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2009-2013全国高中物理竞赛年试题与详解答案汇编


全国高中物理竞赛历年 试题与详解答案汇
第 30 届全国中学生物理竞赛预赛试卷与答案
本卷共 16 题,满分 200 分.

一、选择题 .本题共 5 小题,每小题 6 分.在每小题给出的 4 个选项中,有的小题只有一项符
合题意,有的小题有多项符合题意.全部选对的得 6 分,选对但不全的得 3 分,有选错或不答 的得 0 分.

1. 下列说法正确的是: A.一束单色光从真空射入 时,在玻璃表面处发生折射现象,这与光在玻璃中的传播速度 不同于在真空中的传播速度有关 B.白纸上有两个非常靠近的小黑斑,实际上是分开的,没有重叠部分.但通过某一显微镜 所成的象却是两个连在一起的没有分开的光斑,这与光的衍射现象有关 C.雨后虹的形成与光的全反射现象有关 D.老年人眼睛常变为远视眼,这时近处物体通过眼睛所成的像在视网膜的前方 (瞳孔与视 网膜之间),故看不清 2. 图中 A、B 是两块金属板,分别与高压直流电源的正负极相连.一个电荷量为 q、质量为 m

的带正电的点电荷自贴近 A 板处静止释放(不计重力作用).已知当 A、B 两板平行、两板的 面积很大且两板间的距离较小时,它刚到达 B 板时的速度为 u0 ,在下列情况下以 u 表示点电 荷刚到达 B 板时的速度 A. 若 A、B 两板不平行,则 u< u0 B.若 A 板面积很小,B 板面积很大,则 u< u0 C.若 A、B 两板间的距离很大,则 u< u0 D.不论 A、B 两板是否平行、两板面积大小及两板间距离多少,u 都等于 u0 3. α 粒子和β 粒子都沿垂直于磁场的方向射入同一均匀磁场中,发现这两种粒子沿相同半

径的圆轨道运动.若α 粒子的质量是 m1 ,β 粒子的质量是 m2,则α 粒子与β 粒子的动能之比 是

A. 4.

m2 m1

B.

m1 m2

C.

m1 4m2

D.

4m2 m1

由玻尔理论可知,当氢原子中的核外电子由一个轨道跃迁到另一轨道时,有可能 A. 发射出光子,电子的动能减少,原子的势能减少 B. 发射出光子,电子的动能增加,原子的势能减少 C. 吸收光子,电子的动能减少,原子的势能增加 D. 吸收光子,电子的动能增加,原子的势能减少

5.

图示两条虚线之间为一光学元件所在处,AB 为其主光轴.P 是一点光源,其傍轴光线通过

此光学元件成像于 Q 点.该光学元件可能是 A.薄凸透镜 B.薄凹透镜 C.凸球面镜 D.凹球面镜

二、填空题和作图题. 只要给出结果,不需写出求得结果的过程.
6. (8 分)国际上已规定 133 Cs 原子的频率 f=9192631770Hz(没有误差).这样,秒的定 义______________________________.国际上已规定一个公认的光速值 c=299792458m/s (没有 误差).长度单位由时间单位导出,则米定义为______________________________.

7.

(8 分)质量为 m1 的小滑块,沿一倾角为θ 的光滑斜面滑下,

斜面质量为 m2,置于光滑的水平桌面上.设重力加速度为 g,斜面在水 平桌面上运动的加速度的大小为______________________________

8.

(8 分)一线光源,已知它发出的光包含三种不同频率的可见光,若要使它通过三棱

镜分光,最后能在屏上看到这三种不同频率的光的谱线,则除了光源、三棱镜和屏外,必须的 器件至少还应有 ______________.其中一个的位置应在 ______________ 和 ______________ 之 间,另一个的位置应在______________和______________之间.

9.

(12 分)如图所示,A 为放在水平光滑桌面上的长方形物块,在它上面放有物块 B

和 C.A、B、C 的质量分别为 m、5m、m.B、C 与 A 之间的静摩擦系数和滑动摩擦系数皆为 0.10, K 为轻滑轮,绕过轻滑轮连接 B 和 C 的轻细绳都处于水平位置.现用水平方向的恒定外力 F 拉 滑轮,使 A 的加速度等于 0.20g,g 为重力加速度.在这种情 况 时 , B 、 A 之间 沿 水 平 方向 的 作 用 力的 大 小 等 于 _____________,C、A 之间沿水平方向的作用力的大小等于 _____________,外力 F 的大小等于_______________.

10. (14 分)i.在做“把电流表改装成电压表”的实验中,必须测出电流表的内阻和用 标准电压表对改装成的电压表进行校准. 某同学对图示的器材进 行了连线,使所连成的电路只要控制单刀双掷开关的刀位和调节 电阻箱及变阻器,不需改动连线,就能: ( 1)在与电阻箱断路的 条件下测出电流表的内阻; (2 )对改装成的电压表所有的刻度进 行校准.试在图中画出该同学的全部连线. ii.有一块横截面为矩形的长板,长度在 81cm 与 82cm 之间,宽度 在 5cm 与 6cm 之间,厚度在 1cm 与 2cm 之间.现用直尺(最小刻度 为 mm) 、卡尺(游标为 50 分度)和千分尺(螺旋测微器)去测量 此板的长度、宽度和厚度,要求测出后的最后一位有效数字是估 读 的 . 试 设 想 一 组 可 能 的 数 据 天 灾 下 面 的 空 格 处 . 板 的长 度 _______________cm , 板 的 宽 度 _______________cm , 板 的厚 度 _______________cm,

三、计算题. 计算题的解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤,只写出最后
结果的不能得分.有数值计算的,答案中必须明确写出数值和单位. 11. (20 分)在水平地面某处,以相同的速率 v0 用不同的抛射角分别抛射两个小球 A 和 B, 它们的射程相同.已知小球 A 在空中运行的时间为 TA ,求小球 B 在空中运行的时间 TB .重力加 速度大小为 g,不考虑空气阻力.

12. (20 分)从地球上看太阳时,对太阳直径的张角θ =53°.取地球表面上纬度为 1°的长 度 l=110km,地球表面处的重力加速度 g=10m/s2 ,地球公转的周期 T=365 天.试仅用以上数据 计算地球和太阳密度之比.假设太阳和地球都是质量均匀分布的球体.

13. (16 分)一个用电阻丝绕成的线圈,浸没在量热器所盛的油中,油的温度为 0℃.当线圈 两端加上一定的电压后,油温渐渐上升.0℃时温度升高的速率为 5.0K·min-1 ,持续一段时间 后,油温上升到 30℃,此时温度升高的速率变为 4.5K·min-1 ,这是因为线圈的电阻与温度有 关.设温度为θ ℃时线圈的电阻为 Rθ ,温度为 0℃时线圈的电阻为 R0 ,则有 Rθ = R0 (1+α θ ), α 称为电阻的温度系数.试求此线圈电阻的温度系数. 假设量热器及其中的油以及线圈所构成 的系统温度升高的速率与该系统吸收热量的速率(即单位时间内吸收的热量)成正比;对油 加热过程中加在线圈两端的电压恒定不变;系统损失的热量可忽略不计.

14. (18 分)如图所示,一摩尔理想气体,由压强与体积关系的 p-V 图中的状态 A 出发,经 1 过一缓慢的直线过程到达状态 B, 已知状态 B 的压强与状态 A 的压强之比为 ,若要使整个过 2 程的最终结果是气体从外界吸收了热量,则状态 B 与状态 A 的体积之比应满足什么条件?已 3 知此理想气体每摩尔的内能为 RT ,R 为普适气体常量,T 为热力学温度. 2

15. (23 分)如图所示,匝数为 N1 的原线圈和在数为

N2 的副线圈绕在同一闭合的铁心上,副线圈两端与电
阻 R 相联, 原线圈两端与平行金属导轨相联.两轨之间 的距离为 L,其电阻可不计.在虚线的左侧,存在方向 与导轨所在平面垂直的匀强磁场,磁感应强度的大小 为 B. pq 是一质量为 m 电阻为 r 与导轨垂直放置的金 属杆,它可在导轨上沿与导轨平行的方向无摩擦地滑动.假设在任何同一时刻通过线圈每一匝 的磁通都相同,两个线圈的电阻、铁心中包括涡流在内的各种损耗都忽略不计,且变压器中 的电磁场完全限制在变压器铁心中.现于 t=0 时开始施一外力,使杆从静止出发以恒定的加速 度 a 向左运动.不考虑连接导线的自感.若已知在某时刻 t 时原线圈中电流的大小 I1 , i.求此时刻外力的功率 ii.此功率转化为哪些其他形式的功率或能量变化率?试分别求出它们的大小.

16. (23 分)如图所示,一质量为 m 半径为 R 的 由绝缘材料制成的薄球壳,均匀带正电,电荷量 为 Q,球壳下面有与球壳固连的底座,底座静止在 光滑水平面上 .球壳内部有一劲度系数为η 的轻 弹簧(质量不计) ,弹簧始终处于水平位置,其一 端与球壳内壁固连, 另一端恰位于球心处, 球壳上开有一小孔 C, 小孔位于过球心的水平线上. 在此水平线上离球壳很远的 O 处有一质量也为 m 电荷量也为 Q 的带正电的点电荷 P, 它以足够 大的初速 v0 沿水平的 OC 方向开始运动.并知 P 能通过小孔 C 进入球壳内,不考虑重力和底座 的影响.已知静电力常量 k.求 P 刚进入 C 孔到刚再由 C 孔出来所经历的时间.

