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安徽省师大附中、安庆一中2013届高三上学期元月联考数学文试题 Word版含答案

时间:2013-02-18


安徽师大附中、安庆一中 2013 届高三联考 数 学 试 题(文史类)
一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一个是符合题目要求的)
2 1.设全集 U 是实数集 R , M ? x | x ? 1 , N ? ?x | 0 ? x ? 2? ,则集合 N ∩?U M 等于

?<

br />
?

( A. ?x | ?2 ? x ? 1 ?

) C. ?x | ?1 ? x ? 1? D. ?x | x ? 1 ?

B. ?x | 0 ? x ? 1 ?

2.已知条件 p : k ? 3 ;条件 q :直线 y ? kx ? 2 与圆 x 2 ? y 2 ? 1 相切,则 p 是 q 的 ( ) A.充分必要条件 C.充分不必要条件

B.既不充分也不必要条件 D.必要不充分条件

3. 如果双曲线 (

x2 y 2 ? ? 1 上一点 P 到它的右焦点距离是 8,那么点 P 到它的左焦点的距离是 4 12
B.12
2

) A.4 4.给出下列命题:

C.4 或 12

D.不确定

① ?x ? R ,不等式 x ? 2 x ? 4 x ? 3 成立;②若 log2 x ? log x 2 ? 2 ,则 x >1; ③命题“ 若a ? b ? 0且c ? 0, 则
2

c c ? 的逆否命题; a b”
2

④若命题 p: ?x ? R, x ? 1 ? 1 ,命题 q: ?x ? R, x ? 2x ?1 ? 0 .则命题 p ? ?q 是真命题. 其中真命题只有 A.①②③ ( B.①②④ C.①③④ D.②③④ ) )

5.函数 y ? f ( x) 的图象如图 1 所示,则 y ? f ?( x) 的图象可能是(

6. 已知等比数列 ?an ? 中有 a3a11 ? 4a7 , 数列 ?bn ? 是等差数列, a7 ? b7 , b5 ? b9 ?( ) 且 则

A.2 7.函数 y ? a
x ?3

B.4

C.8

D.16

? 2(a ? 0, 且a ? 1) 的图象恒过定点 A,且点 A 在直线 mx ? ny ? 1 ? 0 上 1 3 (m ? 0, n ? 0) ,则 ? 的最小值为( ) m n
A.12 B.10 C.8 D.14

8.函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? B( A ? 0, ? ? 0, | ? |? 分图象如图 2 所示,则函数表达式为: A. y ? 2 sin( C. y ? 2 sin(

?
2

, x ? R) 的部
( )

? ?
3 3

x? x?

? ?
6 6

) ?1 ) ?1

B. y ? 2 sin( D. y ? 2 sin(

? ?
6 6

x? x?

? ?
3 3

) ?1 ) ?1
图2
?

9.已知 O 是 ?ABC 内部一点, OA ? OB ? OC ? 0, AB ? AC ? 2, 且?BAC ? 60 , 则 ?OBC 的面积为( ) A.

3 3

B.

1 2

C.

3 2

D.

2 3

10.已知曲线 C : y ? 2 x ,点 A(0,-2)及点 B(3,a) ,从点 A 观察点 B,要使视线不
2

被 C 挡住,则实数 a 的取值范围是( ). A. (4,+∞) B. (-∞,4) C. (10,+∞) D. (-∞,10) 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卷的相应位置) 11.若向量 a, b 的夹角为 120 , a ? 1, b ? 3 ,则 5a ? b ?
?

? ?

?

?

? ?

? x 2 ? 2ax, x ? 2 ? 12.已知函数 f ( x) ? ? ,若 f ( f (1)) ? 3a 2 ,则 a 的取值范围是 x ?2 ? 1, x ? 2 ?



