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2009年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题解答

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2009 年北京市中学生数学竞赛 高中一年级初赛参考解答 高中一年级初赛参考解答
一、选择题(满分 36 分,每小题只有一个正确答案,答对得 6 分,答 错或不答均计 0 分) 1.右下图表示的是定义在[–4, 6]上的函数 y = f(x)与函数 y = g(x)的图 像.则使 f(x)≤g(x)成立的区间是 (A)[–1, 3]. (C)[–4, 2]. 答: (D

) 2.将 sin12,cos13,cos14 从小到大排列的次序是 (A)sin12<cos13<cos14. (C)cos13<sin12<cos14. 答: (B) . 解 因为 3π < 12 < 4π ,所以 sin12 < 0 .又 4π < 13 < 14 < 4.5π ,13 与 14 弧度都是第一象限的角,余弦函数取正值且在第一象限是减函数,所以
cos13 > cos14 > 0 > sin12 .选(B) . 3.在△ABC 中,AB=6,AC= 8,∠BAC=90°.AD、BE 分别为边 BC 和 uuur uuu r AC 上的中线.则向量 AD、 之间所成角的余弦值等于 BE

(B)[–4, 3] U [5, 6]. (D)[–4, –1] U [3, 6].

(B)sin12<cos14<cos13. (D)cos14<cos13<sin12.

(A)

13 3 . (B) . 65 2

(C ) ?

13 . D)0. ( 65

答: (C ) . 解 以 A 为原点、两直角边为坐标轴建立直角坐标系, y 如图所示.则 A(0, 0),B(6, 0),C(0, 8),D(3, 4),E(0, 4) 于 uuur uuu r E 是 AD 的坐标为 (3, 4) , BE 的坐标为 (?6, 4) ,所以
C D

uuur uuu r cos AD, BE =

(

)

3 × (?6) + 4 × 4 3 + 4 × (?6) + 4
2 2 2 2

=

?2 13 =? . 65 5 × 2 13

A

B

x

1

4.log2sin (A)–3. 答: (A) 解

π
12

+ log2sin

π
6

+ log2sin

5π 等于 12

(B)–1.

(C)1.
5π 12

(D)3.

log 2 sin

π
12

+ log 2 sin

π
6

+ log 2 sin

π 1 5π ? π π ? ? ?1 = log 2 ? sin ? ? sin ? = log 2 ? sin ? cos ? 12 ? 12 ? ? 12 2 ? 2 12 π π ? π? 1 ?1 ?1 = log 2 ? ? 2 sin ? cos ? = log 2 ? sin ? = log 2 = ?3 . 12 12 ? 6? 8 ?4 ?4
?x2 + bx + c (x ≥ 0) 5. 对于函数 f (x) = ? ,f(4)=f(0),f(1)= –1,则方程 f(x)= x (x < 0) ??2
的解的个数为 (A)0. 答: D) ( . 解 由 f(4) = f(0),f(1)= ?1,得 16+4b+c = c,
1+b+c= ?1,解得 b= ?4,c = 2.所以

(B)1.

(C )2 .

(D)3.

? x2 ? 4 x + 2 ( x ≥ 0) f ( x) = ? , ( x < 0) ? ?2
其图像如右图所示,共 3 个解.
6.a 为参数,函数 f ( x) = ( x + a)3x ?2+ a ? ( x ? a)38? x ?3a 是偶函数,则 a 可取
2

值的集合是 (A) {0,5} . B) {?2,5} . C) {?5, 2} . D) {1, 2009} . ( ( ( 答: C) ( . 解 如果函数 f ( x) = ( x + a)3x ? 2+ a ? ( x ? a)38? x ?3a 是偶函数, f(–a)=f(a), 则
2
2