第 29 届全国中学生物理竞赛预赛试题
一、选择题.本题共 5 小题,每小题 6 分.在每小题给出的 4 个选项中,有的小题只有一项符合题意,有的 小题有多项符合题意.把符合题意的选项前面的英文字母写在每小题后面的方括号内.全部选对的得 6 分, 选对但不全的得 3 分,有选错或不答的得 0 分. 1.下列说法中正确的是 A .水在 0℃ 时密度最大 B.一个绝热容器中盛有气体,假设把气体中分子速率很大的如大于

vA 的

分子全部取走,则气体的温度会下降,此后气体中不再存在速率大于 v A 的分子. C.杜瓦瓶的器壁是由两层玻璃制成的,两层玻璃之间抽成真空,抽成真空的主要作用是既可降低热传 导,又可降低热辐射. D .图示为一绝热容器,中间有一隔板,隔板左边盛有温度为 T 的理想气体,右边为真空.现抽掉隔板, 则气体的最终温度仍为 T. 答案 :D 2.如图,一半径为 R 电荷量为 Q 的带电金属球,球心位置 O 固定, 为球外一点.几位同学在讨论 P 点的场强时,有下列一些说法,其中哪些说法是正确的? A .若 P 点无限靠近球表面,因为球表面带电,根据库仑定律可推知, P 点的场强趋于无穷大. B.因为在球内场强处处为 0,若 P 点无限靠近球表面,则 P 点的场强趋于 0 C.若 Q 不变,P 点的位置也不变,而令 R 变小,则 P 点的场强不变. D .若保持 Q 不变,而令 R 变大,同时始终保持 P 点极靠近球表面处,则 P 点的场强不变. 答案 :C 3.图中 L 为一薄凸透镜,ab 为一发光圆面,二者共轴, S 为与 L 平行放置的屏,已知这时 ab 可在屏上成清 晰的像.现将透镜切除一半,只保留主轴以上的一半透镜,这时 ab 在 S 上的像 A .尺寸不变,亮度不变. B.尺寸不变,亮度降低. C.只剩半个圆,亮度不变. D .只剩半个圆,亮度降低. 答案 :B 4.一轻质弹簧,一端固定在墙上,另一端连一小物块,小物块放在摩擦系数为 μ 的水平面上,弹簧处在自然 状态,小物块位于 O 处.现用手将小物块向右移到 a 处,然 后从静止释放小物块,发现小物块开始向左移动. A .小物块可能停在 O 点. B.小物块停止以后所受的摩擦力必不为 0 C.小物块无论停在 O 点的左边还是右边,停前所受的 摩擦力的方向和停后所受摩擦力的方向两者既可能相同,也可能相反. D .小物块在通过 O 点后向右运动直到最远处的过程中,速度的大小总是减小;小 物块在由右边最远处回到 O 点的过程中,速度的大小总是增大. 答案 :AC 5.如图所示,一内壁光滑的圆锥面,轴线 OO’是竖直的,顶点 O 在下方,锥角为 2α, 若有两个相同的小珠(均视为质点)在圆锥的内壁上沿不同的圆轨道运动,则有: A .它们的动能相同. B.它们运动的周期相同.
O?

2?

O

C.锥壁对它们的支撑力相同. D .它们的动能与势能之比相同,设 O 点为势能零点. 答案 :CD 二、填空题和作图题.把答案填在题中的横线上或把图画在题中指定的地方.只要给出结果,不需写出求得 结果的过程. 6. (6 分)铀 238(92 U )是放射性元素,若衰变时依次放出 α,β,β,α,α,α,α,α,β,β,α, β ,

β,α 粒子,最终形成稳定的核 X Pb ,则其中 X=
答案 :82,206(各 3 分)

Y



Y=



7. (10 分)在寒冷地区,为了防止汽车挡风玻璃窗结霜,可用 通电电阻加热.图示为 10 根阻值皆为 3Ω 的电阻条,和一个内 阻为 0.5Ω 的直流电源,现在要使整个电路中电阻条上消耗的 功率最大, i.应选用_________根电阻条. ii.在图中画出电路连线. 答案 :i.当外电路与内电路电阻值相等时电源的输出功率最大,电 阻条上消耗的功率也最大,因此需用 6 根电阻条并联。(7 分) ii.如图所示(任意 6 根电阻条并联均可)(3 分)。 8. (10 分)已知:光子有质量,但无静止质量,在重力场中也有重 力势能. 若从地面上某处将一束频率为 ν 的光射向其正上方相距为 d 的空间站,d 远小于地球半径,令空间站接收到的光的频率为 ν’,则差 ν’-ν = 近的重力加速度为 g. 答案 : ? ,已知地球表面附

gd ? c2

(10 分)

解析 :由能量守恒得 h ?

? h? ? ? mgd ,而光子能量 h? ? ? mc 2 ,联立消除质量

gd ? 2 c ? 即得? ?? ? gd 1? 2 c

,其中

gd c2

1 ,所以? ? ?? ?

gd ? c2



9. (10 分)图中所示两物块叠放在一起,下面物块位于光滑水平桌面上,其质量为 m,上面物块的质量为 M, 两物块之间的静摩擦系数为 μ.现从静止出发对下面物块施以随时间 t 变化的水平推力 F=γt,γ 为一常量,则 从力开始作用到两物块刚发生相对运动所经过的时间等于 ,此时物块的速度等于 .

答案 :

( M ? m) ? g

?



? 2 g 2 ( M ? m) 2?
?

(各 5 分 )

M

解析 :由牛顿第二定律得 a

?t
M ?m

m

F

,两物块刚发生相对运动的条

件为 a

? ? g ,解得 t ?

( M ? m) ? g

?

;由动量定理得 Ft

? (M ? m)v ,

代入 F

? ? t 和 t 解即得。

10. (16 分)图中 K 是密封在真空玻璃管内的金属电极,它受光照射后能释 放出电子;W 是可以透光的窗口,光线通过它可照射到电极 K 上;C 是密封 在真空玻璃管内圆筒形的收集电极,它能收集 K 所发出的光电子.R 是接在 电池组 E(电压足够高)两端的滑动变阻器,电极 K 通过导线与串联电池组的中心端 O 连接;G 是用于测量

光电流的电流计.已知当某一特定频率的单色光通过窗口照射电极 K 时,能产生光电子.当滑动变阻器的滑 动接头处在某一点 P 时,可以测到光电流,当滑动头向右移动时,G 的示数增大,使滑动头继续缓慢向右不 断移动时,电流计 G 的示数变化情况是: _ . .当滑动变 阻 器 的 滑 动 接 头 从 P 点 缓 慢向 左 不 断 移 动时 , 电 流 计 G 的 示 数 变 化 情况 是 :

若测得用频率为 ? 1 的单色光照射电极 K 时的遏止电压为 V1 ,频率为 ? 2 的单色光照射电极时的遏止电压为

V2 ,已知电子的电荷量为 e,则普朗克常量 h=
答案 :逐渐增大,最后趋向一恒定值。(4 分) 逐渐减小,最后变到零。(4 分)

,金属电极 K 的逸出功 W0 =



e

V1 ? V2 ? 1 ?? 2



V1? 2 ? V2? 1 (各 4 分) ? 1 ?? 2

解析 :滑动触头向右滑动时,加在光电管上的电压向正向增大,光电流随正向电压的增大先逐渐增大,当达 到饱和光电流值后不再改变。滑动触头向左滑动到某位置后,光电管加反向电压,反向电压随滑动触头向左 滑动而增大,当确定遏止电压时,光电流减小为 0。 由爱因斯坦光电效应方程可得

h? ? W0 ? Ek
代入相关量解得 h

而 eV

? Ek
W0 ? V1? 2 ? V ? 2 ? 1 ?? 2
1

?e

V1 ? V2 ? 1 ?? 2

三、 计算题. 计算题的解答应写出必要的文字说明、 方程式和重要的演算步骤, 只写出最后结果的不能得分. 有 数值计算的,答案中必须明确写出数值和单位. 11. (18 分)如图所示,一根跨越一固定的水平光滑细杆的柔软、不可伸 长的轻绳,两端各系一个质量相等的小球 A 和 B,球 A 刚好接触地面,球 B 被拉到与细杆同样高度的水平位置,当球 B 到细杆的距离为 L 时,绳刚 好拉直.在绳被拉直时释放球 B,使球 B 从静止开始向下摆动.求球 A 刚 要离开地面时球 B 与其初始位置的高度差. 解 :设球 A 刚要离开地面时联接球 B 的绳与其初始位置的夹角为 ? ,如 图所示,这里球 B 的速度为 v ,绳对球 B 的拉力为 T ,根据牛顿第二定律 和能量守恒,有

T ? mg sin ? ? m

v2 l



1 mv 2 ? mgl sin ? 2
当 A 球刚要离开地面时,有



T ? mg
以 h 表示所求高度差,有



h ? l sin ?



由① ② ③ ④ 解得

1 h? l 3



评分标准:① ② 式各 6 分,③ ⑤ 式各 3 分。 12. (20 分)一段横截面积 S=1.0

mm 2 的铜导线接入直流电路中,当流经该导线的电流 I=1.0A 时,该段铜

导线中自由电子定向运动的平均速度 u 为多大?已知,每个铜原子有一个“ 自由电子” ,每个电子的电荷量
3 ,铜的摩尔质 量 e ? 1.6 ?10?19 C ; 铜 的 密 度 ? ? 8. 9 g / cm

μ = 64g / mol . 阿 伏 枷 德 罗 常 量

N0 ? 6.02 ?1023 mol?1 .
解 :设单位体积中自由电子数为 n,则有

I ? nqu S




n?

? N ? 0
u?



由以上两式得

?I ? qsN0



代入已知数据得

u ? 7.5 ?10?5 m/ s
评分标准:本题 20 分。 ① 式 6 分,② 式 8 分,③ 式 2 分,④ 式 4 分。



13. (20 分) 电荷量分别为 q 和 Q 的两个带异号电荷的小球 A 和 B (均可视为点电荷) , 质量分别为 m 和 M . 初 始时刻,B 的速度为 0,A 在 B 的右方,且与 B 相距

L0 ,A 具有向右的初速度 v0 ,并还受到一向右的作用

力 f 使其保持匀速运动,某一时刻,两球之间可以达到一最大距离. i.求此最大距离. ii.求从开始到两球间距离达到最大的过程中 f 所做的功. 解 :解法一 i.由于 A 球始终以恒定的速度 v0 运动,故随 A 球一起运动的参考系 S ? 为惯性系。 在参考系 S ? 中,因 A 球静止,故作用于 A 球的外力 f 不做功,A、B 两球构成的系统的能量守恒。当两 球间的距离为 l0 时,B 球以初速度 v0 向左运动,随着 B 球远离 A 球,其动能在库仑力作用下逐渐减小,两 球的静电势能增大,当 B 球动能减少到 0 时,A 、B 间距达到最大值 lM 。由能量守恒定律有

?k

Qq 1 Qq 2 ? M v0 ?k lM 2 l0 lM ? 2kQql0 2 2kQq ? M v0 l0



解得



ii.为了计算变力 f 做的功,应回到初始时 B 球相对它静止的参考系 S 来考察问题。相对 S 系,当两球间

的距离为 l0 时,A 球的速度为 v0 ,B 球的速度为 0;当两球的速度相等时,两球间距离达到最大值 lM ,由功 能关系,在这过程中,变力 f 的功

1 Qq 1 2 Qq 2 W ? [ ( M ? m) v0 ?k ] ? [ mv0 ?k ] 2 lM 2 l0
由⑵ 、⑶ 两式得 解法二
2 W ? M v0





在开始时 B 球相对它静止的参考系 S 中来考察问题。初始时,A 球的速度为 v0 ,B 球的速度为 0,当两 球间距离达到最大值 lM 时,两球的速度相等,都是 v0 ,根据动量定理和功能关系有

J ? (m ? M )v0 ? mv0
1 Qq 1 2 Qq 2 W ? (m ? M ) v0 ?k ? ( mv0 ? k ) 2 lM 2 l0





式中 J 和 W 分别是在所考察过程中变力 f 的冲量和功。在所考察过程中某一时间间隔 ?ti 内, 为 ?J i

f i 的冲量

? fi ?ti ,在所考察的过程中,f 的总冲量

J ? ? ?J i ? ? fi ?ti
i i



在 ?ti 时间内,A 球的位移 中,f 的总功

?si ? v0 ?ti ,力 f i 做的功为 ?Wi ? fi ?si ? fi v0?ti ,在所考察的过程

W ? ? ?Wi ? ? fi v0 ?ti
i i



由以上四式得

k

Qq 1 Qq 2 ? ? M v0 ?k lM 2 l0



由⑸ 式得

lM ?

