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求数列通项公式的十种方法

时间:2013-09-12


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求数列通项公式的十一种方法

总述:一.利用递推关系式求数列通项的 11 种方法: 累加法、累乘法、待定系数法、阶差法(逐差法) 、迭代法、对数变换法、 倒数变换法、换元法(目的是去递推关系式中出现的根号) 、数学归纳法、 不动点法(递推式是一个数列通项的分式表达式) 、特征根法 二。四种基本数列:等差数列、等比数列、等和数

列、等积数列及其广义形式。等差数列、 等比数列的求通项公式的方法是:累加和累乘,这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。 三 .求数列通项的方法的基本思路是:把所求数列通过变形,代换转化为等级差数列或等比 数列。 四.求数列通项的基本方法是:累加法和累乘法。 五.数列的本质是一个函数,其定义域是自然数集的一个函数。 一、累加法 1.适用于: an ?1 ? an ? f (n) ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。

a ? a n ? f (n) 评注:已知 a1 ? a , n ?1 ,其中 f(n)可以是关于 n 的一次函数、二次函数、指数函数、
分式函数,求通项

an

.

①若 f(n)是关于 n 的一次函数,累加后可转化为等差数列求和; ②若 f(n)是关于 n 的二次函数,累加后可分组求和; ③若 f(n)是关于 n 的指数函数,累加后可转化为等比数列求和; ④若 f(n)是关于 n 的分式函数,累加后可裂项求和。 2.若 an ?1 ? an ? f (n) (n ? 2) ,

a2 ? a1 ? f (1)


a3 ? a2 ? f (2) ? ? an ?1 ? an ? f (n)

两边分别相加得 an ?1 ? a1 ?

? f ( n)
k ?1

n

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例 1 已知数列 {an } 满足 an ?1 ? an ? 2n ? 1 a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。 , 1、解:由 an?1 ? an ? 2n ? 1 得 an?1 ? an ? 2n ? 1 则

an ? (an ? an ?1 ) ? (an ?1 ? an ? 2 ) ? ? ? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1 ? [2(n ? 1) ? 1] ? [2( n ? 2) ? 1] ? ? ? (2 ? 2 ? 1) ? (2 ? 1 ? 1) ? 1 ? 2[( n ? 1) ? ( n ? 2) ? ? ? 2 ? 1] ? ( n ? 1) ? 1 (n ? 1) n ? (n ? 1) ? 1 2 ? (n ? 1)( n ? 1) ? 1 ?2 ? n2
所以数列 {an } 的通项公式为 an ? n 。
2

, 例 2 已知数列 {an } 满足 an ?1 ? an ? 2 ? 3 ? 1 a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。
n

解法一:由 an ?1 ? an ? 2 ? 3 ? 1 得 an ?1 ? an ? 2 ? 3 ? 1 则
n n

an ? (an ? an ?1 ) ? (an ?1 ? an ? 2 ) ? ? ? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1 ? (2 ? 3n ?1 ? 1) ? (2 ? 3n ? 2 ? 1) ? ? ? (2 ? 32 ? 1) ? (2 ? 31 ? 1) ? 3 ? 2(3n ?1 ? 3n ? 2 ? ? ? 32 ? 31 ) ? (n ? 1) ? 3 3(1 ? 3n ?1 ) ? (n ? 1) ? 3 1? 3 ? 3n ? 3 ? n ? 1 ? 3 ?2 ? 3n ? n ? 1
所以 an ? 3 ? n ? 1.
n

n?1 解法二: an ?1 ? 3an ? 2 ? 3 ? 1 两边除以 3 ,得
n

an?1 an 2 1 , ? ? ? 3n?1 3n 3 3n?1



an?1 an 2 1 ,故 ? ? ? 3n?1 3n 3 3n ?1

an an a a an ? 2 an ? 2 an ?3 a2 a1 a ? ( n ? n ?1 ) ? ( n ?1 ? n ? 2 ) ? ( n ? 2 ? n ?3 ) ? ? ? ( 2 ? 1 ) ? 1 n 3 3 an ?1 an ?1 3 3 3 3 3 3 2 1 2 1 2 1 2 1 3 ? ( ? n ) ? ( ? n ?1 ) ? ( ? n ? 2 ) ? ? ? ( ? 2 ) ? 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2(n ? 1) 1 1 1 1 1 ? ? ( n ? n ? n ?1 ? n ? 2 ? ? ? 2 ) ? 1 3 3 3 3 3 3

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1 (1 ? 3n?1 ) an 2(n ? 1) 3n 2n 1 1 因此 n ? , ? ?1 ? ? ? 3 3 1? 3 3 2 2 ? 3n
则 an ?

2 1 1 ? n ? 3n ? ? 3n ? . 3 2 2

练习 1.已知数列
2

?an ? 的首项为 1,且 an?1 ? an ? 2n(n ? N * ) 写出数列 ?an ? 的通项公式.

(答案: n ? n ? 1 )

练习 2.已知数列

{a n }

满足 a1 ? 3 ,

a n ? a n ?1 ?

1 (n ? 2) n(n ? 1) ,求此数列的通项公式.

(答案:裂项求和

an ? 2 ?

1 n



例 3.已知数列

{a n }

中,

an ? 0

Sn ?


1 n (a n ? ) 2 a n ,求数列 {a n } 的通项公式.

Sn ?
解:由已知

1 n 1 n (a n ? ) S n ? ( S n ? S n ?1 ? ) 2 an 得 2 S n ? S n ?1 ,
2 S n ? S12 ? 2 ? 3 ? ? ? n

化简有

2 2 S n ? S n?1 ? n

,由类型(1)有

,

又 S1 ? a1 得 a1 ? 1 ,所以

2 Sn ?

n(n ? 1) sn ? 2 ,又 a n ? 0 ,

2n(n ? 1) 2 ,



an ?

