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2015届高考调研文科7-5

时间:2014-05-16


高考调研

新课标版 · 高三数学(文)

第 5 课时

合情推理与演绎推理

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1.了 解 合 情 推 理 的 含 义 , 能 利 用 归 纳 和 类 比 等 进 行 简 单 的 推 理 , 了 解 合 情 推 理 在 数 学 发 现 中 的 作 用 . 2. 了 解 演 绎 推 理 的 重 要 性 , 掌 握 演 绎 推 理 的 基 本 模 式 , 并 能 运 用 它 们 进 行 一 些 简 单 的 推 理 . 3. 了 解 合 情 推 理 和 演 绎 推 理 之 间 的 联 系 和 差 异 .

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请注意!

在 高 考 中 , 往 往 以 选 择 或 填 空 题 的 形 式 , 考 查 归 纳 或 类 比 推 理,如 2013 年福建卷 15 题,陕西卷 14 题等.

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1. 下 面 几 种 推 理 是 合 情 推 理 的 是 ①由 圆 的 性 质 类 比 出 球 的 有 关 性 质 ; ②由 直 角 三 角 形 、 等 腰 三 角 形 、 等 边 三 角 形 的 内 角 和 是 归 纳 出 所 有 三 角 形 的 内 角 ③张 军 某 次 考 试 成 绩 是 是1 0 0 分 ; ④三 角 形 内 角 和 是 角 和 是 5 4 0 ° , 由 此 得 凸 和 都 是 1 0 0

(

)

1 8 0 ° ,

1 8 0 ° ; 分 , 由 此 推 出 全 班 同 学 的 成 绩 都

1 8 0 ° , 四 边 形 内 角 和 是 n边 形 内 角 和 是
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3 6 0 ° , 五 边 形 内

(n-1 2 8 · ) 0 ° .
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A.①② C.①②④
答案 C

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B.①③ D.①②③

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2.数列 1 2 5 3 0 , 2 A.28 C.33
答案 D

,x,…中的 x 等于( B.32 D.47

)

解析

由 5-2=1 3 ,

-5=6,20-11=9,32-20=12,则 x-

32=15,∴x=47.

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3. 如 图 是 2 0 1 4 年 元 宵 节 灯 展 中 一 款 五 角 星

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灯 连 续 旋 转 闪 烁 ( )

所 成 的 三 个 图 形 , 照 此 规 律 闪 烁 , 下 一 呈 现 出 来 的 图 形 是

答案

A

解析

该 五 角 星 对 角 上 的 两 盏 花 灯 依 次 按 逆 时 针 方 向 亮 一

盏,故下一个呈现出来的图形是 A.
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4.2 ( 0 1 3 ·

陕 西 文 )观察下列等式

(1+1)=2×1 (2+2 1 ( ) (3+3 1 ( ) …… 照此规律,第 n 个等号可为________.
答案 -1)
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+2)=22×1×3 +3 2 ( ) +3)=23×1×3×5

(n + 1 ( ) n+2 ( ) n+3)…(n+n)=2n×1×3×5×…×(2n

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解析 观 察 规 律 可 知 , 左 边 为

n项 的 积 , 最 小 项 和 最 大 项 依 2n, 则 第 n 个等

次为(n+1),(n+n), 右 边 为 连 续 奇 数 之 积 乘 以

式为:(n+1 ( ) n+2 ( ) n+3)…(n+n)=2n×1×3×5×…×(2n-1).

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5. 在 平 面 上 , 若 两 个 正 三 角 形 的 边 长 的 比 为

1∶2, 则 它 们

的面积比为 1∶4.类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长的 比为 1∶2,则它们的体积比为________.
答案 1∶8

解 析

∵两 个 正 三 角 形 是 相 似 的 三 角 形 ,

∴它 们 的 面 积 之 比

是 相 似 比 的 平 方 . 同 理 , 两 个 正 四 面 体 是 两 个 相 似 几 何 体 , 体 积 之 比 为 相 似 比 的 立 方 . ∴它 们 的 体 积 比 为 1∶8 .
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例 1 1 ( ) 如图所示,是某小朋友在用火柴拼图时呈现的图 形 , 其 中 第 1个 图 形 用 了 3根 火 柴 , 第 … …, 则 第 2 个图 形 用 了 2 0 1 4 9根 火 柴 ,