2kQql0 2 2kQq ? M v0 l0
2 ? M v0



由⑹ 式代入⑵ 式得 W



评分标准:本题 20 分 解法一:⑵ 、⑷ 式各 10 分 解法二:⑹ 、⑺ 式各 10 分 14. (20 分)由双原子分子构成的气体,当温度升高时,一部分双原子分子会分解成两个单原子分子,温度 越高,被分解的双原子分子的比例越大,于是整个气体可视为由单原子分子构成的气体与由双原子分子构成

的气体的混合气体. 这种混合气体的每一种成分气体都可视作理想气体. 在体积 V=0.045m3 的坚固的容器中, 盛有一定质量的碘蒸气,现于不同温度下测得容器中蒸气的压强如下: 试求温度分别为 1073K 和 1473K 时该碘蒸气中单原子分子碘蒸气的质量与碘的总质量之比值.已知碘蒸气的 总质量与一个摩尔的双原子碘分子的质量相同,普适气体常量 R=8.31J· mol 1· K
- -1

解 :以 m 表示碘蒸气的总质量, m1 表示蒸气的温度为 T 时单原子分子的碘蒸气的质量, ?1 、 ?2 分别表示 单原子分子碘蒸气和双原子分子碘蒸气的摩尔质量, 子碘蒸气的分压强,则由理想气体的状态方程有

p1 、 p2 分别表示容器中单原子分子碘蒸气和双原子分

p1V ?

m1

?1

RT



p2V ?

m ? m1

?2

RT



其中,R 为理想气体常量。 根据道尔顿分压定律,容器中碘蒸气的总压强 p 满足关系式

p ? p1 ? p2




??
1 2

m1 m



为单原子分子碘蒸气的质量与碘蒸气的总质量的比值,注意到

?1 ? ?2
由以上各式解得



??

? 2V p
mR T

?1



代入有关数据可得,当温度为 1073K 时,

? ? 0.06
当温度为 1473K 时



? ? 0.51
评分标准:⑴ ⑵ ⑶ ⑹ 式各 4 分,⑺ ⑻ 式各 2 分。



15. (20 分)图中 L 是一根通电长直导线,导线中的电流为 I.一电阻为 R、每边长为 2a 的导线方框,其中两条边与 L 平行,可绕过其中心并与长直导线平行的轴线 OO’ 转动,轴线与长直导线相距 b,b>a,初始时刻,导线框与直导线共面.现使线框以 恒定的角速度 ω 转动,求线框中的感应电流的大小.不计导线框的自感.已知电流 I

的长直导线在距导线 r 处的磁感应强度大小为 k 其中 k 为常量. 解 :当线框绕转轴转过 ?

I , r

? ?t 的角度时,其位置如

图 1 所示,俯视图如图 2 所示。 当线框以角速度 ? 绕 OO? 转动时,线框与轴线

平行的两条边的速度都是 v ,且

v ? a?
B?k



L 中的电流产生的磁场在这两条边所在处的磁感应强度

分别为

I r I r?

⑵ 式中 r 和 r ? 分别为这两条边到 L 的距离。线框的两条



B? ? k



边的速度 v 的方向与 B 和 B ? 的方向间的夹角分别为 ? 和 ? ? ,由电磁感应定律,线框的感应电动势为

注意到

? ? 2 Bav sin ? ? 2 B?av sin ? ? sin ? sin(? ? ? ) sin ?
? b b sin ? sin(? ? ? ?) sin ? ? ? ? r? b b r ?

⑷ ⑸ ⑹

以及

r 2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos ?



r?2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos ?
由以上各式得



? ? 2kIa 2b? (
?
R

1 1 ? 2 ) sin ?t 2 a ? b ? 2ab cos ?t a ? b ? 2ab cos ?t
2 2



由欧姆定律得线框中感应电流

i?



由⑼ 、⑽ 两式得

i?

2kIa 2b? 1 1 ( 2 ? 2 )sin ?t 2 2 R a ? b ? 2ab cos ?t a ? b ? 2ab cos ?t



评分标准:本题 20 分。 ⑴ 式 2 分,⑷ 式 8 分,⑸ ⑹⑺ ⑻ 式各 1 分,⑽ 式 2 分,⑾ 式 4 分。 16. (20 分)一质量为 m=3000kg 的人造卫星在离地面的高度为 H=180 km 的高空绕地球作圆周运动,那里 的重力加速度 g=9. 3m· s 2. 由于受到空气阻力的作用, 在一年时间内, 人造卫星的高度要下降 △ H =0. 50km. 已


知物体在密度为 ρ 的流体中以速度 v 运动时受到的阻力 F 可表示为 F=

1 ρACv2,式中 A 是物体的最大横截 2

面积,C 是拖曳系数,与物体的形状有关.当卫星在高空中运行时,可以认为卫星的拖曳系数 C=l,取卫星 的最大横截面积 A=6.0m2.已知地球的半径为 R0=6400km.试由以上数据估算卫星所在处的大气密度. 解 :设一年前、后卫星的速度分别为 v1 、 v2 ,根据万有引力定律和牛顿第二定律有
2 v1 Mm ? m R12 R1

G



2 v2 Mm G 2 ?m R2 R2



式中 G 为万有引力恒量,M 为地球的质量, R1 和 R2 分别为一年前、后卫星的轨道半径,即

R1 ? R0 ? H R2 ? R0 ? H ? ?H
卫星在一年时间内动能的增量





?Ek ?

1 1 2 m v2 ? mv12 2 2



由⑴ 、⑵ 、⑸ 三式得

1 1 1 ?Ek ? GMm( ? ) 2 R2 R1
由⑶ 、⑷ 、⑹ 式可知,



?Ek ? 0 ,表示在这过程中卫星的动能是增加的。

在这过程中卫星引力势能的增量

?EP ? ?GMm(

1 1 ? ) R2 R1



?EP ? 0 ,表示在这过程中卫星引力势能是减小的。卫星机械能的增量 ?E ? ?Ek ? ?EP
由⑹ 、⑺ 、⑻ 式得 ⑻

1 1 1 ?E ? ? GMm( ? ) 2 R2 R1



?E ? 0 ,表示在这过程中卫星的机械能是减少的。由⑶、⑷式可知,因 R1 、 R2 非常接近,利用

R1 ? R2 ? ?H
R1R2 ? R12
⑼ 式可表示为

⑽ ⑾

?E ? ?

1 GMm ?H 2 R12



卫星机械能减少是因为克服空气阻力做了功。卫星在沿半径为 R 的轨道运行一周过程中空气作用于卫星 的阻力做的功

W1 ? ?F ? 2? R ? ??? ACRv2
根据万有引力定律和牛顿运动定律有



G

v2 Mm ? m R2 R



由⒀ 、⒁ 式得

W1 ? ??? ACGM
轨道运行一周经历的时间



⒂ 式表明卫星在绕轨道运行一周过程中空气阻力做的功是一恒量,与轨道半径无关。卫星绕半径为 R 的

T?

2? R v



由⒁ 、⒃ 式得

T ? 2? R

R GM



由于在一年时间内轨道半径变化不大,可以认为 T 是恒量,且

T ? 2? R1

R1 GM



以 ? 表示一年时间,有

? ? 3600s? 365 ? 24 ? 3.15 ?107 s
卫星在一年时间内做圆周运动的次数



n?

?
T



在一年时间内卫星克服空气阻力做的功

W ? nW1
由功能关系有

(21)

W ? ?E
由⒂ ⒅ ⒇ (21)(22)各式并利用 G

(22)

M ?g得 R12
(23)

??

m?H ? ACR1 R1 g

代入有关数据得

? ? 1.54 ?10?13 kg? m?3
评分标准:本题 20 分 ⑹ ⒂ (24)式 3 分,⑺ 式 2 分,⑼⑿ 式各 1 分,(23)式 7 分。

(24)

第 28 届全国中学生物理竞赛预赛试卷
1-5 9 13 本卷共 16 题,满分 200 分. 6 10 14 7 11 15 8 12 16 总分

得分

阅卷

复核

一、选择题.本题共 5 小题,每小题 6 分.在每小题给出的 4 个选项中,有的小题只有一项符合题意,有的小题有多项符合 题意. 把符合题意的选项前面的英文字母写在每小题后面的方 括号内.全部选对的得 6 分,选对但不全的得 3 分,有选错或

不答的得 0 分. 1.常用示波器中的扫描电压 u 随时间 t 变化的图线是

[

]

2.下面列出的一些说法中正确的是 A.在温度为 200 C 和压强为 1 个大气压时,一定量的水蒸发为同温度的水蒸气,在此过 程中,它所吸收的热量等于其内能的增量. B.有人用水银和酒精制成两种温度计,他都把水的冰点定为 0 度,水的沸点定为 100 度, 并都把 0 刻度与 100 刻度之间均匀等分成同数量的刻度,若用这两种温度计去测量同一 环境的温度(大于 0 度小于 100 度)时,两者测得的温度数值必定相同. C .一定量的理想气体分别经过不同的过程后,压强都减小了,体积都增大了,则从每个 过程中气体与外界交换的总热量看,在有的过程中气体可能是吸收了热量,在有的过程 中气体可能是放出了热量,在有的过程中气体与外界交换的热量为 0 . D . 地球表面一平方米所受的大气的压力, 其大小等于这一平方米表面单位时间内受上方 作热运动的空气分子对它碰撞的冲量,加上这一平方米以上的大气的重量. [ 3.把以空气为介质的两个平行板电容器 a 和 b 串联,再与电阻 R 和电 动势为 E 的直流电源如图连接.平衡后,若把一块玻璃板插人电容 器 a 中,则再达到平衡时, A.与玻璃板插人前比,电容器 a 两极间的电压增大了 B.与玻璃板插人前比,电容器 a 两极间的电压减小了 C.与玻璃板插入前比,电容器 b 贮存的电能增大了 D.玻璃板插人过程中电源所做的功等于两电容器贮存总电能的增加量 [ ] 4.多电子原子核外电子的分布形成若干壳层, K 壳层离核最近, L 壳层次之, M 壳层更次 之,……,每一壳层中可容纳的电子数是一定的,当一个壳层中的电子填满后,余下的电 子将分布到次外的壳层.当原子的内壳层中出现空穴时,较外壳层中的电子将跃迁至空穴, 并以发射光子(X 光)的形式释放出多余的能量,但亦有一定的概率将跃迁中放出的能量 传给另一个电子,使此电子电离,这称为俄歇( Auger)效应,这样电离出来的电子叫俄歇 电子.现用一能量为 40.00keV 的光子照射 Cd(镐)原子,击出 Cd 原子中 K 层一个电子, 使该壳层出现空穴,己知该 K 层电子的电离能为 26.8keV.随后,Cd 原子的 L 层中一个电 子跃迁到 K 层,而由于俄歇效应,L 层中的另一个的电子从 Cd 原子射出,已知这两个电 子的电离能皆为 4.02keV,则射出的俄歇电子的动能等于 A.( 26. 8-4.02-4.02 ) keV B.(40.00-26. 8- 4.02 ) keV ]

