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高中数学恒成立问题应试处理策略


古广h 数学恒成立问题应试处理策略 同中
龚亮亮
(南京市第三高级中学,江苏南京210001)
摘 要:恒成立问题一直以来都是高中数学中的一个重 .-.x<一1或x>3。 三、分离变量。借助不等式性质解决

点和难点.这类问题没有一个固定的处理方法。恒成立问题能 够很好地考查函数数列不等式等知识,以及转化化归等数学

r />思想。因此涉及恒成立的问题越来越受到高考命题者的青睐。
本文试将此类题的求解策略从四个方面进行小结。 关键词:高中数学

例3:已知数列{a。}中,a。:6n-5(nEN+),设b。:土,T。是
‰aⅡ+I

恒成立问题求解策略

歹sJ{b。}的前n项和,求使得Tn<昙对所有n
正整数m。



N‘都成立的最小

恒成立问题一直是高中问题数学的重要内容。它是函
数、数列、不等式等内容交汇处的一个较为活跃的知识点,在 近几年越来越受到高考命题者的青睐.有时在同一套试题中 甚至有几道这方面的题目。本文试将此类题的求解策略进行 小结。 一、利用分类讨论思想直接处理

分析:Tn<旦恒成立§一m一>T
“20 20

max,问题转化为求T。的最大


值。若求出Tn的最大值,则问题迎刃而解。

解.依舸知婷亳=丽一—1面=三(丽1一一16n-5)E6(n+1)-5 ]6— “‰(


6n+1),

71

例1:已知函数f(x)=x‘一2a】(“在区间[一1,2]上都不小于2,
求a的取值范围。 解:因为函数f(x)--x‘-2ax+4的对称轴为x=a,所以必须考

故7rn=吝b:{[(1一号)+(专一—刍)+...+‘面与一面万1)]
;三(1一—上)。
易知土(1一二L)<一1.

查a与一1,2的大小父系,显然要分三种情况讨论。 1.当a≥2时,f(x)在[一l,2]上是减函数,
此时f(x)ⅢiII=f(2)--4--4a+4≥2,

即a≤二.


,?.要使丢(1一面1


)<面m(n∈N’)恒成立,必须满足上2≤

结合a≥2,所以a无解。 此时f(一1)=1+2a+4≤2。

2.当a≤一l时,f(x)在[一l,2]上是增函数, f(x)…--'f(-1)=l+2a“≥2,
结合a≤一1.

旦.即m≥10.
20

例4:已知二次函数f(x):a】【2+x+lXffx∈[O,2]恒有f(x)>o,
求a的取值范围。

解:对x∈[o,2 3恒_Tfi'f(x)>o即缸2+x+1>o,变形为ax2>_(x+1)

即一二≤a≤一l。


3.当一l<a<2时. f(x)。i。=f(a)=a‘-2a‘+4t>2,

a>掣,即a>一上一与
X‘ X X‘

x=0时对任意的a都满足f(x)>0,只须考虑x≠0的情况:

要满足题意.只要保证a比右边的最大值大就行。

即一、/2≤a≤、/2, 所以一1<a≤、/2。 综上l、2、3.满足条件的a的范围为:一二≤a≤、/2。


现求一!一三在;∈(o,2]上的最大值。
令t-!


二、构造函数。利用单调性处理

例2:对于满足IpI≤2的所有实数p,求使不等式,【‘+px十1>
p+2x恒成立的X的取值范围。 分析:多元不等式『口J题求解关键在于确定哪个量为主元。

...t≥1


此『廿】题由于常见的思维定势,易把它看成关于X的不等式讨 论。然而若将P定位主元,则町转化为在[一2,2]内关于p的一次
函数大于0恒成立的问题。 解:不等式转化为(x—1)p+x‘2x+l>0, 设f(p)=(x—1)p+x‘一2x+l,

g(t)=o—t一(t+i1)2+{(t≥丢), g(t。g({净寻,

.‘.a>-——.



又‘..f(x)-ax‘+x+1是二次函数’...a#O,

则原题转化为谢(p)=(x—1)r-x"-2x+1>0:荏[-2,2]上恒成立,

...a>一三.且a≠0.


易得瞄船%x2--4…X+3如,
解得:【xx>>3l或或xx<<一l l,

四、利用数形结合。直观处理

例5:不等式(卜1)'<logx在x∈(1,2)上恒成立,求a的取值
范围。


万方数据

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巧添数据解表格类计算题
朱绿侠
(睢宁县李集中学,江苏睢宁221221)

表格类计算题是近年中考巾常见的题型,它可以较好地 考查学生分析问题、解决问题的能力。此类试题常将几组实验 数据以表格的形式给出,解题时需要理清数据问的火系,找出
规律.进行汁算.其中关键是分析表格中的数据,找出规律。这