13.已知函数 f (x) 的定义域为 A ,若其值域也为 A ,则称区间 A 为 f (x) 的保值区间.若

g ( x) ? x ? m ? ln x 的保值区间是 [e, ??) ,则 m 的值为



? x ? y ? 2 ? 0, 2 y ?1 ? 14.已知实数 x, y 满足 ? x ? y ? 4 ? 0, 则 z ? 的取值范围是 x ?1 ? 2 x ? y ? 5 ? 0. ?
15.若定义域为 R 的奇函数 f ( x)满足f (1 ? x) ? ? f ( x) ,则下列结论: ① f ( x ) 的图象关于点 ( , 0) 对称;② f ( x ) 的图象关于直线 x ?



1 2

1 对称; 2

③ f ( x ) 是周期函数,且 2 个它的一个周期;④ f ( x ) 在区间(—1,1)上是单调函数,其

中正确结论的序号是

。 (填上你认为所有正确结论的序号)

安徽师大附中、安庆一中 2013 届高三联考 数学(文史类)答题卷
―――――――――――装―――――――――――订―――――――――――线―――――――――――
一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 二、填空题(共有 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.___________ 15.____________ 三、解答题: (本大题共 6 题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 16.(本小题满分 12 分)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,已知 cos 2C ? ? (1)求 sinC 的值; (2)当 a=2, 2sinA=sinC 时,求 b 及 c 的长. 12.___________ 13.____________14.__________

姓名

1 . 4

座位号

班级

2 n ?1 17. (本小题满分 12 分)设数列 ?an ? 满足 a1 ? 3a2 ? 3 a3 ? … ? 3 an ?

n * ,a?N . 3

考场号

(1)求数列 ?an ? 的通项; (2)设 bn ?

n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn . an

18. (本小题满分 13 分) 已 知 函 数 f ? x? ?

x2 (a, b为常数)且方程f ? x ? ? x ? 12 ? 0 有 两 个 实 根 为 ax ? b

x1 ? 3, x2 ? 4 .
(1)求函数 f ? x ? 的解析式; (2)解关于 x 的不等式 f ( x) ?

x 2 ? (k ? 1) x ? k (k ? ?1) . 2? x

19. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

3 sin 2 x ? cos 2 x ? 1 . 2cos x

(1)求 f ( x ) 的定义域和值域; (2)若曲线 f ( x ) 在点 P( x0 , f ( x0 )) (? 点 P 处的切线方程.

?
2

? x0 ?

?
2

) 处的切线平行直线 y ? 3x ,求在

20. (本小题满分 13 分)设椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 a ? 2 的左、右焦点分别为 F1、F2,过椭 a2 2
1 OF1 。 3

?

?

圆 C 上的一点 A 作 AF2 ? F F2 ,又坐标原点 O 到直线 AF1 的距离为 1 (1)求椭圆 C 的方程;

(2)设 Q 是椭圆 C 上的一点,过 Q 的直线 l 交 x 轴于点 P ? ?1,0? ,交 y 轴于点 M,若

???? ??? ? ? MQ ? 2QP ,求直线 l 的方程。

21. (本小题满分 13 分)设函数 f ( x) ? a ln x ? bx2 ( x ? 0) (1)若函数 f (x) 在 x=1 处与直线 y ? ?

1 相切. 2

①求实数 a,b 的值; ②求函数 f(x) 在 ? , e ? 上的最大值. e
[学。科

?1 ? ? ?

(2)当 b=0 时,若不等式 f ( x) ? m ? x 对所有的 a ? ?0, ? , x ? 1, e2 ? 都成立,求实数 m ? 2 的取值范围.

? 3? ? ?

?

安徽师大附中、安庆一中 2013 届高三联考 数学试卷(文史类)参考答案
一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分)
题 号 答 案 B C C A D C A A B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 D 1

二、填空题(共有 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分)
11.7 12. ?? 1,3? 13. ? 1 14. ? , ? ?4 2?

?3 7?

