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吉林省实验中学2014届高三年级第一次模拟数学理试题


吉林省实验中学 2014 届高三年级第一次模拟 数学理试题
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合 A ? {1, 2 }, B ? {a, b}, 若 A ? B ? ? ? ,则 A ? B 为.(
a

?1 ? ?2?
<

br />)

1 1 1 C. {1, } D. {?1, ,1} 2 2 2 10 2.设 i 是虚数单位,若复数 a ? ) (a ? R) 是纯虚数,则 a 的值为( 3?i
A. { ,1, b} B. {?1, } A. ?3 B. ?1 C .1 D.3 ) 3. 设 ? , ? , ? 为平面, m, n 为直线,则 m ? ? 的一个充分条件是( A. ? ? ? ,? ? ? ? n, m ? n C. ? ? ? , ? ? ? , m ? ?

1 2

B. ? ? ? ? m,? ? ? , ? ? ? D. n ? ? , n ? ? , m ? ?

4.运行如图所示的算法框图,则输出的结果 S 为( A. ? 1 B.1 C. ? 2 D.2



5.若三角形 ABC 中,sin(A+B)sin(A-B)=sin2C,则此三角形的形状是( A.等腰三角形 C.等边三角形 B.直角三角形 D.等腰直角三角形



6.在某地的奥运火炬传递活动中,有编号为 1,2,3,…,18 的 18 名火炬手.若从中任选 3 人,则选 出的火炬手的编号能组成以 3 为公差的等差数列的概率为( ) A.

1 51

B.

1 408

C.

1 306

D.

1 68


7. 已知函数 f ( x ) ? ? A. [0,1)

?0, x ? 0
x ?e , x ? 0

, 则使函数 g ( x) ? f ( x) ? x ? m 有零点的实数 m 的取值范围是 ( B. (??,1)
·1 · 4 3

5 正视图 侧视图

C. (??,0] ? (1,??)

D. (??,1] ? (2,??)

8.若某棱锥的三视图(单位:cm)如图所示, 则该棱锥的体积等于( ) A.10 cm3 C.30 cm3
2

B.20 cm3 D.40 cm3

9. 若抛物线 y ? 4 x 的焦点是 F,准线是 l ,点 M(4,4)是抛物线上一点,则经过点 F、 M 且与 l 相切的圆共有( A.0 个 ) C.2 个 D.4 个

B.1 个

10. an ?

?

小值为( A. ? 3

?1? (2 x ? 1)dx ,数列 ? ? 的前项和为 S n ,数列 ?bn ? 的通项公式为 bn ? n ? 8 ,则 bn S n 的最 0 ? an ?
n



B. ? 4

C. 3

D. 4

11.中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线 C 的离心率为 2,直线 l 与双曲线 C 交于 A, B 两 点,线段 AB 中点 M 在第一象限,并且在抛物线 y ? 2 px? p ? 0 ? 上,且 M 到抛物线焦点的距离为
2

p ,则直线 l 的斜率为(
A. 1 12.把曲线 C: y ? sin(

) C.

B. 2

7? ? ? x) ? cos(x ? ) 的图像向右平移 a(a ? 0) 个单位,得到曲线 C ? 的图像, 8 8 ? 2b ? 1 3b ? 2 且曲线 C ? 的图像关于直线 x ? 对称,当 x ? [ ?, ? ] ( b 为正整数)时,过曲线 C ? 上任 4 8 8
意两点的斜率恒大于零,则 b 的值为( A.1 B. 2 ) C.3 D.4

3 2

D.

5 2

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13. ( x ? ) 的展开式的常数项为
6

1 x



? x≥1 ? 1 ? 14.设 x,y 满足约束条件 ? y≥ x ,向量 a ? ( y ? 2x,m), b ? (1 , ? 1) ,且 a∥b, 2 ? C1 D1 ? ? 2 x ? y≤10
·2 ·

A1 ·O

B1

则 m 的最小值为



15.如图,已知球 O 是棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的内切球,则平面 ACD1 截球 O 的截面面积为 .

