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1.3.2函数的极值与导数题型


我行 我能 我要成功 我能成功

复习回顾 请思考求可导函数的极值的步骤:
1.确定函数的定义域,求导数 f ?(x) 2. 求方程 f ?(x) =0的根,这些根也称为可能极值点;
3,检查 f ?(x ) 在方程 f ?(x )=0的根的左右两侧的 符号,确定极值点。(通过列表法)

强调
要想知道 号.



x 是极大值点还是极小值点就必须判断 f?(x )=0左右侧导数的符
0 0

注意点:
1、f ′ (x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件

2、数形结合以及函数与方程思想的应用
3、要想知道 x0是极大值点还是极小值点就必 须判断 f?(x0)=0左右侧导数的符号.

例1求函数 f(x)=x2e-x的极值.
? ? ? ? 函数的定义域为R. f′(x)=2xe-x-x2·e-x=x(2-x)e-x. 令f′(x)=0,得x=0或x=2. 当x变化时,f′(x),f(x)变化状态如下表:
x f′(x) f(x) (-∞,0) - 0 0 极小值 0 (0,2) + 2 0 极大值4e -2 (2,+∞) -

由上表可以看出,当 x=0 时,函数有极小值,且 f(0) 4 =0.当 x=2 时,函数有极大值,且 f(2)=e2.

练习 函数 y ? x ? ax ? 1 有极值的充要条件是( ) A. a ? 0 B. a ? 0 C. a ? 0 D. a ? 0
3

B

题型 1:图像与函数的极值
1.函数f ( x)的定义域为开区间(a,b),导函数 f ( x)在(a,b)内的函数图像如图,则函数
'

f ( x)在开区间(a,b)内存在极小值点 y

1

个.

b x

a

O

2 导函数y=f’(x)的图像如图,试找出函数 y=f(x)的极值点,并指出那些是极大值点, 那些是极小值点? X2,x4为极值点 X2为极大值点 Y X4为极小值点
Y=f’(x)
x2 x3 a

x1 O

x4

x5

x6

b

X

3 导函数y=f’(x)的图像如图,在标记的 点中哪一点处 (1)导函数y=f’(x)有极大值? X2 (2)导函数y=f’(x)有极小值? X4 (3)函数y=f(x)有极大值? X3 (4)函数y=f(x)有极小值? X5
Y

Y=f’(x)

x4 x1 x2 O x3 x5 X

4 以下图形分别表示一个三次函数及其导数在 同一坐标系中的图像,其中一定不正确的序 号是( A )
Y Y Y Y

O

X

O

X

O

X O (4)

X

(1)

(2)

(3)

A (3)(4)

B (1)(3)

C (2)(4) D(1)(2)

例1 已知f ( x ) ? ax 3 ? bx 2 ? cx(a ? 0)在x ? ?1 时取得极值,且 f (1) ? ?1. (1)求常数a、b、c的值; (2)判断x ? ?1分别是极大值点还是极 小值点?

若函数 y ? x3 ? ax2 ? bx ? 27 在x=-1和x=3时有极 -3 值,则a=_______,b=_______ -9

2. f ( x) ? x( x ? c) 在x=2处有极大值, C=6 求常数c的值
2

已知f ( x) ? x3 ? ax 2 ? bx ? c当x ? ?1时,取 得极大值7,当x ? 3时,取得极小值,求这个 极小值及a、b、c的值.
a=-3,b=-9,c=2,极小值为-25

3 2 2 函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? a 在 x ? 1时有极值10,则a, 3. C b的值为( ) A、 a ? 3, b ? ?3 或 a ? ?4, b ? 11 B、 a ? ?4, b ? 1 或 a ? ?4, b ? 11 C、a ? ?4, b ? 11 D、 以上都不对


解:由题设条件得:? f (/1) ? 10 ? ? f (1) ? 0 解之得
? a ? 3 ? a ? ?4 或? ? ?b ? ?3 ? b ? 11

?1 ? a ? b ? a 2 ? 10 ?? ? 3 ? 2a ? b ? 0

注意代 入检验

注意:f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件

(2006年北京卷)已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx 在点 x0 处取得极大值5,其导函数 的图像(如图)过点(1,0),(2,0), 求: (1) x0 的值;(2)a,b,c的值; (1)由图像可知:x0 ? 1
f / ( x)=3ax 2 ? 2bx ? c   ? 0) (a (2) f (1) ? a ? b ? c ? 5
f / (1) ? 3a ? 2b ? c ? 0 f / ( 2) ? 12a ? 4b ? c=0

a ? 2, b ? ?9, c ? 12

2.已知函数 f ? x ? ? ax3 ? bx2 ? 2x 在x ? ?2, x ? 1 处取得极值。

(1)求函数

f ? x?

