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2014届高三数学一轮复习《导数研究函数的最值、优化问题、方程与不等式》理


[第 15 讲

导数研究函数的最值、优化问题、方程与不等式]

(时间:45 分钟 分值:100 分)

基础热身 x 1.[2013·韶关调研] 函数 y=xe 的最小值是( ) 1 A.-1 B.-e C.- D.不存在 e 3 2 2.f(x)=x -3x +2 在区间[-1,1]上的最大值是( ) A.-2 B

.0 C.2 D.4 3.某城市在发展过程中,交通状况逐渐受到大家更多的关注,据有关统计数据显示, 从上午 6 时到 9 时,车辆通过该市某一路段的用时 y(分钟)与车辆进入该路段的时刻 t 之间 1 3 3 2 629 关系可近似地用如下函数给出:y=- t - t +36t- .则在这段时间内,通过该路段用 8 4 4 时最多的时刻是( ) A.6 时 B.7 时 C.8 时 D.9 时 4.已知某生产厂家的年利润 y(单位:万元)与年产量 x(单位:万件)的函数关系式为 y 1 3 =- x +81x-234,则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为( ) 3 A.13 万件 B.11 万件 C.9 万件 D.7 万件

能力提升 5.一矩形铁皮的长为 8 cm,宽为 5 cm,在四个角上截去四个相同的小正方形,制成一 个无盖的小盒子,盒子容积的最大值是( ) 3 3 3 3 A.12 cm B.15 cm C.18 cm D.16 cm 2 6.[2013·湖南卷] 设直线 x=t 与函数 f(x)=x ,g(x)=lnx 的图象分别交于点 M,N, 则当|MN|达到最小时 t 的值为( ) 1 5 2 A.1 B. C. D. 2 2 2 3 7. [2013·全国卷] 已知函数 y=x -3x+c 的图象与 x 轴恰有两个公共点, 则 c=( ) A.-2 或 2 B.-9 或 3 C.-1 或 1 D.-3 或 1 8.已知正四棱锥 S-ABCD 中,SA=2 3,那么当该棱锥的体积最大时,它的高为( ) A.1 B. 3 C.2 D.3 9.[2013·辽宁卷] 若 x∈[0,+∞),则下列不等式恒成立的是( ) 1 1 1 x 2 2 A.e ≤1+x+x B. ≤1- x+ x 2 4 1+ x 1 2 1 2 C.cosx≥1- x D.ln(1+x)≥x- x 2 8 10 .设底面为等边三角形的直棱柱的体积为 V ,那么其表面积最小时,底面 边长为

________. e x +1 ex 11.[2013·厦门质检] 设函数 f(x)= ,g(x)= x ,对任意 x1,x2∈(0,+∞), x e g(x1) f(x2) 不等式 ≤ 恒成立,则正数 k 的取值范围是________. k k+1 12.某商场从生产厂家以每件 20 元购进一批商品,若该商品零售价定为 P 元,则销售 2 量 Q(单位:件)与零售价 P(单位:元)有如下关系:Q=8 300-170P-P .则该商品零售价定 为________时,毛利润 L 最大,最大毛利润是________(毛利润=销售收入-进货支出). 13. 将边长为 1 的正三角形薄片, 沿一条平行于某边的直线剪成两块, 其中一块是梯形, 2 (梯形的周长) 记 S= ,则 S 的最小值是________. 梯形的面积 14.(10 分)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造 隔热层. 某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层, 每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元. 该 建筑物每年的能源消耗费用 C(单位:万元)与隔热层厚度 x(单位: cm)满足关系:C(x)= (0≤x≤10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为 8 万元.设 f(x)为隔热层建造费用 3x+5 与 20 年的能源消耗费用之和. (1)求 k 的值及 f(x)的表达式; (2)隔热层修建多厚时,总费用 f(x)达到最小,并求最小值.
2 2 2

k

15.(13 分)[2013·河北重点中学联考] 已知函数 f(x)=xlnx,g(x)=-x +ax-2. (1)求函数 f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值; (2)若函数 y=f(x)+g(x)有两个不同的极值点 x1,x2(x1<x2)且 x2-x1>ln2,求实数 a 的取值范围.