第3个 图 形 用 了 根 数 为 ( )

1 8 个 火 柴 ,

个 图 形 用 的 火 柴

A.0 2 1 2 C.0 2 1 3

×0 2 1 5 ×0 2 1 5
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B.0 2 1 3 D.0 3 2 1

×0 2 1 4 ×0 2 1 5
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【 解 析 】 由 题 意 , 第

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1个 图 形 需 要 火 柴 的 根 数 为 3×(1+2 ); 3×(1+2+3 );

3×1;

第2个 图 形 需 要 火 柴 的 根 数 为 第3个 图 形 需 要 火 柴 的 根 数 为 … … 由 此 , 可 以 推 出 , 第 +3+…+n). 所 以 第 0 2 1 4 0 1 4 ) 0 2 1 4 =3×
【答案】

n 个 图 形 需 要 火 柴 的 根 数 为

3×(1+2

个 图 形 所 需 火 柴 的 根 数 为 ×?1+0 2 1 4 2
D
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3×(1+2+3+…+2 ×0 2 1 5 , 故 选 D.

? =0 3 2 1

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2 ( ) 2 ( 0 1 3 ·

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湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种 1 6 3 0 1 , ,…,第 n 个 三 角 形 数 为 n?n+1? 2

多 边 形 数 . 如 三 角 形 数

1 2 1 =2n +2n.记 第 n个k边 形 数 为 k边 形 数 中 第 三 角 形 数 正 方 形 数 五 边 形 数 n个 数 的 表 达 式 :

N(n,k)(k≥3 ), 以 下 列 出 了 部 分

1 2 1 N(n ,3 ) =2n +2n, N(n ,4 ) =n2, 3 2 1 N(n ,5 ) =2n -2n,
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六边形数 N(n,6)=2n2-n, …… 可以推测 N(n,k)的 表 达 式 , 由 此 计 算
【 解 析 】 方 法 一 : 已 知 式 了 可 化 为 :

N1 2 ( 0 4 ,)

=________.

3-2 2 4-3 1 2 1 N(n ,3 ) =2n +2n= 2 n + 2 n, 4-2 2 4-4 N(n ,4 ) =n = 2 n + 2 n,
2

5-2 2 4-5 3 2 -1 N(n ,5 ) =2n + 2 n= 2 n + 2 n, 6-2 2 4-6 N(n ,6 ) =2n -n= 2 n + 2 n,
2
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由 归 纳 推 理 , 可 得 故 N1 2 ( 0 4 ,)

k-2 2 4-k N(n,k)= 2 n + 2 n, -1 0 0=0 1 0 0 . {ak} 1 2

2 4 -2 4-2 4 2 = 2 ×1 0 + 2 ×1 0 =1 0 0

方 法 二 : 由 题 意 , 设 1 是 以 2为 首 项 ,

N(n, k)=akn2+bkn(k≥3 ), 其 中 数 列 1 {bk}是 以 2为 首 项 , -

1 公 差 的 等 差 数 列 , 数 列 2为

为 公 差 的 等 差 数 列 , 所 以 N1 2 ( 0 4 ,)

N(n ,2 4 ) =11n2-1 0 n,当 n=10 时,

=11×1 0 2-1 0 ×1 0 =0 1 0 0 .
【答案】 0 1 0 0
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探 究 1 1 ( ) 归 纳 推 理 的 特 点 :

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①归 纳 是 依 据 特 殊 现 象 推 断 出 一 般 现 象 , 因 而 由 归 纳 所 得 的 结 论 超 越 了 前 提 所 包 含 的 范 围 . ②归 纳 的 前 提 是 特 殊 的 情 况 , 所 以 归 纳 是 立 足 于 观 察 、 经 验 或 试 验 的 基 础 之 上 的 . 2 ( ) 归 纳 推 理 的 一 般 步 骤 : ①通 过 观 察 个 别 情 况 发 现 某 些 相 同 本 质 . ②从 已 知 的 相 同 性 质 中 推 出 一 个 明 确 表 述 的 一 般 性 命 题 .

