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浙江省效实中学2012-2013学年高二上学期期中数学文试题

时间:2012-12-04


宁波效实中学

二○一二学年度 第 一 学 期

期中考试试卷

高二数学(文科)
说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 100 分. 请在答题卷内按要求作答 第Ⅰ卷(选择题 共 30 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中只有 一项是符合题目要求的. 1.在同一直角坐标系中,直线 y ? ax 与 y ? x ? a 的图象正确的是( )

2.已知直线 3x ? 2 y ? 3 ? 0 和 6 x ? my ? 1 ? 0 互相平行,则它们之间的距离是( A.4 B. 2 13 13 C. 5 13 26 D. 7 13 26

)

3.等边△PQR 中,P(0,0 )、Q(4,0),且 R 在第四象限内,则 PR 和 QR 所在直线的方程分别 为( ) A. y ? ? 3x C. y ? ? 3 ? x ? 4 ? B. y ? 3x 和 y ? ? 3 ? x ? 4 ? D. y ? ? 3x 和 y ? 3 ? x ? 4 ?

4.已知双曲线

4 x2 y 2 ? 2 ? 1 的一条渐近线方程为 y ? x ,则双曲线的离心率为( 2 3 a b

)

5 4 5 3 B. C. D. 3 3 4 2 5. 直线 ? a ? 2? x ? ?1? a ? y ? 3 ? 0 与 ? a ?1? x ? ? 2a ? 3? y ? 2 ? 0 互相垂直,
A. 则a ? A.-1 6.以双曲线 ( )
[来源:学科网 ZXXK]

B.1

C. ?1

3 D.- 2 )

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是( 6 3
2 B. ? x ? 3 ? ? y ? 9 2

A. x2 ? y 2 ? 2 3x ? 2 ? 0

C. x2 ? y 2 ? 2 3x ? 2 ? 0

2 D. ? x ? 3 ? ? y ? 3 2

?x-y≥-1 ? 7.若实数 x,y 满足不等式?x+y≥1 ?3x-y≤3 ?
A.4 B.11 C.12

,则 z=4x+y 的最大值为

(

)

D.14

8.已知两圆相交于两点 A(1,3), B(m,?1) ,两圆圆心都在直线 x ? y ? c ? 0 上,则 m ? c 的 值是 A. ?1 B. 2 C. 3 D. 0 ( )
[来源:学,科,网]

9.点 P(x, y) 在直线 4 x ? 3 y ? 0 上,且 x, y 满足 ?14 ? x ? y ? 7 ,则点 P 到坐标原点距离 的取值范围是( A. ) B. ?0,10? C. ?5,10? D. ?5,15?

?0,5?

10.若曲线 x ? y ? 2 和圆 x2 ? y 2 ? r 2 ? r ? 0? 没有公共点,则 r 的取值范围是( A. r ? 2 C. 1 ? r ? B. r ? 2

)

2

D. r ?

2 或r ? 2
共 70 分)

第Ⅱ 卷(非选择题

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 3 分,共 21 分. 11. 点(-1,1)关于直线 x-y-1=0 的对称点坐标是
2 2 2 2



. ▲ .

12.经过 两圆 x ? y ? 4 x ? 6 ? 0 和 x ? y ? 4 y ? 6 ? 0 交点的直线方程为 13.如图所示,程序框图(算法流程图)的输出值 x= ▲ .

2 2 14. 直线 y ? kx ? 2 与椭圆 x ? 4 y ? 80 相交于不同的两点 P 、 Q ,若 PQ 的中

点横坐标为 2,则 直线的斜率等于



.

15.如图,在椭圆中,若 AB⊥ BF,其中 F 为焦点, A、B 分别为长轴与短轴的一个端点,则椭圆的离 心率 e=________.

16. 已知点 Q ? m,0? ,P 是椭圆

x2 ? y 2 ? 1的动点. 若点 P 恰在椭圆的右顶点时,线段 PQ 4
▲ .

的长度取到最小,则 实数 m 的取值范围为

17. 已知 a, b, c 为某一直角三角形的三边长, 为斜边, c 若点 P ? m, n ? 在直线 ax ? by ? 2c ? 0 上,则 m ? n 的最小值为__________.
2 2

三、解答题:本大题共 5 小题,共 49 分. 解答应写出文字说明 ,证明过程或演算步骤.