16. 设函数 f(x)的定义域为 D,如果存在正实数 k,使对任意 x ? D,都有 x+k ? D,且 f(x+k)>f(x) 恒成立,则称函数 f(x)为 D 上的“k 型增函数”。已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x>0 时, f ( x) ? x ? a ? 2a ,若 f(x)为 R 上的“2014 型增函数”,则实数 a 的取值范围是______.

三、解答题:本大题共 6 道题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分) 已知 {a n } 是单调递增的等差数列,首项 a1 ? 3 ,前 n 项和为 S n ,数列 {bn } 是等比数列,其中

b1 ? 1, 且a2 b2 ? 12, S 3 ? b2 ? 20.
(1)求 {a n }和{bn } 的通项公式; (2)令 cn ? Sn cos(

an ? )(n ? N ? ), 求 {cn } 的前 20 项和 T20 。 3

18.(本题满分 12 分) 前不久,省社科院发布了 2013 年度“城市居民幸福排行榜”,某市成为本年度城市最“幸福城”.随后, 某校学生会组织部分同学,用“10 分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取 16 名,如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数 字为叶): (1)指出这组数据的众数和中位数; (2)若幸福度不低于 9.5 分,则称该人的幸福度为“极幸福”.求从这 16 人中随机选取 3 人,至多有 1 人是“极幸福”的概率;
·3 ·

(3)以这 16 人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多)任选 3 人,记 ? 表示 抽到“极幸福”的人数,求 ? 的分布列及数学期望.

19.(本题满分 12 分) 如图,正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在平面互相垂直,AD⊥CD,AB//CD,AB=AD= 点 M 在线段 EC 上且不与 E、C 重合。 (1)当点 M 是 EC 中点时,求证:BM//平面 ADEF; (2)当平面 BDM 与平面 ABF 所成锐二面角的余弦值为

1 CD ? 2 , 2

6 时,求三棱锥 M—BDE 的体积. 6

20.(本题满分 12 分)

3 1 x2 y2 ,直线 l 的方程为 x ? 4 . ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 经过点 P(1, ) ,离心率 e ? 2 2 2 a b (1)求椭圆 C 的方程; (2)AB 是经过右焦点 F 的任一弦(不经过点 P) ,设直线 AB与 l 相交于点 M,记 PA,PB,PM 的斜率分
已知椭圆 C: 别为 k1 , k 2 , k3 ,问:是否存在常数 ? ,使得 k1 ? k2 ? ?k3 ?若存在,求出 ? 的值,若不存在,说明理 由. y P M O F
·4 · A

l

B x

21.(本题满分 12 分) 已知定义在 R 上的函数 f ( x) 总有导函数 f ?( x) ,定义 F ( x) ? e x f ( x), G ( x) ?

f ( x) . ex

x ? R, e ? 2.71828 一是自然对数的底数.
(1)若 f ( x) ? 0 ,且 f ( x) ? f ?( x) ? 0 ,试分别判断函数 F ( x) 和 G ( x) 的单调性: (2)若 f ( x) ? x ? 3x ? 3, x ? R .
2

①当 x ?[?2, t ](t ? 1) 时,求函数 F ( x) 的最小值;
x ②设 g ( x) ? F ( x) ? ( x ? 2)e ,是否存在 [a, b] ? (1,??) ,使得 g ( x) x ? [a, b] ? [a, b] ?若存在,请求出

?

?

一组 a, b 的值:若不存在,请说明理由。

请考生在题(22) (23) (24)中任选一题作答,如果多做,则按所做的的第一题计分.做题时 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22.(本题满分 10 分)选修 4—1 几何证明选讲: 如图,AB 是⊙O 的直径,AC 是弦,∠BAC 的平分线 AD 交⊙O 于点 D,DE⊥AC,交 AC 的延长 线于点 E,OE 交 AD 于点 F。 (I)求证:DE 是⊙O 的切线; (II)若

AC 2 AF 的值. ? ,求 AB 5 DF

·5 ·

23.(本题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程

在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程 ? 轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求圆 C 的极坐标方程;

? x ? 1 ? cos ? (? 为参数) .以 O 为极点,x 轴的非负半 ? y ? sin ?

(Ⅱ)直线 l 的极坐标方程是 ? (sin ? ? 3 cos ? ) ? 3 3 ,射线 OM : ? ? P,与直线 l 的交点为 Q,求线段 PQ 的长.