2n(n ? 1) ? 2n(n ? 1) 2

此题也可以用数学归纳法来求解.

二、累乘法 1.适用于: an ?1 ? f (n)an ----------这是广义的等比数列 累乘法是最基本的二个方法之二。

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2.若

an ?1 a a a ? f (n) ,则 2 ? f (1),3 ? f (2), ,n ?1 ? f (n) ?? an a1 a2 an
n an ?1 ? a1 ? ? f (k ) a1 k ?1

两边分别相乘得,

例 4 已知数列 {an } 满足 an ?1 ? 2(n ? 1)5 ? an,a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。
n

解:因为 an ?1 ? 2(n ? 1)5 ? an,a1 ? 3 ,所以 an ? 0 ,则
n

an ?1 ? 2(n ? 1)5n ,故 an

an ?

an an ?1 a a ? ?? ? 3 ? 2 ? a1 an ?1 an ? 2 a2 a1

? [2(n ? 1 ? 1)5n ?1 ][2( n ? 2 ? 1)5n ? 2 ] ?? ? [2(2 ? 1) ? 52 ][2(1 ? 1) ? 51 ] ? 3 ? 2n ?1[n( n ? 1) ?? ? 3 ? 2] ? 5( n ?1)? ( n ? 2) ??? 2?1 ? 3 ? 3? 2
n ?1 n ( n ?1) 2

?5

? n!
n ?1

所以数列 {an } 的通项公式为 an ? 3 ? 2

?5

n ( n ?1) 2

? n!.
3,?) ,

例 5.设 ?an ?是首项为 1 的正项数列,且 则它的通项公式是 a n =________.

?n ? 1?a n2?1 ? nan2 ? a n?1 a n ? 0 ( n =1,2,

解:已知等式可化为:

(a n ?1 ? a n )?(n ? 1)a n ?1 ? nan ? ? 0

* ? a n ? 0 ( n? N )?(n+1) a n ?1 ? nan ? 0 ,

a n ?1 n ? a n ?1 即 n

an n ?1 ? n ? n ? 2 时, a n ?1 an ? a n a n ?1 a ? ? ? ? 2 ? a1 n ? 1 ? n ? 2 ? ? 1 ? 1 1 a n ?1 a n ? 2 a1 n ?1 2 =n. = n
an


?

评注:本题是关于

a n ?1

的二次齐次式,可以通过因式分解(一般情况时用求根公式)得到

an



a n ?1

的更为明显的关系式,从而求出

an

.

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练习.已知

a n ?1 ? nan ? n ? 1, a1 ? ?1

,求数列{an}的通项公式.

(答案:

a n ? (n ? 1)!?(a1 ? 1) -1.)
a n ?1 ? nan ? n ? 1,
转化为

评注:本题解题的关键是把原来的递推关系式

a n ?1 ? 1 ? n(a n ? 1),
出数列的通项公式.

若令

bn ? a n ? 1

,则问题进一步转化为

bn ?1 ? nbn

形式,进而应用累乘法求

三、待定系数法 适用于 an ?1 ? qan ? f (n) 基本思路是转化为等差数列或等比数列,而数列的本质是一个函数,其定义域是自然数集的一 个函数。 1.形如

a n ?1 ? can ? d , (c ? 0

,其中 a1 ? a )型

(1)若 c=1 时,数列{

an an

}为等差数列;

(2)若 d=0 时,数列{

}为等比数列;

a (3)若 c ? 1且d ? 0 时,数列{ n }为线性递推数列,其通项可通过待定系数法构造辅助数列
来求.

待定系数法:设

a n ?1 ? ? ? c(a n ? ? )

,



a n ?1 ? can ? (c ? 1)?

,与题设

a n ?1 ? can ? d ,

比较系数得

(c ? 1)? ? d ,所以

??

d d d , (c ? 0) an ? ? c(a n ?1 ? ) c ?1 c ?1 c ?1 所以有:

d ? ? d ?a n ? ? a1 ? c ? 1? 构成以 c ? 1 为首项,以 c 为公比的等比数列, 因此数列 ?

所以

an ?

d d d d ? (a1 ? ) ? c n ?1 a n ? (a1 ? ) ? c n ?1 ? c ?1 c ?1 c ?1 c ? 1. 即:

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规律: 将递推关系

a n ?1 ? can ? d

化为

a n ?1 ?

d d ? c( a n ? ) c ?1 c ? 1 ,构造成公比为 c 的等比数列

{a n ?

d d d } a n ?1 ? ? c n ?1 (a1 ? ) c ? 1 从而求得通项公式 1? c c ?1
a n ?1 ? can ? d
中把 n 换成 n-1 有

逐项相减法(阶差法) :有时我们从递推关系 两式相减有

a n ? can ?1 ? d

,

a n ?1 ? a n ? c(a n ? a n ?1 )

从而化为公比为 c 的等比数列

{a n ?1 ? a n }

,进而求得通项公式.

a n ?1 ? a n ? c n (a 2 ? a1 )

,再利用类型(1)即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂.

例 6 已知数列 {an } 中, a1 ? 1, an ? 2an ?1 ? 1(n ? 2) ,求数列 ? an ? 的通项公式。 解法一:? an ? 2an ?1 ? 1(n ? 2),

? an ? 1 ? 2(an?1 ? 1)
又? a1 ? 1 ? 2,??an ? 1? 是首项为 2,公比为 2 的等比数列

? an ? 1 ? 2n ,即 an ? 2n ? 1
解法二:? an ? 2an ?1 ? 1(n ? 2),

? an?1 ? 2an ? 1
两式相减得 an?1 ? an ? 2(an ? an ?1 )(n ? 2) ,故数列 ?an ?1 ? an ? 是首项为 2,公比为 2 的等 比数列,再用累加法的??

