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2013年福建省高一数学竞赛试题及参考答案


2013 年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准
(考试时间:5 月 12 日上午 8:30-11:00)
一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1.已知集合 A ? x 空真子集有( A.31 个 【答案】 D ) B.30 个 C.15 个 D.14 个

?

x ?1 ? 10 , x ? Z , B

? ? y y ? ? x 2 ? 1 ,x ? R ? ,则 A ? B 的非

?

【解答】由条件知, A ? ? ? 2 , ?1,,,,, 0 1 2 3 4 ? , B ? ? ?? , 1? , A ? B ? ? ? 2 , ?1,, 0 1 ?。 ∴
A ? B 的非空真子集有 24 ? 2 ? 14 个。

2.给出下列四个命题: ① 若平面 ? 内有不在一条直线上的三个点到平面 ? 的距离相等,则 ?∥? 。 ② 三个平面可以把空间分成七个部分。 ③ 正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中与对角线 DB1 成异面直线的棱共有 5 条。 ④ 若一条直线和平面内无数条直线没有公共点,则这条直线和这个平面平行。 其中假 命题的个数为( ) . A. 1 个 【答案】 C B.2 个 C .3 个 D.4 个

【解答】易知,命题②为真命题,①、③、④为假命题
1 1 3.设方程 log 3 x ? ( ) x ? 0 与 log 1 x ? ( ) x ? 0 的根分别为 x1 , x2 ,则( 3 4 4



A. 0 ? x1 x2 ? 1 【答案】 A

B. x1 x2 ? 1

C. 1 ? x1 x2 ? 2

D. x1 x2 ? 2

【解答】易知 x ?

1 1 1 是方程 log 1 x ? ( ) x ? 0 的根,即 x2 ? 。 2 2 4 4

1 1 1 设 f ( x) ? log 3 x ? ( ) x ,则 f (1) ? 0 ? ? 0 , f (2) ? log 3 2 ? ? 0 。 3 3 9



1 ? x1 ? 2 , 0 ? x1 x2 ? 1 。
1 1 1 ? ? ? x ?1 x ? 2 x ? 3 ? 1 图像的对称中心是( x ? 2013

4.函数 f ( x) ?
0) A. (?1006 ,



0) B. (?1007 ,

0) C. (1006 ,

0) D. (1007 ,

【答案】

B

2013 福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准

1

【解答】设 g ( x) ? f ( x ? 1007) ? 则 g ( ? x) ? ∴ ∴

1 1 ? ? x ? 1006 x ? 1005 ?

?

1 1 ? 。 x ? 1005 x ? 1006

1 1 ? ? ? x ? 1006 ? x ? 1005

1 1 ? ? ? g ( x) 。 ? x ? 1005 ? x ? 1006

g ( x) 为奇函数, g ( x) 的图像关于原点 (0 , 0) 对称。 f ( x) 的图像关于点 (?1007 , 0) 对称。

5. 已知从点 P 出发的三条射线 PA ,PB ,PC 两两成 60 ? 角, 且分别与球 O 相切于 A ,B ,
C 三点。若球 O 的体积为 36? ,则 O , P 两点间的距离为(



A. 3 2 【答案】 B

B. 3 3

C .3

D.6

【解答】由条件知, PA ? OA , PB ? OB , PC ? OC ,
PA ? PB ? PC ? AB ? BC ? CA 。 设 OP 交平面 ABC 于点

, O1 为 △ABC 的 中 心 , 且 O1 。 则 P O 1 ? 平面 A B C

2 3 3 3 O1 A ? ? AB ? AB ? PA 。 3 2 3 3


sin ?APO1 ?

O1 A 3 OA 3 , 。 ? ? sin ?APO1 ? PA 3 OP 3

4 又由球 O 的体积为 36? 知, ? ? OA3 ? 36? , OA ? 3 。 3



PO ? 3 3 。

第 4 题答题图

? 2) 。若存在两条都过点 P 且互相垂直的直线 6.已知二次函数 y ? ax2 ( a ? 0 ) ,点 P(1,

l1 和 l2 ,它们与二次函数 y ? ax2 ( a ? 0 )的图像都没有公共点,则 a 的取值范围为(
1 ? ?) A. ( , 8



?1 ? B. ? , ? ?? ?8 ?