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思考题 1 1 ( ) 2 ( 0 1 2 ·

江西)观察下列各式:a+b=1,a2+b2 )

=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,则 a10+b10=( A.28 C.123
【 解 析 】

B.76 D.199
记 an+bn=f(n), 则 f3 ( ) =f1 ( ) +f2 ( ) =1+3=4;

f4 ( ) =f2 ( ) +f3 ( ) =3+4=7;f5 ( ) =f3 ( ) +f4 ( ) =1 . 通过观察不难发 现 f(n)=f(n-1 ) +f(n-2 ( ) n∈N*,n≥3 ) ,则 f6 ( ) =f4 ( ) +f5 ( ) =1 8; f7 ( ) =f5 ( ) +f6 ( ) =2 9 ;f8 ( ) =f6 ( ) +f7 ( ) =4 7 ;f9 ( ) =f7 ( ) +f8 ( ) =7 6; f1 ( 0 ) =f8 ( ) +f9 ( ) =1 2 3 .
【答案】 C
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所 以 a10+b10=1 2 3 .

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1+x 2 ( ) 设 f(x)= , 又 记 1-x 则3 f2 1 0 (x)等于( 1 A.-x x-1 C. x+1 )

f1(x)=f(x), fk+1(x)=f(fk(x)), k=1, 2, …,

B.x 1+x D. 1-x

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【 解 析 】

1+x 1+ 1-x 1+x 1 计 算 : f2(x)=f( )= = - x ,f3(x)=f(- 1-x 1+x 1- 1-x

x-1 1 1+ 1- x x-1 x+1 1+x 1 =x,f5(x)=f1(x)= , 归 纳 得 x )= 1=x+1,f4(x)= x-1 1-x 1+ x 1- x+1 1+x f4k+1(x)= ,k∈N*, 从 而 1-x
【答案】 D

f2 3 1 0

1+x (x)= . 1-x

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例2 1 ( ) 如 图 所 示 , 在 平 面 上 , 用 一 条 直 线 截 正 方 形 的 一 个 角 , 截 下 的 是 一 个 直 角 三 角 形 , 有 勾 股 定 理 正 方 体 , 用 一 平 面 去 截 正 方 体 的 一 角 , 截 下 的 是 一 个 三 条 侧 棱 两 两 垂 直 的 三 棱 锥 , 若 这 三 个 两 两 垂 直 的 侧 面 的 面 积 分 别 为 S3, 截 面 面 积 为 S, 类 比 平 面 的 结 论 有 _ _ _ _ _ _ _ _ . S1, S2 , c2=a2+b2.空 间 中 的

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【解析】 建立从平面图形到空间图形的类比,在由平面几 何的性质类比推理空间立体几何的性质时, 注意平面几何中点的 性质可类比推理空间几体中线的性质, 平面几何中线的性质可类 比推理空间几何中面 的 性 质 , 平 面 几 何 中 面 的 性 质 可 类 比 推 理 空 间几何中体的性质.所以三角形类比空间中的三棱锥,线段的长
2 2 度类比图形的面积,于是作出猜想:S2=S2 + S + S 1 2 3.

【答案】

2 2 S2=S2 + S + S 1 2 3

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2 ( )
? ?2≤a+b≤4, 若? ? ?1≤a-b≤2,

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求 4a-2b 的 范 围 时 .

令 4a-2b=x(a+b)+y(a-b)=(x+y)a+(x-y)b,
? ?x+y=4, ∴? ? -2 ?x-y= ? ?x=1, ?? ? . ?y=3

∴4a-2b=(a+b)+3 ( a-b). ∴5≤4a-2b≤1 0 . 类 比 上 述 解 法 , 解 决 下 面 问 题 . 设 x,y 为 实 数 , 满 足 _ _ _ _ _ _ _ _ .
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2 3 x x 3≤xy2≤4 8 , ≤ y ≤9, 则 y4的 最 大 值 是

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【 解 析 】

由 题 设 知 , 实 数

x ,y 均 为 正 实 数 , 则 条

件 可 化

为g 3 l ≤lgx+g 2 l y≤g 8 l , g 4 l ≤g 2 l x-lgy≤g 9 l , 令 lgx=a, lgy=b, 则 有
? 3 l ?g ? ? 2 l ?g