C.( 26. 8-4.02 ) keV

D.( 40.00- 26.8 + 4.02 ) keV [ ]

5.一圆弧形的槽,槽底放在水平地面上,槽的两侧与光滑 斜坡 aa’、bb’相切,相切处 a、b 位于同一水平面内,槽 与斜坡在竖直平面内的截面如图所示.一小物块从斜坡 aa’上距水平面 ab 的高度为 Zh 处沿斜坡自由滑下,并自 a 处进人槽内,到达 b 后沿斜坡 bb’向上滑行,已知到达 的最高处距水平面 ab 的高度为 h; 接着小物块沿斜坡 bb’ 滑下并从 b 处进人槽内反向运动,若不考虑空气阻力, 则 A.小物块再运动到 a 处时速度变为零 B.小物块尚未运动到 a 处时,速度已变为零 C.小物块不仅能再运动到 a 处,并能沿斜坡 aa’向上 滑行,上升的最大高度为 2h D.小物块不仅能再运动到 a 处,并能沿斜坡 aa’向上滑行,上升的最大高度小于 h [ ] 二、填空题和作图题.把答案填在题中的横线上或把图画在题中指定的地方.只要给出结果 不需写出求得结果的过程. 得分 阅卷 复核 6.( 6 分)在大气中,将一容积为 0.50m 的一端封闭一端开 口的圆筒筒底朝上筒口朝下竖直插人水池中,然后放手.平衡 时,筒内空气的体积为 0.40m .设大气的压强与 10.0m 高的 水柱产生的压强相同,则筒内外水面的高度差 为 得分 阅卷 复核 . 7.(10 分)近年来, 由于 “ 微结构 材料 ” 的发展, 研制具有负 折射率的人工材料 的光学性质及其应用,已受人们关注.对正常介质, 光线从真空射人折射率为 n 的介质时,人射角和折 射角满足折射定律公式,人射光线和折射光线分布 在界面法线的两侧; 若介质的折射率为负, 即 n<0, 这时人射角和折射角仍满足折射定律公式, 但人射光线与折射光线分布在界面法线的同一侧. 现考虑由共轴的两个薄凸透镜 L1 和 L2 构成 的光学系统,两透镜的光心分别为 O1 和 O2 ,它们之间的距离为 s .若要求以与主光轴成很小 夹角的光线人射到 O1 能从 O2 出射, 并且出射光线与人射光线平行, 则可以在 O1 和 O2 之间放 一块具有负折射率的介质平板,介质板的中心位于 OO’的中点,板的两个平行的侧面与主光 轴垂直,如图所示.若介质的折射率 n= -1.5,则介质板的厚度即垂直于主光轴的两个平行侧 面之间的距离 d = . 得分 阅卷 复核 8.( 10 分)已知:规定一个 K(钾)原子与 Cl(氯)原子相 距很远时,他们的相互作用势能为 0;从一个 K 原子中移走最
+ 3 3

外层电子形成 K 离子所需的能量(称为电离能)为 EK ,一个 Cl 原子吸收一个电子形成 Cl-离子释放的能量(称为电子亲和 能)为 ECl ;K+离子(视为质点)与 Cl-离子(视为质点)之间的吸引力为库仑力,电子电荷 量的大小为 e,静电力常量为 k.利用以上知识,可知当 KCI 分子中 K+离子与 Cl-离子之间的 库 仑 相 互 作 用 势 能 为 0 时 , K+ 离 子 与 Cl- 离 子 之 间 的 距 离 rs , 可 表 示

为 =1.60× 10-19 C,则 rs = 得分 阅卷 复核

.若已知 EK = 4.34ev, ECl =3.62eV , k =9.0 × 109 N· m2· C-2 , e m. 9. (10 分) 光帆是装置在太空船上的一个面积很大但很轻的帆, 利用太阳光对帆的光压,可使太空船在太空中飞行.设想一光 帆某时刻位于距离太阳为 1 天文单位(即日地间的平均距离)

处, 已知该处单位时间内通过垂直于太阳光辐射方向的单位面 积的辐射能量 E =1.37× 103 J· m -2 · s -1 ,设平面光帆的面积为 1.0× 106 m2 ,且其平面垂直于太阳光 辐射方向,又设光帆对太阳光能全部反射(不吸收) ,则光帆 所受光的压力约等于 N. 得分 阅卷 复核 10. (20 分) 有两个电阻 1 和 2, 它们的阻值随所加电压的变 化而改变,从而它们的伏安特

性即电压和电流不再成正比 关系(这种电阻称为非线性电阻) .假设电阻 1 和电阻 2 的伏 安特性图线分别如图所示. 现先将这两个电阻并联, 然后接在 电动势 E=9.0V、内电阻 r0 = 2.0Ω 的电源上.试利用题给的数 据和图线在题图中用作图法读得所需的数据, 进而分别求出电 阻 1 和电阻 2 上消耗的功率 P1 和 P2 .要求: i.在题图上画出所作的图线. (只按所画图线评分,不要 求写出画图的步骤及理由) ii.从图上读下所需物理量的数据(取二位有效数字) ,分 别是: iii.求出电阻 R1 消耗的功率 P1 = ,电 阻 R2 消耗的功率 P2 = .

三、计算题.计算题的解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤,只写出最后 结果的不能得分.有数值计算的,答案中必须明确写出数值和单位. 得分 阅卷 复核 11.(17 分)宇航员从空间站(绕地球运行)上释放了一颗质 量 m=500kg 的探测卫星.该卫星通过一条柔软的细轻绳与空 间站连接,稳定时卫星始终在空间站的正下方,到空间站的距 离 l=20km.已知空间站的轨道为圆形,周期 T = 92 min(分) . i.忽略卫星拉力对空间站轨道的影响,求卫星所受轻绳拉力的大小. ii.假设某一时刻卫星突然脱离轻绳.试计算此后卫星轨道的近地点到地面的高度、远地 点到地面的高度和卫星运行周期. 取地球半径 R = 6.400× 103 km, 地球同步卫星到地面的高度为 H0 =3.6000×104 km, 地球自 转周期 T 0 = 24 小时.

得分

阅卷

复核

12.(17 分)某同 学 选 了 一个 倾 角 为 θ 的斜坡, 他骑

在 自 行 车上 刚 好 能在不踩踏板的情况下让自行车沿斜坡匀速向下 行驶,现在他想估测沿此斜坡向上匀速行驶时的 功率,为此他数出在上坡过程中某一只脚蹬踩踏 板的圈数 N(设不间断的匀速蹬) ,并测得所用的 时间 t,再测得下列相关数据:自行车和人的总质 量 m,轮盘半径 Rl,飞轮半径 R2,车后轮半径 R3 .试导出估测功率的表达式.己知上、下坡 过程中斜坡及空气作用于自行车的阻力大小相等,不论是在上坡还是下坡过程中,车轮与坡 面接触处都无滑动.不计自行车内部各部件之间因相对运动而消耗的能量.

13.(20 分)电荷量为 q 的正电荷,均匀分布在由绝缘材料制成的质量为 m 半径为 R 的均匀 细圆环上,现设法加外力使圆环从静止开始,绕通过环心垂直于环面的轴线匀加速转动.试

得分

阅卷

复核

求从开始转动到环的角速度达到某一值 ω0 的整个过程中外力 所做的功.已知转动带电圆环的等效电流为 I 时,等效电流产 生的磁场对整个以圆环为周界的圆面的磁通量Ф =kI, k 为一 已知常量.不计电荷作加速运动所产生的辐射效应.

得分

阅卷

复核

14.(20 分)如图所示,一木块位于光滑的水平桌 面上,木块上固连一支架,木块与支架的总质量 为 M .一摆球挂于支架上,摆球的质量为 m ,

m?

1 M 摆线的质量不计.初始时,整个装置处 2

于静止状态.一质量为 m 的子弹以大小为 v 0 、方向垂直于图面向里的速度射人摆球并立即停 留在球内,摆球和子弹便一起开始运动.已知摆线最大的偏转角小于 900,在小球往返运动过 程中摆线始终是拉直的,木块未发生转动. i.求摆球上升的最大高度. ii.求木块的最大速率. iii.求摆球在最低处时速度的大小和方向.

得分

阅卷

复核

15.(20 分)图中坐标 原点 O (0, 0)处有一 带电粒子源,向 y≥0

一侧沿 Oxy 平面内的 各个不同方向发射带正电的粒子,粒子的速率都是 v ,质量均为 m,电荷量均为 q.有人设计了一方向 垂直于 Oxy 平面,磁感应强度的大小为 B 的均匀 磁场区域,使上述所有带电粒子从该磁场区域的边 界射出时,均能沿 x 轴正方向运动.试求出此边界 线的方程,并画出此边界线的示意图.

得分

阅卷

复核

16.(20 分)在海面上有三艘轮船,船 A 以速度 u 向正东方向 航行, 船 B 以速度 2u 向正北方向航行, 船 C 以速度 2 2 u 向 东偏北 450 方向航行.在某一时刻,船 B 和 C 恰好同时经过船

A 的航线并位于船 A 的前方,船 B 到船 A 的距离为 a,船 C 到船 A 的距离为 2a.若以此时刻 作为计算时间的零点, 求在 t 时刻 B、 C 两船间距离的中点 M 到船 A 的连线 MA 绕 M 点转动 的角速度.

第 28 届全国中学生物理竞赛预赛试卷 参考解答与评分标准
一、选择题. 答案: 1.C 2.C

3.BC

4.A

5.D

评分标准: 本题共 5 小题,每小题 6 分.全部选对的得 6 分,选对但不全的得 3 分,有选错或 不答的得 0 分. 二、填空题 答案与评分标准: 6.2.5m ( 6 分)

7.

3 s (10 分) 5
2.0× 109

ke 2 8. ( 6 分) Ek ? ECl
9.9 ( 10 分) 10.