练习.已知数列

{a n }

中,

a1 ? 2, a n ?1 ?

1 1 an ? , 2 2 求通项 a n 。

1 a n ? ( ) n ?1 ? 1 2 (答案: )
a n ?1 ? p ? a n ? q n
(其中 q 是常数,且 n ? 0,1)

2.形如:

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①若 p=1 时,即:

a n ?1 ? a n ? q n

,累加即可.
n

a ? p ? an ? q ②若 p ? 1 时,即: n ?1 ,
求通项方法有以下三种方向:i. 两边同除以 p
n ?1

.目的是把所求数列构造成等差数列

a n ?1
即:

p

n ?1

?

an q
n

?

an 1 p n 1 p ?( ) bn ? n bn ?1 ? bn ? ? ( ) n p q ,令 p q ,然后类型 1,累加求通项. p ,则

ii.两边同除以 q

n ?1

. 目的是把所求数列构造成等差数列。

a n ?1
即:

q n ?1

?

p an 1 ? ? q qn q ,
bn ?1 ? p 1 ? bn ? q q .然后转化为类型 5 来解,

bn ?


an q ,则可化为
n

iii.待定系数法:目的是把所求数列构造成等差数列 设

a n ?1 ?? ? q n ?1 ? p(a n ? ? ? p n )

.通过比较系数,求出 ? ,转化为等比数列求通项.

注意:应用待定系数法时,要求 p ? q,否则待定系数法会失效。 例 7 已知数列

{an }

满足

an?1 ? 2an ? 4 ? 3n ?1,a1 ? 1

,求数列

?an ? 的通项公式。
?1 ? ?4, ?2 ? 2 ,

解法一(待定系数法) :设

an ?1 ? ?1 3n ? ?2 (an ? ? ? 3n?1 ) a1 ? 4 ? 31?1 ? ?5

,比较系数得

则数列

?a

n

? 4 ? 3n ?1?

是首项为

,公比为 2 的等比数列,

所以

an ? 4 ? 3n ?1 ? ?5 ? 2n ?1

,即

an ? 4 ? 3n ?1 ? 5 ? 2n ?1

an ?1 2 an 4 ? ? ? q n ?1 ) 两边同时除以 3n?1 得: 3n ?1 3 3n 32 ,下面解法略 解法二(两边同除以 :
a n ?1 a n 4 3 n ? n ? ?( ) n ?1 3 2 ,下面解法略 2 得: 2

解法三(两边同除以 p

n ?1

) 两边同时除以 2 :

n ?1

练习.

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n ?1 设 a 0 为 常 数 , 且 a n ? 3 ? 2a n ?1 (n ? N ) . 证 明 对 任 意 n ≥ 1 ,

1 a n ? [3 n ? (?1) n?1 ? 2 n ] ? (?1) n ? 2 n a0 5 ;

3.形如

a n?1 ? pan ? kn ? b

(其中 k,b 是常数,且 k ? 0 )

方法 1:逐项相减法(阶差法) 方法 2:待定系数法 通过凑配可转化为 解题基本步骤: 1、确定 f (n) =kn+b

(an ? xn ? y) ? p(an?1 ? x(n ? 1) ? y)

;

2、设等比数列

bn ? (a n ? xn ? y )

,公比为 p

3、列出关系式

(an ? xn ? y) ? p(an?1 ? x(n ? 1) ? y)

,即

bn ? pbn?1

4、比较系数求 x,y 5、解得数列

(an ? xn ? y)

的通项公式

6、解得数列

?an ? 的通项公式
{a n }
中,

例 8 在数列 解:?,

a1 ? 1, a n ?1 ? 3a n ? 2n,

求通项

an

.(逐项相减法)

a n ?1 ? 3a n ? 2n,



? n ? 2 时, a n ? 3a n ?1 ? 2(n ? 1) ,
两式相减得

a n ?1 ? a n ? 3(a n ? a n ?1 ) ? 2
bn ? 5 ? 3 n ?1 ? 2

.令

bn ? a n ?1 ? a n

,则

bn ? 3bn ?1 ? 2

利用类型 5 的方法知



a n ?1 ? a n ? 5 ? 3 n ?1 ? 1



再由累加法可得

an ?

5 n ?1 1 ?3 ? n ? 2 2.

亦可联立 ① ②解出

an ?

5 n ?1 1 ?3 ? n ? 2 2.

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例 9. 在数列 { an } 中,

a1 ?

3 ,2a n ? a n ?1 ? 6n ? 3 a 2 ,求通项 n .(待定系数法)

解:原递推式可化为

2(a n ? xn ? y) ? a n ?1 ? x(n ? 1) ? ? y

比较系数可得:x=-6,y=9,上式即为

2bn ? bn ?1

所以

?bn ? 是一个等比数列,首项

b1 ? a1 ? 6n ? 9 ?