≤a+2b≤g 3 2 l , x3 又 设 t=y4, 则 lgt=g 3 l x-g 4 l y=3a ≤2a-b≤g 2 3 l , m= - 1,n=2, x3 ,∴y4的 最 大 值

-4b, 令 3a-4b=m(a+2b)+n(2a-b), 解 得 即 lgt= - (a+2b)+2 ( a-b)≤-g 3 l +g 4 3 l 是2 7 . =g 2 l7

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x2 4≤ y ≤9 两 边 分 别 平 方 , 得
2

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另 解 : 将

x4 1 6 ≤y2≤8 1 . ①

1 1 1 又 由 3≤xy ≤8, 可 得 8≤xy2≤3.② x3 x3 由①×②, 得 2≤y4≤2 7, 即 y4 的 最 大 值 是
【答案】 27

2 7 .

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探究 2 1 ( ) 首先利用综合法证明结论正确, 然后依据直角三 角形与四面体之间形状的对比猜想结论. 2 ( ) 熟 记 几 种 常 见 类 比 : 图 形 类 比 (三角形与四面体, 圆与球);

运算类比(加与积,乘与乘方,减与除,除与开方).

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思考题 2 1 ( ) 在△ABC 中,AB⊥AC,AD⊥BC 于点 D,求 1 1 1 证:AD2=AB2+AC2.在四面体 A B C D 得到怎样的猜想? 【 解 析 】 如 图 所 示 , 由 射 影 定 理 , 得
=BD· BC,AC2=BC· DC. 1 1 所 以 AD2=BD· DC BC2 =BD· BC· DC· BC BC2 =AB2· AC2.
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中 , 类 比 上 述 结 论 , 你 能

AD2=BD· DC,AB2

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又 BC2=AB2+AC2, AB2+AC2 1 1 1 所 以 AD2= AB2· AC2 =AB2+AC2. 1 1 1 所 以 AD2=AB2+AC2. 猜 想 : 四 面 体 A B C D 中 , 若

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AB、AC、AD 两 两 垂 直 ,

AE⊥

1 1 1 1 平 面 B C D , 则 AE2=AB2+AC2+AD2.

【答案】 猜想:四面体 A B C D

中,若 AB、AC、AD 两两

1 1 1 1 垂直,AE⊥平面 B C D ,则AE2=AB2+AC2+AD2.
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2 ( ) 若 等 差 数 列 为 等 差 数 列 , 公 差 为 公 比 为

{an}的 公 差 为

d, 前n项 的 和 为

Sn , 则 数 列

Sn {n} {bn}的

d 似 , 若 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 2.类 Tn, 则 等 比 数 列 B.q2 n D. q { Tn}的 公 比 为 n

q, 前 n项 的 积 为

(

)

q A.2 C. q

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【解析】
-1

由 题 设 有 , =bn 1

Tn=b1· b2· b3· …· bn=b1· b1q· b1q2· …· b1qn . { Tn}的 公 比 为 n q, 故 选 C.

1 =bn q 1

+2+…+(n-1)

∴ Tn=b1

n

,∴等 比 数 列

【答案】

C

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例 3 用三段论的形式写出下列演绎推理. ①矩形的对角线相等,正方形是矩形,所以,正方形的对角 线相等; ②0.332是有理数; ③y=n i s x(x∈R)是周期函数.
···

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【 解 析 】 正 方 形 是 矩 形 , 正 方 形 的 对 角 线 相 等 . ①每 一 个 矩 形 的 (小 前 提 ) (结 论)

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对 角 线 相 等 ,

(大 前 提 )

②所 有 的 无 限 循 环 小 数 都 是 有 理 数 , 0 . 332是 无 限 循 环 小 数 , 所 以 0 . 332是 有 理 数 . ③三 角 函 数 是 周 期 函 数 , y=n i s x是 三 角 函 数 ,
··· ···

(大 前 提 )

(小 前 提 ) (结 论) (大 前 提 ) (小 前 提 )

y=n i s x是 周 期 函 数 . (结 论)
【答案】 略
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探究 3

三段论推理的依据用集合论的观点来讲就是:如果

集合 M 的所有元素都具有性质 P,S 是 M 的子集,那么 S 中所 有元素都具有性质 P.

