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浙江大学附中2013届高三数学一轮复习单元训练:选考内容

时间:2013-01-29


浙江大学附中 2013 届高三数学一轮复习单元训练:选考内容 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 项是符合题目要求的) 1.设函数 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一

f ( x) ? 2x ?1 ? x ? 4 .则不等式 f ( x) ? 2 的解集是(
5 3
B. ? x x ? ?7, 或x ? 5 ? ? ? 3? ? D. ? x x ? ? 1 , 或x ? 5 ? ? ? 2 3? ?

)

A. {x ?7 ? x ? } C. {x x ? ?7, 或x ? 4} 【答案】B

2. 如图 5, 为⊙O 的切线, 为切点, 交⊙O 于点 B, PA A PO PA=8, OA=6, tan∠APO 的值为( 则

)

A.

4 3

B.

3 5

C.

4 5

D.

3 4

【答案】D 3.圆 ?

? 2 (cos? ? sin ? ) 的圆心坐标是(
?1 ? ? ? , ? ?2 4?
D. ? 2,

)

A.

B. ?1,

? ?? ? ? 4?

C. ? 2 ,

? ?

??
? 4?

? ?

??
? 4?

【答案】B 4.如图,E 是平行四边形 ABCD 的边 BC 的延长线上 的一点,连结 AE 交 CD 于 F,则图中共有相 似三角形( )

A. 1 对 【答案】C

B. 2 对

C. 3 对

D. 4 对

5.已知实数 x, y , z 满足 x ? y ? 2 z ? 1 , x ? y ? 2 z ?
2 2 2

1 ,则 z 的取值范围是( 2

)

A. 0 ? z ?

1 2

B.

0? z?

1 4

C. 0 ? z ? 2 【答案】A

D. 0 ? z ? 1

6. 圆内接三角形 ABC 角平分线 CE 延长后交外接圆于 F , FB ? 2, EF ? 1 , CE 若 则 A. 3 【答案】A 7.已知 ,则使得 都成立的 取值范围是( B. 2 C. 4 D. 1

?(

)

)

A.??(?, 【答案】B



??B.(?,



?C.(?,

)?? ??D.(?,

) )

8.若不等式|2x 一 a|>x-2 对任意 x ? (0,3)恒成立,则实数 a 的取值范围是( A. (- ? , 2] U [7, + ? ) C. (- ? , 4) U [7, + ? ) 【答案】C 9.设 a ? 0 ,不等式 | ax ? b |? c 的解集是 {x | ?2 ? x ? 1} ,则 a : b : c 等于( A. 1: 2 : 3 【答案】B 10.不等式 1 ?| x ? 1 |? 3 的解集为( A. (0,2) B. (-2,0)∪(2,4) C. (-4,0) 【答案】D 11.设 a ? 0 ,不等式 | ax ? b |? c 的解集是 {x | ?2 ? x ? 1} ,则 a : b : c 等于( A. 1: 2 : 3 【答案】B 12.若关于 x 的不等式 B. 2 :1: 3 C. 3 :1: 2 D. 3 : 2 :1 ) D. (-4,-2)∪(0,2) ) B. 2 :1: 3 C. 3 :1: 2 D. 3 : 2 :1 ) B. (- ? , 2) U (7, + ? ) D. (- ? , 2) U (4,+ ? )

x ?1 ? x ? 2 ? a2 ? 4a 有实数解,则实数 a 的取值范围为(
B. (1,3) D. (?3, ?1)

)

A. (??,1) U (3, ??) C. (??, ?3) U (?1, ??) 【答案】A

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分) .