的解析式(2)求函数

f ? x?

的单调区间

解:(1) ' ? x ? ? 3ax2 ? 2bx ? 2 f ∵f ? x ? 在 x ? ?2, x ? 1取得极值,∴f ?(?2) ? 0, f ?(1) ? 0 ?12a ? 4b ? 2 ? 0 解得 a ? 1 , b ? 1 即 ? 3 2 3a ? 2b ? 2 ? 0 ?
1 3 1 2 ∴ f ? x ? ? 3 x ? 2 x ? 2x

(2) ∵ f

'

∴ f ? x ? 的单调增区间为 ? ??, ?2? 或?1, ???

x ? ? x2 ? x ? 2 , 由 f ' ? x ? ? 0 得 x ? 1或x ? ?2 ?

f ? x ? 的单调减区间为 (?2,1)

' 由 f ? x? ? 0 得

?2 ? x ? 1

设函数f ( x) ? 2 x ? 3(a ? 1) x ? 6ax ? 8其中a ? R.
3 2

()f ( x)在x ? 3处取得极值,求常数a的值; 1 范围?

(2)若f ( x)在(??, 上为增函数,求a的取值 0)

1. 若f ( x) ? x ? 3ax ? 3(a ? 2) x ? 1既有极大
3 2

值,又有极小值.求a的取值范围.
分析:如果函数有极大值又有极小值,说明函数的导数的 符号有从正变到负和从负变到正的时候,也就是说到导函 数有两个相异的实根

解析 :f(x)有极大值和极小值

f’(x)=0有2实根,

解得 a>6或a<3

??0

2 若不等式 x ? 4 x ? 2 ? a 对任意实数x都 成立,求实数a的取值范围
4 3

a ? 4 x3 ? x 4 ? 2 ,则要求 分析:由不等式可以知道 f ( x) ? 4x3 ? x4 ? 2 a的范围,只要a 大于函数 的最大 值即可,问题转化成求函数f(x)的最值

3 已知f ( x) ? 4 x ? 3 x cos ? ? cos ? (其中x ? R, 16 ? 为参数,? ? ? 2? .) 0
3 2

()当 cos ? ? 0时,判断函数 f ( x)是否有极值; 1 的取值范围.

(2)要使函数f ( x)的极小值大于0,求参数?

3.讨论(a ? R)时, f(x) e ( x ? ax ? a ? 1)的极值点个数 ?
x 2

4. 若f ( x ) ? x ? 3ax ? 3(a ? 2) x ? 1既有极大 值,又有极小值求a的取值范围 . .
3 2

5. 函数f ( x ) ? x e ? ax ? bx 已知x ? ?2和 x ? 1为f ( x )的极值点. (1)求a和b的值; (2)讨论f ( x )的单调性.
2 3 2

x ?1

3.设函数
1 3 a 2 2 f ( x ) ? ? x ? 2ax ? 3a x ? ( 0 ? a ? 1) 3 3

(1)求函数f(x)的单调区间;

(2)若当x∈[a,2]时,恒有f(x)≤0,试确 定a的取值范围。

2ax ? a ? 1 4. f ( x) ? 2 x ?1 ( x ? R, a ? R且a ? 0)
2

(1)a ? 1时,求y ? f ( x)在 点(2,f(2))处的切线方程 (2)求f ( x)的单调区间和极值

课外练习:
1.函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+3既有极大值,又 有极小值,则a的取值范围为 a ? 2或a ? ?1 .
2.(2006年天津卷)函数 f ( x ) 的定义域为开区间 ( a , b ) 导函数 f ?( x )在 ( a , b ) 内的图像如图所示,则函数 f ( x ) y 在开区间 ( a , b ) 内有( A )个极小值点。 y ? f ?(x) (A)1 (B)2 (C)3 (D) 4
b

a

O

x

作业:课本 P34A 组 5


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