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点线面知识总结


2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.1 (1)平面的画法:水平放置的平面通常画成一个平行四边形,锐角画成 45 ,且横边画成邻边的 2 倍长(如图) (2)平面通常用希腊字母α 、β 、γ 等表示,如平面α 、平面β 等,也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的 大写字母来表示,如平面 AC、平面 ABCD 等。 3 三个公理: (1)公

理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内符号表示为 A∈L B∈L A∈α B∈α 公理 1 作用:判断直线是否在平面内 (2)公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 符号表示为:A、B、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α ,使 A∈α 、B∈α 、C∈α 。 公理 2 作用:确定一个平面的依据。 (3)公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为:P∈α ∩β =>α ∩β =L,且 P∈L 公理 3 作用:判定两个平面是否相交的依据 A B => L α
0

α ·

A

L

α · β
P

·

C

·

α

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
1 空间的两条直线有如下三种关系: 相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; 平行直线:同一平面内,没有公共点; 不同在任何一个平面内,没有公共点。

·

L

共面直线
异面直线:

2 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为:设 a、b、c 是三条直线 a∥b c∥b 强调:公理 4 实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。 公理 4 作用:判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补 4 注意点: ① a'与 b'所成的角的大小只由 a、b 的相互位置来确定,与 O 的选择无关,为简便,点 O 一般取在两直线中的一条上; ② 两条异面直线所成的角θ ∈(0, );

=>a∥c

?

③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作 a⊥b; ④ 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形; ⑤ 计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

2

2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
1、直线与平面有三种位置关系: (1)直线在平面内 —— 有无数个公共点(2)直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点(3)直线在平面平行 —— 没有公共点 指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用 a α 来表示

a

α

a∩α =A

a∥α

2.2.直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1 直线与平面平行的判定
1、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。 简记为:线线平行,则线面平行。 符号表示:

a b

α β => a∥α

a∥b

2.2.2 平面与平面平行的判定
1、两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。 符号表示: a b β β β ∥α

a ∩b = P a∥α b∥α

2.2.3 — 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质
1、定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 简记为:线面平行则线线平行。 符号表示: a∥α a β a∥b α ∩β = b 作用:利用该定理可解决直线间的平行问题。 2、定理:如果两个平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。 符号表示: α ∥β α ∩γ = a β ∩γ = b 作用:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 a ∥b

2.3.1 直线与平面垂直的判定
1、定义 如果直线 L 与平面α 内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 L 与平面α 互相垂直,记作 L⊥α ,直线 L 叫做平面α 的垂线,平面α 叫做直线 L 的垂面。如图,直线与平面垂直时,它们唯一公共点 P 叫做垂足。 L p α 2、判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。 注意点:a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。

2.3.2 平面与平面垂直的判定
1、二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形 A 梭 l B α 2、二面角的记法:二面角α -l-β 或α -AB-β 3、两个平面互相垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。 2.3.3 — 2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质 1、定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。 2 性质定理: 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 β

