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5函数与方程


函数与方程 基础知识
要点梳理 1.函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数 y=f(x) (x∈D), 把使 f(x)=0成立的实数 x 叫做函数 y=f(x) (x∈D)的零点. (2)几个等价关系 方程 f(x)=0 有实数根?函数 y=f(x)的图象与 x 轴 有交点?函数 y=f(x)有 零点 .

自主学习

(3

)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的 f(b)<0 ,那么函数 y=f(x)在区 一条曲线,并且有 f(a)· 间 (a,b) 内有零点,即存在 c∈(a,b),使得 f(c)=0 , 这个
c 也就是 f(x)=0 的根.

2.二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象与零点的关系 Δ>0 二次函数 y= ax2+bx+ c(a>0)的图象 与 x 轴的交 点 零点个数
(x1,0) ,
(x2,0)

Δ=0

Δ<0

(x1,0)

无交点

两个

一个



3.二分法 对于在区间[a,b]上连续不断且
f(a)· f(b)<0 的函

数 y=f(x),通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区 间 一分为二 ,使区间的两个端点逐步逼近 零点 , 进而得到零点近似值的方法叫做二分法.

基础自测 1.根据下面表格中的数据,可以判定方程 ex-x-2=0 的一个根所在的区间为__________. (1,2) x ex x+2 -1 0.37 1 0 1 2 1 2.72 3 2 7.39 4 3 20.09 5

2.若函数 f(x)=ax-x-a(a>0,且 a≠1)有两个零点,

a>1 则实数 a 的取值范围是________.
解析 设函数 y=ax(a>0,且 a≠1)和函数

y=x+a,则函数 f(x)=ax-x-a(a>0,且 a≠1)有两个零点,就是函数 y=ax(a>0, 且 a≠1)与函数 y=x+a 有两个交点,由 图象可知当 0<a<1 时两函数只有一个交点,不符合;如 图所示,当 a>1 时,因为函数 y=ax(a>1)的图象过点 (0,1),而直线 y=x+a 所过的点一定在点(0,1)的上方, 所以一定有两个交点,所以实数 a 的取值范围是 a>1.

3.函数 f(x)=ex+2x-6 (e≈2.718)的零点属于区间(n, n+1) (n∈Z),则 n=________. 1
解析 可以估算两个相邻自然数的函数值,f(1)=e-

4<0,f(2)=e2-2>0,从而可知函数 f(x)的零点位于区间 (1,2)内,故 n=1.

4.若函数 f(x)=ax+b 有一个零点为 2,则 g(x)=bx2 -ax 的零点是 A.0,2 1 C.0,- 2 1 B.0, 2 1 D.2,- 2 ( C )

解析

由 f(2)=2a+b=0,得 b=-2a,

∴g(x)=-2ax2-ax=-ax(2x+1). 1 令 g(x)=0,得 x=0,x=- , 2 1 ∴g(x)的零点为 0,- . 2

5.已知三个函数 f(x)=2x+x,g(x)=x-2,h(x)=log2x +x 的零点依次为 a,b,c,则 A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.c<a<b 1 1 解析 由于 f(-1)= -1=- <0,f(0)=1>0, 2 2
故 f(x)=2x+x 的零点 a∈(-1,0). ∵g(2)=0,故 g(x)的零点 b=2; ?1? 1 1 ? ?=-1+ =- <0,h(1)=1>0, h2 2 2 ? ? ?1 ? 故 h(x)的零点 c∈?2,1?,因此 a<c<b. ? ?
点评 本题的易错点是,学生误以需求出 a、b、c 其实 a 和 c 只需限定区间即可.

( B )

题型分类
题型一 例1

深度剖析

判断函数在给定区间上零点的存在性

判断下列函数在给定区间上是否存在零点.

(1)f(x)=x2-3x-18,x∈[1,8]; (2)f(x)=log2(x+2)-x,x∈[1,3]. 思维启迪

第(1)问利用零点的存在性定理或直接求出

零点,第(2)问利用零点的存在性定理或利用两图象的交 点来求解.
解 (1)方法一 ∵f(1)=12-3×1-18=-20<0,

f(8)=82-3×8-18=22>0, ∴f(1)· f(8)<0, 故 f(x)=x2-3x-18,x∈[1,8]存在零点.

方法二

令 f(x)=0,得 x2-3x-18=0,x∈[1,8].

∴(x-6)(x+3)=0,∵x=6∈[1,8],x=-3?[1,8], ∴f(x)=x2-3x-18,x∈[1,8]存在零点. (2)方法一 ∵f(1)=log23-1>log22-1=0, f(3)=log25-3<log28-3=0,∴f(1)· f(3)<0, 故 f(x)=log2(x+2)-x,x∈[1,3]存在零点. 方法二 设 y=log2(x+2),y=x,在同 一直角坐标系中画出它们的图象,从图 象中可以看出当 1≤x≤3 时,两图象有 一个交点,因此 f (x)=log2(x+2)-x, x∈[1,3]存在零点.