1 C. (0 , ) 8

? 1? D. ? 0 , ? ? 8?

【答案】

A

【解答】易知 l1 斜率存在,且不为0。设 l1 的斜率为 k ,则 l1 的方程为 y ? 2 ? k ( x ? 1) 。

? y ? ax 2 由? 得, ax2 ? kx ? k ? 2 ? 0 。 ? y ? 2 ? k ( x ? 1)
由 l1 与二次函数 y ? ax2 ( a ? 0 )的图像没有公共点知, △1 ? k 2 ? 4a(k ? 2) ? 0 。
1 1 △2 ? (? ) 2 ? 4a(? ? 2) ? 0 。 同理, 由 l2 与二次函数 y ? ax2 (a ? 0) 的图像没有公共点知, k k

由 △1 ? 0 ,得 2a ? 2 a2 ? 2a ? k ? 2a ? 2 a2 ? 2a ;

2013 福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准

2

由 △2 ? 0 ,得 8ak 2 ? 4a ? 1 ? 0 , k ?

a ? a 2 ? 2a a ? a 2 ? 2a 或k ? 。 4a 4a

?△ ?0 依题意,方程组 ? 1 有解。 ? △2 ? 0
? a? 2a ? 2 a 2 ? 2a ? ? ?△ ?0 ? 方程组 ? 1 无解 ? ? ? △2 ? 0 a? ? 2a ? 2 a 2 ? 2a ? ? ? a 2 ? 2a 4a a 2 ? 2a 4a
1 。 8



,解得 0 ? a ?

?△ ?0 1 1 ? ?) 。 ∴ 方程组 ? 1 有解 ? a ? 。故, a 的取值范围为 ( , 8 8 ? △2 ? 0
二、填空题(每小题 6 分,共 36 分)
4) 。若 △ABC 7.已知 △ABC 的顶点 B 、 C 在直线 l : x ? y ? m ? 0 上,点 A 的坐标为 (3 , 2) ,则 m ? 重心 G 的坐标为 (1,



【答案】 ∴

?1

【解答】依题意有 xB ? xC ? 3 ? 3 , yB ? yC ? 4 ? 6 。

xB ? xC ? 0 , yB ? yC ? 2 。

1) 。 设 BC 中点为 D ,则点 D 的坐标为 (0 , 1) 代入直线 l : x ? y ? m ? 0 的方程,得 0 ? 1 ? m ? 0 。 将点 D 的坐标 (0 ,
m ? ?1 。



8.已知 ABCD ? A1B1C1D1 是棱长为 2 的正方体,点 O1 是底面 A1B1C1D1 的中心,M 是棱 BB1 的中点。则四面体 O1 ADM 的体积为 【答案】 1
1 DB 。 2



【解答】由正方体的性质知, O1B1 ∥ DB ,且 O1 B1 ? ∴ 点知, ∴

DO1 与 BB1 延长后相交,设交点为 P ,由 M 是棱 BB1 的中
MP 3 ? 。 BP 4 VM ?O1 AD ? MP 3 3 3 1 VB ?O1 AD ? VB ?O1 AD ? VO1 ? ADB ? ? ( ? 2 ? 2) ? 1 。 BP 4 4 4 3
第 8 题答题图

∴ 四面体 O1 ADM 的体积为 1。 9.已知函数 f ( x) 满足: (1)对任意的实数 x , f ( x ? 2) ? f ( x) ; (2)对任意的实数 x ,
f (1 ? x) ? f (1 ? x) ; (3) 当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? x 。 若关于 x 的方程 f ( x) ? log a ( x ? 1) ? 0( a ? 0 ,

且 a ? 1 )在区间 ?0 , 8? 内恰有 6 个不同的实根,则 a 的取值范围为
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【答案】

(6 , 8)

【解答】在同一坐标系内分别作出函数 y ? f ( x) 与

g ( x) ? log a ( x ? 1) 的图像。由两函数图像在区间 ?0 , 8? 内

? g (5) ? 1 恰有 6 个不同的交点知, ? 。 ? g (7) ? 1

(6 , 8) 。
g ? 6 1 ?loa ,解得 6 ? a ? 8 。 a 的取值范围为 ? g ? 8 1 ?loa

第 9 题答题图

10 .已知关 于 x 的不等式 ( x ?1)2 ? ax2 有且仅有 三个整数 解,则实数 a 的取值范 围 为 【答案】 。

?16 9 ? ,? ? ? 9 4?