9 1 9 1 ? bn ? ( ) n ?1 2 ,公比为 2 . 2 2

即:

1 a n ? 6n ? 9 ? 9 ? ( ) n 2 1 a n ? 9 ? ( ) n ? 6n ? 9 2 故 .
a n ?1 ? pan ? a ? n 2 ? b ? n ? c
(其中 a,b,c 是常数,且 a ? 0 )

4.形如

基本思路是转化为等比数列,而数列的本质是一个函数,其定义域是自然数集的一个函数。 例 10 已知数列 {an } 满足 an ?1 ? 2an ? 3n ? 4n ? 5,a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。
2

解:设 an ?1 ? x(n ? 1) ? y (n ? 1) ? z ? 2(an ? xn ? yn ? z )
2 2

比较系数得 x ? 3, y ? 10, z ? 18 , 所以 an ?1 ? 3(n ? 1) ? 10(n ? 1) ? 18 ? 2(an ? 3n ? 10n ? 18)
2 2

由 a1 ? 3 ?1 ? 10 ?1 ? 18 ? 1 ? 31 ? 32 ? 0 ,得 an ? 3n ? 10n ? 18 ? 0
2 2



an ?1 ? 3(n ? 1) 2 ? 10(n ? 1) ? 18 ? 2 ,故数列 {an ? 3n 2 ? 10n ? 18} 为以 an ? 3n 2 ? 10n ? 18

a1 ? 3 ?12 ? 10 ?1 ? 18 ? 1 ? 31 ? 32 为首项,以 2 为公比的等比数列,因此 an ? 3n2 ? 10n ? 18 ? 32 ? 2n?1 ,则 an ? 2n? 4 ? 3n2 ? 10n ? 18 。
5.形如 an ? 2 ? pan ?1 ? qan 时将 an 作为 f (n) 求解 分析:原递推式可化为 an ? 2 ? ? an ?1 ? ( p ? ? )(an ?1 ? ? an ) 的形式,比较系数可求得 ? ,数列

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?an?1 ? ? an ? 为等比数列。
例 11 已知数列

{an }

满足

an? 2 ? 5an?1 ? 6an , a1 ? ?1, a2 ? 2

,求数列

{an }

的通项公式。

解:设

an? 2 ? ? an?1 ? (5 ? ? )(an?1 ? ? an )

比较系数得 ? ? ?3 或 ? ? ?2 ,不妨取 ? ? ?2 , (取-3 结果形式可能不同,但本质相同)



an? 2 ? 2an?1 ? 3(an?1 ? 2an )

,则

?an?1 ? 2an ? 是首项为 4,公比为 3 的等比数列

? an ?1 ? 2an ? 4 ? 3n ?1

,所以

an ? 4 ? 3n ?1 ? 5 ? 2n ?1

a ? 4a n ?1 ? 3a n ? 0 a n 练习.数列 { an } 中,若 a1 ? 8, a 2 ? 2 ,且满足 n ? 2 ,求 .
答案:

a n ? 11 ? 3 n

.

四、迭代法

r a n ?1 ? pan

(其中 p,r 为常数)型
3( an ?1 ? an n ?1)2 ,a1 ? 5
n

例 12 已知数列

{an }

满足
n

,求数列

{an }

的通项公式。

解:因为

3( an ?1 ? an n ?1)2

,所以
n ?1

3 n? an ? an ?12

n ?1

3( ? [an ?n2?1)?2 ]3n?2
n ?3 2

n?2

3 ? an ?(2n ?1)?n?2
2

( n ?2 )?( n ?1)

3( ? [ an ?n ? 2)?2 ]3 3
3

( n ?1)?n?2( n?2 )?( n?1)
( n ?3) ?( n ?2 ) ?( n ?1)

3 ? an ?(3n ? 2)( n ?1) n?2

?? ? a13 ? a13
n?1

?2?3??( n ? 2)?( n ?1)?n?21? 2????( n?3)?( n?2 )?( n?1)
n ( n ?1) 2

n?1

?n!?2



a1 ? 5

,所以数列

{an }

的通项公式为

an ? 5

3n?1 ?n!?2

n ( n?1) 2



注:本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。

1 {an }的各项都是正数, 且满足 : a 0 ? 1, a n ?1 ? 2 a n (4 ? a n ), n ? N 例 13.已知数列 ,

11 / 21

(1)证明

an ? an?1 ? 2, n ? N ;

(2)求数列

{a n }

的通项公式.

解: (1)略(2)

a n?1 ?

1 1 a n (4 ? a n ) ? [?(a n ? 2) 2 ? 4], 2 2 所以

2(a n ?1 ? 2) ? ?(a n ? 2) 2

n ?1 1 2 1 1 2 1 1 1 22 2n 令bn ? a n ? 2, 则bn ? ? bn ?1 ? ? (? bn ? 2 ) 2 ? ? ? ( ) 2 bn ?1 ? ? ? ?( )1? 2??? 2 bn 2 2 2 2 2 2 又 bn=-1,

1 n 1 n bn ? ?( ) 2 ?1 ,即an ? 2 ? bn ? 2 ? ( ) 2 ?1 2 2 所以 .

方法 2:本题用归纳-猜想-证明,也很简捷,请试一试.解法 3:设 c 面类型(1)来解

n ? ?bn

,则 c

n

?

1 2 c n ?1 2 ,转化为上

五、对数变换法 适用于

r a n ?1 ? pan

(其中 p,r 为常数)型

p>0,

an ? 0

例 14. 设正项数列

2 ?a n ? 满足 a1 ? 1 , a n ? 2a n?1 (n≥2).求数列 ?a n ? 的通项公式.

an an ? 1 an an ?1 b ? log 2n ? 1 解:两边取对数得: log 2 ? 1 ? 2 log 2 , log 2 ? 1 ? 2(log 2 ? 1) ,设 n ,则

a

bn ? 2bn?1

?bn ?是以 2 为公比的等比数列, b1 ? log 12 ? 1 ? 1
n?1

bn ? 1 ? 2 n?1 ? 2 n?1



2 log an ? 1 ? 2 n?1 , log an ? 2 n?1 ? 1 ,∴ a n ? 2 2 2

?1

练习 数列

?a n ?中, a1 ? 1 , a n ? 2
2?n

a n ?1

(n≥2) ,求数列

?a n ? 的通项公式.