(2 分)

i.如图所示.( 8 分) (图错不给分,图不准确 酌情评分.) ii.并联电阻两端的电压 U0 =2.3V (2 分) ,通过 电阻 1 的电流 I10 =1.2A (3 分) ,通过电阻 2 的电流 I20 = 2.2A ( 3 分) (读数第一位必须正确,第二位与 答案不同,可酌情评分.) iii.2.5 W ( 2 分), 4 .9W ( 2 分) 11.参考解答: i.设空间站离地面的高度为 H, 因为同步卫星 的周期和地球自转周期相同,根据开普勒第三定律 以及题意有

(R ? H )3 T 2 ? ( R ? H 0 )3 T02


(1)

T 2/3 H ?( R? H ) ? R 0 )( T0
H= 376km

(2) (3)

代人数据得

卫星的高度 h =H 一 l =356km (4) 卫星在细绳的拉力 F 和地球引力作用下跟随 空间站一起绕地球作周期为 T 的圆周运动,有

G

Mm 2? ? F ? m( ) 2 ( R ? h ) 2 ( R ? h) T

(5) 式中 G 为万有引力常量, M 为地球质量.空间站在地球引力作用下绕地球作周期为 T 的圆 周运动 故有

G

Mm? 2? 2 ? m?( ) R ( ?h ) 2 ( R ? h) T

(6)

式中 m’为空间站的质量.由(5) 、 (6)两式得

F ? m(

2? 2 ( R ? H )2 ) ( R ? h)[ ? 1] T ( R ? h) 2

(7)

将(3) 、 (4)式及其他有关数据代人(7)式得 F=38.2N (8) ii.细绳脱落后,卫星在地球引力作用下绕地球运动的轨道为一椭圆.在脱落的瞬间,卫 星的速度垂直于卫星与地心的连线,所以脱落点必是远地点(或近地点) ,由( 4)式可知,此

点到地面的高度 h =356km 设卫星在近地点(或远地点)的高度为 h' ,速度为 v' ,根据开普勒第二定律,有 (9)

?)v ?? (R ? h
根据机械能守恒,有

2? (R ? T

2 h )

(10)

1 Mm 1 2 ? 2 Mm mv?2 ? G ? m( ) R ( ? h )2? G 2 R ? h? 2 T R?h
联立(10) 、 (11)两式并利用(6)式得

(11)

h? ?
代 人 有

( R ? h)4 2( R ? H )3 ? ( R ? h)3
数 据 有 h ' =

(12) 238km



(13 ) 由(9) 、 (13)两式可知,远地点到地面的高度为 356km,近地点到地面的高度为 238km . 设卫星的周期为 T ' ,根据开普勒第三定律,卫星的周期

T? ? (
(14)

2 R ? h ? h? 3 / 2 ) T 2R ? 2H
(15)

代人数据得 T '= 90 . 4min

评分标准:本题 17 分. 第 i 小题 9 分. ( l)式 2 分, ( 5)式 3 分, ( 6)式 2 分, (8)式 2 分. 第 ii 小题 8 分. (9) 、 (10)式各 l 分, (11)式 2 分, (12) 、 (13) 、 (14) 、 (15)式各 1 分. 12.参考解答: 解法一 因为下坡时自行车匀速行驶,可知阻力大小 f=mgsinθ (1) 由题意,自行车沿斜坡匀速向上行驶时,轮盘的角速度

??

2? N t

(2)

设轮盘边缘的线速度为 v1 ,由线速度的定义有 v 1 =ω R 1 (3) 设飞轮边缘的线速度为 v 2 ,后车轮边缘的线速度为 v 3 ,因为轮盘与飞轮之间用链条连结,它 们 边 缘 上 的 线 速 度 相 同 , 即 v1 =v2 (4) 因飞轮与后车轮的转动角速度相同,故有

v2 R2 ? v3 R3
(5) 因车轮与坡面接触处无滑动,在车后轮绕其中心轴转动一周的时间 T 内,车后轮中心轴前进 的路程

?s ? 2? R3

(6 ) 而 (7) 车后轮的中心轴前进的速度即自行车行驶速度的大小

T?

2? R3 v3

V ?
(8) 由 以 上 有

?s T









V?

2? NR1 R3 R2t

(9) 人骑自行车上坡的功率为克服阻力 f 的功率加上克服重力沿斜面分力的功率,即 P=fV+mgVsin (10) 由(l) 、 (9) 、 (10)式得 θ

P?

4mg? NR1R3 sin ? R2t

(11) 评分标准:本题 17 分. ( l)式 3 分,求得(9 式共 8 分, (10)式 5 分, (11)式 1 分. 解法二 因下坡时自行车匀速行驶,若自行车出发点的高度为 h,则克服阻力所做的功 Wf 等于势 能的减少,有 Wf =mgh (1) 用 s 表示自行车行驶的路程,有 h =ssinθ (2 ) 自行车沿斜坡匀速向上行驶时,骑车者所做的功 W,等于克服阻力的功 Wf 与势能增量 mgh 之和,即 W=Wf +mgh (3) 设骑车者蹬踩踏板 N 圈到达下坡时的出发点, 因踏板转 N 圈可使后轮转 NR1 /R2 圈, 所以自行 车 行 驶 的 距 离 s 为

s?

NR1 ? 2? R R2

(4) 由(1)到(4)式,得

W?

4? NR1R3 ? mg sin ? R2t

(5) 上式除以所用时间 t,即得骑车者功率

P?

W 4mg? NR1R3 ? sin ? t R2t

(6) 评分标准:本题 17 分. ( I)式 3 分, ( 2)式 l 分, (3)式 4 分, (4)式 6 分, (5)式 l 分, (6)式 2 分. 13.参考解答: 当环的角速度到达ω 0 时,环的动能

Ek ?

1 m( R? 0 ) 2 2

( l) 若在时刻 t,环转动的角速度为ω ,则环上电荷所形成的等效电流

I?
(2) 感 (3) 由 ( 2 ) 应 电 动

q 2? R


R? ?

?q 2?
??
?? ?I ?k ?t ?t q ?? 2? ?t





3







? ?k

(4) 环加速转动时,要克服感应电动势做功,功率为 P1=εI (5) 因为是匀加速转动,所以ω 和 I 都随时间 t 线性增加.若角速度从零开始增加到ω 0 经历的时 间为 t0 ,则有

?0 ?

?? t0 ?t

(6) 若与ω 0 对应的等效电流为 I0 ,则在整个过程中克服感到电动势做的总功

1 W1 ? ? I 0t0 2
(7) 由以上有关各式得

?02 q 2 W1 ? k 8? 2
(8) 外力所做的总功

W ? W1 ? Ek ? k

?02 q 2 1 ? m( R? 0 )2 8? 2 2

(9) 评分标准:本题 20 分. (1)式 3 分,(2)式 4 分,(3)式 2 分,(5)式 3 分, (6)式 2 分, (7)式 3 分,(8) 式 l 分, (9)式 2 分 14.参考解答: i.由于子弹射人摆球至停留在球内经历的时间极短,可以认为在这过程中摆球仅获得速 度但无位移.设摆球(包括停留在球内的子弹)向前(指垂直于图面向里)的速度为 u,由动 量守恒定律有 mv 0 =2mu (l) 摆球以速度 u 开始向前摆动,木块亦发生运动.当摆球上升至最高时,摆球相对木块静止, 设此时木块的速度为 V,摆球上升的高度为 h,因水平方向动量守恒以及机械能守恒有 2mu=(2m+M)V (2)

mu 2 ?
(3) 解(l) 、 (2) 、 (3)三式得

1 (2m ? M )V 2 ? 2mgh 2

h?
(4)

2 Mv0 8 g (2m ? m)

ii.摆球升到最高后相对木块要反向摆动.因为在摆球从开始运动到摆线返回到竖直位置 前的整个过程中,摆线作用于支架的拉力始终向斜前方,它使木块向前运动的速度不断增大; 摆线经过竖直位置后,直到摆线再次回到竖直位置前,摆线作用于支架的拉力将向斜后方, 它使木块速度减小,所以在摆线(第一次)返回到竖直位置的那一时刻,木块的速度最大, 方向向前 以 V’表示摆线位于竖直位置时木块的速率,u’表示此时摆球的速度(相对桌面) ,当 u' >0,表示其方向水平向前,反之,则水平向后.因水平方向动量守恒以及机械能守恒,故有

2mu ? 2mu? ? MV ?
(5)

m u2 ? m ?u2 ?

1 2

2 M? V

(6) 解(1) 、 (5) 、 (6)三式可得摆线位于竖直位置时木块速度的大小

V? ? 0
(7)

V? ?

2mv0 2m ? M

(8) (7)式对应于子弹刚射人摆球但木块尚未运动时木块的速度,它也是摆球在以后相对木块往 复运动过程中摆线每次由后向前经过竖直位置时木块的速度;而题中要求的木块的最大速率 为(8)式,它也是摆球在以后相对木块的往复运动过程中摆线每次由前向后经过竖直位置时 木块的速度.

iii.在整个运动过程中,每当摆线处于竖直位置时,小球便位于最低处.当子弹刚射人摆 球时,摆球位于最低处,设这时摆球的速度为 u,由(l)式得

u?

1 v0 2

(9) 方向水平向前.当摆球第一次回到最低处时,木块速度最大,设这时摆球的速度为 u' ,由 (l) 、 (5) 、 (6)三式和(8)式可得

1 m? M 2 v u? ? 0 M ? 2m
(10) 其方向向后. 当摆球第二次回到最低处时,由(7)式木块速度减至 0,设这时摆球的速度为 u'' , 由(l) 、 ( 5) 、 (6)式可得 u'' (11) 方向向前,开始重复初始的运动. 评分标准:本题 20 分. 第 i 小题 8 分.(1) 式 1 分,(2) 、 (3)式各 3 分, (4)式 l 分 第 ii 小题 7 分.(5)、(6)式各 3 分,(8)式 l 分 第 iii 小题 5 分. ( 9 )式 l 分, (10)式 3. 分, (11)式 l 分. 15.参考解答: 先设磁感应强度为 B 的匀强磁场方向垂直 xy 平面 向里,且无边界.考察从粒子源发出的速率为 v 、方向 与 x 轴夹角为 θ 的粒子,在磁场的洛仑兹力作用下粒子 做圆周运动,圆轨道经过坐标原点 O,且与速度方向相 切,若圆轨道的半径为 R,有 =

u?