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思 考 题 义 有 序 实 数 对 3 如 图 所 示 , 点

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P在 已 知 三 角 形

ABC 的 内 部 , 定 μ Q

(μ,υ,ω)为 点 P关 于 △ABC 的 面 积 坐 标 , 其 中

△PBC的 面 积 △APC的 面 积 △ABP的 面 积 = ,υ= ,ω= ; 若 点 △ABC的 面 积 △ABC的 面 积 △ABC的 面 积 1→ 1→ → 满 足 BQ = 3 BC + 2 BA , 则 点 Q 关 于 △ ABC 的 面 积 坐 标 为 _ _ _ _ _ _ _ _ .

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1→ 1→ → 【解析】 由点 Q 满足BQ=3BC+2BA可知 Q 到 BC、AC、 1 1 1 AB 三边的距离分别是三边相应高的2,6,3, 所 以
△Q A C

S△Q C B

1 =2s,S

1 1 =6s,S△Q A B = s(s 为△ABC 的面积).故点 Q 关于△ABC 的 3

1 1 1 面积坐标为(2,6,3).

1 1 1 【答案】 (2,6,3)

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1.已知 a1=3,a2=6,且 an+2=an+1-an,则 a 3 1 02 A.3 C.6
答案 A

=(

)

B.-3 D.-6

解析

∵a1=3,a2=6,∴a3=3,a4=-3,a5=-6,a6= 2 0 1 3 =

-3,a7=3,…,∴{an}是以 6 为 周 期 的 周 期 数 列 . 又 6×335+3,∴a 3 1 02 =a3=3.选 A.

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2.定义一种运算“ * ” :对于自然数 n 满足以下运算性质: ( A.n C.n-1
答案 A

)

B.n+1 D.n2

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3. 观 察 下 列 的 图 形 中 小 正 方 形 的 个 数 , 则 第 _ _ _ _ _ _ _ _ 个 小 正 方 形 .

6 个图中有

答案

28

解析 设第n个图中小正方形个数为an, 则a1=3,a2=a1+3=6,a3=a2+4=10,a4=a3+5=15, a5=a4+6=21,a6=a5+7=28.
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4.设P是边长为a的正三角形ABC内的一点,P点到三边的 3 距离分别为h1、h2、h3,则h1+h2+h3= 2 a;类比到空间,设P 是棱长为a的正四面体ABCD内的一点,则P点到四个面的距离 之和h1+h2+h3+h4=________.
答案 6 3a

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解析

如图所示,连接AP,BP,CP,

DP,则正四面体ABCD可分成四个小三棱锥,根 1 据体积相等可得,正四面体的体积为 3 ×
2

3 4

6 1 3 2 a × 3 a= 3 × 4 a (h1+h2+h3+h4),所以h1+h2 6 +h3+h4= 3 a.

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5. 已 知 P(x0,y0)是 抛 物 线

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y2=2px(p>0)上的一点,过P点的

切线方程的斜率可通过如下方式求得: 在y2=2px两边同时对x求导,得: p p 2yy′=2p,则y′=y ,所以过P的切线的斜率:k=y . 0
2 y 试用上述方法求出双曲线x2- 2 =1在P( 2 , 2 )处的切线

方程为________.

答案 2x-y- 2=0

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y2 解析 用类比的方法对 2 =x2-1两边同时对x求导,得yy′ 2x0 2× 2 =2x,∴y′= y = =2. 2 0 ∴切线方程为y- 2=2(x- 2),∴2x-y- 2=0.

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海南省海口市2015届高考调研测试(一)数学(文)试题带答...

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惠州市2015届高三第一次调研考试(文科数学)

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2015年广州市高三调研文科综合政治试题(含答案)

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武昌区2015届高三年级五月调研考试文科数学

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广东省惠州市2015届高三第三次调研数学试卷(文科)

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江西省南昌市2015届高三零模调研考试 文科 答案汇总_图文

(4 分) -5- 2014—2015 学年度南昌市高三年级调研测试卷 语文参考答案及评分...学年度南昌市高三年级调研测试卷 数学(文科)参考答案及评分标准 -7- 又∵ 0 ...