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2005全国高中数学联赛试题及答案[1]

时间:2013-04-15


二〇〇五年高中数学联赛试卷
一、选择题
1. 使关于 x 的不等式 x ? 3 ? 6 ? x ? k 有解的实数 k 的最大值是 A.

6? 3

B.

3

C.

6? 3

D.

6

2

. 空间四点 A、B、C、D,满足 | AB |? 3 、 | BC |? 4 、 | CD |? 11、 | DA |? 9 ,则 AC ? BD 的取值 A. 只有一个 B. 有两个 C. 有四个 D. 有无穷多个 3. △ ABC 内接于单位圆,三个内角 A、B、C 的平分线交此圆于 A1、B1、C1 三点,则 D' C'

AA 1 ? cos

A B C ? BB1 ? cos ? CC1 ? cos 2 2 2 的值是 sin A ? sin B ? sin C

A' D

B' C B

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 A 4. 如图,ABCD-A'B'C'D'为正方体,任作平面 α 与对角线 AC'垂直,使 α 与正方体的 每个面都有公共点,记这样得到的截面多边形的面积为 S,周长为 l,则 A. S 是定值,l 不是定值 B. S 不是定值,l 是定值 C. S、l 均是定值 D. S、l 均不是定值

x2 y2 5. 方程 ? ? 1 表示的曲线是 sin 2 ? sin 3 cos 2 ? cos 3
A. 焦点在 x 轴上的椭圆 C. 焦点在 y 轴上的椭圆 6. 记集合 T ? ?0,1,2,3,4,5,6} , M ? ? 到小顺序排列,则第 2005 个数是 A. B. 焦点在 x 轴上的双曲线 D. 焦点在 y 轴上的双曲线

? a1 a2 a3 a4 ? ? 2 ? 3 ? 4 ai ? T , i ? 1,2,3,4? ,将 M 中的元素按从大 ?7 7 7 7 ?
D.

5 5 6 3 ? 2? 3? 4 7 7 7 7

B.

5 5 6 2 1 1 0 4 ? 2 ? 3 ? 4 C. ? 2 ? 3 ? 4 7 7 7 7 7 7 7 7

1 1 0 3 ? 2? 3? 4 7 7 7 7

二、填空题
7. 将 多 项 式 f ( x) ? 1 ? x ? x ? x ? ? ? x ? x
2 3 19 20

表 示 为 关 于 y 的 多 项 式 g ( y) ?
2

a0 ? a1 y ? a2 y ? ? ? a19 y ? a20 y ,且 y ? x ? 4 ,则 a0 ? a1 ? ? ? a20 =__________。
2 19 20

8. f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数, 若 f (2a ? a ? 1) ? f (3a ? 4a ? 1) 成立, 则实数 a 的取值范围是 _____________。 9. 设 α、β、 γ 满足 0 ? ? ? ? ? ? ? 2? ,若对任意 x ? R ,cos(x ? ? ) ? cos(x ? ? ) ? cos(x ? ? ) ? 0 成立,则 ? ? ? =_____。
2

1 AC ? 2 ,则 CD=_________。 ,∠ACB=45° , AD ? BC ? 6 2 2 11. 正方形 ABCD 的一条边在直线 y ? 2 x ? 17 上,另外两顶点在 y ? x 上,则正方
10. 如图,四面体 DABC 的体积为 形面积的最小值为_____________。 12. 若自然数 a 的各位数字之和为 7,则称 a 是“吉祥数” 。将所有“吉祥数”从小 到大排成一列:a1、a2、a3?,若 an=2005,则 a5n=______。
D C A B

三、解答题

2 7an ? 45an ? 36 13. 数列{an}满足 a0=1, an?1 ? , n ? N ,证明:(1)对于任意 n ? N ,a 为整数; 2 (2)对于任意 n ? N , an an ?1 ? 1为完全平方数。