【解答】易知, a ? 0 , x ? 0 是不等式的解, x ? 1 不是不等式的解。 ∴ 不等式的三个整数解只能为 ?2 , ?1 , 0 。 不等式 ( x ?1)2 ? ax2 化为, (a ?1) x2 ? 2x ?1 ? 0 。 设 f ( x) ? (a ?1) x2 ? 2x ?1 ,则依题意,方程 f ( x) ? 0 的两根满足 ?3 ? x1 ? ?2 , 0 ? x2 ? 1 。 ∴

? 9 a( ? ? 1 )? 6 ? 1 0 ? f (0) ? ?1 ? 0 ? f (? 3 ) 16 9 ,且 ? 。解得 ? a ? 。 ? 9 4 ? 4 a( ? ? 1 )? 4 ? 1 0? f (1) ? (a ? 1) ? 2 ? 1 ? 0 ? f (? 2 )
?16 9 ? a 的取值范围为 ? , ? 。 ? 9 4?




11 .对正整数 n ,记 f (n) 为数 3n2 ? n ? 1 的十进制表示的数码和(如, n ? 10 时,由
3n2 ? n ? 1 ? 311 ,得 f (10) ? 3 ? 1 ? 1 ? 5 ) 。则 f (n) 的最小值为

【答案】

3

【解答】 (1)易知, 3n2 ? n ? 1 为大于 3 的奇数,故, f (n) ? 1 。 ( 2 ) 若 f (n ) ? 2 , 则 3n2 ? n ? 1 只 能 是 首 位 和 末 位 为 1 , 其 余 数 码 为 0 的 数 , 即
k 3n2 ? n ? 1? 10 ? 1 (其中 k 为正整数) 。

由 3n2 ? n ? 1 ? 11 无正整数解,知 k 是大于 1 的整数。 由 3n2 ? n ? 1 ? 10k ? 1 知, 3n2 ? n ? 10k , n(3n ? 1) ? 2k ? 5k 。 由于 n 与 3n ? 1 互质, 3n ? 1 ? n 。因此, n ? 2k , 3n ? 1 ? 5k 。 结合 3n ? 1 ? 4n 得, 5k ? 4 ? 2k 。但当 k 为大于 1 的整数时, 5k ? 4 ? 2k 。两者矛盾。 因此, f (n) ? 2 。 (3) n ? 8 时, 3n2 ? n ? 1 ? 201 , f (8) ? 3 。 所以,由(1) 、 (2) 、 (3)可得, f (n) 的最小值为 3。

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4

12.对给定的正整数 n ( n ? 6 ) ,由不大于 n 的连续 5 个正整数的和组成集合 A ,由不大 于 n 的连续 6 个正整数的和组成集合 B ,若集合 A ? B 的元素个数为 2013,则 n 的最大值 为 。 【答案】 12088 【解答】由条件知集合 A 由形如 k ? (k ? 1) ? (k ? 2) ? (k ? 3) ? (k ? 4) ? 5k ? 10 的数构成,其 中 k 为正整数,且 k ? n ? 4 。 集合 B 由形如 l ? (l ? 1) ? (l ? 2) ? (l ? 3) ? (l ? 4) ? (l ? 5) ? 6l ? 15 的数构成, 其中 l 为正整数, 且l ? n ?5。 由 5k ? 10 ? 6l ? 15 知, 6l ? 5(k ? 1) ,所以 6 (k ? 1) 。 设 k ? 1 ? 6t ( t 为正整数) ,则 k ? 6t ? 1, l ? 5t , 5k ? 10 ? 6l ? 15 ? 30t ? 15 。 由 l ? n ? 5 , k ? n ? 4 知, t ? ∴
n?5 。 6 n?5 。 6

A ? B 由形如 30t ? 15 的数构成,其中 t 为正整数,且 t ?

? n?5 ∴ 集合 A ? B 的元素个数为 ? ? 6

? 。 ? ? ? ? 2013 。 ? ?