1.l1,l2,l3 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是( ) A.l1⊥ l2,l2⊥ l3?l1∥ l3 B. l1⊥ l2,l2∥ l3?l1⊥ l3C.l1∥ l2∥ l3?l1,l2,l3 共面 D. l1,l2,l3 共点?l1,l2,l3 共面 2. (2012?上海)已知空间三条直线 l、m、n.若 l 与 m 异面,且 l 与 n 异面,则( ) A.m 与 n 异面 B. m 与 n 相交 C. m 与 n 平行 D. m 与 n 异面、相交、平行均有可能 3. (2011?浙江)若直线 l 不平行于平面 α,且 l?α,则( ) A.α 内存在直线与 l 异面 B. α 内存在与 l 平行的直线 C.α 内存在唯一的直线与 l 平行 D.α 内的直线与 l 都相交 4.设 l,m 是两条不同的直线,α 是一个平面,则下列命题正确的是( ) A.若 l⊥ m,m?α,则 l⊥ α B.若 l⊥ α,l∥ m,则 m⊥ α C. 若 l∥ α,m?α,则 l∥ m D. 若 l∥ α,m∥ α,则 l∥ m 5. (2010?福建)如图,若 Ω 是长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 被平面 EFGH 截去几何体 EFGHB1C1 后得到的几何体,其中 E 为线段 A1B1 上异 于 B1 的点,F 为线段 BB1 上异于 B1 的点,且 EH∥ A1D1,则下列结论中不正确的是( ) A. EH∥ FG B. 四边形 EFGH 是矩形 C. Ω 是棱柱 D. Ω 是棱台 6.平行六面体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,既与 AB 共面也与 CC1 共面的棱的条数为( ) A.3 B.4 C.5 D. 6 7.垂直于同一平面的两条直线( ) A. 平行 B. 垂直 C. 相交 D. 异面 8.给定下列四个命题: ① 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; ② 若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③ 垂直于同一直线的两条直线相互平行; ④ 若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中,为真命题的是( ) A. ① 和② B. ② 和③ C. ③ 和④ D. ② 和④ 9.平面 α∥ 平面 β 的一个充分条件是( ) A. 存在一条直线 a,a∥ α,a∥ β B. 存在一条直线 a,a?α,a∥ β C. 存在两条平行直线 a,b,a?α,b?β,a∥ β,b∥ α D. 存在两条异面直线 a,b,a?α,b?β,a∥ β,b∥ α 10.过平行六面体 ABCD﹣A1B1C1D1 任意两条棱的中点作直线,其中与平面 DBB1D1 平行的直线共有( ) A. 4 条 B. 6 条 C. 8 条 D. 12 条 11. (2005?重庆)对于不重合的两个平面 α 与 β,给定下列条件: ① 存在平面 γ,使得 α,β 都平行于 γ② 存在平面 γ,使得 α,β 都垂直于 γ; ③ α 内有不共线的三点到 β 的距离相等;④ 存在异面直线 l,m,使得 l∥ α,l∥ β,m∥ α,m∥ β. 其中,可以判定 α 与 β 平行的条件有( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 12.设 α、β、γ 为平面,m、n、l 为直线,则 m⊥ β 的一个充分条件是( ) A. α⊥ β,α∩β=l,m⊥ l B. α∩γ=m,α⊥ γ,β⊥ γ C. α⊥ γ,β⊥ γ,m⊥ α D. n⊥ α,n⊥ β,m⊥ α 13. (2005?辽宁)已知 m、n 是两条不重合的直线,α、β、γ 是三个两两不重合的平面,给出下列四个命题: ① 若 m⊥ α,m⊥ β,则 α∥ β;② 若 α⊥ γ,β⊥ α,则 α∥ β;③ 若 m∥ α,n∥ β,m∥ n,则 α∥ β; ④ 若 m、n 是异面直线,m⊥ α,m∥ β,n⊥ β,n∥ α,则 α⊥ β 其中真命题是( ) A. ① 和② B. ① 和③ C. ③ 和④ D. ① 和④ 14.如果一条直线与一个平面垂直,则称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点 的平面构成的“正交线面对”的个数是 _________ ; 15.已知平面 α,β 和直线,给出条件:① m∥ α;② m⊥ α;③ m?α;④ α⊥ β;⑤ α∥ β. (i)当满足条件 _________ 时,有 m∥ β; (ii)当满足条件 _________ 时,有 m⊥ β. (填所选条件的序号) 16. (2012?盐城三模)已知 α、β 是两个不同的平面,下列四个条件: ① 存在一条直线 a,a⊥ α,a⊥ β;② 存在一个平面 γ,γ⊥ α,γ⊥ β; ③ 存在两条平行直线 a、b,a?α,b?β,a∥ β,b∥ α;④ 存在两条异面直线 a、b,a?α,b?β,a∥ β,b∥ α. 其中是平面 α∥ 平面 β 的充分条件的为 _________ . (填上所有符合要求的序号) 17. (2011?南京模拟)设 b,c 表示两条直线,α,β 表示两个平面,现给出下列命题: ① 若 b?α,c∥ α,则 b∥ c; ② 若 b?α,b∥ c,则 c∥ α;③ 若 c∥ α,α⊥ β,则 c⊥ β; ④ 若 c∥ α,c⊥ β,则 α⊥ β. 其中正确的命题是 _________ . (写出所有正确命题的序号) 18. (2010?安徽模拟)已知直线 a、b 和平面 α、β,下列命题正确的是 _________ . (写出所有正确命题的编号) ① 若 α∥ β ,a ∥ α,则 a∥ β;② 若 a⊥ b,a⊥ α,b⊥ β,则 α⊥ β; ③ 若 α⊥ β ,a ⊥ β,则 a∥ α;④ 若 a∥ α,a⊥ β,则 α⊥ β. 19. (2008?长宁区二模)已知直线 a,b 及平面 α,下列命题中:① ④ .正确命题的序号为 _________ ;② ;③ ;

(注:把你认为正确的序号都填上) .