(答案:

a n ? 2 2?2



例 15 已知数列 {an } 满足 an ?1 ? 2 ? 3 ? an , a1 ? 7 ,求数列 {an } 的通项公式。
n 5

解:因为 an ?1 ? 2 ? 3 ? an,a1 ? 7 ,所以 an ? 0,an ?1 ? 0 。
n 5

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两边取常用对数得 lg an ?1 ? 5lg an ? n lg 3 ? lg 2 设 lg an?1 ? x(n ? 1) ? y ? 5(lg an ? xn ? y ) 比较系数得, x ? 由 lg a1 ? (同类型四)

lg 3 lg 3 lg 2 ,y? ? 4 16 4

lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 ?1 ? ? ? lg 7 ? ?1 ? ? ? 0 ,得 lg an ? n? ? ?0, 4 16 4 4 16 4 4 16 4

lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 为首项,以 5 为公比的等比数列, n? ? } 是以 lg 7 ? ? ? 4 16 4 4 16 4 lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 n?1 则 lg an ? n? ? ? (lg 7 ? ? ? )5 ,因此 4 16 4 4 16 4
所以数列 {lg an ?

lg an ? (lg 7 ?

lg 3 lg 3 lg 2 n ?1 lg 3 lg 3 lg 2 ? ? )5 ? n? ? 4 16 4 4 6 4
1 1 1 n 1 1

? [lg(7 ? 3 4 ? 316 ? 2 4 )]5n ?1 ? lg(3 4 ? 316 ? 2 4 ) ? lg(7 ? 3 ? 3 ? 2 ) ? lg(75 n ?1 ? 3
则 an ? 7
5n?1
5 n ? 4 n ?1 16 1 4 1 16 1 n ?1 4 5 5

? lg(3 ? 3 ? 2 )
n ?1

n 4

1 16

1 4

?2

?1

4

)

?3

5 n ? 4 n ?1 16

?2

5n?1 ?1 4



六、倒数变换法 适用于分式关系的递推公式,分子只有一项 例 16 已知数列 {an } 满足 an ?1 ?

2an , a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。 an ? 2

解:求倒数得

1 1 1 1 1 1 ? 1 1? 1 1 ? ? ,? ? ? ,? ? ? ? 为等差数列,首项 ? 1 ,公差为 , an ?1 2 an an ?1 an 2 ? an ?1 an ? a1 2

?

1 1 2 ? (n ? 1),? an ? an 2 n ?1

七、换元法 适用于含根式的递推关系 例 17 已知数列 {an } 满足 an ?1 ?

1 (1 ? 4an ? 1 ? 24an ),a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。 16

13 / 21

解:令 bn ? 1 ? 24an ,则 an ? 代入 an ?1 ?

1 2 (bn ? 1) 24

1 (1 ? 4an ? 1 ? 24an ) 得 16

1 2 1 1 2 (bn?1 ? 1) ? [1 ? 4 (bn ? 1) ? bn ] 24 16 24
即 4bn ?1 ? (bn ? 3)
2 2

因为 bn ? 1 ? 24an ? 0 , 则 2bn ?1 ? bn ? 3 ,即 bn ?1 ? 可化为 bn ?1 ? 3 ?

1 3 bn ? , 2 2

1 (bn ? 3) , 2
1 为公比的等比数列,因此 2

所以 {bn ? 3} 是以 b1 ? 3 ? 1 ? 24a1 ? 3 ? 1 ? 24 ?1 ? 3 ? 2 为首项,以

1 1 1 1 bn ? 3 ? 2( )n ?1 ? ( ) n ?2 ,则 bn ? ( ) n ?2 ? 3 ,即 1 ? 24an ? ( ) n?2 ? 3 ,得 2 2 2 2 2 1 1 1 an ? ( )n ? ( ) n ? 。 3 4 2 3
八、数学归纳法 通过首项和递推关系式求出数列的前 n 项,猜出数列的通项公式,再用数学归纳 法加以证明。 例 18 已知数列 {an } 满足 an ?1 ? an ?

8(n ? 1) 8 ,a1 ? ,求数列 {an } 的通项公式。 2 2 (2n ? 1) (2n ? 3) 9

解:由 an ?1 ? an ?

8(n ? 1) 8 及 a1 ? ,得 2 2 (2n ? 1) (2n ? 3) 9

8(1 ? 1) 8 8 ? 2 24 ? ? ? 2 2 (2 ? 1 ? 1) (2 ?1 ? 3) 9 9 ? 25 25 8(2 ? 1) 24 8?3 48 a3 ? a2 ? ? ? ? 2 2 (2 ? 2 ? 1) (2 ? 2 ? 3) 25 25 ? 49 49 8(3 ? 1) 48 8 ? 4 80 a4 ? a3 ? ? ? ? 2 2 (2 ? 3 ? 1) (2 ? 3 ? 3) 49 49 ? 81 81 a2 ? a1 ?
由此可猜测 an ?

(2n ? 1) 2 ? 1 ,下面用数学归纳法证明这个结论。 (2n ? 1) 2

14 / 21

(1)当 n ? 1 时, a1 ?

(2 ?1 ? 1) 2 ? 1 8 ? ,所以等式成立。 (2 ?1 ? 1) 2 9 (2k ? 1) 2 ? 1 ,则当 n ? k ? 1 时, (2k ? 1) 2

(2)假设当 n ? k 时等式成立,即 ak ?

ak ?1 ? ak ? ? ? ? ?

8(k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2

[(2k ? 1) 2 ? 1](2k ? 3) 2 ? 8( k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 ? (2k ? 1) 2 (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 (2k ? 3) 2 ? 1 (2k ? 3) 2 [2(k ? 1) ? 1]2 ? 1 [2(k ? 1) ? 1]2

由此可知,当 n ? k ? 1 时等式也成立。 根据(1)(2)可知,等式对任何 n ? N 都成立。 ,
*

九、阶差法(逐项相减法) 1、递推公式中既有 S n ,又有 an

分析:把已知关系通过 an ? ? 方法求解。

? S1 , n ? 1 转化为数列 ? an ? 或 S n 的递推关系,然后采用相应的 ? S n ? S n ?1 , n ? 2

例 19 已知数列 {an } 的各项均为正数,且前 n 项和 S n 满足 Sn ? 等比数列,求数列 {an } 的通项公式。 解:∵对任意 n ? N 有 Sn ? ∴当 n=1 时, S1 ? a1 ? 当 n≥2 时, Sn ?1 ?
?