变式训练 1 判断下列函数在给定区间上是否存在零点. (1)f(x)=x3+1,x∈R; 1 (2)f(x)=x-x,x∈(0,1).
解 (1)∵f(x)=x3+1=(x+1)(x2-x+1), 令 f(x)=0,即(x+1)(x2-x+1)=0,∴x=-1, ∴f(x)=x3+1,x∈R 有零点-1. 1-x2 1 (2)方法一 令 f(x)=0,得x-x=0, x =0, ∴x=± 而± 1, 1?(0,1), 1 ∴f(x)=x-x,x∈(0,1)不存在零点.

方法二

1 令 y=x,y=x,在同一平面直角坐标系中,作

出它们的图象, 从图中可以看出当 0<x<1 时, 两图象没 有交点.

1 故 f(x)=x-x,x∈(0,1)没有零点.

题型二

函数零点个数的判断

例 2 若定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x), 且当 x∈[0,1]时,f(x)=x,则函数 y=f(x)-log3|x|的 零点个数是 A.多于 4 个 C.3 个
=f(x)与 y=log3|x|的交点的个数.

( B.4 个 D.2 个

)

思维启迪 函数零点的个数?方程解的个数?函数 y

解析

在同一坐标系内作出函数 y=f(x)及 y=log3|x|的

图象,如下:

观察图象可以发现它们有 4 个交点, 即函数 y=f(x)-log3|x|有 4 个零点.
答案 B
判断函数零点的个数, 通常可用数形结合法,

探究提高

直接求解法.这类题目是高考的常考题目,望同学们能 够灵活处理.

变式训练 2 (2010· 福建)函数 的零点个数为 A.3 B.2
解析

?x2+2x-3,x≤0, ? f(x)=? ?-2+ln x,x>0 ?

C.1

( B ) D.0

当 x≤0 时, f(x)=x2+2x-3=0, x1=1(舍去), 由 得

x2=-3;当 x>0 时,由 f(x)=-2+ln x=0, 得 x=e2,所以函数 f(x)的零点个数为 2.

题型三

二次函数的零点分布问题

例 3 已知关于 x 的二次方程 x2+2mx+2m+1=0. (1)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根 在区间(1,2)内,求 m 的范围; (2)若方程两根均在区间(0,1)内,求 m 的范围. 思维启迪
设出二次方程对应的函数, 可画出相应的示 意图, 然后用函数性质加以限制.



(1)由条件,抛物线 f(x)=x2+2mx+2m

+1 与 x 轴的交点分别在区间(-1,0)和(1,2) 内,如图(1)所示,得 ?f?0?=2m+1<0, ? ?f?-1?=2>0, ? ?f?1?=4m+2<0, ?f?2?=6m+5>0. ? 5 1 即- <m<- . 6 2 ? ?m<-1, 2 ? ?m∈R, ? ?? 1 ?m<-2, ? 5 ? ?m>-6. ?

(2)抛物线与 x 轴交点均落在区间(0,1)内, 如图(2)所示 ?f?0?>0, ? ?f?1?>0, 列不等式组? ?Δ≥0, ?0<-m<1. ? 1 ? ?m>- , 2 ? ? 1 ??m>-2, ? ?m≥1+ 2或m≤1- 2, ?-1<m<0. ? 1 即- <m≤1- 2. 2

变式训练 3 是否存在这样的实数 a,使函数 f(x)=x2 +(3a-2)x+a-1 在区间[-1,3]上与 x 轴有且只有一 个交点.若存在,求出 a 的范围;若不存在,说明理由. 解 ∵Δ=(3a-2)2-4(a-1)>0,

∴若存在实数 a 满足条件, 则只需 f(-1)· f(3)≤0 即可. f(-1)· f(3)=(1-3a+2+a-1)· (9+9a-6+a-1) =4(1-a)(5a+1)≤0. 1 所以 a≤- 或 a≥1. 5 检验:①当 f(-1)=0 时,a=1. 所以 f(x)=x2+x.令 f(x)=0,即 x2+x=0. 得 x=0 或 x=-1. 方程在[-1,3]上有两根,不合题意,故 a≠1.

1 ②当 f(3)=0 时,a=- , 5 13 6 2 此时 f(x)=x - x- , 5 5 13 6 2 令 f(x)=0,即 x - x- =0, 5 5 2 解之得 x=- 或 x=3. 5 1 方程在[-1,3]上有两根,不合题意,故 a≠- . 5 1 综上所述,a<- 或 a>1. 5

失误与防范 1.对于函数 y=f(x)(x∈D),我们把使 f(x)=0 的实数 x 叫做函 数的零点,注意以下几点: (1)函数的零点是一个实数, 当函数的自变量取这个实数时, 其函数值等于零; (2)函数的零点也就是函数 y=f(x)的图象与 x 轴的交点的横 坐标; (3)一般我们只讨论函数的实数零点; (4)函数的零点不是点,是方程 f(x)=0 的根. 2.对函数零点存在的判断中,必须强调: (1)f(x)在[a,b]上连续; (2)f(a)· f(b)<0; (3)在(a,b)内存在零点. 这是零点存在的一个充分条件,但不必要.
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