20. (2007?湖南模拟)对于不同的直线 m,n 和不同的平面 α,β,给出下列命题: ① n∥ α ② . _________ 使之能推出 m⊥ β n∥ m③ m 与 n 异面 ④

其中正确 的命题序号是 _________

21.对于平面 α,β 和直线 m,试用“⊥ ”和“∥ ”构造条件

22.下列命题正确的序号是 _________ ; (其中 l,m 表示直线,α,β,γ 表示平面) (1)若 l⊥ m,l⊥ α,m⊥ β,则 α⊥ β; (2)若 l⊥ m,l?α,m?β,则 α⊥ β; (3)若 α⊥ γ,β∥ γ,则 α⊥ β; (4)若 l∥ m,l⊥ α,m?β 则 α⊥ β 23.已知直线 m,n 与平面 α,β,给出下列三个命题:① 若 m∥ α,n∥ α,则 m∥ n;② 若 m∥ α,n⊥ α,则 n⊥ m;③ 若 m⊥ α,m∥ β,则 α⊥ β 其中正确命题的序号是 _________ . 24.已知直线 a,b,c,平面 α,β,γ,并给出以下命题: ① 若 a?α,b∥ α,则 a∥ b;② 若 a?α,b?β,且 α∥ β;则 a∥ b;③ 若 a∥ α,b∥ α,则 a∥ b;④ 若 a⊥ b,b∥ c,则 a⊥ c; 其中正确的命题有 _________ . 25.对直线 m,n 和平面 α,β,有下列四个命题: ① 若 m∥ n,m?α,n?β,则 α∥ β② 若 m⊥ α,m⊥ n,n?β,则 α∥ β③ 若 m∥ α,m⊥ β,则 α⊥ β 其中正确的命题的序号为 _________ .

④ 若 m∥ n,m⊥ α,则 n⊥ α.

26.对于直线 m,n,和平面 α,β,γ,有如下四个命题: (1)若 m∥ α,m⊥ n, ,则 n⊥ α(2)若 m⊥ α,m⊥ n,则 n∥ α(3)若 α⊥ β,γ⊥ β,则 α∥ γ(4)若 m⊥ α,m∥ n,n?β,则 α⊥ β 其中正确命题的序号是 _________ . 27.设有不同的直线 a,b 和不同的平面 α,β.给出下列命题: ① 若 a∥ α,b∥ β,且 a∥ β,则 a∥ b ② 若 a⊥ α,b⊥ β,且 α⊥ β,则 a⊥ b ③ 若 a∥ α,b∥ β,且 a∥ b,则 a∥ β ④ 若 a⊥ α,b⊥ β,且 a⊥ b,则 α⊥ β 其中正确的题号是 _________ . 28.关于直线 m,n 和平面 α,β,有以下四个命题: ① 若 m∥ α,n∥ β,α∥ β,则 m∥ n;② 若 m∥ n,m?α,n⊥ β,则 α⊥ β; ③ 若 α∩β=m,m∥ n,则 n∥ α 且 n∥ β;④ 若 m⊥ n,α∩β=m,则 n⊥ α 或 n⊥ β. 其中正确的命题序号是 _________ . 29.设 a,b,c 为三条不同直线,α,β,γ 为三个不同平面,下列四个命题中的真命题是 _________ (写出所有真命题的序号) ① .若 α⊥ β,β⊥ γ,则 α∥ γ ② 若 a⊥ b,b⊥ c,则 a∥ c 或 a⊥ c ③ 若 a?α,b、c?β,a⊥ b,a⊥ c,则 α⊥ β ④ 若 a⊥ α,b?β,a∥ b,则 α⊥ β 30.正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 a,若过 AC 作平面 α∥ D1B,则截面三角形的面积为 _________ .


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