1 (an ? 1)(an ? 2) ,且 a2 , a4 , a9 成 6

1 (an ? 1)(an ? 2) 6



1 (a1 ? 1)(a1 ? 2) ,解得 a1 ? 1 或 a1 ? 2 6


1 (an?1 ? 1)(an?1 ? 2) 6

⑴-⑵整理得: (an ? an ?1 )(an ? an ?1 ? 3) ? 0

15 / 21

∵ {an } 各项均为正数,∴ an ? an ?1 ? 3 当 a1 ? 1 时, an ? 3n ? 2 ,此时 a4 ? a2 a9 成立
2

当 a1 ? 2 时, an ? 3n ? 1 ,此时 a4 ? a2 a9 不成立,故 a1 ? 2 舍去
2

所以 an ? 3n ? 2 练习。已知数列 {a n } 中, a n ? 0 且 S n ? (答案: S n ? S n ?1 ? a n 2、对无穷递推数列

1 (a n ? 1) 2 ,求数列 {a n } 的通项公式. 2
a n ? 2n ? 1 )

(a n ? 1) 2 ? (a n ?1 ? 1) 2

, 例 20 已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? (n ? 1)an ?1 (n ? 2) , {an } 的通项公式。 求
解:因为 an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? (n ? 1)an?1 (n ? 2) 所以 an ?1 ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? (n ? 1)an ?1 ? nan 用②式-①式得 an ?1 ? an ? nan . ② ①

则 an ?1 ? (n ? 1)an (n ? 2)



an ?1 ? n ? 1(n ? 2) an

所以 an ?

an an ?1 a n! ? ?? ? 3 ? a2 ? [n(n ? 1) ?? ? 4 ? 3]a2 ? a2 . an ?1 an ? 2 a2 2



由 an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? (n ? 1)an?1 (n ? 2) , 取n ? 2得a2 ? a1 ? 2a2 ,则 a2 ? a1 ,又知 a1 ? 1 , 则 a2 ? 1 ,代入③得 an ? 1? 3 ? 4 ? 5 ?? ? n ? 所以, {an } 的通项公式为 an ?

n! 。 2

n! . 2

十、不动点法

目的是将递推数列转化为等比(差)数列的方法

不动点的定义:函数 f ( x) 的定义域为 D ,若存在 f ( x) x0 ? D ,使 f ( x0 ) ? x0 成立,则称 x0 为

16 / 21

f ( x) 的不动点或称 ( x0 , f ( x0 )) 为函数 f ( x) 的不动点。
分析:由 f ( x) ? x 求出不动点 x0 ,在递推公式两边同时减去 x0 ,在变形求解。 类型一:形如 an ?1 ? qan ? d 例 21 已知数列 {an } 中, a1 ? 1, an ? 2an ?1 ? 1(n ? 2) ,求数列 ? an ? 的通项公式。 解:递推关系是对应得递归函数为 f ( x) ? 2 x ? 1 ,由 f ( x) ? x 得,不动点为-1 ∴ an ?1 ? 1 ? 2(an ? 1) ,?? 类型二:形如 an ?1 ?

a ? an ? b c ? an ? d

分析:递归函数为 f ( x) ?

a?x ?b c? x ? d

(1)若有两个相异的不动点 p,q 时,将递归关系式两边分别减去不动点 p,q,再将两式相除得

an?1 ? p a ?p (a q ? pq)k n ?1 ? (a1 p ? pq ) a ? pc ,其中 k ? ,∴ an ? 1 ?k? n (a1 ? p)k n ?1 ? (a1 ? q) an ?1 ? q an ? q a ? qc
(2)若有两个相同的不动点 p,则将递归关系式两边减去不动点 p,然后用 1 除,得

1 1 2c ? ? k ,其中 k ? 。 an ?1 ? p an ? p a?d
例 22. 设数列 {an } 满足 a1 ? 2, a n ?1 ?

5a n ? 4 ,求数列 {an } 的通项公式. 2a n ? 7

分析:此类问题常用参数法化等比数列求解. 解:对等式两端同时加参数 t,得:

a n ?1

7t ? 4 5a ? 4 (2t ? 5)a n ? 7t 2t ? 5 , ?t ? n ?t ? ? (2t ? 5) 2a n ? 7 2a n ? 7 2a n ? 7 an ?

令t ?

7t ? 4 , 解之得 t=1,-2 2t ? 5

代入 a n ?1 ? t ? (2t ? 5)

an ? t 得 2a n ? 7

a n ?1 ? 1 ? 3

an ? 1 an ? 2 , a n ?1 ? 2 ? 9 , 2a n ? 7 2a n ? 7

相除得

a n ?1 ? 1 1 a n ? 1 an ? 1 a ?1 1 ? ? ? , ,即{ }是首项为 1 a n ?1 ? 2 3 a n ? 2 an ? 2 a1 ? 2 4

17 / 21

公比为

a ? 1 1 1? n 4 ? 3 n ?1 ? 2 1 的等比数列, n = ? 3 , 解得 a n ? . an ? 2 4 3 4 ? 3 n ?1 ? 1 an ? 1 , 2a n ? 7 1 a n ?1 ? 1 ? 2a n ? 7 2(a n ? 1) ? 9 2 3 ? ? ? , 3(a n ? 1) 3(a n ? 1) 3 an ? 1

方法 2: ?,

a n ?1 ? 1 ? 3

两边取倒数得

令 bn?