1 v0 2

v2 q v B? m R


(1)

R?

mv qB

(2)

圆轨道的圆心 O’在过坐标原点 O 与速度方向垂直的直线上,至原点的距离为 R,如图 1 所 示.通过圆心 O’作平行于 y 轴的直线与圆轨道交于 P 点,粒子运 动到 P 点时其速度方向恰好是沿 x 轴正方向,故 P 点就在磁场区域 的边界上.对于不同人射方向的粒子,对应的 P 点的位置不同,所 有这些 P 点的连线就是所求磁场区域的边界线.P 点的坐标为 x=—Rsinθ (3 ) y=一 R + Rcos θ (4) 这就是磁场区域边界的参数方程,消去参数 θ,得 x2 +(y+R)2=R2 由(2) 、 (5)式得 (5)

x2 ? ( y ?

mv 2 m2v 2 ) ? 2 2 qB q B

(6)

这是半径为 R 圆心 O’ ’的坐标为(0,一 R ) 的圆,作为题所要求的 磁场区域的边界线, 应是如图 2 所示的半个圆周, 故磁场区域的边界 线的方程为

x2 ? ( y ?

mv 2 m2v 2 ) ? 2 2 qB q B

x?0 y?0

(7)

若磁场方向垂直于 xy 面向外, 则磁场的边界线为如图 3 示的半圆, 磁场区域的边界线的方程为 x +(y—R) =R
2 2 2

x?0 y?0 x?0 y?0

(8 )

或 证明同前

x2 ? ( y ?

mv 2 m2v 2 ) ? 2 2 qB q B

(9)

评分标准:本题 20 分. ( l)或(2)式 2 分, (3) 、 (4)式各 4 分, (7)式 3 分,图(图 2 ) 2 分(只要半圆的 位置正确就给 2 分), (9)式 3 分,图(图 3 ) 2 分(只要半圆的位置正确就给 2 分) 16.参考解答: 以 t =0 时刻船 A 所在的位置为坐标原点 O,作如图 1 所示平面直角坐标系 Oxy,x 轴指向 正东,y 轴指向正北.可以把船 C 的速度分解成沿正 东方向的分速度 v x 和沿正北方向的分速度 v y 两个分 量.根据题意有 v x=v y=2u (1) 在 t 时刻,三船的位置如图 1 所示.B、C 二船在 y 方 向位移相等,两船的连线 BC 与 x 轴平行,两船间的 距离

BC ? a ? 2ut
BC 的中点到 B 点的距离为 分别为

(2)

1 a ? ut .中点 M 的坐标 2
(3) (4)

1 3 xM ? a ? a ? ut ? a ? ut 2 2

yM ? 2 u t

可见 M 点沿 x 方向的速度为 u,沿 y 方向的速度为 2u,在 t = 0 时刻 BC 的中点在 x 轴上,其 x 坐标为 3a/2. 在与 M 点固连的参考系中考察, 并建立以 M 为原点的直角坐标系 Mx'y' , x' 轴与 x 轴平行, y' 轴与 y 轴平行,则相对 M,船 A 的速度只有沿负 y' 方向的分量,有

uAM=uAM y'=—2u 在时刻 t,船 A 在坐标系 Mx'y' 的坐标为

(5)

3 x? a A ? ? 2

(6) (7)

y? A ? u AM t

可以把 A 船的速度分解为沿连线 MA 方向的分量 uAM1 和垂直于连线 MA 方向的分量 uAM2 两个分量,uAM1 使连线 MA 的长度增大,uAM2 使连线 MA 的方向改 变, 如图 2 所示. 若用 R 表示 t 时刻连线 MA 的长度, 则连线 MA 绕 M 点转动的角速度

??

u AM 2 R

(8)

若 MA 与 x' 轴的夹角为θ ,则有

uA M2 ? u


AM

cos ?

(9)

cos ??

x? A R

(10)

2 ?2 R ? x? A ? yA

(11)

由(5)到(10)各式得

??

12 au 9a ? 1 6 u2 t2
2

(12)

评分标准:本题 20 分. 求得(5)式共 6 分, ( 6) 、 (7)式各 l 分, (8)式 6 分, (9)式 2 分, (10) 、 (11)式各 l 分,( 12 ) 式 2 分

第 26 届全国中学生物理竞赛预赛试题及答案
一、选择题.本题共 5 小题,每小题 7 分.在每小题给出的 4 个选项中,有的小题只有一 项是正确的,有的小题有多项是正确的.把正确选项前面的英文字母写在每小题后面的方括号 内.全部选对的得 7 分,选对但不全的得 3 分,选错或不答的得 0 分. 1.图中 a、b 和 c、d 分别是两个平行板电容器的极扳,E 为电池,彼此相距较远.用导线 将 E 的正极与 a、 c 相连,将 E 的负极与 b、d 相连,待电容器充电后,去掉导线.这时已知 a 带的电荷量大于 c 带的电荷量,称此状态为原始状态.现设想用两根导线分别都从原始状态出 发,进行以下两次连接:第一次用一根导线将 a、c 相连, 用另一根导线将 b、 d 相连; 第二次用一根导线将 a、 d 相连, 用另一根导线将 b、c 相连,每次连接后都随即移去导线. 下面哪种说法是正确的? A.经过第一次连接,a、b 间的电压下降,c、d 间的电压上升 B.经过第一次连接,a、b 间和 c、d 间的电压都不变 C.经过第二次连接,a、b 间的电压和 c、d 间的电压中有一个上升,一个下降 D.经过第二次连接,a、b 间的电压和 c、d 间的电压都下降 2.两根不同金属导体制成的长度相等、横截面积相同的圆柱 形杆,串联后接在某一直流电源两端,如图所示.已知杆 a 的质量 小于杆 b 的质量,杆 a 金属的摩尔质量小于杆 b 金属的摩尔质量, 杆 a 的电阻大于杆 b 的电阻,假设每种金属的每个原子都提供相 同数目的自由电子(载流子).当电流达到稳恒时,若 a、 b 内存在电场,则该电场可视为均匀 电场.下面结论中正确的是 A.两杆内的电场强度都等于零 B.两杆内的电场强度都不等于零,且 a 内的场强大于 b 内的场强 C.两杆内载流子定向运动的速度一定相等 D.a 内载流子定向运动的速度一定大于 b 内载流子定向运动的速度 3.一根内径均匀、两端开口的细长玻璃管,竖直插在水中,管的一部分在水面上.现用手 指封住管的上端,把一定量的空气密封在玻璃管中,以 V0 表示其体积;然后把玻璃管沿竖直 方向提出水面,设此时封在玻璃管中的气体体积为 V1 ;最后把玻璃管在竖直平面内转过 90°, 使玻璃管处于水平位置,设此时封在玻璃管中的气体体积为 V2 .则有 A.V1 >V0 =V2 B.V1 >V0 >V2 C.V1 =V2 >V0 D.V1 >V0 ,V2 >V0

4.一块足够长的白板,位于水平桌面上,处于静止状态.一石墨块(可视为质点)静止在白 板上.石墨块与白板间有摩擦,滑动摩擦系数为 μ .突然,使白板以恒定的速度 v0 做匀速直线 运动,石墨块将在板上划下黑色痕迹.经过某一时间 t,令白板突然停下,以后不再运动.在最 后石墨块也不再运动时,白板上黑色痕迹的长度可能是(已知重力加速度为 g,不计石墨与板 摩擦划痕过程中损失的质量)

A.

B.v0 t

C.

D.

5.如图 1 所示,一个电容为 C 的理想电容器与两个阻值皆为 R 的电阻串联后通过电键 K 连接在电动势为 E 的直流电源的两端,电源的内电阻忽略不计,电键 K 是断开的,在 t=0 时 刻,闭合电键 K,接通电路,在图 2 中给出了六种电压 V 随时间 t 变化的图线 a、b、c、d、e、 f,现从其中选出三种图线用来表示图 l 所示电路上 1、2、3、4 四点中某两点间的电压随时 间 t 的变化,下面四个选项中正确的是

A.a、b、f

B.a、e、f

C.b、d、e

D.c、d、e

二、填空题和作图题.把答案填在题中的横线上或把图画在题中指定的地方.只要给出结 果,不需写出求得结果的过程. 6.(8 分)传统的雷达天线依靠转动天线来搜索空中各个方向的目标, 这严重影响了搜索的 速度.现代的“雷达”是“相位控制阵列雷达”,它是由数以万计的只有几厘米或更小的小天 线按一定的顺序排列成的天线阵,小天线发出相干的电磁波,其初相位可通过电子计算机调 节,从而可改变空间干涉极强的方位,这就起了快速扫描 搜索空中各个方向目标的作用.对下面的简单模型的研 究,有助于了解改变相干波的初相位差对空间干涉极强方 位的影响. 图中 a、b 为相邻两个小天线,间距为 d,发出波长为 λ 的相干电磁波.Ox 轴通过 a、b 的中点且垂直于 a、b 的连线.若已知当 a、b 发出的电磁波在 a、b 处的初相位相同即相位差 为 O 时,将在与 x 轴成 θ 角(θ 很小)方向的远处形成干涉极强,现设法改变 a、b 发出的电

磁波的初相位,使 b 的初相位比 a 的落后一个小量 φ ,结果,原来相干极强的方向将从 θ 变 为 θ ',则 θ -θ '等于____. 7.(8 分)He-Ne 激光器产生的波长为 6.33×10 m 的谱线是 Ne 原子从激发态能级(用 E1 表 示)向能量较低的激发态能级(用 E3 表示)跃迁时发生的;波长为 3.39×10-6 m 的谱线是 Ne 原 子从能级 E1 向能级较低的激发态能级(用 E3 表示)跃迁时发生的.已知普朗克常量 h 与光速 c 的 乘积 hc=1.24×10-6 m·eV.由此可知 Ne 的激发态能级 E3 与 E2 的能最差为____eV. 8.(8 分)一列简谐横波沿 x 轴负方向传播,传播速度 v=200m/s.已知位于坐标原点(x=0) 处的质元的振动图线如图 1 所示.试在图 2 中画出,t=4Oms,时该简谐波的波形图线(不少于 一个波长).
-7

9.(8 分)图示为某一圆形水池的示意图(竖直截面).AB 为池中水面的直径, MN 为水池底面 的直径,O 为圆形池底的圆心.已知 ON 为 11.4m, AM、BN 为斜坡,池中水深 5.00m,水的折射 率为 4/3.水的透明度极好,不考虑水的吸收.图中 a、b、c、d 为四个发光点,天空是蓝色的, 水面是平的.在池底中心处有一凹槽,一潜水员仰卧其中,他的眼睛位于 O 处,仰视水面的最 大范围的直径为 AB.