15. ②③

三、解答题: (本大题共 6 题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤. )
16.(1)解:因为 cos 2C ? 1 ? 2 sin C ? ?
2

1 10 , 及 0 ? C ? ? ,所以 sin C ? .?(5 分) 4 4 a c ? ,得 c ? 4 sin A sin C

(2)解:当 a ? 2,2 sin A ? sin C 时,由正弦定理 由 cos 2C ? 2 cos C ? 1 ? ?
2

1 6 , 及 0 ? C ? ? 得 cosC ? ? 4 4

2 由余弦定理 c ? a ? b ? 2ab cosC ,得 b ? 6b ? 12 ? 0 ,解得
2 2 2

?b ? 6 ?b ? 2 6 或? .?????????????(12 分) b ? 6 或 2 6 ,所以 ? ?c ? 4 ?c ? 4

2 n ?1 17.解:(1) a1 ? 3a2 ? 3 a3 ? ...3 an ?

n , 3 n ?1 a1 ? 3a2 ? 32 a3 ? ...3n ? 2 an ?1 ? (n ? 2), 3 n n ?1 1 3n ?1 an ? ? ? (n ? 2) , 3 3 3
an ? 1 1 (n ? 2) .验证 n ? 1 时也满足上式, an ? n (n ? N * ) n 3 3 ????(5 分)

(2) bn ? n ? 3n , Sn ? 1? 3 ? 2 ? 32 ? 3 ? 33 ? ...n ? 3n ,

3Sn ?

1? 32 ? 2 ? 33 ? 3 ? 34 ? ... ? n ? 3n?1 ,

则 ?2Sn ? 3 ? 32 ? 33 ? 3n ? n ? 3n?1 ,

?2Sn ?

3 ? 3n ?1 n 1 3 ? n ? 3n ?1 ,所以 Sn ? ? 3n ?1 ? ? 3n ?1 ? .?????(12 分) 2 4 4 1? 3

18.解: (1)依题意 ?

? f (3) ? 9 ? 0 ?3a ? b ? ?1 ?a ? ?1 ,解得 ? ,? ? ? f (4) ? 8 ? 0 ?4a ? b ? ?2 ?b ? 2

? f ( x) ?

x2 ( x ? 2) ???????????(4 分) ?x?2

x 2 ? (k ? 1) x ? k x2 x 2 ? (k ? 1) x ? k f ( x) ? ? ? ?0 2? x 2? x 2? x (2) ????5 分 ?x ? 2 (k ? 1) x ? k ? ? 0, ? x?2 ??(k ? 1) x ? k ?( x ? 2) ? 0
? k ? ?1 ?x ? 2 ?????7 分 ? ? 不等式 ? ? k ?( x ? k ? 1)(x ? 2) ? 0 ?


k ? (k ? 2) ?2? k ?1 k ?1
(k ? 2) k ?0 ∴ ?2 k ?1 k ?1
∴x ?2或x?

1) 当 k ? ?2 时, ?

k ;??????9 分 k ?1

?( x ? 2)2 ? 0 2) 当 k ? ?2 时, ? ?x ? 2

∴ x ? 2 ?????????11 分

3) 当 ?2 ? k ? ?1 时,

?(k ? 2) k ?0 ∴ ?2 k ?1 k ?1

∴x?

k 或 x ? 2 ?????13 分 k ?1

? k ? 综上所述:当 k ? ?2 时,不等式解集为 ? x x ? 2或x ? ?; k ? 1? ?
当 k ? ?2 时,不等式的解集为 x x ? 2

?

?

? ? k 当 ?2 ? k ? ?1 时,不等式的解集为 ? x x ? 或x ? 2? k ?1 ? ?
19.解: (1) f ( x) ?

2 3 sin x cos x ? 2cos 2 x ? 1 ? 1 2cos x

? 3 sin x ? cos x ? 2sin( x ? ) 6

?

由2 cos x ? 0,得x ? k? ?

?
2

(k ? Z ),

? ? ? ? f ( x)的定义域为 ? x | x ? R, 且x ? k? ? ,k ? Z ? 2 ? ? ? 2? x ? ? k? ? (k ? Z )时, ?2 ? y ? 2 6 3
? f ( x)的值域为?-2,2?. ?????????????????(6 分)
(2) f / ( x) ? 3 cos x ? sin x 由题意得

f / ( x0 ) ? 3 cos x0 ? sin x0 ? 2cos( x0 ? ) 6 ? 3
∴ cos( x0 ? 又∵ ?