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13.如图,PAB、PCD为⊙O的两条割线,若 PA=5,AB=7,CD=11, AC ? 2 ,则BD等于

【答案】6

? x ? 1 ? cos? ? ? y ? ?2 ? sin? (? 为参数)没有公共点,则实数 m 的取值范围 14.若直线 3x+4y+m=0 与圆 ?
是 . 【答案】 m ? 0 或 m ? 10

? x ? 8t 2 ? (t 为参数) 过点 F (2, 0) 作一条倾斜角为 的直线交曲线 C 15. 已知曲线 C 的方程为 ? , 4 ? y ? 8t
于 A 、 B 两点,则 AB 的长度为 【答案】16 16.在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 ,C2 的参数方程分别为

? x ? 5 cos? ? ? ? ?x ? 1 ? t 则曲线 C1 与 C 2 的交点坐标 0 ?t为参数? , ??为参数,? ? ? ? 和 ? ? 2 ? ? y ? ?t ? y ? 5 sin ? ?
为 【答案】 ____________

?2,1?
3.

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.已知大于 1 的正数 x, y , z 满足 x ? y ? z ? 3

(1)求证:

x2 y2 z2 3 ? ? ? . x ? 2 y ? 3z y ? 2 z ? 3x z ? 2 x ? 3 y 2

(2)求

1 1 1 的最小值。 ? ? log3 x ? log3 y log3 y ? log3 z log3 z ? log3 x

【答案】 (1)由柯西不等式得:

x2 y2 z2 ( ? ? )[( x ? 2 y ? 3z) ? ( y ? 2 z ? 3x) ? ( z ? 2 x ? 3 y) ? ( x ? y ? z) 2 ? 27. x ? 2 y ? 3z y ? 2 z ? 3x z ? 2 x ? 3 y
得: (2)

x2 y2 z2 3 ? ? ? . x ? 2 y ? 3z y ? 2 z ? 3x z ? 2 x ? 3 y 2

?

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? log3 x ? log3 y log3 y ? log3 z log3 z ? log3 x log3 ( xy) log3 ( yz) log3 ( zx) 1 1 1 ? ? )(log3 ( xy) ? log3 ( yz ) ? log3 ( zx)) ? 9 , log3 ( xy) log3 ( yz ) log3 ( zx)

由柯西不等式得: ( 所以,

(

1 1 1 9 9 ? ? )? ? log3 ( xy) log3 ( yz ) log3 ( zx) (log 3 ( xy) ? log 3 ( yz) ? log 3 ( zx)) 2log 3 ( xyz)
3 2

又?3 3 ? x ? y ? z ? 33 xyz . ? xyz ? 3 3. ? log 3 xyz ? . 得

9 9 2 ? ? ?3 2 log3 xyz 2 3

所以,

1 1 1 ? ? ? 3 当且仅当 x ? y ? z ? 3. 时, log3 x ? log3 y log3 y ? log3 z log3 z ? log3 x

等号成立。 故所求的最小值是 3。 18.已知在直角坐标系 xoy 中,直线 l 过点 P

?1, ?5? ,且倾斜角为 3 ,以原点 O 为极点, x 轴
? ?

?

的正半轴为极轴,建立极坐标系,半径为 4 的圆 C 的圆心的极坐标为 ? 4,

??

?。 2?

(Ⅰ)写出直线 l 的参数方程和圆 C 的极坐标方程; (Ⅱ)试判定直线 l 和圆 C 的位置关系。

? ? x ?1? ? 【答案】 (Ⅰ)直线 l 的参数方程是 ? ? y ? ?5 ? ? ?
圆心 C 直角坐标为 ( 0 , 4)

1 t 2 , t 为参数) ( 3 t 2

圆 C 的直角坐标方程为 x 2 ? ( y ? 4)2 ? 16 得圆 C 的极坐标方程是 ? ? 8sin ? .

由?

?x2 ? y 2 ? ? 2 ? y ? ? sin ?

(Ⅱ)圆心的直角坐标是 (0, 4) ,直线 l 的普通方程是

3x ? y ? 5 ? 3 ? 0 ,

圆心到直线的距离 d ?

0?4?5? 3 3 ?1

?

