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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版选修2-2精要课件 瞬时速度与导数

时间:2013-11-11


1.1.2

1.1.2
【学习要求】

瞬时速度与导数

1.掌握用极限形式给出的瞬时速度及瞬时变化率的精确
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定义. 2.会用瞬时速度及瞬时变化率定义求物体在某一时刻的 瞬时速度及瞬时变化率. 3.理解并掌握导数的概念,掌握求函数在一点处的导数 的方

法. 4.理解并掌握开区间内的导数的概念,会求一个函数的 导数.

1.1.2

【学法指导】 导数是研究函数的有力工具,要认真理解平均变
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化率和瞬时变化率的关系, 体会无限逼近的思想; 可以从物理意义,几何意义多角度理解导数.

填一填· 知识要点、记下疑难点

1.1.2

1.瞬时速度:我们把物体在某一时刻的速度称为 瞬时速度.
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设物体运动路程与时间的关系是 s=s(t), 物体在 t0 时刻的瞬 时速度 v 就是运动物体在 t0 到 t0+Δt 这段时间内的平均变化 s?t0+Δt?-s?t0? Δs 率 ,当 Δt→0 时的极限,即 v=lim = Δt→0 Δt Δt

s?t0+Δt?-s?t0? lim Δt→0 Δt ____________________.

填一填· 知识要点、记下疑难点

1.1.2

2.瞬时变化率:一般地,函数 y=f(x)在 x0 处的瞬时变

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f?x0+Δx?-f?x0? lim Δy Δx→0 Δx 化率是lim =_________________. Δx→0 Δx
3.导数的概念:一般地,函数 y=f(x)在 x0 处的瞬时变

f?x0+Δx?-f?x0? lim Δx→0 Δx 化率是_________________,我们称它为函数 y=f(x) 在 x=x0 处的 导数 ,记为 f′(x0) ,即 f′(x0)= f?x0+Δx?-f?x0? Δy lim Δx→0 Δx lim =_________________. Δx→0 Δx

填一填· 知识要点、记下疑难点

1.1.2

4.导函数:如果 f(x)在开区间(a,b)内每一点 x 都是 可导的,则称 f(x)在区间(a,b) 可导 .这样,对 开区间(a,b)内每个值 x,都对应一个确定的导数
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f′(x),于是在区间(a,b)内,f′(x)构成一个新的 函数,把这个函数称为函数 y=f(x)的 导函数 . 记为 f′(x) 或 y′(或 y′ ).导函数通常简称
x

为 导数 .

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1.1.2

探究点一
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瞬时速度

问题 1

在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度 h(单

位:m)与起跳后的时间 t(单位:s)存在函数关系 h(t)= -4.9t2 +6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均 速度 v 粗略地描述其运动状态?

答 用 0≤t≤0.5 和 1≤t≤2 的平均速度 v 来粗略地描述其 运动状态. h?0.5?-h?0? 在 0≤t≤0.5 这段时间里, v = =4.05(m/s); 0.5-0 h?2?-h?1? 在 1≤t≤2 这段时间里, v = =-8.2(m/s). 2-1

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问题 2 物体的平均速度能否精确反映它的运动状态?
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不能, 如高台跳水运动员相对于水面的高度 h 与起跳时

间 t 的函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10, 65 h?49?-h?0? 65 易知 h(49)=h(0), v = 65 =0, 49-0 而运动员依然是运动状态.

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1.1.2

问题 3 如何描述物体在某一时刻的运动状态?

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可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻

的运动状态.
如求 t=2 时的瞬时速度, 可考察在 t=2 附近的一个间 隔 Δt,当 Δt 趋近于 0 时,看平均速度 v 的变化趋势, 用式子 h?2+Δt?-h?2? lim 表示, 这就是物体在 t=2 时的瞬时 Δt→0 Δt 速度.

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1.1.2

例1

火箭竖直向上发射.熄火时向上速度达到 100 m/s.