2

难点突破 16.(12 分)已知函数 f(x)=lnx- . (1)当 a>0 时,判断 f(x)在定义域上的单调性;

a x

3 (2)若 f(x)在[1,e]上的最小值为 ,求实数 a 的值; 2 2 (3)试求实数 a 的取值范围,使得在区间(1,+∞)上,函数 y=x 的图象恒在函数 f(x) 的图象的上方.

课时作业(十五) 【基础热身】 x 1.C [解析] y′=(x+1)e ,令 y′=0, 得 x=-1.因为 x<-1 时 y′<0;x>-1 时 1 y′>0,所以 x=-1 时,ymin=- . e 2 2.C [解析] f′(x)=3x -6x=3x(x-2),令 f′(x)=0 可得 x=0 或 2(舍去),当- 1≤x<0 时,f′(x)>0,当 0<x≤1 时,f′(x)<0,所以当 x=0 时,f(x)取得最大值 2. 3 2 3 3 3.C [解析] y′=- t - t+36=- (t+12)(t-8),令 y′=0 得 t=-12(舍去) 8 2 8 或 t=8,当 6≤t<8 时,y′>0,当 8<t<9 时,y′<0,∴当 t=8 时,y 有最大值. 2 4.C [解析] 因为 y′=-x +81,所以当 x>9 时,y′<0;当 0<x<9 时,y′>0,所以 1 3 函数 y=- x +81x-234 在(9,+∞)上单调递减,在(0,9)上单调递增,所以 x=9 是函 3 数的极大值点.又因为函数在(0,+∞)上只有一个极大值点,所以函数在 x=9 处取得最大 值. 【能力提升】 5.C [解析] 设小正方形的边长为 x cm,则盒子底面长为 8-2x,宽为 5-2x.V=(8 5? 10 ? 3 2 2 -2x)(5-2x)x=4x -26x +40x?0<x< ?,V′=12x -52x+40,由 V′=0 得 x=1 或 x= 2? 3 ? (舍去),则 V 极大值=V(1)=18,且在定义域内仅有一个极大值, ∴V 最大值=18. 2 6.D [解析] 用转化的思想:直线 x=t 与函数 f(x)=x ,g(x)=lnx 图象分别交于 M, N,而|MN|的最小值,实际是函数 F(t)=t2-lnt(t>0)时的最小值. 1 2 2 令 F′(t)=2t- =0,得 t= 或 t=- (舍去). t 2 2 2 2 时,F(t)=t -lnt 有最小值,即|MN|达到最小值,故选 D. 2 2 7.A [解析] 由 f′(x)=3x -3=3(x+1)(x-1)=0? x=±1,结合 f(x)的图象可知 只要 f(-1)=0 或 f(1)=0 即可,故解得 c=-2 或 2,故选 A. 1 ? 2 ?2 8.C [解析] 设底面边长为 a,则高 h= SA2-? a? = 12- a2,所以体积 V 2 ?2 ? 故 t= 1 2 1 = a h= 3 3 1 6 4 12a - a . 2 1 6 4 3 5 3 5 设 y=12a - a ,则 y′=48a -3a , 当 y 取最值时,y′=48a -3a =0,解得 a=0(舍 2 1 2 12- a =2. 2 3 3 2 9.C [解析] 验证 A,当 x=3 时,e >2.7 =19.68>1+3+3 =13,故排除 A;验证 B,