18.求下列双曲线的标准方程.

(1)与椭圆

x2 y 2 ? 5? ? ? 1 共焦点,且过点 ?1, ? 的双曲线; 16 25 ? 2? x2 y 2 ? ? 1 有相同渐近线,且过点 2 2,1 的双曲线. 16 4

(2)与双曲线

?

?

19.已知半径为 5 的圆的圆心在 x 的正 半轴上,且被直线 x ? y ? 5 ? 0 截得的弦长为 2 7 (1)求圆的方程; (2)是否存在实数 a,使得直线 ax ? y ? 5 ? 0 与圆相交于 A、B 两点,且过点 P(-1,4) 的直线 l 垂直平分弦 AB?若存在,求出实数 a 的值;若不存在,请说明理由.
[来源:学科网]

20.已知椭圆

x2 ? y 2 ? 1 及点 B ? 0, ?2? ,过点 B 作直线 l 与椭圆交于 C、D 两点. 2

(1)试确定直线 l 的斜率 k 的取值范围; (2)若直线 l 经过椭圆的左焦点 F1,椭圆的右焦点为 F2,求△CDF2 的面积.

21. P 是双曲线 点

x2 ? y 2 ? 1右支上的点, 直线 l 交双曲线的两条渐近线于 A, B 两点, P 且 4

为线段 AB 的中点 (1)若 P 2 2,1 ,求直线 l 的方程; (2)若直线 l 的斜率为 2,求 l 的方程.
[来源:学|科|网 Z|X|X|K]

?

?

22.已知离心率为

x2 y 2 2 的椭圆 E: 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的焦距为 4. a b 2

(1)求椭圆 E 的方程; (2)若某圆的圆心为坐标原点 O ,该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且

??? ??? ? ? OA ? OB ,求该圆的方程,并求|AB |的最大值.

2012 第一学期期中数学答案(文)
一、选择题

[来源:学*科*网 Z*X*X*K]

1.C 2.D 3.D 4.A 5.C 6.D 7.B 8.C 9 .B 10 .D 二、填空题 11.

? 2, ?2?

12. x ? y ? 0

13. 12

14.

1 15. 2

3 5 ?1 16. m ? 2 2

17. 4

三、解答题 18. (1)

y 2 x2 ? ?1 5 4
2

(2)

x2 ? y2 ? 1 4

2 19. (1) ? x ? 1? ? y ? 25

(2)因为直线和圆相交,故由 d ? r ,得: a ? 0或a ?

5 ??? ? ?? 12

若经过 P 的直线 l 垂直平分弦 AB,则直线也经过圆心 C ?1,0 ? ,? AB ? CP

? k AB ? kCP ? ?1 ,得 a ?

1 1 ,满足 ? ?? ,故存在实数 a ? ,使问题成立. 2 2

20. (1)设直线 l : y ? kx ? 2 ,联立椭圆方程,消去 y 得:

(1? 2k 2 ) x2 ? 8kx ? 6 ? 0

???

2 由于直线和椭圆相交两个点 ,故 ? ? 8 2k ? 3 ? 0 ,得: k ?

?

?

6 6 或k ? . 2 2

(2)直线 l 经过点 B ? 0, ?2? 和 F1 ? ?1,0 ? ,所以 l : 2 x ? y ? 2 ? 0 点 F2 ?1,0? 到 l 的距离 d ?

4 5
1? k 2 ? 10 2 9

2 联立直线和椭圆方程得: 9 x ? 16 x ? 6 ? 0 ,? CD ? x1 ? x2

? S? ?

1 4 CD d ? 10. 2 9

21. (1) y ?

