又参加物理的有 15 人,既参加数学又参加化学的有 12 人,既 参加物理又参加化学的有 10 人,三科都没参加的有 20 人,则三科都参加的有_____________人. y 5. 如图,在第一象限内,矩形 ABCD 的三个顶点 A 、 B 、 C 分别在 函数 y ? log 2 2 x 、 y ? x 2 、 y ? ( 23 ) x 的图像上,且矩形的边分别 . 1 A D B 平行于两坐标轴.若点 A 的纵坐标为 2,则点 D 的坐标为 2 2 2 C x O 6. 已知关于 x 的函数 f ( x) ? x ? 2m log2 ( x ? 2) ? m ? 3 (m ? 0) 有唯一的零点, 若 a2 ? a 1 ?1 2 ? m ? 2 ,则 a 2 ? a ?2 ? . 7.设 A ? ?2,4,7,8,13,15? ,如果非空集合 M 满足 M 的各元素加 4 后成为 A 的一个子集, M 的各 元素减 4 后也成为 A 的一个子集,则 M ? . 8.如图,在三棱柱 A1B1C1-ABC 中,D,E,F 分别是 AB,AC,AA1 的中点. 设四棱锥 F-DECB 的体积为 V1,三棱柱 A1B1C1-ABC 的体积为 V2, 则 V2=________ V1. 9.已知函数 f ( x) ? loga (ax2 ? x ? 1 在区间 ?1, 2? 上恒正, 2) 则实数 a 的取值范围是 . 10.高一年级某班的部分同学参加环保公益活动---收集废旧电池,其中甲组同学平均每人收集 17 个, 已组同学平均每人收集 20 个, 丙组同学平均每人收集个. 若这三个小组共收集了 233 个废旧电池, 则这三个小组共有 个学生. 2 11.函数 f ( x ) 满足:对于任意 x 、 y ? R ,都有 f ( x ? y ) ? f ( x ) ? 2 ? f ( y ) ? ,且 f (1) ? 0 , 2 则 f (2016) ? 12. 已知 m ? x e . x ?1 ? ? x ? 2 ? 0 , n ? x x 2 ? ax ? a ? 3 ? 0 ,且存在 m , n ,使 m ? n ? 1 , . ? ? ? 则实数 a 的取值范围是 二、解答题(本大题满分 48 分,第 13 题 15 分,第 14 题 15 分,第 15 题 18 分) 13.在平面直角坐标系中,已知抛物线 C : y ? mx2 ? (2m ? 1) x ? (3m ? 2) 与直线 l : y ? ? x ? 1 . (I)抛物线 C 的图像上是否存在定点,若存在,求出所有定点的坐标,若不存在,说明理由; (II)求证:不论 m 如何取值,直线 l 上一定有三个点不会在抛物线 C 上;请写

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