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1.1.2余弦定理1

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复习回顾: 在一个三角形中各边和它的对边的正弦比相等. 正弦定理: a b c 即:sin A ? sin B ? sin C ? 2 R 2R为三角形外接圆的直径 说明:1.正弦定理适合任意三角形是勾股定理的推广 2.正弦定理说明同一三角形中,边与它所对角的正弦成正 比 ,且比例系数为同一正数,即存在正数2R,使 a=2RsinA,b=2RsinB

c=

2RsinC a b b c ? , ? 3 由 已知两角及其一边可 sin A sin B sin B sin C 以求其他边.已知两边及其一边的对角可以求其他角

问题:已知三角形的两边及他们的夹角,求第三边.在△ABC中, 已知AB=c,AC=b,∠A=A,求a即BC. 尝试:能否用正弦定理求解

困难:因为角B,C未知, 较难求 a

发现:当一个三角形的两边和他们的夹角确定后那么第三边也 是确定不变的值.也就是说∠A的对边随着∠A的变化而变化.

我们来看三种极端情况

?A ?

?
2

∠A= π

∠A= 0

1,∠A=

? 时,则a2=b2+c2 2

2,∠A=π 时,则a2=(b+c)2=b2+c2+2bc

3,∠A= 0 时,则a2=(b - c)2=b2+c2-2bc

相同点:都含有b2+c2

不同点:-2bc的系数不同
? -2bc的系数正好是 2 , π, 0余弦值

那么就得到了当角A为三个特殊角时的公式 a2=b2+c2-2bccosA 那我们就来猜想一下这个公式是不是满足任意三角形呢? 凭感觉上述公式应该满足任意三角形,但是我们应该给 出严格的证明.

同学们来考虑:
证明恒等式通常采用什么思考方法? bccosA这样的结构我们在什么地方遇到过?

C

b
A c

a
B

证明: b2+c2 – 2bccosA = AC 2 + AB 2 – 2 AC AB cosA
2 = AC + AB 2 -2 AC AB

=(AC - AB )2
= BC =a2
2

余弦定理: (公式形式)在△ABC中,AB=c,BC=a,CA=b,则
a2=b2+c2-2bccosA b2=c2+a2-2accosB

c2=a2+b2-2abcosC
b2 ? c2 ? a 2 或:cosA= 2bc
c2 ? a2 ? b2 2ca
a 2 ? b2 ? c2 2ab

cosB= cosC=

命题形式:三角形任何一边的平方等于其他两边的平 方 的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.

作用:等式a2=b2+c2-2bccosA含有四个量a、b、c及A,从方程角 度看,已知其中三个量,可以求出第四个量.根据已知量与未知量 的性质可以知道,余弦定理可以 解决有关三角形的哪些问题呢? 已知两边及它们的夹角,求第三边
余弦定理 基本作用 已知三边求三个角 已知三边判断 三角形的形状

已知两边及其中一边的对角,求第三边

例题与训练: 在△ABC中,已知a=7,b=5,c=3,求A、B和C精确到 1
1 b 2 ? c 2 ? a 2 5 2 ? 32 ? 7 2 解:∵cosA= = = ?2 2bc 2? 5? 3


∴A=120 。
∴B≈ ∴C=


2 2 2 c2 ? a2 ? b2 3 ? 7 ? 5 ∵cosB= = 2 ? 3× 7 2ca

38
22



变式1:已知三角形三边长为a,b,c,怎样判断△ABC是锐角三角形, 直角三角形还是钝角三角形? 设a是最长边,则△ABC是直角三角形?a2=b2+c2 △ABC是锐角三角形?a2<b2+c2 △ABC是钝角三角形?a2>b2+c2

在△ABC中,已知a= 2 3 ,c= 6 ? 2,B=45°求b及A 解:∵b2=a2+c2-2accosB
(2 3 ) 2 ? ( 6 ? 2 ) 2 ? 2 ? 2 ( 6 ? 2) 45。 3 cos =
2 = 12 ? ( 6 ? 2 ) ? 4 3 ( 3 ? 1)

=8 ∴b=2 2
b2 ? c2 ? a 2 ∵cosA= 2bc

1 = 2

∴A=60°

练习:平行四边形两条邻边的长分别是 4 6cm和4 3cm, 它们的夹角是 45°,求这个平行四边形的两条对角线长与它的面积.
解:如图,BD2=AB2+AD2-2AB· cos45° AD· =16×3 ∴BD= 4 3 AC2=AB2+BC2-2AB· cos135 ° BC·

=16×15
∴AC= 4 15 S ABCD=AB· sin45 ° AD· =48(cm)2

?





1.余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律,勾股 定理是余弦定理的特例. 2.余弦定理有两个基本应用:一是已知三边求三角,二是 已知两边及他们的夹角求第三边. 3.余弦定理和正弦定理是同一三角形的约束条件的不同 表现形式,在本质上应该是一致的.

课外思考 余弦定理和正弦定理反映了同一三角形边、角之间的的度量关系, 本质上时一致的.你能证明这两个定理时等价的吗?


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