试问熄火后多长时间火箭向上速度为 0? 1 2 解 火箭的运动方程为 h(t)=100t- gt , 2
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火箭向上位移是初速度引起的位移(100t)与重力引起的位 ? 1 ? 移?-2gt2?的合成. ? ? 在 t 附近的平均变化率为 ? ? ? 1 1 2? 2 ?100?t+Δt?- g?t+Δt? ?-?100t- gt ? 2 2 ? ? ? ? Δt 1 100Δt-g· t·Δt-2g?Δt?2 = Δt 1 =100-gt- gΔt. 2

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1.1.2

当 Δt→0 时,上式趋近于 100-gt.
可见 t 时刻的瞬时速度 h′(t)=100-gt.
令 h′(t)=100-gt=0, 100 100 解得 t= g ≈ 9.8 ≈10.2(s). 所以火箭熄火后约 10.2 s 向上速度变为 0.

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小结 瞬时速度是平均速度在 Δt→0 时的极限值.要求瞬时速 度,可以先求平均速度.
-

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1.1.2

问题 4 火箭向上速度变为 0,意味着什么?你能求出此 火箭熄火后上升的最大高度吗?
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答 火箭向上速度变为 0,意味着火箭处于上升阶段的最 高点处,即火箭达到了最大高度,由例 1 知火箭熄火后上 100 升的时间为 t= ,所以火箭熄火后上升的最大高度 h= g ?100? 100 1 1002 2 100× g -2g×? g ? = 2g ≈510.2(m). ? ?

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1.1.2

跟踪训练 1 质点 M 按规律 s(t)=at2+1 做直线运动(位移 单位:m,时间单位:s).若质点 M 在 t=2 时的瞬时速 度为 8 m/s,求常数 a 的值.
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∵Δs=s(2+Δt)-s(2)

=a(2+Δt)2+1-a·2-1=4aΔt+a(Δt)2, 2 Δs Δs ∴ Δt =4a+aΔt.在 t=2 时,瞬时速度为lim Δt =4a, Δt→0 即 4a=8,∴a=2.

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1.1.2

探究点二 导



问题 1 从平均速度当 Δt→0 时极限是瞬时速度,推广 到一般的函数方面,我们可以得到什么结论?
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答 对函数 y=f(x)来说, f(x)在点 x=x0 附近改变 Δx 时, f?x0+Δx?-f?x0? 平均变化率为 . Δx 当 Δx→0 时,如果平均变化率趋于一个常数 l,则 l 称 为函数 f(x)在点 x0 的瞬时变化率.

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1.1.2

问题 2 么作用?

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导数和瞬时变化率是什么关系?导数有什

函数在某点处的导数就是函数在这点处的瞬时

变化率,导数可以反映函数在一点处变化的快慢程 度.

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1.1.2

问题 3 导函数和函数在一点处的导数有什么关系?


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若函数 f(x)在区间(a,b)内可导,对(a,b)内每个值 x,

都对应一个确定的导数 f′(x), f′(x)就叫函数 y=f(x)的导 函数. 函数 f(x)在点 x=x0 处的导数是导函数 y=f′(x)在 x=x0 处的函数值.

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1.1.2

例 2 利用导数的定义求函数 f(x)=-x2+3x 在 x=2 处 的导数.

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由导数的定义知,函数在 x=2 处的导数

f?2+Δx?-f?2? f′(2)=lim , Δx→0 Δx

而 f(2+Δx)-f(2) =-(2+Δx)2+3(2+Δx)-(-22+3×2)
=-(Δx)2-Δx,

于是 -?Δx?2-Δx f′(2)=lim =lim (-Δx-1)=-1. Δx→0 Δx→0 Δx

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1.1.2

小结 求一个函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数的步骤如下:
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(1)求函数值的变化量 Δy=f(x0+Δx)-f(x0); Δy f?x0+Δx?-f?x0? (2)求平均变化率 = ; Δx Δx Δy (3)取极限,得导数 f′(x0)=lim Δx→0 Δx.