? n ?5 由 A ? B 的元素个数为 2013 知, ? ? 6

2 0 1? 3 n?5 ? 6

? n ? 12089 。 n 的最大值为 12088 。 2 0, 1 12083 4

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5

三、解答题(第 13、14、15、16 题每题 16 分,第 17 题 14 分,满分 78 分) 13. 设 P 为曲线 C1 上任意一点,Q 为曲线 C2 上任意一点。 定义 P 、Q 两点间的距离 PQ 的最小值为曲线 C1 与 C2 间的距离。 已知曲线 C1 :y ? x2 ?1 , 曲线 C2 :x2 ? ( y ? r )2 ? r 2 (r ? 0) 。 (1)求曲线 C1 与曲线 C2 间的距离 f (r ) 的表达式; (2)若关于 r 的方程 f (r ) ? m 有解,求 m 的取值范围。 【解答】 (1)曲线 C2 表示以 A(0 , r ) 为圆心, r 为半径的圆。 设 P(t , t 2 ?1) 为曲线 C1 : y ? x2 ?1 上任意一点。 则 PA
2

? t 2 ? (t 2 ? 1 ? r ) 2 ? t 4 ? (2r ? 1)t 2 ? (r ? 1) 2 ? (t 2 ? 2r ? 1 时, PA 2
2

2r ? 1 2 4r ? 3 ) ? 。 2 4

由于 r ? 0 ,所以当 t 2 ?

有最小值

4r ? 3 。 4



PA 的最小值为

4r ? 3 。 2

…………………

4分

当 当

3 4r ? 3 ? r ,即 r ? 时, f (r ) ? 0 。 2 2 3 4r ? 3 4r ? 3 ? r ,即 0 ? r ? 时, f (r ) ? ?r。 2 2 2

…………………

8分



? ? ? f (r ) ? ? ? ? ?

0

r?

3 2

4r ? 3 3 ?r 0? r ? 2 2



…………………

12 分

(2)问题等价于求函数 f (r ) 的值域。 设 0 ? r1 ? r2 ? ∴
3 ,则 r1 ? r2 ? 0 , 2 ? ( 4r1 ? 3 ? 4r2 ? 3) ? 0 。 2

f (r1 ) ? f (r2 ) ? ?

4r1 ? 3 4r2 ? 3 (4r1 ? 3) ? (4r2 ? 3) ? r1 ? ? r2 ? ? (r1 ? r2 ) 2 2 2( 4r1 ? 3 ? 4r2 ? 3) ? (r1 ? r2 ) ? 0

2 ? ( 4r1 ? 3 ? 4r2 ? 3) 4r1 ? 3 ? 4r2 ? 3



3 3 3 f (r1 ) ? f (r2 ) , f (r ) 在区间 (0 , ) 上为减函数,r ? (0 , ) 时, f (r ) 的值域为 (0 , ) 。 2 2 2

又r ? ∴

? 3 3? 时, f (r ) ? 0 。因此, f (r ) 的值域为 ? 0 , ? ?。 2 2 ? ? ? 3? m 的取值范围为 ? 0 , ? ?。 2 ? ?
6

…………………

16 分

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9 14.过坐标原点 O 作圆 C : ( x ? ) 2 ? y 2 ? 9 的两条切线,设切点为 A , B 。 2

(1)求直线 AB 的方程以及线段 AB 的长; (2)求 △OAB 内切圆的方程。 【解答】 (1)依题意, A , B 为以 OC 为直径的圆与圆 C 的交点。
9 9 2 9 ( ) ∵ 以 OC 为直径的圆的方程为 ( x ? ) 2 ? y 2 ? ,即 x 2 ? y 2 ? x ? 0 。 4 4 2

又圆 C 方程化为 x 2 ? y 2 ? 9 x ? 将两圆方程相减得,
x? 5 。 2

45 ? 0, 4

9 45 x? ? 0 ,即 2 4

∴ 直线 AB 的方程为 x ?