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1

14. 将编号为 1、2、3、?9 的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上,每个等分点上各一个小球, 设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为 S,求值 S 达到最小值的方法的 概率(若某种方法,经旋转或镜面反射可与另一种方法重合,则认为是相同方法) 。 15. 过抛物线 y=x2 一点 A(1,1)作抛物线的切线交 x 轴于 D,交 y 轴于 B,C 在抛物线上,E 在线段 AC 上,

AE BF ? ?1 ,F 在线段 BC 上, ? ?2 ,且 λ1+λ2=1,线段 CD 与 EF 交于 P,当 C 在抛物 EC FC

线上移动时,求 P 的轨迹方程。

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2

二○○五年全国高中数学联合竞赛 试题参考答案及评分标准
说明: 1. 评阅试卷时, 请依据本评分标准。 选择题只设 6 分和 0 分两档, 填空题只设 9 分和 0 分两档; 其他各题的评阅,请严格按照本评分标准规定的评分档次给分,不要再增加其它中间档次。 2. 如果考生的解题方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准 适当划分档次评分,5 分为一个档次,不要再增加其他中间档次。 一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 本题共有 6 小题,每小题均给出 A,B,C,D 四个结论,其中有且仅有一个是正确的。请将正确 答案的代表字母填在题后的括号内。 每小题选对得 6 分; 不选、 选错或选出的代表字母超过一个 (不 论是否写在括号内) ,一律得 0 分。 1.使关于 x 的不等式 x ? 3 ? 6 ? x ? k 有解的实数 k 的最大值是( A. 6 ? 3 解:令 y ? B. 3 C. 6 ? 3 D. 6 )

x ? 3 ? 6 ? x ,3 ? x ? 6, 则 y2 ? ( x ? 3) ? (6 ? x) ? 2 ( x ? 3)(6 ? x) ? 2[( x ? 3)

?(6 ? x)] ? 6. ?0 ? y ? 6,?实数k 的最大值为 6 。选 D。
2.空间四点 A、B、C、D 满足 | AB |? 3, | BC |? 7, | CD |? 11, | DA |? 9, 则 AC ? BD 的 取值( ) A.只有一个 B.有二个 C.有四个 D.有无穷多个

解:注意到 32 ? 112 ? 1130? 7 2 ? 9 2 , 由于 AB ? BC ? CD ? DA ? 0, 则 DA2 ? DA =

?

2

( AB ? BC ? CD) 2 ? AB2 ? BC2 ? CD 2 ? 2( AB ? BC ? BC ? CD ? CD ? AB) ? AB2 ?

BC 2 ? CD 2 ? 2( BC ? AB ? BC ? BC ? CD ? CD ? AB) ? AB2 ? BC 2 ? CD 2 ? 2( AB ?
BC) ? (BC ? CD), 即 2 AC ? BD ? AD2 ? BC2 ? AB2 ? CD 2 ? 0,? AC ? BD 只有一个值得 0,故选
A。 3. ?ABC 内接于单位圆,三个内角 A、B、C 的平分线延长后分别交此圆 于 A1 、 B1 、 C1 。则 A.2

2

AA1 ? cos

A B C ? BB1 ? cos ? CC1 ? cos 2 2 2 的值为( sin A ? sin B ? sin C
C.6 D.8



B.4

解:如图,连 BA 1 ? 2sin( B ? 1 ,则 AA

A A? B ?C B C ) ? 2sin( ? ? ) 2 2 2 2
3

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? 2 cos(

B C ? ). 2 2

? AA1 cos

A B C A A? B ?C A?C ? B ? ? ? 2 cos( ? ) cos ? cos ? cos ? cos( ? C ) ? cos( ? B) 2 2 2 2 2 2 2 2 B C A ? sin C ? sin B,同理BB1 cos ? sin A ? sin C , CC1 cos ? sin A ? sin B,? AA1 cos ? BB1 ? 2 2 2 B C 2(sin A ? sin B ? sin C ) cos ? CC1 cos ? 2(sin A ? sin B ? sin C ),? 原式 ? ? 2.选A. 2 2 sin A ? sin B ? sin C