去)或 a=4,故 a=4 时体积最大,此时 h=

1 当 x= 时, 2

6 1 1 1 1 13 39 1 521 1 536 16 6 = , 而 1- × + × = = = < = , 故排除 B; 2 2 4 4 16 48 48 48 48 1 3 1+ 2 1 2 验证 C, 令 g(x)=cosx-1+ x , g′(x)=-sinx+x, g″(x)=1-cosx, 显然 g″(x)>0 2 恒成立, 所以当 x∈[0,+∞)时,g′(x)≥g′(0)=0,所以 x∈[0,+∞)时,g(x)=cosx-1 1 2 1 2 + x 为增函数,所以 g(x)≥g(0)=0 恒成立,即 cosx≥1- x 恒成立;验证 D,令 h(x)= 2 2 1 2 1 x x(x-3) ln(1+x )-x+ x ,h′(x)= -1+ = ,令 h′(x)<0,解得 0<x<3,所以当 8 x+1 4 4(x+1) 0<x<3 时,h(x)<h(0)=0,显然不恒成立.故选 C. 4V 4V 3 4 3V 3 10. 4V [解析] 设底面边长为 x, 则高为 h= , ∴S=3× · x+2× x2= 2 2 4 x 3x 3x + 3 2 x, 2 4 3V 3 ∴S′=- 2 + 3x ,令 S′=0,得 x= 4V.

1

x

3 3 3 当 0<x< 4V时,S′<0,当 x> 4V时,S′>0,故当 x= 4V时,S 取得最小值. 11.k≥1 [解析] ∵k 为正数, g(x1) f(x2) ?g(x)? ≤?f(x)? ∴对任意 x1,x2∈(0,+∞),不等式 ≤ 恒成立? ? ? ? ? k k+1 ? k ?max ? k+1 ? . min x+2 e (1-x) 由 g′(x)= =0 得 x=1. 2x e x∈(0,1),g′(x)>0,x∈(1,+∞),g′(x)<0, ?g(x)? =g(1)=e. ∴? ? k k ? k ?max 2 2 e x -1 1 同理 f′(x)= =0? x= , 2 x e 1 1 ? ? ? ? x∈?0, ?,f′(x)<0,x∈? ,+∞?,f′(x)>0, ? e? ?e ? ?1? f? ? f ( x ) ? ? = ?e? = 2e ,∴e≤ 2e ,k>0? k≥1. ∴? ? k + 1 k k+1 ? ?min k+1 k+1 12.30 23 000 [解析] 由题意知 L(P)=P·Q-20Q=Q(P-20) 2 =(8 300-170P-P )(P-20) 3 2 =-P -150P +11 700P-166 000, 2 ∴L′(P)=-3P -300P+11 700. 令 L′(P)=0,得 P=30 或 P=-130(舍). 因为在 P=30 附近的左侧 L′(P)>0,右侧 L′(P)<0, ∴L(30)是极大值. 根据实际意义知,L(30)是最大值,此时 L(30)=23 000.即零售价定为每件 30 元时, 有最大毛利润为 23 000 元. 32 3 13. [解析] 设 DE=x,由 ED∥BC,△ABC 为正三角形,AD=DE=AE=x,BD=EC 3