(i)潜水员仰视时所看到的蓝天图象对他的眼睛所张的视角为________ . (ii)四个发光点 a、b、c、d 中,其发出的光能通过全反射到达潜水员眼睛的是________. 三、计算题.解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤,只写出最后结果的 不能得分.有数值计算的,答案中必须明确写出数值和单位. 10.(19 分)试分析下面两个实验操作中的误差(或失误)对实验结果的影响. (i)用“插针法”测量玻璃的折射率时,要先将透明面平行的玻璃砖放置在铺平的白纸 上,然后紧贴玻璃砖的两个透明面,分别画出两条直线,在实验中便以这两条直线间的距离

作为透明面之间的距离.如果由于操作中的误差,使所画的两条直线间的距离大于玻璃砖两透 明面间的实际距离,问这样测得的折射率与实际值相比,是偏大,偏小,还是相同?试给出 简要论证 (ii)在用单摆测量重力加速度 g 时,由于操作失误,致使摆球不在同一竖 直平面内运动,而是在一个水平面内作圆周运动,如图所示.这时如果测出摆球 作这种运动的周期,仍用单摆的周期公式求出重力加速度,问这样求出的重力 加速度与重力加速度的实际值相比,哪个大?试定量比较. 11.(18 分)现有以下器材:电流表一只(量程适当.内阻可忽略不计.带有按钮开关 K1 ,按 下按钮,电流表与电路接通,有电流通过电流表,电流表显出一定的读数),阻值己知为 R 的 固定电阻一个,阻值未知的待测电阻 Rx 一个,直流电源一个(电动势 ε 和内阻 r 待测),单 刀双掷开关 K 一个,接线用的导线若干. 试设计一个实验电路,用它既能测量直流电源的电动势 ε 和内阻 r,又能测量待测电阻 的阻值 Rx(注意:此电路接好后,在测量过程中不许再拆开,只许操作开关,读取数据).具体 要求: (i)画出所设计的电路图. (ii)写出测量 ε 、r 和 Rx 主要的实验步骤. (iii)导出用已知量和实验中测量出的量表示的 ε 、r 和 Rx 的表达式. 12.(18 分)一静止的原子核 A 发生 α 衰变后变成原子核 B, 已知原子核 A、 原子核 B 和 α 粒子的质量分别为 mA 、mB ,和 mα ,光速为 c(不考虑质量与速度有关的相对论效应), 求衰变后 原子核 B 和 α 粒子的动能. 13.(18 分)近代的材料生长和微加工技术, 可制造出一种使电子的运动限制在半导体的一 个平面内(二维)的微结构器件,且可做到电子在器件中像子弹一样飞行,不受杂质原子射散 的影响.这种特点可望有新的应用价值.图 l 所示为四端十字形.二维电子气半导体, 当电流从 l 端进人时,通过控制磁场的作用,可使电流从 2, 3,或 4 端流出.对下面摸拟结构的研究, 有助于理解电流在上述四端十字形导体中的流动.在图 2 中, a、b、c、d 为四根半径都为 R 的圆柱体的横截面,彼此靠得很近,形成四个宽度极窄的狭缝 1、2、3、4,在这些狭缝和四 个圆柱所包围的空间(设为真空)存在匀强磁场,磁场方向垂直于纸面指向纸里.以 B 表示磁感 应强度的大小.一个质量为 m、电荷量为 q 的带正电的粒子,在纸面内以速度 v0 沿与 a、 b 都相 切的方向由缝 1 射人磁场内,设粒子与圆柱表面只发生一次碰撞,碰撞是弹性的,碰撞时间 极短,且碰撞不改变粒子的电荷量,也不受摩擦力作用.试求 B 为何值时,该粒子能从缝 2 处 且沿与 b、c 都相切的方向射出.

14.(20 分)如图所示, M1 N1 N2 M2 是位于光滑水平桌面上的刚性 U 型金属导轨, 导轨中接有阻 值为 R 的电阻,它们的质量为 m0 .导轨的两条轨道间的距离为 l,PQ 是质量为 m 的金属杆,可 在轨道上滑动,滑动时保持与轨道垂直,杆与轨道的接触是粗糙的,杆与导轨的电阻均不计. 初始时,杆 PQ 于图中的虚线处,虚线的右侧为一匀强磁场区域,磁场方向垂直于桌面,磁感 应强度的大小为 B.现有一位于导轨平面内的与轨道平 行的恒力 F 作用于 PQ 上, 使之从静止开始在轨道上向右 作加速运动.已知经过时间 t , PQ 离开虚线的距离为 x, 此时通过电阻的电流为 I0 , 导轨向右移动的距离为 x0 (导 轨的 N1N2 部分尚未进人磁场区域).求在此过程中电阻 所消耗的能量.不考虑回路的自感. 15.(20 分)图中 M1 和 M2 是绝热气缸中的两个活塞,用轻质刚性细杆连结,活塞与气缸壁 的接触是光滑的、不漏气的,M1 是导热的,M2 是绝热的,且 M2 的横截面积是 M1 的 2 倍.M1 把一 定质量的气体封闭在气缸的 L1 部分,M1 和 M2 把一定质量的气体封闭在气缸的 L2 部分,M2 的右 侧为大气,大气的压强 P0 是恒定的. K 是加热 L2 中气体用的电热丝.初始时,两个活塞和气体 都处在平衡状态,分别以 V10 和 V20 表示 L1 和 L2 中 气体的体积.现通过 K 对气体缓慢加热一段时间后 停止加热,让气体重新达到平衡态,这时,活塞 未被气缸壁挡住.加热后与加热前比, L1 和 L2 中 气体的压强是增大了、减小了还是未变?要求进 行定量论证. 16.(20 分)一个质量为 m1 的废弃人造地球卫星在离地面 h=800km 高空作圆周运动, 在某处 和一个质量为 m2 =m1 /9 的太空碎片发生迎头正碰,碰撞时间极短,碰后二者结合成一个物体并 作椭圆运动.碰撞前太空碎片作椭圆运动,椭圆轨道的半长轴为 7500km,其轨道和卫星轨道在 同一平面内.已知质量为 m 的物体绕地球作椭圆运动时,其总能量即动能与引力势能之和 ,式中 G 是引力常量,M 是地球的质量,a 为椭圆轨道的半长轴.设地球是半径 R=6371km 的质量均匀分布的球体,不计空气阻力. (i)试定量论证碰后二者结合成的物体会不会落到地球上. (ii)如果此事件是发生在北级上空(地心和北极的连线方向上),碰后二者结合成的物体 与地球相碰处的纬度是多少?

参考解答与评分标准 一、选择题.(共 35 分) 答案: 1.BD 2.B 3.A 4.AC 5.AB 评分标准: 每小题 7 分.在每小题给出的 4 个选项中,有的小题只有一项是正确的,有的小题有多项 是正确的.全部选对的得 7 分.选对但不全的得 3 分,有选错或不答的得 0 分. 二、填空题和作图题.共 32 分,每小题 8 分.按各小题的答案和评分标准给分.

6.答案与评分标准:

(8 分)

7.答案与评分标准: 1.59(8 分)

8.答案: 评分标准:8 分.有任何错误都给 0 分. 9.答案与评分标准: (i)97.2°(分) (ii)c、d(两个都对得 4 分,只填一个且正确得 2 分,有填错的得 0 分) 10.参考解答: (i)以两条实线代表在白纸上所画出的直线,以两条虚线代表玻璃砖的两个透明面,根据 题意,实线间的距离大于虚线间的距离,如图所示.根据实线位置定出的折射角为 γ ,按实际 的玻璃砖两透明面的位置即虚线定出的折射角为 γ ',由图知 γ >γ ' (l)

由折射定律 sini=nsinγ

(2)

令入射角 i 相等,当折射角偏大时,测出的折射率将偏小. (ii)以 l 表示摆长,θ 表示摆线与竖直方向的夹角,m 表示摆球的质量,F 表示摆线对摆 球的拉力,T 表示摆球作题图所示运动的周期.有 Fcosθ =mg (2) 由(l)、(2)式得 (1)

(3)

而单摆的周期公式为 即使在单摆实验中,摆角很小,θ <5°,但 cosθ <l,这表示对于同样的摆长 l,摆球 在水平面内作圆周运动的周期 T 小于单摆运动的周期 T',所以把较小的周期通过(4)求出的 重力加速度的数值将大于 g 的实际值. 评分标准:本题 19 分. 第(i)小题 9 分.得到(l)式给 4 分,得到正确结论给 5 分.只有结论给 0 分. 第(ii)小题 10 分.得到(3)式给 5 分,得到正确结论给 5 分.只有结论给 0 分. 11.参考解答: 解法一 (i)电路如右图所示, (ii)实验步骤: (1)将单向双掷开关 K 置于空位,按所设计的电路图接 (2)按下电流表上的按钮开关 K1 , 读下电流表的示数 I1 . (3)将 K 打向左侧与 a 接通,读下电流表的示数 I2 . (4)将 K 打向右侧与 b 接通,读下电流表的示数 I3 . 线.

(iii)由欧姆定律有 ε =I1 R+I1 r (1)

(2)

(3) 解以上三式得

(4)

(5)

(6) 评分标准:本题 18 分. 第(i)小题 9 分.若所设计的电路无法根据题的要求测出所有的应测电流,都得 0 分. 第(ii)题 3 分.在电路正确的前提下,每测一个电流的步骤占 1 分. 第(iii)题 6 分.(4)、(5)、(6)式各 2 分. 解法二 (i)电路如右图所示. (ii)实验步骤: (1)将单向双掷开关 K 置于空位,按所设计的电路图接线. (2)按下电流表上的按钮开关 K1 ,读下电流表的示数 I1 . (3)将 K 打向左侧与 a 接通,读下电流表的示数 I2 .

(4)将 K 打向右侧与 b 接通,读下电流表的示数 13 . (iii)由欧姆定律有 ε =I1 (R+Rx +r) (1) ε =I2 (R+r) (2) ε =I3 (Rx +r) (3) 解以上三式得

(4)

(5)

(6) 评分标准:本题 18 分. 第(i)小题 9 分.若所设计的电路无法根据题的要求测出所有的应测电流,都得 0 分. 第(ii)题 3 分.在电路正确的前提下,每测一个电流的步骤占 1 分. 第(iii)题 6 分.(4)、(5)、(6)式各 2 分. 12.参考解答: 设 α 粒子速度的大小为 vα ,原子核 B 速度的大小为 vB ,在衰变过程中动量守恒,有 mα vα +mB vB =0 (1) 衰变过程中能量守恒,有

(2) 解(l)、(2)二式得

(3)

(4) 评分标准:本题 18 分. (1)式 4 分,(2)式 8 分,(3)、(4)各 3 分. 13.参考解答: 解法一 在图中纸面内取 Oxy 坐标(如图),原点在狭缝 l 处,x 轴过缝 1 和 缝 3.粒子从缝 1 进人磁场, 在洛仑兹力作用下作圆周运动, 圆轨道在原 点与 x 轴相切,故其圆心必在 y 轴上.若以 r 表示此圆的半径,则圆方 程为 x2 +(y-r)2 =r2 (1) 根据题的要求和对称性可知,粒子在磁场中作圆周运动时应与 d 的柱面相碰于缝 3、4 间 的圆弧中点处,碰撞处的坐标为 x=2R-Rsin45° (2) y=R-Rcos45° (3) 由(l)、(2)、(3)式得 r=3R (4)

由洛仑兹力和牛顿定律有

(5)

由(4)、(5)式得 评分标准:本题 18 分.