1 ,则 b n ? an ? 1

2 ? 3bn , ?, 转化为累加法来求. 3
21an ? 24 ,a1 ? 4 ,求数列 {an } 的通项公式。 4an ? 1

例 23 已知数列 {an } 满足 an ?1 ?

解:令 x ? 动点。因为

21x ? 24 21x ? 24 2 ,得 4 x ? 20 x ? 24 ? 0 ,则 x1 ? 2,x2 ? 3 是函数 f ( x) ? 的两个不 4x ? 1 4x ?1

21an ? 24 ?2 ?a ? 2? an ?1 ? 2 4an ? 1 21an ? 24 ? 2(4an ? 1) 13an ? 26 13 an ? 2 。所以数列 ? n ? ? ? ? ?是 an ?1 ? 3 21an ? 24 ? 3 21an ? 24 ? 3(4an ? 1) 9an ? 27 9 an ? 3 ? an ? 3 ? 4an ? 1


a ?2 a1 ? 2 4 ? 2 13 13 ? ?2 为 首 项 , 以 ? 2( ) n?1 , 则 为公比的等比数列,故 n 9 a1 ? 3 4 ? 3 an ? 3 9

an ?

1 13 2( )n ?1 ? 1 9

?3。

练习 1:已知 {an } 满足 a1 ? 2, an ?

an ?1 ? 2 (n ? 2) ,求 {an } 的通项 an 2an ?1 ? 1

(答案:? an ?

3n ? (?1) n ) 3n ? (?1) n
2an ? 1 (n ? N * ) ,求数列 {an } 的通项 an 4an ? 6

练习 2。已知数列 {an } 满足 a1 ? 2, an ?1 ?

18 / 21

(答案:? an ?

13 ? 5n ) 10n ? 6

练习 3. 已知数列 ? an } 满足, a1= ’ 2 ? 2, an+2= 1a

an ? an?1 , n ? N* . 2

? ? ? 令 bn ? an?1 ? an ,证明: {bn } 是等比数列;
(Ⅱ)求 ? an } 的通项公式。

(答案: (1) ?bn ? 是以 1 为首项, ? 十一。特征方程法

1 5 2 1 为公比的等比数列。 (2) an ? ? (? ) n ?1 (n ? N * ) 。 ) 2 3 3 2

形如 an ? 2 ? pan ?1 ? qan ( p, q 是常数)的数列

形如 a1 ? m1, a2 ? m2 , an ? 2 ? pan? 1 ? qan ( p, q是常数)的二阶递推数列都可用特征根法求得通项

an ,其特征方程为 x 2 ? px ? q ?①
若①有二异根 ? , ? ,则可令 an ? c1? ? c2 ? (c1 , c2 是待定常数)
n n

若①有二重根 ? ? ? ,则可令 an ? (c1 ? nc2 )? (c1 , c2 是待定常数)
n

再利用 a1 ? m1 , a2 ? m2 , 可求得 c1 , c2 ,进而求得 an

例 24 已知数列 {an } 满足 a1 ? 2, a2 ? 3, an ? 2 ? 3an ?1 ? 2an (n ? N ) ,求数列 {an } 的通项 an
*

2 解:其特征方程为 x ? 3x ? 2 ,解得 x1 ? 1, x2 ? 2 ,令 an ? c1 ?1 ? c2 ? 2 ,
n n

?c1 ? 1 ? a1 ? c1 ? 2c2 ? 2 ? 由? ,得 ? 1, ? a2 ? c1 ? 4c2 ? 3 ? c2 ? 2 ?

? an ? 1 ? 2n?1

19 / 21

例 25

已知数列 {an } 满足 a1 ? 1, a2 ? 2, 4an ? 2 ? 4an ?1 ? an (n ? N ) ,求数列 {an } 的通项 an
*

1 ?1? 解:其特征方程为 4 x ? 4 x ? 1 ,解得 x1 ? x2 ? ,令 an ? ? c1 ? nc2 ? ? ? , 2 ?2?
2

n

1 ? ? a1 ? (c1 ? c2 ) ? 2 ? 1 ?c1 ? ?4 ? 由? ,得 ? , ? c2 ? 6 ? a ? ( c ? 2c ) ? 1 ? 2 1 2 ? 2 ? 4

? an ?

3n ? 2 2n?1

练习 1.已知数列 {an } 满足 a1 ? 1, a2 ? 2, 4an ? 2 ? 4an ?1 ? an ? 1(n ? N ) ,求数列 {an } 的通项
*

练习 2.已知数列 {an } 满, a1 ? 1, a2 ? 2, 4an ? 2 ? 4an ?1 ? an ? n ? 4(n ? N ) ,求数列 {an } 的通项
*

说明:(1)若方程 x ? px ? q 有两不同的解 s , t,
2

则 a n ?1 ? tan ? s(a n ? tan ?1 ) , a n ?1 ? sa n ? t (a n ? sa n ?1 ) , 由等比数列性质可得 a n ?1 ? tan ? (a 2 ? ta1 ) s
n ?1

,

a n?1 ? sa n ? (a 2 ? sa1 )t n?1 ,

? t ? s, 由上两式消去 an?1 可得 a n ?
2

?a2 ? ta1 ? n a2 ? sa1 n .s ? .t . s?s ? t ? t ?s ? t ?