例2:某化学兴趣小组为了测定一批石灰石样品中碳酸钙 的质量分数,取用2克石灰石样品.把20克稀盐酸分四次加入 样品中(样品中除碳酸钙外,其余的成分既不与盐酸反应,又 不溶解于水),充分反应后经过滤、十燥等操作.最后称量,得 实验数据如下:
稀盐酸的用鼠 第一次加入5克 第二次加入5克 第三次加入5克 第四次加入5克 剩余固体的质量
1.5克 1.0克 0.5克 0.3克

里介绍一种简单常用的方法——巧添数据法,供大家参考。 例1:海洋化工集团用氨碱法生产的纯碱产品中含有少量 氯化钠杂质.其产品包劳袋上注明:碳酸钠>96%。为测定该产 品中含碳酸钠的质量分数,进行了以下实验:取11.O克纯碱样 品放入烧杯中.称得烧杯及所盛纯碱样品的总质量为158.0 克,再把100克稀盐酸平均分成四份,依次加入样品中,每次均 充分反应。实验数据如下:
所加盐酸的次数 第一次
181.2

第二次
204.4

第三次
228.6

第四次
253.6

I烧杯及所盛物质总质最(g)

请你据此分析计算: (1)第一次加入盐酸充分反应后,生成二氧化碳的质量

(1)/g以上数据可知.这四次实验中.第 次石灰石样品 中碳酸钙完全反应。 (2)求石灰石样品中碳酸钙的质量分数。 (3)煅烧50吨这种石灰石,能得到二氧化碳气体多少吨?

分析:石灰石样品ePJJnA.盐酸反应的原理是:CaCO,+2HCI=

是——克。
(2)该样品中碳酸钠的质量分数是否合格?(要求写出计 算过程,结果精确到O.1%)

CaC¨20+co=f。
在石灰石中加入盐酸后因碳酸钙与盐酸反应使固体的质 量减少,所以在表格后应加一列数据:固体减少的质鼓(即参
加反应的碳酸钙的质鼍)。 稀盐酸的用量 第一次加入5克 第二次加入5克 第三次加入5克 第四次加入5克 剩余固体的质最 1.5克
1.0克

解析:纯碱样品与盐酸反应的原理:Na,CO,+2HCi一
2NaCI+H,O+CO.T 100克盐酸分四次加入样品中.每次反应后烧杯及所盛物 质的总质量会因生成-二氧化碳而减少.在数据下方应增加一 组数据:减少的质量(生成二氧化碳的质量)
所加盐酸的次数 烧杯及所盛物质总质量(g) 生成二氧化碳的质量(g) 第一次
181.2 1.8

固体减少的质量 0.5克
0.5克

第二次
204.4 1.8

第二次
228,6 0.8

第四次
253.6 0

0.5克
0.3克

0.5克
0.2克

由数据可知:每加入5克盐酸就会有0.5克固体减少.即有

由第一次和第二次数据可知每次加入25克盐酸完全反应 可产生1.8克二氧化碳.而第三次只生成O.8克二氧化碳,冈此 盐酸没有完全反应,碳酸钠应完全反应,此时共产生二氧化碳 的质量为1.8克+1.8克+0.8克=4.4克。再据二氧化碳质量计算出
碳酸钠的质量即可。

O.5克碳酸钙与之反应.而第四次加入5克盐酸仅减少0.2克同 体,所以盐酸有剩余,碳酸钙应该已完全反应,剩余的0.3克固体 都是杂质。因此2.0克固体中碳酸钙的质量应为:2加.3=1.7克。 解:(1)由题意知:第四次石灰石样品中碳酸钙完全反应。 (2)石灰石样品中碳酸钙的质量分数为:
(2-0.3)2100%=85%。

解:(1)第一次加入盐酸充分反应后生成二氧化碳的质量
是1.8克。 (2)设11.0克样品中碳酸钠的质量为X

(3)设煅烧50吨这种石灰石能得到二氧化碳气体的质量 是X

Na,CO,+2HCI-一-2NaCI+H,O+CO,T
106 X 44

cac0,坚caO+co,t
100 44 X

4.4克
X=10.6克

50吨85%

106:44=X:4.4克

100:44=(50吨85%):X

X=18.7吨

样品中碳酸钠的质量分数为:10.6克11.0克100qt=96.4%>96% 所以.该碳酸钠样品是合格的样品。 分析:这种类型的不等式对高中学生来说直接求解是很 困难的,所以一般来说采用数形结合的方法。 解:设yl=(x-I)’,Y2=log。x,如图所示。 要使对一切xE(1,2),y。<y,恒成立, 显然须a>1.且10921>l。
.?.1<a≤2.

答:(1)第四次石灰石样品中碳酸钙完全反应。 (2)石灰石样品中碳酸钙的质量分数为:85%。



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1≯‘
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万方数据

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高中数学恒成立问题应试处理策略
作者: 作者单位: 刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 龚亮亮 南京市第三高级中学,江苏,南京,210001 考试周刊 KAOSHI ZHOUKAN 2011(18)

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本文链接:http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_kszk201118011.aspx


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