4.如图, ABCD ? A?B ?C ?D ? 为正方体。任作平面 ? 与对角线 AC ? 垂 直, 使得 ? 与正方体的每个面都有公共点, 记这样得到的截面多边形的面积 为 S,周长为 l .则( ) A.S 为定值, l 不为定值 B.S 不为定值, l 为定值 C.S 与 l 均为定值 D.S 与 l 均不为定值 解:将正方体切去两个正三棱锥 A ? A?BD与 C ? ? D?B?C 后,得到一个以 平行平面 A?BD与D?B?C 为上、 下底面的几何体 V, V 的每个 侧面都是等腰直角三角形,截面多边形 W 的每一条边分别与 V 的底面上的一条边平行,将 V 的侧面沿棱 A?B ? 剪开,展平 在一张平面上,得到一个 而多边形 W 的周界展开后便成为一条与 A?A1 A?B ?B1 A1 , 平行的线段(如图中 E ?E1 ) ,显然 E ?E1 ? A?A1 ,故 l 为定值。 当 E ? 位于 A?B ? 中点时,多边形 W 为正六边形,而当 E ? 移至 A? 处时,W 为正三角形,易知周 长为定值 l 的正六边形与正三角形面积分别为

3 2 3 2 l 与 l ,故 S 不为定值。选 B。 24 36

5.方程

x2 sin 2 ? sin 3

?

y2 cos 2 ? cos 3

? 1 表示的曲线是(



A.焦点在 x 轴上的椭圆 C.焦点在 y 轴上的椭圆 解:? 2 ? 3 ? ? ,? 0 ?

B.焦点在 x 轴上的双曲线 D.焦点在 y 轴上的双曲线

?
2

? 2 ? 3?

?
2

?

?
2

,? cos(

?

? 2 ) ? cos( 3 ? ), 即 2 2

?

sin 2 ? sin 3.
又0? 线是椭圆。

2?

? ?

, ? 3 ? ? ,? cos 2 ? 0, cos 3 ? 0,? cos 2 ? cos 3 ? 0, 方程表示的曲 2 2

? (sin 2 ? sin 3 ) ? (cos 2 ? cos 3 ) ? 2 2 sin

2? 3 2? 3 ? sin( ? ) ??(?) 2 2 4

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4

2? 3 2? 3 ? ? 0,? sin ? 0, ? 2 2 2 2 2? 3 ? ? sin( ? ) ? 0,? (?)式 ? 0. 2 4 ? ?

?

2 ? 3 3? 3? ? ,? ? 2 4 4

2? 3 ? ? ? ?. 2 4

即 sin 2 ? sin 3 ? cos 2 ? cos 3. ?曲线表示焦点在 y 轴上的椭圆,选 C。 6.记集合 T ? {0,1,2,3,4,5,6}, M ? {

a1 a 2 a3 a 4 ? ? ? | ai ? T , i ? 1,2,3,4}, 将 M 中的元素按从 7 7 2 73 7 4


大到小的顺序排列,则第 2005 个数是(

5 5 6 3 ? 2 ? 3 ? 4 7 7 7 7 1 1 0 4 C. ? 2 ? 3 ? 4 7 7 7 7
A.

5 5 6 2 ? 2 ? 3 ? 4 7 7 7 7 1 1 0 3 D. ? 2 ? 3 ? 4 7 7 7 7
B.
4

解:用 [a1a2 ?ak ] p 表示 k 位 p 进制数,将集合 M 中的每个数乘以 7 ,得

M ? ? {a1 ? 73 ? a2 ? 72 ? a3 ? 7 ? a4 | ai ?T , i ? 1, 2,3, 4} ? {[a1a2a3a4 ]7 | ai ?T , i ? 1, 2,3, 4}.
M ? 中的最大数为 [6666 ]7 ? [2400 ]10 。
在十进制数中,从 2400 起从大到小顺序排列的第 2005 个数是 2400-2004=396。而 [396 ]10 ?