(2)若方程 x ? px ? q 有两相等的解 s ? t ,则

a n?1 ? tan ? s?a n ? tan?1 ? ? s 2 (a n?1 ? tan?2 ) ? ? ? s n?1 ?a 2 ? ta1 ? ,

?

a n?1 a n a 2 ? ta1 ? an ? ,即 ? n ? 是等差数列, ? n ? s n?1 s s2 ?s ?
由等差数列性质可知

a n a1 a ? sa ? ? ?n ? 1?. 2 2 1 , n s s s

? ? 所以 a n ? ?? a1 ? a 2 ? sa1 ? ? a 2 ? sa1 .n ? s n . ? ? 2 2 s s ? ?? s ?

25 5 4 求数列 {a } 的通项。 例 26、数列 {an } 满足 a1 ? ? ,且 an ?1 ? n 29 12 2an ? 4 25 29 25 2 2 an ? an ? 2? an ? ? ? 4 ?? ? 4 4 ??① 解: an ?1 ? ? ? an ?1 ? 29 29 2an ? 2an ? 4 4
2 an ?

20 / 21

令 ?2 ?

29? ? 25 25 ,解得 ?1 ? 1, ?2 ? ,将它们代回①得, 4 4
2

25 ? ? 2 ? an ? ? ? a ? 1? ??②, a ? 25 ? ? 4 ? an ?1 ? 1 ? n ??③, n ?1 29 29 4 2an ? 2 an ? 4 4
25 ? 25 ? ? an ? 4 ? 4 ? ③÷②,得 ? ? , an ?1 ? 1 ? an ? 1 ? ? ? an ?1 ?
2

25 ? 25 25 ? an ? ? an ? 4 ? 4 ? 2 lg 4 ,∴数列 lg 则 lg ? ? 成等比数列,首项为 1,公比 q=2 an ?1 ? 1 an ? 1 an ? 1 ? ? ? ?
an ?1 ?
n?1 25 25 25 an ? ? 102 n?1 4 ? 2n ?1 ,则 4 ? 102 ,? a ? 4 所以 lg n?1 n an ? 1 an ? 1 102 ? 1

an ?

十二、1.形如 a n ?1 ? a n ? f (n) 型 (1)若 a n ?1 ? a n ? d (d 为常数) ,则数列{ a n }为“等和数列”,它是一个周期数列,周期为 2, 其通项分奇数项和偶数项来讨论; (2)若 f(n)为 n 的函数(非常数)时,可通过构造转化为 a n ?1 ? a n ? f (n) 型,通过累加来求出通 项;或用逐差法(两式相减)得 a n ?1 ? a n ?1 ? f (n) ? f (n ? 1) ,,分奇偶项来分求通项. 例 27. 数列{ a n }满足 a1 ? 0 , a n ?1 ? a n ? 2n ,求数列{an}的通项公式. 分析 1:构造 转化为 a n ?1 ? a n ? f (n) 型 解法 1:令 bn ? (?1) a n
n

则 bn ?1 ? bn ? (?1)

n ?1

a n ?1 ? (?1) n a n ? (?1) n ?1 (a n ?1 ? a n ) ? (?1) n ?1 ? 2n .

n?2



,

?bn ? bn ?1 ? (?1) n ? 2(n ? 1) ? n ?1 ?bn ?1 ? bn ? 2 ? (?1) ? 2(n ? 2) ? ??? ?b ? b ? (?1) 2 ? 2 ? 1 1 ? 2 ?b1 ? ?a1 ? 0 ?







21 / 21

加: bn ? 2 (?1) (n ? 1) ? (?1)
n

?

n ?1

(n ? 2) ? ? ? (?1) 3 ? 2 ? (?1) 2 ? 1

?

当 n 为 偶 数 时 , bn ? 2 ?(n ? 1) ? (?1) ?

? ?

n ? 2? ? n . 此 时 a n ? bn ? n 当 n 为 奇 数 时 , 2 ? ?

bn ? 2(?

n ?1 ) ? ?n ? 1 2
, 所 以

此 时 bn ? ? a n

an ? n ? 1 . 故

?n ? 1, n为奇数, an ? ? 解 法 ?n, n为偶数.

2 :

? a n ?1 ? a n ? 2n ? n ? 2 时, a n ? a n ?1 ? 2(n ? 1) ,两式相减得: a n ?1 ? a n ?1 ? 2 . ? a1 , a3 , a5 , ?, 构成以 a1 ,为首项,以 2 为公差的等差数列;
a 2 , a 4 , a 6 , ? , 构成以 a 2 ,为首项,以 2 为公差的等差数列

? a 2 k ?1 ? a1 ? (k ? 1)d ? 2k ? 2
?n ? 1, n为奇数, ? an ? ? ?n, n为偶数.

a 2 k ? a 2 ? (k ? 1)d ? 2k .
评注:结果要还原成 n 的表达式.

例 28.已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn-Sn-2=3 (? ) n ?1 (n ? 3), 且S1 ? 1, S 2 ? ? 解:方法一:因为 S n ? S n?2 以下同上例,略

1 2

3 , 求数列{an}的通项公式. 2 1 ? an ? an?1所以an ? an?1 ? 3 ? (? ) n?1 (n ? 3), 2

答案

1 n ?1 ? ?4 ? 3 ? ( 2 ) , n为奇数, ? an ? ? ?? 4 ? 3 ? ( 1 ) n ?1 , n为偶数. ? 2 ?

2.形如 a n ?1 ? a n ? f (n) 型 (1)若 a n ?1 ? a n ? p (p 为常数),则数列{ a n }为“等积数列”,它是一个周期数列,周期为 2,其 通项分奇数项和偶数项来讨论; (2)若 f(n)为 n 的函数(非常数)时,可通过逐差法得 a n ? a n ?1 ? f (n ? 1) ,两式相除后,分奇偶 项来分求通项. 例 29. 已知数列 {a n }满足 a1 ? 3, a n ? a n ?1 ? ( ) , (n ? N ) ,求此数列的通项公式.
n *

1 2

注:同上例类似,略.


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