9? 3 ? 4, 2

所以直线 l 和圆 C 相离. 19.如图,A,B,C,D 四点在同一个圆上,BC 与 AD 的延长线交于点 E,点 F 在 BA 的延长线上。

(1)若

EC 1 ED 1 DC = , = ,求 的值; EB 3 EA 2 AB
2

(2)若 EF ? FA?FB ,证明: EF ? CD . 【答案】 (1)∵A,B,C,D 四点共圆 ∴∠EDC=∠EBF EC ED CD ∴ = = EA EB BA (2)∵EF =FA·FB ∴△FAE∽△FEB ∴∠FEA=∠EDC 20.设函数
2

又∵∠DEC=∠AEC 又∵ EC 1 ED 1 = , = EB 3 EA 2 EF FB ∴ = FA EF

∴△ECD∽△EAB CD 6 ∴ = BA 6

又∵∠EFA=∠BFE

∴∠FEA=∠EBF ∴∠EDC=∠EBF ∴EF∥CD

又∵A,B,C,D 四点共圆

f ( x) ? x ? a ? 3x ,其中 a ? 0 。

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集; (Ⅱ)若不等式 f ( x) ? 0 的解集为

?x | x ? ?1 ?

,求 a 的值。

【答案】 (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? 3x ? 2 可化为 | x ? 1|? 2 。由此可得 故不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集为 {x | x ? 3 或 x ? ?1} 。 ( Ⅱ) 由 f ( x) ? 0 得

x ? 3 或 x ? ?1 。

x ? a ? 3x ? 0 此不等式化为不等式组
?x ? a ? ? a 或 a?? ? ? 2

?x ? a ? ? x ? a ? 3x ? 0

?x ? a ? ?x ? a ? a 或? 即 x? ? ? 4 ?a ? x ? 3 x ? 0
a 2

因为 a ? 0 ,所以不等式组的解集为 ? x | x ? ? 由题设可得 ?

?

a = ?1 ,故 a ? 2 2

21.对于任意的实数 a(a ? 0)和b, 不等式 | a ? b | ? | a ? b |? M ? | a | 恒成立,记实数 M 的最

大值是 m. (1)求 m 的值; (2)解不等式 | x ? 1| ? | x ? 2 |? m. 【答案】 (1)不等式 | a ? b | ? | a ? b |? M ? | a | 恒成立, 即M

?

| a ?b| ?| a ?b| 对于任意的实数 a(a ? 0)和b 恒成立, |a|

只要左边恒小于或等于右边的最小值. 因为 | a ? b | ? | a ? b |? (a ? b) ? (a ? b) ? 2 | a | , 当且仅当 (a ? b)(a ? b) ? 0 时等号成立,

| a?b| ?| a?b| ? 2 成立, |a| | a ?b| ?| a ?b| 也就是 的最小值是 2. |a|
即 | a |?| b | 时, (2) | x ? 1| ? | x ? 2 |? 2. 利用绝对值的意义得:

1 5 ?x? 2 2

? 2 t ?x ? ? 2 (t是参数) ,圆 C 的极坐标方程为 22.已知直线 l 的参数方程是 ? 2 ? ?y ? 2 t ? 4 2 ?

? ? ? 2 cos(? ? ) .
4
(I)求圆心 C 的直角坐标; (II)由直线 l 上的点向圆 C 引切线,求切线长的最小值. 【答案】 (I)? ? ? 2 cos ? ? 2 sin? ,

? ? 2 ? 2? cos ? ? 2? sin? ,
?圆C的直角坐标方程为 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 0 , x
2 2 2 2 2 2 ) ? (y ? ) ? 1 ,?圆心直角坐标为 ( ,? ). 2 2 2 2 (II) :直线 l 上的点向圆 C 引切线长是
即 (x ?

2 2 2 2 2 t? ) ?( t? ? 4 2 ) 2 ? 1 ? t 2 ? 8t ? 40 ? (t ? 4) 2 ? 24 ? 2 6 , 2 2 2 2 ∴直线 l 上的点向圆 C 引的切线长的最小值是 2 6 (
∴直线 l 上的点向圆 C 引的切线长的最小值是 5 2 ? 12 ? 2 6


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