即 2a ? 38+ a ?3a = 2a ? 3a ? 2+ a .所以,要么 a=0,要么 8+a?3a= a?2+a2. 若取 a=0,函数 f ( x) = x(3x ? 2 ? 38? x ) 不是偶函数.故 a≠0. 若 8+a?3a= a?2+a2, a=?5, a=2, 则 或 此时, 函数 f (x) =?(5? x)323+x ?(5+ x)323?x 和 f (x) = (2 + x)32+x (2 ? x)32?x 都是偶函数.
2

二、填空题(满分 64 分,每小题 8 分) 1. 依次排列的正数 b1 , b2 , b3 , L , b59 , b60 满足
b b b2 b3 b4 = = = L = 59 = 60 , b1 b2 b3 b58 b59

试确定 log b11b50 (b1b2 L b60 ) 的值. 答:30. 解 设
b b b2 b3 b4 = = = L = 59 = 60 = q ,所以 b1 b2 b3 b58 b59

b2 = b1q,b3 = b1q 2,b4 = b1q 3, ,b58 = b1q 57,b59 = b1q 58,b60 = b1q 59 L 则 log b11b50 (b1b2 L b60 ) = log b q10 ?b q 49 (b1q 0 ? b1q1 ?L ? b1q 59 )
1 1

= log b2 q10+49 (b160 q 0 +1+L+59 )
1

= log b2 q59 (b12 q 59 )30 = 30 .
1

2.已知 sin(α+β)=0.8,cos(α–β)=0.3,求(sinα–cosα) (sinβ–cosβ)的值.
答:?0.5. 解

(sinα–cosα) (sinβ–cosβ) =(cosαcosβ+sinαsinβ) – (sinαcosβ+cosαsinβ) =cos(α–β) ? sin(α+β) = 0.3?0.8 = ?0.5.

3. 如果四边形 ABCD 顶点的坐标依次为 A(1,2), B(2,5), C(7,3), D(5,1),
求四边形 ABCD 的面积. 答:13.5. 解 如图,在坐标平面上作点 A,B,

C, , D 围绕所得到的四边形 ABCD 作外接
长方形,其顶点为 M(1, 1), N(1, 5), P(7, 5),

T(7, 1), 四边形 ABCD 则是从长方形 MNPT
中去掉△AMD、△ANB、△BPC、△CTD 得到的图形,易知

SMNPT=24,S△AMD=2,S△ANB=1.5,S△BPC=5,S△CTD=2,
因此,SABCD=24?(2+1.5+5+2)=13.5.
3

4.[x] 表示不超过 x 的最大整数,若 [log36]+ [log37]+ [log38]+…+ [log3(n–1)]+ [log3n]=2009, 试确定正整数 n 的值. 答:474. 解 ∵[log36]= [log37]= [log38]=1,∴[log36]+ [log37]+ [log38]=3, ∵[log39]=[log310]=…=[log326]=2,∴[log39]+ [log310]+…+[log326]=36, ∵[log327]=[log328]=…=[log380]=3,∴[log327]+[log328]+…+[log380]=162, ∵[log381]=[log382]=…=[log3242]=4, ∴[log381]+[log382]+…+[log3242]=648, 又 ∵ 3+36+162+648=849=2009?1160 < 2009 , [log3243]=[log3244]= … =[log3728]=5,[log3243]+[log3244]+…+[log3728]=2430>1160, ∴243< 243 < n < 728. n<728. 由于 849+5×(n–242)=2009,解得 n =474.
5.在△ABC 中,AB=BC>AC,AH 与 AM 分别为 BC 上的高线和中线,

S ?AMH 3 = .试确定 cos∠BAC 的值. S ?ABC 8

答:cos∠BAC= 解

1 . 4
1 2 1 2 1 2

在△ABC 中,AB=BC>AC,AH⊥BC,BM=MC,作 BD⊥AC 于 D.

设 AB=BC=a,则 S△ABC= AH·BC= AH·a,且 S△AMH= AH·MH,
1 AH ? MH S 3 3 因为 ?AMH = ,所以 2 = , 1 S ?ABC 8 8 AH ? a 2 3 3 1 1 所以 MH= a,HC=MC?MH= a – a = a. 2 8 8 8 设∠BAC=β,则∠BCA=β.由 Rt△BCD 得 DC= a cosβ.