1 1 0 4 [1104 ]7 将此数除以 7 4 ,便得 M 中的数 ? 2 ? 3 ? 4 . 故选 C。 7 7 7 7
二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 本题共有 6 小题,要求直接将答案写在横线上。 7.将关于 x 的多项式 f ( x) ? 1 ? x ? x ? x ? ? ? x
2 3 19

? x 20 表为关于 y 的多项式 g ( y ) ?
5 21 ? 1 . 6

a0 ? a1 y ? a2 y 2 ? ? ? a19 y19 ? a20 y 20 , 其中 y ? x ? 4. 则 a0 ? a1 ? ? ? a20 ?

解:由题设知, f ( x) 和式中的各项构成首项为 1,公比为 ? x 的等比数列,由等比数列的求和

(? x) 21 ? 1 x 21 ? 1 ( y ? 4) 21 ? 1 ? . 令 x ? y ? 4, 得 g ( y) ? 公式,得: f ( x) ? , 取 y ? 1, ? x ?1 x ?1 y?5
有 a 0 ? a1 ? a 2 ? ? ? a 20 ? g (1) ?

5 21 ? 1 . 6

2 2 8.已知 f ( x) 是定义在 (0,??) 上的减函数,若 f (2a ? a ? 1) ? f (3a ? 4a ? 1) 成立,则 a 的

取值范围是 0 ? a ?

1 或1 ? a ? 5. 3
5

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解:? f ( x) 在 (0,??) 上定义,又 2a ? a ? 1 ? 2(a ? ) ?
2 2

1 4

7 ? 0;3a 2 ? 4a ? 1 ? (3a ? 1) 8

? (a ? 1), 仅当 a ? 1 或 a ?

1 时, 3a 2 ? 4a ? 1 ? 0.(?) 3

? f ( x) 在 (0,??) 上是减函数, ? 2a 2 ? a ? 1 ? 3a 2 ? 4a ? 1, ? a 2 ? 5a ? 0,? 0 ? a ? 5, 结合
(*)知 0 ? a ?

1 或 1 ? a ? 5. 3

9.设 ? 、 ? 、 ? 满足 0 ? ? ? ? ? ? ? 2? ,若对于任意 x ? R, cos(x ? ? ) ? cos(x ? ? ) ?

cos(x ? ? ) ? 0, 则 ? ? ? ?

4? . 3

解:设 f ( x) ? cos(x ? ? ) ? cos(x ? ? ) ? cos(x ? ? ), 由 x ? R , f ( x) ? 0 知,

f (?? ) ? 0, f (?? ) ? 0, f (? ? ) ? 0, 即 cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? ?1, cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? ?1, cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? ?1. ? cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ?
1 2? 4? ? . ? 0 ? ? ? ? ? ? ? 2? ,? ? ? ? , ? ? ? , ? ? ? ? { , }, 又 ? ? ? ? ? ? ? , ? ? ? ? 2 3 3 2? 4? ? ? ? . 只有 ? ? ? ? ? ? ? ? .?? ? ? ? . 3 3 2? 2? 4? ,有? ?? ? ,? ? ? ? , ?x ? R, 记 x ? ? ? ? ,由于 另一方面,当 ? ? ? ? ? ? ? ? 3 3 3 2? 2? 4? 4? ), sin(? ? )), (cos( ? ? ), sin(? ? )) 构 成 单 位 圆 三 点 (cos ? , sin ? ), (cos( ? ? 3 3 3 3

x2 ? y2 ? 1 上 正 三 角 形 的 三 个 顶 点 . 其 中 心 位 于 原 点 , 显 然 有
cos ? ? cos(? ? 2? 4? ) ? cos(? ? ) ? 0. 3 3

即 cos(x ? ? ) ? cos(x ? ? ) ? cos(x ? ? ) ? 0. 10. 如 图 , 四 面 体 DABC 的 体 积 为

1 , 且 满 足 6

?ACB ? 45?, AD ? BC ?
解:?