=1-x.过 D 作 DF⊥BC,DF=

3 (1-x),梯形的周长为 BD+DE+EC+BC=3-x,梯形的面 2
2

1 3 3 (3-x) 2 积为 (x+1)× (1-x)= (1-x ).S= (0<x<1). 2 2 4 3 2 (1-x ) 4

4 (2x-6)(1-x )-(3-x) (-2x) 4 (2x-6)(1-3x) S′= = , 2 2 2 2 (1-x ) (1-x ) 3 3 1 令 S′=0,解得 x= 或 3(舍去), 3 1 1 1 32 3 0<x< ,S′<0, <x<1,S′>0,∴x= 时,Smin= . 3 3 3 3 14.解:(1)设隔热层厚度为 x cm,由题设,每年能源消耗费用为 C(x)= . 3x+5 40 再由 C(0)=8,得 k=40,因此 C(x)= . 3x+5 而建造费用为 C1(x)=6x. 所以隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为 40 800 f(x)=20C(x)+C1(x)=20× +6x= +6x(0≤x≤10). 3x+5 3x+5 2 400 2 400 (2)f′(x)=6- 2,令 f′(x)=0,即 2=6. (3x+5) (3x+5) 25 解得 x=5 或 x=- (舍去). 3 当 0<x<5 时,f′(x)<0,当 5<x<10 时,f′(x)>0,故 x=5 是 f(x)的最小值点,对应 800 的最小值为 f(5)=6×5+ =70. 15+5 故当隔热层修建 5 cm 厚时,总费用达到最小值为 70 万元. 1 15.解:(1)由题意 f′(x)=lnx+1=0,得 x= . e 1 ? 1? ?1 ? ①当 0< t< 时,函数 f(x)在?t, ?上单调递减,在? ,t+2?上单调递增, e e ? ? ?e ? 1 1 ? ? 此时函数 f(x)在[t,t+2]上的最小值为 f? ?=- . e ?e? 1 ②当 t≥ 时,函数 f(x)在[t,t+2]上单调递增, e 此时函数 f(x)在[t,t+2]上的最小值为 f(t)=tlnt. 2 (2)由题意 y=f(x)+g(x)=xlnx-x +ax+2,则 y′=lnx-2x+a+1, 知 y′=lnx-2x+a+1=0 有两个不同的实根 x1,x2, 等价于 a=-lnx+2x-1 有两个不同的实根 x1,x2, 等价于直线 y=a 与函数 G(x)=-lnx+2x-1 的图象有两个不同的交点. 1 ? 1? ?1 ? 由 G′(x) =- +2,知 G(x)在?0, ?上单调递减,在? ,+∞?上单调递增, x ? 2? ?2 ? 画出函数 G(x)图象的大致形状如图,

2

2

k

?1? 由图易知,当 a>G(x)min=G? ?=ln2 时, ?2? x1,x2 存在,且 x2-x1 的值随 a 的增大而增大. 而当 x2-x1=ln2 时, ? ?lnx1-2x1+a+1=0, 由题意得? ?lnx2-2x2+a+1=0. ?
两式相减可得 ln =2(x2- x1)=2ln2,得 x2=4x1, 4 代入 x2-x1=ln2 得 x2=4x1= ln2, 3 ln2 2 ? ? 此时实数 a= ln2-ln? ?-1, 3 ? 3 ? 2 ?ln2? 所以实数 a 的取值范围为 a> ln2-ln? ?-1. 3 ? 3 ? 【难点突破】 1 a x+a 16.解:(1)f′(x)= + 2= 2 (x>0).

x2 x1

x x

x

当 a>0 时,f′(x)>0 恒成立,故 f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数. (2)由 f′(x)=0 得 x=-a. ①当 a≥-1 时,f′(x)≥0 在[1,e]上恒成立,f(x)在[1,e]上为增函数, 3 3 f(x)min=f(1)=-a= ,得 a=- (舍). 2 2 ②当 a≤-e 时,f′(x)≤0 在[1,e]上恒成立,f(x)在[1,e]上为减函数, a 3 e 则 f(x)min=f(e)=1- = ,得 a=- (舍). e 2 2 ③当-e<a<-1 时,由 f′(x)=0 得 x0=-a, 当 1<x<x0 时,f′(x)<0,f(x)在(1,x0)上为减函数; 当 x0<x<e 时,f′(x)>0,f(x)在(x0,e)上为增函数. 3 ∴f(x)min=f(-a)=ln(-a)+1= ,得 a=- e, 2 综上知,a=- e. (3)由题意得 x >lnx- 在(1,+∞)上恒成立, 即 a>xlnx-x 在(1,+∞)上恒成立. 3 2 设 g(x)=xlnx-x (x>1),则 g′(x)=lnx-3x +1. 1 2 令 h(x)=lnx-3x +1,则 h′(x)= -6x,
3 2

a x

x

当 x>1 时,h′(x)<0 恒成立. 2 ∴h(x)=g′(x)=lnx-3x +1 在(1,+∞)上为减函数, 则 g′(x)<g′(1)=-2<0, 所以 g(x)在(1,+∞)上为减函数, ∴g(x)<g(1)=-1,故 a≥-1


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