(6)

(1)、(2)、(3)式各 4 分,(4)、(5)、(6)式各 2 分. 解法二

如图所示,A 为 a、b 两圆圆心的连线与缝 l 的交点,F 为 c、d 两圆圆心的连线与缝 3 的 交点.从 1 缝中射人的粒子在磁场作用下与圆柱 d 的表面发生弹性碰撞后,反弹进人缝 2,这 个过程一定对连结 b、d 两圆圆心的直线 OP 对称,故直线 OP 与 d 圆的交点 C 必是碰度点.由 于粒子在磁场中做圆运动过 A 点,因此这个轨道的圆心必在过 A 点并垂直于 AF 的直线 AE 上; 同时这个轨道经过 C 点,所以轨道的圆心也一定在 AC 的垂直平分线 DE 上.这样 AE 与 DE 的交 点 E 就是轨道的圆心,AE 就是轨道的半径 r.过 C 点作 AF 的垂线与 AF 交于 H 点,则 △AHC∽△EDA

有 由图可知

(1)

(2)

(3)

(4)

(5) 由以上各式得 r=3R (6)

由洛仑兹力和牛顿定律有

(7)

得到

(8)

评分标准:本题 18 分. (1)式 8 分,(2)、(3)(4)、(5)式各 1 分,(6)、(7)、(8)式各 1 分. 14.参考解答: 杆 PQ 在磁场中运动时,受到的作用力有:外加恒力 F,方向向右;磁场的安培力,其大 小 FB =BIl,方向向左,式中 I 是通过杆的感应电流,其大小与杆的速度有关;摩擦力,大小

为 Fμ , 方向向左.根据动能定理, 在所考察过程中作用于杆的合力做的功等于杆所增加的动能, 即有

(1) 式中 v 为经过时间 t 杆速度的大小,WF 为恒力 F 对杆做的功,WF 安为安培力对杆做的功, WF μ 为摩擦力对杆做的功.恒力 F 对杆做的功 WF =Fx (2) 因安培力的大小是变化的,安培力对杆做的功用初等数学无法计算,但杆克服安培力做 的功等于电阻所消耗的能量,若以 ER 表示电阻所消耗的能量,则有 -WF 安=ER (3) 摩擦力 Fμ 是恒力,它对杆做的功 WF μ =-Fμ x (4) 但 Fμ 未知.因 U 型导轨在摩擦力作用下做匀加速运动,若其加速度为 a,则有 Fμ =m0 a (5) 而 a=2x0 /t2 (6)

由(4)、(5)、(6)三式得

(7)

经过时间 t 杆的速度设为 v,则杆和导轨构成的回路中的感应电动势 ε =Blv (8) 根据题意,此时回路中的感应电流

(9) 由(8)、(9)式得

(10) 由(l)、(2)、(3)、(7)、(10)各式得

(11) 评分标准:本题 20 分. (1)式 3 分,(2)式 l 分,(3)式 4 分,(7)式 4 分,(10)式 5 分,(11)式 3 分. 15.参考解答: 解法一 用 n1 和 n2 分别表示 L1 和 L2 中气体的摩尔数,P1 、P2 和 V1 、V2 分别表示 L1 和 L2 中气体处在 平衡态时的压强和体积,T 表示气体的温度(因为 M1 是导热的,两部分气体的温度相等),由 理想气体状态方程有 p1 V1 =n1 RT (1) P2 V2 =n2 RT (2) 式中 R 为普适气体常量.若以两个活塞和轻杆构成的系统为研究对象,处在平衡状态时有 p1 S1 -p2 S1 +p2 S2 -p0 S2 =0 (3) 已知 S2 =2S1 (4) 由(3)、(4)式得 p1 +p2 =2p0 (5) 由(l)、(2)、(5)三式得

(6) 若(6)式中的 V1 、V2 是加热后 L1 和 L2 中气体的体积,则 p1 就是加热后 L1 中气体的压强. 加热前 L1 中气体的压强则为

(7)

设加热后,L1 中气体体积的增加量为△V1 ,L2 中气体体积的增加量为△V2 ,因连结两活塞 的杆是刚性的,活塞 M2 的横截面积是 M1 的 2 倍,故有 △V1 =△V2 =△V (8) 加热后,L1 和 L2 中气体的体积都是增大的,即△V > 0 .[若△V< 0,即加热后,活塞是 向左移动的,则大气将对封闭在气缸中的气体做功,电热丝又对气体加热,根据热力学第一 定律,气体的内能增加,温度将上升,而体积是减小的,故 L1 和 L2 中气体的压强 p1 和 p2 都将 增大,这违反力学平衡条件(5)式] 于是有 V1 =V10 +△V (9) V2 =V20 +△V (10) 由(6)、(7)、(9)、(10)四式得

(11) 由(11)式可知,若加热前 V10 =V20 ,则 p1 =p10 ,即加热后 p1 不变,由(5)式知 p2 亦不变;若 加热前 V10 <V20 ,则 p1 < p10 ,即加热后 P1 必减小,由(5)式知 P2 必增大;若加热前 V10 >V20 , 则 p1 >p10 ,即加热后 p1 必增大,由(5)式知 p2 必减小. 评分标准:本题 20 分. 得到(5)式得 3 分,得到(8)式得 3 分,得到(11)式得 8 分,最后结论得 6 分. 解法二 设加热前 L1 和 L2 中气体的压强和体积分别为 p10 、p20 和 V10 、V20 ,以 pl 、p2 和 V1 、V2 分别表 示加热后 L1 和 L2 中气体的压强和体积,由于 M1 是导热的,加热前 L1 和 L2 中气体的温度是相等 的,设为 T0 ,加热后 L1 和 L2 中气体的温度也相等,设为 T.因加热前、后两个活塞和轻杆构成 的系统都处在力学平衡状态,注意到 S2 =2S1 ,力学平衡条件分别为 p10 +p20 =2p0 (1) p1 +p2 =2p0 (2) 由(l)、(2)两式得 p1 -p10 =-(p2 -p20 ) (3) 根据理想气体状态方程,对 L1 中的气体有

(4) 对 L:中的气体有

(5) 由(4)、(5)两式得

(6) (6)式可改写成

(7) 因连结两活塞的杆是刚性的,活塞 M2 的横截面积是 M1 的 2 倍,故有 V1 -V10 =V2 -V20 (8) 把(3)、(8)式代入(7)式得

(9) 若 V10 =V20 ,则由(9)式得 p1 =p10 ,即若加热前,L1 中气体的体积等于 L2 中气体的体积,则加 热后 L1 中气体的压强不变,由(2)式可知加热后 L2 中气体的压强亦不变. 若 V10 <V20 ,则由(9)式得 p1 <p10 ,即若加热前,L1 中气体的体积小于 L2 中气体的体积,则 加热后 L1 中气体的压强必减小,由(2)式可知加热后 L2 中气体的压强必增大. 若 V10 >V20 ,则由(9)式得 p1 >p10 ,即若加热前, L1 中气体的体积大于 L2 中气体的体积, 则加热后 L1 中气体的压强必增大,由(2)式可知加热后 L2 中气体的压强必减小. 评分标准:本题 20 分. 得到(l)式和(2)式或得到(3)得 3 分,得到(8)式得 3 分,得到(9)式得 8 分,最后结论得 6 分.

16.参考解答: (i)图 1 为卫星和碎片运行轨道的示意图.以 v1 表示碰撞前卫星作圆周运动的速度,以 M 表示地球 E 的质量,根据万有引力定律和牛顿定律有

(1) 式中 G 是引力常量.由(l)式得

(2) 以 v2 表示刚要碰撞时太空碎片的速度,因为与卫星发生碰撞时,碎片到地心的距离等于 卫星到地心的距离,根据题意,太空碎片作椭圆运动的总能量

(3) 式中 a 为椭圆轨道的半长轴.由(3)式得

(4) 卫星和碎片碰撞过程中动量守恒,有 m1 v1 -m2 v2 =(m1 +m2 )v (5) 这里 v 是碰后二者结合成的物体(简称结合物)的速度.由(5)式得

(6) 由(2)、(4)、(6)三式并代人有关数据得

(7) 结合物能否撞上地球,要看其轨道(椭圆)的近地点到地心的距离 rmin ,如果 rmin <R,则结 合物就撞上地球.为此我们先来求结合物轨道的半长轴 a′.结合物的总能量

(8) 代人有关数据得 a′=5259km (9) 结合物轨道的近地点到地心的距离 rmin =2a′-(R+h)=3347km<R (10) 据此可以判断,结合物最后要撞上地球. (ii)解法一 在极坐标中讨论.取极坐标, 坐标原点在地心处, 极轴由北极指向 南极,如图 2 所示.碰撞点在北极上空,是椭圆轨道的远地点,结合物 轨道的椭圆方程

(11) 式中 e 是偏心率,p 是椭圆的半正焦弦,远地点到地心的距离 rmax =R+h (12) 由解析几何有

(13) 在轨道的近地点,r=rmin ,θ =0,由(11)式得 p=rmin (1+e)(=4563km) (14) 或有 p=rmax (1-e) (15) 在结合物撞击地球处;r=R,由(11)式有

(16)



(17)

代人有关数据可得

cosθ =-0.7807 (18) θ =141.32° (19) 这是在北纬 51.32°. 评分标准:本题 20 分. 第(i)小题 12 分.(1)或(2)、(3)或(4)、(5)或(6)式各 2 分,(8)式 3 分,(10)式 3 分. 第(ii)小题 8 分.(11)、(12)、(13)、(14)或(15)、(16)或(17)式各 l 分,(19)式 2 分(答 案在 141°到 142°之间的都给 2 分),正确指出纬度给 l 分. 解法二 在直角坐标中讨论.取直角坐标系, 以椭圆的对称中心为坐标 原点 O, x 轴通过近地点和远地点并由远地点指向近地点,如图 3 所示.结合物轨道的椭圆方程是

(20) 式中 a'、b'分别为结合物椭圆轨道的半长轴和半短轴.远地点到地心的距离 rmax =R+h (21) 根据解析几何,若 c 为地心与坐标原点间的距离, c=rmax -a'(=1912km) (22)



(23)

注意到 a'由(9)式给出,得 b'=4899km (24) 结合物撞击地面处是结合物的椭圆轨道与地面的交点,设该处的坐标为 xp 和 yp ,则有 xp =Rcosθ +c (25) yp =Rsinθ (26) 式中 θ 为从地心指向撞击点的矢经与 x 方向的夹角.因撞击点在结合物的轨道上,将 (24)、(25)式代入轨道方程(20)式,经整理得

R2 (b′2 -a′2 )cos2 θ +2b′2 cRcosθ -a′2 b′2 +a′2 R2 =0 (27) 引人以下符号并代人有关数据得 α =R2 (b′2 -a′2 )=(-1484×1011 km) β =2b′2 cR(=5846×1011 km). γ =b c -a b +a R (=5465×10 km) 代入(27)式得 α cos θ +β cosθ +γ =0 (28)
2 ′2 2 ′2 ′2 ′2 2 11

解得 舍掉不合理的答案,得 cosθ =-0.7807 (30) θ =141.32°(31) 这是在北纬 51.32°. 评分标准:

(29)

(20)、(21)、(22)、(23)或(24)、(27)式各 l 分,(31)式 2 分(答案在 141°到 142°之 间的都给 2 分),正确指出纬度给 1 分.


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