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1.1.2

跟踪训练 2 已知 y=f(x)= x+2,求 f′(2).
解 ∵Δy= 2+Δx+2- 2+2,
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4+Δx- 4 ?4+Δx?-4 Δy ∴ = = Δx Δx Δx? 4+Δx+2? 1 = , 4+Δx+2
Δy ∴f′(2)=lim Δx=lim Δx→0 Δx→0 1 1 =4. 4+Δx+2

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1.1.2

探究点三

导数的实际应用

例 3 一正方形铁板在 0℃时,边长为 10 cm,加热后铁 板会膨胀.当温度为 t℃时,边长变为 10(1+at) cm,
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a 为常数,试求铁板面积对温度的膨胀率. 解 设温度的增量为 Δt,则铁板面积 S 的增量为
ΔS=102[1+a(t+Δt)]2-102(1+at)2 =200(a+a2t)Δt+100a2(Δt)2,
ΔS 因此 Δt =200(a+a2t)+100a2Δt.

令 Δt→0,得 S′=200(a+a2t).
所以铁板对温度的膨胀率为 200(a+a2t).

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1.1.2 跟踪训练 3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不
同产品,需要对原油进行冷却和加热.如果在第 x h 时,原油的温度 (单位:℃)为 y=f(x)=x2 -7x+ 15(0≤x≤8).计算第 2 h 和第 6 h 时,原油温度的瞬

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时变化率,并说明它们的意义. 解 在第 2 h 和第 6 h 时,原油温度的瞬时变化率就是
f′(2)和 f′(6).
Δy f?2+Δx?-f?2? 根据导数的定义,Δx= Δx ?2+Δx?2-7?2+Δx?+15-?22-7×2+15? = Δx 2 4Δx+?Δx? -7Δx = =Δx-3, Δx Δy 所以,f′(2)=lim =lim (Δx-3)=-3. Δx→0 Δx Δx→0

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1.1.2

同理可得,f′(6)=5.在第 2 h 和第 6 h 时,原油温度的 瞬时变化率分别为-3 与 5.它说明在第 2 h 附近,原油 温度大约以 3 ℃/h 的速率下降; 在第 6 h 附近, 原油温
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度大约以 5 ℃/h 的速率上升.

练一练· 当堂检测、目标达成落实处

1.1.2

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1.函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数定义中,自变量 x 在 x0 处的增量 Δx ( D ) A.大于 0 B.小于 0 C.等于 0 D.不等于 0

练一练· 当堂检测、目标达成落实处

1.1.2

1 2 2.一物体的运动方程是 s= at (a 为常数),则该物体 2 在 t=t0 时的瞬时速度是
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( A )

A.at0 B.-at0 1 C. at0 D.2at0 2 Δs s?t0+Δt?-s?t0? 解析 = Δt Δt
1 = aΔt+at0, 2

Δs ∴lim Δt =at0. Δx→0

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2

1.1.2

3 3.已知 f(x)=-x +10,则 f(x)在 x= 处的瞬时变 2 化率是 A.3
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( B ) B.-3

D.-2 ?3 ? ?3? f ?2+Δx?-f ?2? Δf ? ? ? ? 解析 ∵Δx= =-Δx-3, Δx
Δf ∴lim =-3. Δx→0 Δx

C.2

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1.1.2

1 1 -2 4.已知函数 f(x)= ,则 f′(1)=________. x 1 -1 1+Δx f?1+Δx?-f?1? 解析 f′(1)=lim =lim Δx→0 Δx→0 Δx Δx
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=lim Δx→0

-1 1 =- . 2 1+Δx?1+ 1+Δx?

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1.1.2

1.瞬时速度是平均速度当 Δt→0 时的极限值;瞬时变
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化率是平均变化率当 Δx→0 时的极限值. 2.利用导数定义求导数的步骤: (1)求函数的增量 Δy=f(x0+Δx)-f(x0); Δy (2)求平均变化率 ; Δx Δy (3)取极限得导数 f′(x0)=lim . Δx→0 Δx


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