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《3.1.2


《§3.1.2 用二分法求方程的近似解》
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导学案

【学习目标】: 1. 根据具体函数图象,能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解; 2. 通过用二分法求方程的近似解,使学生体会函数零点与方程根之间的联系,初步形成用函 数观点处理问题的意识. 【学习重、难点】 学习重点::用二分法求解函数 f(x)的零

点近似值的步骤。 学习难点:为何由︱a - b ︳< ? 便可判断零点的近似值为 a(或 b)? 【学法指导及要求】: 1、认真研读教材 P89---P91 页,认真思考、独立规范作答,认真完成每一个问题,每一道 习题,不会的先绕过,做好记号; 2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律,及时整理到解错 题本上,多复习记忆。 【知识链接】 1:什么叫零点?零点的等价性?零点存在性定理? (1)对于函数 y ? f ( x) ,我们把使 的实数 x 叫做函数 y ? f ( x) 的零点. ( 2 ) 方 程 f ( x ) ? 0 有 实 数 根 ? 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 与 x 轴 ? 函数 y ? f ( x) . ( 3 ) 如 果 函 数 y ? f ( x ) 在 区 间 [ a, b] 上 的 图 象 是 连 续 不 断 的 一 条 曲 线 , 并 且 有 ,那么,函数 y ? f ( x) 在区间 (a, b) 内有零点. 【学习过程】 探究任务:二分法的思想及步骤 问题:有 12 个小球,质量均匀,只有一个是比别的球重的,你用天平称几次可以找出这个球 的,要求次数越少越好. 解法: 第一次,两端各放 个球,低的那一端一定有重球; 第二次,两端各放 个球,低的那一端一定有重球; 第三次,两端各放 个球,如果平衡,剩下的就是重球,否则,低的就是重球. 思考:以上的方法其实这就是一种二分法的思想,采用类似的方法,如何求 y ? ln x ? 2 x ? 6 的 零点所在区间?如何找出这个零点? 一个直观的想法是: 如果能够将零点所在的范围尽量的缩小, 那么在一定的精确度的要求 下,我们可以得到零点的近似值;为了方便,我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的 范围。 请学生们思考下面的问题:能否求解下列方程:(1)x2?2x?1=0;(2)lgx=3?x;(3) x3?3x?1=0。 实 际 工 作 中 求 方 程 的 近 似 值 往 往 有 更 大 的 实 用 价 值 , 学 完 本 节 课 , 你 将 对 如 何 求 一 元 方 程 的 近似解有新的收获。认真阅读 P89—90 页,回答下面问题 (1) 什么是二分法? 第 1 页 共 4 页

(2)用二分法可求所有函数零点的近似值吗?得用二分法求函数零点必须满足什么条件?

(3)为什么由︱a - b ︳< ? 便可判断零点的近似值为 a(或 b)?

注:(1)准确理解“二分法”的含义:二分就是平均分成两部分;二分法就是通过不断地将所 选区间一分为二,逐步逼近零点的方法,找到零点附近足够小的区间,根据所要求的精确度, 用此区间的某个数值近似地表示真正的零点。 (2)“二分法”与判定函数零点的定理密切相关,只有满足函数图象在零点附近连续且在该零 点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点。 3.给定精确度 ε ,用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤如下: (1)确定 (2)求区间 (3)计 算 ②若 ③若 ;①若 ,则令 ,则令 ,验证 ; ,则 c 就是函数的零点; (此时零点 x0∈(a,c)); (此时零点 x0∈(c,b))。 , 则得到零点近似值 a(或 b); 否则重复(2)~(4). 不同,得到的结果也不相同,精 ,即 认为 已达 到 所 要 求 的 为止。 等列在一个表格中,这样可以更清楚地发现零点 ,给定 ;

(4)判断是否达到精确度 ε : 即若 4. 求 函 数 零 点 的 近 似 值 时 , 所 要 求 的

确 ε 是指在计算过程中得到某个区间(a,b)后,若 精 确 度,否 则 应 继 续 计 算,直 到 个 所在区间。 1(1)下列函数中能用二分法求零点的是( ) 、 、

5. 用 二 分 法 求 函 数 零 点 的 近 似 值 时 , 最 好 是 将 计 算 过 程 中 所 得 到 的 各

(2)下列各函数均与 x 轴相交,则不能用 )

二分法求零点的是(

归纳反思: 判定一个函数能否用二分法求其零 点的依据是:其图象在零点附近是 ,且该零点为变号零点.因此,用二分法求 函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用,对函数的不变号零点不适用. 第 2 页 共 4 页

2.用二分法求图象是连续不断的函数 y=f(x)在 x ? (1, 2) 内零点的近似值的过程中,得到 f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0, 则函数的零点落在区间( A、(1,1.25) B、(1.25,1.5) C、(1.5,2) ) D (3,4) ) ) D、无法确定

3、方程 log3 x ? x ? 3 的近似解所在区间是( A (0,2) A. y ? x ? x
2 3


B (1,2)

C (2,3)

4.下列函数,在指定范围内存在零点的是( x ? (-∞ ,0) C. y ? x ? x ? 5 x ? [1,2]

B. y ?| x | ?2 x ? [-1,1] D. y ? x3 ? 1 x ? ( 2,3 ) )

5、方程 2x 1+x=5 的解所在的区间是(

A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 例 1 借助计算器或计算机,利用二分法求方程 2 x ? 3x ? 7 的近似解.

练 1. 求方程 log3 x ? x ? 3 的解的个数及其大致所在区间.

例 2.借助图象求方程 ln x ? x ? 2 的近似解区间

练 2、.求函数 f ( x) ? x3 ? x2 ? 2x ? 2 的一个正数零点(精确到 0.1 ) 零点所在区间 中点函数值符号 区间长度

【归纳小结】 1. 请学生回顾本节课所学知识内容有哪些,所涉及到的主要数学思想又有哪些; 第 3 页 共 4 页

2. 在本节课的学习过程中,还有哪些不太明白的地方,请向老师提出。

【达标训练】 A1. 若函数 f ( x) 在区间 ? a, b? 上为减函数,则 f ( x) 在 ? a, b? 上( A. 至少有一个零点 C. 没有零点 B. 只有一个零点 D. 至多有一个零点


).

A2. .以下函数图象中,不能用二分法求函数零点的是(

A

B

C

D

B3. 函数 f ( x) ? 2 x ln( x ? 2) ? 3 的零点所在区间为( A. (2,3) B. (3, 4) C. (4,5) D. (5, 6)

).

A4. 用二分法求方程 x3 ? 2 x ? 5 ? 0 在区间 [2 , 3] 内的实根,由计算器可算得 f (2) ? ?1 ,
f (3) ? 16 , f (2.5) ? 5.625 ,那么下一个有根区间为

.

A5、方程 2 x ? x ? 3 ? 0 的解在区间(
2

3

) C (2,3)内 D 以上均不对 )

A. ( 0,1 )内

B. ( 1,2)内

B6.方程 log a x ? x ? 1( 0 ? a ? 1 )的实数解的个数是( A 0个 B 1个 C 2个 D 3个

B7. 函数 f ( x) ? lg x ? 2 x ? 7 的零点个数为
A8、已知函数

,大致所在区间为

.

f ( x) ? 2? x ? log2 x ,则方程 f ( x) ? 0 的解个数为____

【学习反思】

【课后作业】P92

习题 3.1

A组

第 1、2、3、4 题.

2. 用二分法求 3 3 的近似值.

第 4 页 共 4 页


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