?
3

与圆 C 的交点为 O、

24.(本题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x ) ?| x ? a | 。 (1)若 f ( x ) ? m 的解集为 { x | ?1 ? x ? 5} ,求实数 a , m 的值。 (2)当 a ? 2 且 0 ? t ? 2 时,解关于 x 的不等式 f ( x) ? t ? f ( x ? 2) 。

·6 ·

参考答案
一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共计 60 分) 题号 答案 1 D 2 D 3 D 4 A 5 B 6 D 7 C 8 B 9 C 10 B 11 C 12 A

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共计 20 分) 13.15 14. ? 6 15.

? 6

16. a ?

1007 3

三.解答题(本大题共 6 小题,共计 70 分)

17 .解 ( : 1 )设公差为d,公比为q, 则 a2b2 ? (3 ? d )q ? 12 S 3 ? b2 ? 3a2 ? b2 ? 3(3 ? d ) ? q ? 20 .......... .......... .......... .......... .......... 2分 ? 3d 2 ? 2d ? 21 ? 0, (3d ? 7)( d ? 3) ? 0 ? ?an ?是单调递增的等差数列 ? d ? 0,? d ? 3, q ? 2.......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ..... 4分 ? an ? 3 ? (n ? 1) ? 3 ? 3n, bn ? 2 n?1.......... .......... .......... .......... .......... ..... 6分 ?S n , n是偶数 (2)Cn ? S n cos n? ? ? .......... .......... .......... .......... .......... 8分 ?? S n , n是奇数 ? T20 ? ? S1 ? S 2 ? S 3 ? S 4 ? ?? ? S19 ? S 20 .......... .......... .......... ......... 10分 ? a2 ? a4 ? a6 ? ?? ? a20 ? 6 ? 12 ? 18 ? ?? ? 60 ? 330 .......... ...... 12分
18. 解: (1)众数:8.6; 中位数:8.75 ;……………………………2 分

( 2 )设 Ai 表示所取 3 人中有 i 个人是 “ 极幸福 ” ,至多有 1 人是 “ 极幸福 ” 记为事件 A ,则
P( A) ? P( A0 ) ? P( A1 ) ?
3 1 2 C12 C4 C12 121 ; ? ? 3 3 140 C16 C16

…………………6 分

(3) ξ 的可能取值为0,1,2,3.
27 ; 3 27 ; 1 1 3 2 P(? ? 1) ? C3 ( ) ? P(? ? 0) ? ( ) 3 ? 4 4 64 4 64

1 3 9 ; 1 1 ……..……………..10 分 P(? ? 2) ? C32 ( ) 2 ? P(? ? 3) ? ( ) 3 ? 4 4 64 4 64

所以 ξ 的分布列为:
·7 ·

ξ
P
E? ? 0 ?

0
27 64

1
27 64

2
9 64

3
1 64

27 27 9 1 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 0.75 . 64 64 64 64

………..……….…12分

k 另解: ξ 的可能取值为0,1,2,3.则 ? ~ B(3, ) , P(? ? k ) ? C3 ( ) k ( )3?k .

1 4

1 4

3 4

所以 E? = 3 ?

1 ? 0.75 . 4

19.解: (1)以 DA、DC、DE 分别为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系 则 A(2,0,0), B(2, 2,0), C (0, 4,0), E(0,0, 2), M (0, 2,1)

???? ? ???? ? BM ? (?2, 0,1), 面ADEF 的一个法向量 DC ? (0, 4, 0)

???? ? ???? ???? ? ???? ? BM ? DC ? 0 ,? BM ? DC 。即 BM / /面ADEF ………………………..4 分
(2)依题意设 M (0, t , 2 ? )(0 ? t ? 4) ,

t 2 ?? ? 设面 BDM 的法向量 n1 ? ( x, y , z )
??? ? ?

则 DB ? n ? 2 x ? 2 y ? 0 , DM ? n ? ty ? (2 ? ) z ? 0 令 y ? ?1 ,则 n1 ? (1, ?1,

???? ? ?

?? ?

