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陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第一章 求数列通项公式的常用方法拓展资料素材 北师大版必修5


求数列通项公式的常用方法
求数列的通项公式是数列考题中的常见形式,是利用数列知识考查数字运用能力的常见 题型,在各类选拔性考题中经常出现,为了帮助同学们掌握这类知识,下面归纳几种常用的 方法,供参考。 一、 运用等差数列和等比数列知识 若题设中已知数列的类型,我们可用其性质及有关公式来求解。 例 1:若等差数列{an }满足 bn =( 解析:由 b1 ·b2 ·b3

=

1 an 21 1 ) ,且 b1 +b2 +b3 = ,b1 ·b2 ·b3 = ,求通顶公式 an . 2 8 8

1 ?a1 +a2 +a3 =3 ?a2 =1,根据题设可设等差数列{an }的公差为 d,则 8 21 1 1 1 21 由 b1 +b2 +b3 = , ∴( )1-d +( )1 +( )1+d = ∴an =a2 +(n-2)d=2n-1 或 an =5-2n。 ? d=2 或 d=-2, 2 2 2 8 8
二、 运用 Sn 与 an 的关系 当 n=1 时,S1 =a1 ,当 n≥2 时,an =Sn -Sn-1 。 例 2:已知数列{an }的前 n 项和 Sn =10 +1,求通项公式 an . 解析: 当 n≥2 时, an =Sn -Sn-1 =10n +1-(10n-1 +1)=9·10n-1, 又当 n=1 时, a1 =S1 =11 不适合上式, ∴通项公式 an = ?
n

?11(n ? 1)
n ?1 ?9 ? 10 (n ? 2)



例 3:正项数列{an }的前 n 项和为 Sn ,若 2 S n =an +1(n∈N* ),求通项公式 an . 解析:根据题设 2 S n =an +1 得 4Sn =an2 +2an +1,当 n≥2 时,有 4Sn-1 =an-12 +2an-1 +1,二式相 减,得 4an =an 2 -an-12 +2(an -an-1 ),即 an 2 -an-12 -2(an +an-1 )=0,由 an >0 知 an -an-1 =2,所以{an }是 2 为 公差的等差数列,当 n=1 时,由 4S1 =a1 2 +2a1 +1 ? a1 =1,故 an =2n-1. 三、 累加法和累乘法 若已知数列的递推公式为 an+1 =an +f(n)可采用累加法,数列的递推公式 为 an+1 =an ·f(n)则采用累乘法。 例 4:在数列{an }中 a1 =1,当 n≥2 时,有 an =3an-1 +2,求其通项 an . 解析: 由递推式知 an+1 =3an +2, 又 an =3an-1 +2, 二式相减, 得 an+1 -an =3(an -an-1 ), 因此数列{an+1 -an } 是公比为 3 的等比数列。其首项为 a2 -a1 =(3×1+2)-1=4,∴an+1 =an +4·3n-1 ,则有 a2 -a1 =4, a3 -a2 =4·3,a4 -a3 =4·3 ……an -an-1 =4·3 ,把 n-1 个等式累加得 an -a1 =4(1+3+32 +……3n-2 )=2(3n-1 -1),则有 an =2·3n-1 -1. 例 5:设{an }是首项为 1 的正项数列且(n+1)·an+1 2 -nan2 +an+1 ·an =0(n=1,2,
-12 n-2

3……),求它的通项公式 an . 解析:由(n+1)·an+1 2 -nan 2 +an+1 ·an =0 得(an+1 +an )[(n+1)an+1 -nan ]=0,又

n 1 2 n ?1 an ,则 a2 = a1 , a3 = a2 ……an = an-1 ,把 n 个式子累乘得: n ?1 2 3 n 1 2 n ?1 1 an =( )·( )……( )·a1 ,又 a1 =1 故得 an = 。 2 3 n n
an ,an+1 >0,∴an+1 = 四、 待定系数法 对于形如 an+1 =pan +q(p,q 为常数)的递推公式都可以采用此法,即可设 an+1-t=p(an -t)再设法求出参数 t. 例 6(同例 4) 解析:由题设知 an+1 =3an +2,可化为 an+1 -t=3(an -t),即 an+1 =3an -2t,比较系数得-2t=2,即 t=-1,于是 an+1 +1=3(an +1),故数列{an +1}是公比为 3 的等比数列,首项为 a1 +1=2,则 an +1=2·3n-1 ,即 an =2·3n-1 -1。 五、 恒等变形法 将给出式恒等变形,使之转化为与 an 或 Sn 有关的等差和等比数列,此法 有一定的技巧性。 例 7:在数列{an }中,已知 a1 =1,an =
2 2S n (n≥2),求通项 an . 2S n ? 1

2 2S n 1 解析:当 n≥2 时,an =Sn -Sn-1 = ,则 2 Sn Sn-1 =- Sn + Sn-1 ,两边同除以 Sn Sn-1 得 Sn 2S n ? 1

-

1 S n ?1

=2 (n≥2),又 a1 =S1 =1,则

1 1 1 =1,∴数列{ }是以 =1 为首项,2 为公差的等差数 Sn S1 S1

列,∴

1 1 1 1 =1+(n-1)·2=2n-1,∴Sn = ,当 n≥2 时,an =Sn -Sn-1 = = 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 3 Sn

?1(n ? 1) 2 ? ,而 n=1 时,a1 =S1 =1 不适合上式,∴an = ? 。 2 (2n ? 1)(2n ? 3) ?? (2n ? 1)(2n ? 3) (n ? 2) ?
例 8:已知通项数列{an }的前 n 项 Sm 满足 Sn =

1 1 (an + ),求通项 an 。 2 an

解析:由 Sn =

1 1 1 1 (an + ),当 n=1 时,S1 =a1 = (a1 + ) ? a1 =1,当 n≥2 时,an =Sn -Sn-1 , 2 2 an a1

-2-

则 2Sn =Sn -Sn-1 +

1 1 ,∴Sn +Sn-1 = ,即 Sn2 -Sn-1 2 =1,∴数列{Sn2 }是公差为 1 的等差 S n ? S n ?1 S n ? S n ?1

数列, 且首项 S1 2 =a12 =1, ∴Sn 2 =1+(n-1), 又 Sn >0, ∴Sn = n , 当 n≥2 时, an =Sn -Sn-1 = n ? n ? 1 , 又当 n=1 时也适合上式,故 an =n- n ? 1 . 六、 猜证法 根据给出的公式,先求出数列的前 n 项,从中观察出规律,猜出通项公式, 再用数学归纳法证明。

n ?1 ? a n ,求通项 an . 2 3 解析:由 a1 =1,当 n=2 时,a1 +a2 = a2 ? a2 =2a1 =2,当 n=3 时,a1 +a2 +a3 =2a3 2
例 9:已知数列{an }满足 a1 =1,Sn =

?a3 =3,同理可得 a4 =4,……猜想得 an =n,下面用数学归纳法证明。
1°当 n=1,2,3 时,已验算成立,2°假设 n=k 时,猜想成立,即 ak =k,当 n=k+1 时,

k2 ? k k?2 k ?1 Sk+1 = ak+1 ,又 Sk = ak = ,二式相减,得 2 2 2
aK+1 =

k2 ? k k?2 k k ( k ? 1) ak+1 ? ak+1 = ? ak+1 =k+1,即 n=k+1 时猜想也成立,由 1°2°知 2 2 2 2

对于一切自然数 n 都有 an =n.

-3-


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