1 a HC 在△ABC 中,AC=2 DC=2 a cosβ.由 Rt△ACH 得 cosβ= = 8 , AC 2a cos β 1 1 即 cos2β= .由于 β 是锐角, 所以 cosβ= . 16 4
4

6.函数 f(x)=2x2?2x?1 和 g(x)=?5x2+2x+3 的图像交于两个点,通过这两 个交点的直线方程为 y =ax+b.求 a–b 的值. 答:?1. 解 函数 f(x)= 2x2?2x?1 和 g(x)=–5x2+2x+3 的图像两个交点的坐标是方

? y = 2 x2 ? 2 x ? 1 程组 ? 的两个解,因此 2 ? y = ?5 x + 2 x + 3 7y =5(2x2?2x–1)+2(?5x2+2x+3)=?6x+1 6 1 6 1 所以图形的两个交点在直线 y = ? x + 上, a = ? ,b = , 即 a–b= ?1. 7 7 7 7
7.已知 6027 位数 abcabcabc L abc 是 91 的倍数.求三位数 abc 的最小 1442444 4 3
2009 个abc

值与最大值的和. 答:1092. 解 由于 91=7×13, 1001=7×11×13, 所以 91|1001.而 abcabc =1001× abc ,
2009 个abc

所以 91| abcabc .已知 abcabcabc L abc 被 91 整除,而 1442444 4 3 abcabcabc L abc = abcabcabc L abc ×1001+ abc ,又 abcabcabc L abc 被 1442444 1442444 4 3 4 3 1442444 4 3
2009 个abc 2×1004 个abc 2×1004 个abc

能被 91 整除的三位数最小为 182, 最大为 910, 91 整除, 所以 abc 被 91 整除. 所以 abc 的最小值与最大值的和=182+910=1092. 8. 如图,在菱形 ABCD 中,∠ABC=120°,BC=6 3 ,P 是 BC 延长线上 向远离点 C 方向运动的一个动点,AP 交 CD 于点 E,联结 BE 并延长交 DP 于点 Q.如果动点 P 在初始位置时∠QBP=15°,在 终止位置时∠QBP=35°, 试确定 P 运动时点 Q 走过 的曲线段的长度. 4 答: π . 3 解 连接 BD,作△ABD 的外接圆交 AP 于 F,连接 BF, DF, FC 和 CQ,易知 ∠DFB=∠DFP=∠BFP=120°, ∠BFE= ∠ECP=120°,所以 B, F, E, C 四点共圆,
5

A

D Q E B C P

所以∠1=∠2,由于∠DFP=∠DCP=120°,所以 D, F, C, P 四点共圆,所以 ∠2=∠3,因此∠1=∠3,所以 B, C, Q, D 四点共圆.即点 Q 在△BCD 的外 接圆上.
Q 易知, P 在 BC 延长线上由 C 向外运动时, 在△BCD 的外接圆的 CD 当

上从点 C 起沿逆时针方向运动. △BCD 是边长为 6 3 的正三角形, 它的外接圆半径为 6 3 ×
3 2 × =6, 2 3

由于 Q 在△BCD 的外接圆上运动的圆周角等 所以外接圆周长为 2π×6=12π. 于 35°?15°=20°,所以 Q 在△BCD 的外接圆上运动的弧为 40°,是整个圆周
1 12π 4 = π. 的 ,所以,动点 P 运动时 Q 走过的这段曲线 Q1Q2 的长度为 9 9 3

2009 年北京市中学生数学竞赛 高中一年级初赛参考答案
选择题答案 1 D 2 B 3 C 4 A 5 D 6 C

填空题答案 1 30 2 ?0.5 3 13.5 4 474 5 1 4
6

6 ?1

7 1092

8 4π 3


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