2 x ? 1 (2)设 l : y ? 2 x ? m ,联立两条渐近线得到交点坐标为 2

? 2m m ? ? 2m m ? ? 8m m ? A? ? , ? ?, B? ? , ? ,从而得中点 P ? ? , ? ? ,把 P 点坐标代入双曲线 3? ? 5 5? ? 3 ? 15 15 ?
方程,解得 m ? 15 ,因为 P 在右支, m ? 0,?m ? ? 15 ,所以 y ? 2x ? 15.
2

22.(1)因为椭圆 E:

x2 y 2 ? ? 1 (a,b>0)过 M(2, 2 ) ,N( 6 ,1)两点, a 2 b2

2 ?4 ?1 1 ? a 2 ? b2 ? 1 ? a2 ? 8 ?a 2 ? 8 x2 y 2 ? ? ? ?1 所以 ? 解得 ? 所以 ? 2 椭圆 E 的方程为 8 4 ?b ? 4 ? 6 ? 1 ?1 ?1 ?1 ? a 2 b2 ? b2 4 ? ?
(2) 假设存在圆心在原点的圆 , 使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A ,B,

? y ? kx ? m ??? ??? ? ? ? 且 OA ? OB , 设 该 圆 的 切 线 方 程 为 y ? kx ? m 解 方 程 组 ? x 2 y 2 得 ? ?1 ? 4 ?8

x2 ? 2(kx ? m)2 ? 8 ,即 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 8 ? 0 , w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
则△= 16k 2m2 ? 4(1 ? 2k 2 )(2m2 ? 8) ? 8(8k 2 ? m2 ? 4) ? 0 ,即 8k ? m ? 4 ? 0
2 2

4km ? ? x1 ? x2 ? ? 1 ? 2k 2 ? ? 2 ? x x ? 2m ? 8 ? 1 2 1 ? 2k 2 ?
2 2

,

k 2 (2m2 ? 8) 4k 2 m2 m2 ? 8k 2 2 y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m ? ? ?m ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
要使 OA ? OB ,需使 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,即

??? ?

??? ?

2m2 ? 8 m2 ? 8k 2 ? ? 0 ,所以 3m2 ? 8k 2 ? 8 ? 0 , 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k

? m2 ? 2 8 3m2 ? 8 2 6 2 2 2 ? 0 又 8k ? m ? 4 ? 0 ,所以 ? 2 所以 k ? ,所以 m ? ,即 m ? 或 3 8 3 ? 3m ? 8
2

m??

2 6 , 因 为 直 线 y ? kx? m为 圆 心 在 原 点 的 圆 的 一 条 切 线 , 所 以 圆 的 半 径 为 3

r?

m 1? k 2

,r ?
2

m2 ? 1? k 2

8 m2 8 2 6 2 2 ? ,r ? ,所求的圆为 x ? y ? ,此时圆 2 3m ? 8 3 3 3 1? 8

的切线 y ? kx ? m都满足 m ?

2 6 2 6 或m?? ,而当切线的斜率不存在时切线为 3 3

x2 y 2 2 6 2 6 2 6 2 6 2 6 ? ? 1 的两个交点为 ( ,? ) 或 (? ,? ) 满足 与椭圆 8 4 3 3 3 3 3 ??? ??? ? ? 8 OA ? OB,综上, 存在圆心在原点的圆 x 2 ? y 2 ? ,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 3 ??? ??? ? ? 恒有两个交点 A,B,且 OA ? OB ,

x??

4km ? ? x1 ? x2 ? ? 1 ? 2k 2 ? 因为 ? , 2 ? x x ? 2m ? 8 ? 1 2 1 ? 2k 2 ?

4km 2 2m2 ? 8 8(8k 2 ? m2 ? 4) 所以 ( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? (? , ) ? 4? ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 (1 ? 2k 2 )2
2 2

| AB |? ( x1 ? x2 ) ? ? y1 ? y2 ?
2

2

8(8k 2 ? m2 ? 4) ? (1 ? k )( x1 ? x2 ) ? (1 ? k ) (1 ? 2k 2 ) 2
2 2 2

?

32 4k 4 ? 5k 2 ? 1 32 k2 ? 4 ? [1 ? 4 ], 3 4k ? 4k 2 ? 1 3 4k ? 4k 2 ? 1

当 k ? 0 时 | AB |?

32 1 [1 ? ] 1 3 2 4k ? 2 ? 4 k

因为 4k ?
2

1 ? 4 ? 8 所以 0 ? k2

1 1 ? ,所以 AB ? 2 3 1 4k 2 ? 2 ? 4 8 k
4 6 . 3

当 k ? 0 时,或斜率不存在时,易计算得 | AB |? 综上可得 AB max ? 2 3


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