?

?
6

)?

3 2
? 2? ? ? ? ? ,∴ x 0 ? ? 或 ? ,? x 0 ? 0或 ? 3 6 6 6 3

?
3

? x0 ?

?
6

切点为 P (0,1)或P( ?

?

3

, ?1) ,

切线方程为: y ? 3x ? 1 和 y ? 3x ?

3? ? 1. ??????????(12 分) 3

20.解: (1)由题设知 F1 (? a 2 ? 2 ,0), F2 ( a 2 ? 2 ,0) ,由于 AF2 ? F1 F2 ,所以点 A

( 的坐标为 a ? 2 ,? ) ,故 AF 所在的直线方程为 y ? ?( 1
2

2 a

1 ? ) ,所 a a ?2 a
2

x

以坐标原点 O 到 AF 的距离为 1

a2 ? 2 (a ? 2 ) ,又 OF1 ? a 2 ? 2 , 所以 2 a ?1

a2 ? 2 1 2 ? a ? 2 ,解得 a ? 2(a ? 2 ) . 3 a2 ?1
x2 y2 ? ? 1 .??????????????(6 分) 所求椭圆方程为 4 2
(2)由题意知直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,则有 M (0, k) 设 Q( x1 , y1), 由 于 MQ ? 2QP , ∴ ( x1 , y1 ? k ) ? 2(?1 ? x1 ,? y1 ) , 解 得

2 k (? ) 2 ( ) 2 2 k x1 ? ? , y1 ? ,又 Q 在椭圆上,得 3 ? 3 ? 1 ,解得, k ? ?4 ,故 3 3 4 3
直 线 l 的 方 程 为 : y ? 4( x ? 1) 或 y ? ?4( x ? 1) , 即 4 x ? y ? 4 ? 0 或

4 x ? y ? 4 ? 0 .????????????????????(13 分)
21. 解: (1)① f '( x ) ?

a ? 2bx , x

1 ? 函数 f ( x) 在 x ? 1 处与直线 y ? ? 相切, 2

? f '(1) ? a ? 2b ? 0, ?a ? 1, ? ? ?? 1 解得 ? 1 ? f (1) ? ?b ? ? 2 , ?b ? 2 . ? ?
② f ( x) ? ln x ?

网]

1 2 1 1 ? x2 x , f '( x) ? ? x ? 2 x x



1 1 ? x ? e 时,令 f '( x) ? 0 得 ? x ? 1 ; e e

令 f '( x) ? 0 ,得 1 ? x ? e; ? f ( x) 在 ? ,1? 上单调递增,在[1,e]上单调递减, e

?1 ? ? ?

1 ? f ( x) max ? f (1) ? ? ????????????(6 分) 2
(2)当 b=0 时, f ( x) ? a ln x 若不等式 f ( x) ? m ? x 对所有的 a ? ?0, ? , x ? 1, e2 ? 都成立, ? 2 则 a ln x ? m ? x 对所有的 a ? ?0, ? , x ? 1, e2 ? 都成立, ? 2 即 m ? a ln x ? x, 对所有的 a ? ?0, ? , x ? 1, e2 ? 都成立, ? 2 令 h(a) ? a ln x ? x, 则h(a) 为一次函数, m ? h(a)min

? 3? ? ?

?

? 3? ? ?

?

? 3? ? ?

?

? 3? ? x ? ?1, e 2 ? ,? ln x ? 0, ? h(a) 在 a ? ?0, ? 上单调递增 ? ? 2?

? h(a)min ? h(0) ? ? x ,? m ? ? x 对所有的 x ? ?1, e 2 ? 都成立 ? ?1 ? x ? e2 ,??e2 ? ? x ? ?1, ?m ? (? x)min ? ?e2 .
??????(13 分)


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