5 。 2

……………

4分
第 14 题答题图

9 5 易知,圆心 C 到直线 AB 的距离 d ? ? ? 2 。 2 2



AB ? 2 32 ? 22 ? 2 5 。…………………

8分

(2)设 △OAB 内切圆的半径为 r ,圆心为 I , AB 中点为 D ,圆 I 切边 OA 于 E 。 则由 OA ? OB , CA ? CB ,知 O 、 I 、 D 、 C 四点共线,且 CD ? 2 。 由 CA ? OA , IE ? OA , IE ? ID ? r 知, IE∥CA , OI ?
9 5 ?r ?2 ? ?r 。 2 2



5 ?r IE OI r 2 ? , ? ,解得 r ? 1 。………………… 9 CA OC 3 2
OI ? 3 3 0) 。 ,内心 I 的坐标为 ( , 2 2

12 分

∴ ∴

3 △O A B 内切圆的方程为 ( x ? ) 2 ? y 2 ? 1 。………………… 2

16 分

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7

15. 如图,⊙O 为锐角 △ABC 的外接圆。 直线 BO 和 CO 分别与边 AC 、AB 交于点 D 、E , 直线 DE 交 △ABC 的外接圆于点 M 、 N ,且 AM ? AN 。 (1)求证: AM 2 ? AE ? AB ; (2)求证: AO ? BC 。

【解答】 ( 1 ) 如 图 , 连 接 MB , NC 。 则
?A B M ? ? M N A 。
第 15 题图

∵ AM ? AN , ∴ ?AMN ? ?MNA 。 ∴ ?AME ? ?ABM 。 ………………… 又∵ ?MAE ? ?BAM , ∴ △AME ∽△ABM 。 ∴
AM AE ? , AB AM

4分

∴ AM 2 ? AE ? AB 。

…………………

8分

(2)仿(1)可知, AN 2 ? AD ? AC 。 ∴ AE ? AB ? AD ? AC 。 ∴ E 、 B 、 C 、 D 四点共圆。 ∴
?EBO ? ?DCO 。

………………

12 分
第 15 题答题图

又 O 为 △ABC 的外心, OA ? OB ? OC 。 ∴ △AOB ≌△AOC 。 ∴ AB ? AC 。 ∴ AO ? BC 。 ………………… 16 分

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8

4 7 16.已知直线 l : y ? ? x ? 与幂函数 f ( x) ? xm ( m ? 0 )的图像交于 A , B 两点,且 3 3 AB ? 5 。 4

(1)求 m 的值; (2) 设符号 ? x ? 表示不超过 x 的最大整数。 记 Sn ? f (1) ? f (2) ? f (3) ? 求 ? S100 ? 的值。 【解答】 (1)∵ 直线 l 过点 (1 , 1) ,幂函数 f ( x) ? xm 的图像也过点 (1 , 1) 。 …………………
4 7 ? x0 ? ) 是直线 l 与幂函数 f ( x) ? xm 图像的另一个交点。 设 B ( x0 , 3 3

( n? N* ) 。 ? f (n)

∴ 点 (1 , 1) 是直线 l 与幂函数 f ( x) ? xm 图像的一个交点,不妨设此点为 A 。 4分

则由 AB ? ∴
x0 ?

5 4 7 5 3 知, ( x0 ? 1) 2 ? (? x0 ? ? 1) 2 ? ( ) 2 ,整理得, ( x0 ? 1) 2 ? ( ) 2 。 4 3 3 4 4

1 7 1 7 2) 或 B ( , 0) 。 或 x0 ? , B ( , 4 4 4 4

7 0) 不在幂函数 f ( x) ? xm 的图像上,因此,幂函数 f ( x) ? xm 的图像过点 显然点 B ( , 4 1 B( , 2) 。 4



1 m 1 ( ) ? 2 ,m ? ? 。 4 2
? 1 2

…………………

8分

(2)由(1)知, f ( x) ? x ∵ 对任意的正整数 n , ∴

?

1 1 1 1 ? ? ? , Sn ? 1 2 3 x

?

1 。 n

1 2 2 ? ? ? 2( n ? 1 ? n ) , n n? n n ? n ?1

S100 ? 2( 2 ? 1) ? 2( 3 ? 2) ? 2( 4 ? 3) ?