?? ? ?? ? ?? ? ?? ? | n1 ? n2 | ? ?? ? ? ?| cos ? n1 , n2 ?|? ?? | n1 | ? | n2 |

?? ? 2t ) ,面 ABF 的法向量 n2 ? (1, 0, 0). 4?t

t 2

1 6 ? ,解得 t ? 2 ………………10 分 6 4?2 2? (4 ? t ) 2
1 S?CDE ? 2 , B 到面 DEM 的距离 h ? 2 2

? M (0, 2,1) 为 EC 的中点, S?DEM ?

1 4 ?VM ? BDE ? ? S?DEM ? h ? …………………………………………………………12 分 3 3
另解:用传统方法证明相应给分。

20.解: (1)由点 P(1, ) 在椭圆上得,

3 2

1 9 1 c 1 ? 2 ? 1 ① 又e ? , 所以 ? 2 a 4b 2 a 2



·8 ·

由 ①②得 c ? 1, a ? 4, b ? 3 ,故椭圆 C 的方程为
2 2 2

x2 y2 ? ? 1 ……………………..4 分 4 3

(2)假设存在常数 ? ,使得 k1 ? k2 ? ? k3 . 由题意可设 AB的斜率为k , 则直线AB的方程为 y ? k ( x ? 1) ③

代入椭圆方程

x2 y2 ? ? 1 并整理得 (4k 2 ? 3) x 2 ? 8k 2 x ? 4(k 2 ? 3) ? 0 4 3
8k 2 4(k 2 ? 3) , x x ? 1 2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3
y1 ?
④ ……………6 分

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则有 x1 ? x2 ?

3 3 y2 ? 2 ,k ? 2, 在方程③中,令 x ? 4 得, M (4,3k ) ,从而 k1 ? 2 x1 ? 1 x2 ? 1

3 2 ? k ? 1 .又因为 A、F、B 共线,则有 k ? k ? k , k3 ? AF BF 4 ?1 2 3k ?
即有

y1 y ? 2 ?k x1 ? 1 x2 ? 1

3 3 y2 ? 2? 2 ? y1 ? y 2 ? 3 ( 1 ? 1 ) 所以 k1 ? k 2 ? x1 ? 1 x2 ? 1 x1 ? 1 x2 ? 1 2 x1 ? 1 x2 ? 1 x1 ? x2 ? 2 3 = 2k ? . ⑤ 2 x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 y1 ?
8k 2 ?2 3 1 4k 2 ? 3 将④代入⑤得 k1 ? k 2 ? 2k ? . ? 2k ? 1 ,又 k3 ? k ? , 2 2 2 4(k ? 3) 2 8k ? 2 ?1 2 4k ? 3 4k ? 3 所以 k1 ? k 2 ? 2k3
故存在常数 ? ? 2 符合题意……………………………………………………………12 分

·9 ·

21.

·10·

22. (I)证明:连结 OD,可得∠ODA=∠OAD=∠DAC …………………2 分 ∴OD//AE 又 AE⊥DE …………………………………3 分 ∴OE⊥OD,又 OD 为半径 ∴DE 是的⊙O 切线 ………………………5 分 (II)解:过 D 作 DH⊥AB 于 H, 则有∠DOH=∠CAB

cos ?DOH ? cos ?CAB ?
? AH ? 7 x

AC 2 ? AB 5

…………6 分

设 OD=5x,则 AB=10x,OH=2x, 由△AED≌△AHD 可得 AE=AH=7x ……………8 分 又由△AEF∽△DOF 可得 AF : DF ? AE : OD ?

7 5

·11·

?

AF 7 ? DF 5

……………………………………………………10 分

24 .解:( 1 ) ? x ? a ? m,? a ? m ? x ? a ? m ? ?1 ? x ? 5 ? a ? m ? ?1 ? a ? 2 ?? ,? ? .......... .......... .......... .......... .......... .......... ..... 5分 ?a ? m ? 5 ?m ? 3 (2) ? a ? 2? x ? 2 ? t ? x 当x ? 2时,x ? 2 ? t ? x,? 0 ? t ? 2,? 舍去 当0 ? x ? 2时,2 ? x ? t ? x ? 0 ? x ? 当x ? 0时,2 ? x ? t ? ? x ? 成立 ? 解集为( ? ?, t?2 ]......... .......... .......... .......... .......... .......... ........ 10分 2 t?2 , 成立 2

·12·


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