? 2( 101 ? 100) ? 2( 101 ? 1) ? 18 。
………………… 12 分

∵ 对任意的正整数 n ,

1 2 2 ? ? ? 2( n ? n ? 1) , n n? n n ? n ?1

∴ S100 ? 1? 2( 2 ? 1) ? 2( 3 ? 2) ? ∴

? 2( 100 ? 99) ? 1 ? 2( 100 ? 1) ? 19 。
………………… 16 分

18 ? S100 ? 19 , ? S100 ? ? 18 。

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9

17.对任意的实数 x ,定义 ? x ? ? x ? ? x ? ,其中 ? x ? 表示不超过 x 的最大整数。 (1)求函数 f ( x) ? ? x ? ? ? ? x ? 的值域; (2)设 x1 , x2 ,…, xn 是任意给定的 n 个互不相等的实数。 求 证 : 存 在 某 个 正 整 数
k



1? k ? n

) ,

使



? x1 ? xk ? ? ? x2 ? xk ? ? ? x3 ? xk ? ?

? ? xn ? xk

??

n ?1 。 2

【解答】 (1)当 x 为整数时,由 ? x ? ? x , ? ? x ? ? ?x 知, ? x ? ? 0 , ? ? x ? ? 0 。 此时, f ( x) ? ? x ? ? ? ? x ? ? 0 。 可见不超过 ?x 的最大整数为 ?? x ? ?1 ,即 ? ? x ? ? ? ? x ? ?1。 ∴ 由 ? x ? 的定义, ? x ? ? x ? ? x ? 可知, ………………… 2分 当 x 不是整数时,由 ? x ? ? x ? ? x ? ?1 知, ?? x ? ?1 ? ? x ? ? ? x ? ,

? ? x ? ? ?x ? ? ? x ? ? ?x ? (?? x ? ?1) ? 1? x ? ? x ? 。 此时, f ( x) ? ? x ? ? ? ? x ? ? x ? ? x ? ?1? x ? ? x ? ? 1 。


? 0 当 x 为整数时 , f ( x) 的值域为 ? 0 , 1 ?。 f ( x) ? ? ? 1 当 x 不是整数时

…………………

6分

(2)设 g (k ) ? ? x1 ? xk ? ? ? x2 ? xk ? ? ? x3 ? xk ? ?

? ? xn ? xk

?

由(1)知,对任意的正整数 i , j ( 1 ? i ? n , 1 ? j ? n ) , 当 i ? j 时, ? xi ? x j ? ? ? x j ? xi 当 i ? j 时, ? xi ? x j ? ? ? x j ? xi ∴

? ? 0 或 1。即 ? x ? x ? ? ? x
i j

j

? xi

? ?1。

?? 0。
? ? xn ? x1 ?? ? ?2 ? ?? x1 ? x2 ? ? ? x2 ? x2 ? ? ? ? xn ? xn ?? ? ?? ?? x1 ? xn ? ? ? xn ? x1 ?? ? ?? ?? x2 ? xn ? ? ? xn ? x2 ?? ? ?? ?? xn ? xn ? ? ? xn ? xn ?? ? ? ? xn ? x2 ?? ?

2 ? g ( 1? ) g (? 2 ) g n?( )
?2? ?? x1 ? x1 ? ? ? x2 ? x1 ? ?

?2? ?? x1 ? xn ? ? ? x2 ? xn ? ?

?? ?? x1 ? x1 ? ? ? x1 ? x1 ?? ??? ?? x1 ? x2 ? ? ? x2 ? x1 ?? ?? ?? ?? x2 ? x1 ? ? ? x1 ? x2 ?? ??? ?? x2 ? x2 ? ? ? x2 ? x2 ?? ?? ?

?? ?? xn ? x1 ? ? ? x1 ? xn ?? ??? ?? xn ? x2 ? ? ? x2 ? xn ?? ??

? n ? 0 ? n(n ? 1) ?1 ? n(n ? 1) 。

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n( n ? 1 ) g( 1 ) ?g (2 ?) ?g n ? ( ) 。 2

…………………

12 分



g (1) , g (2) ,…, g (n) 中,至少有一个数不大于

n ?1 n ?1 。不妨设 g ( k ) ? 。 2 2

∴ 存在正整数 k ( 1 ? k ? n ) ,使得

? x1 ? xk ? ? ? x2 ? xk ? ? ? x3 ? xk ? ?

? ? xn ? xk

??

n ?1 。 2

…………………

14 分

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