AC 2

? 3, 则 CD ? 3 .

1 1 1 AD ? ( ? BC ? AC ? sin 45?) ? VDABC ? , 3 2 6

即 AD ? BC ?

AC 2

? 1. 又 3 ? AD ? BC ?

AC 2

? 3 AD ? BC ?

AC 2

? 3,

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6

等号当且仅当 AD ? BC ?

AC 2

? 1 时成立,这时 AB ? 1, AD ? 面 ABC,? DC ? 3 .

11.若正方形 ABCD 的一条边在直线 y ? 2 x ? 17 上, 另外两个顶点在抛物线 y ? x 2 上.则该正方 形面积的最小值为 80 .

解:设正方形的边 AB 在直线 y ? 2 x ? 17 上,而位于抛物线上的两个顶点坐标为 C ( x1 , y1 ) 、

D( x2 , y 2 ) , 则 CD 所 在 直 线 l 的 方 程 y ? 2 x ? b, 将 直 线 l 的 方 程 与 抛 物 线 方 程 联 立 , 得

x 2 ? 2 x ? b ? x1, 2 ? 1 ? b ? 1.
令正方形边长为 a, 则 a ? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? 5( x1 ? x2 ) ? 20(b ? 1). ①
2 2 2 2

在 y ? 2 x ? 17 上任取一点(6,,5) ,它到直线 y ? 2 x ? b 的距离为 a,? a ? ①、②联立解得 b1 ? 3, b2 ? 63. ?a ? 80, 或 a ? 1280 . ? amin ? 80.
2 2 2

| 17 ? b | 5

②.

12.如果自然数 a 的各位数字之和等于 7,那么称 a 为“吉祥数”.将所有“吉祥数”从小到大排 成一列 a1 , a2 , a3 ,?, 若 an ? 2005 , 则 a5 n ? 5200.
m 解:∵方程 x1 ? x2 ? ? ? xk ? m 的非负整数解的个数为 Cm , xi ? 0(i ? 2) 的整 ? k ?1 .而使 x1 ? 1 m?1 6 m ? 7 ,可知, k 位“吉祥数”的个数为 P(k ) ? Ck 数解个数为 Cm ? k ?2 .现取 ?5 .

6 6 ∵2005 是形如 2abc 的数中最小的一个“吉祥数” ,且 P(1) ? C6 ? 1, P(2) ? C7 ? 7, 6 P(3) ? C8 ? 28, 对于四位“吉祥数” 1abc ,其个数为满足 a ? b ? c ? 6 的非负整数解个数,即
6 C6 ?3?1 ? 28 个。

∵2005 是第 1+7+28+28+1=65 个“吉祥数” ,即 a65 ? 2005 . 从而 n ? 65,5n ? 325.
6 6 又 P(4) ? C9 ? 84, P(5) ? C10 ? 210, 而

? P(k ) ? 330.
k ?1

5

∴从大到小最后六个五位“吉祥数”依次是: 70000, 61000,60100,60010,60001,52000.∴第 325 个“吉祥数”是 52000,即 a5n ? 52000 . 三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) 13.数列 {an } 满足: a0 ? 1, an?1 ?
2 7an ? 45an ? 36

2
7

, n ? N.

共 13 页

证明: (1)对任意 n ? N , an 为正整数;(2)对任意 n ? N , an an?1 ? 1 为完全平方数。 证明: (1)由题设得 a1 ? 5, 且 {an } 严格单调递增.将条件式变形得 2a n ?1 ? 7 a n ?
2 2 两边平方整理得 an ?1 ? 7an an?1 ? an ? 9 ? 0 2 2 ② ? an ? 7an?1an ? an ?1 ? 9 ? 0
2 45a n ? 36 ,



①-②得 (an?1 ? an?1 )(an?1 ? an?1 ? 7an ) ? 0,?an ?1 ? an ,?an ?1 ? an ?1 ? 7an ? 0 ?

an?1 ? 7an ? ab?1 . ③
由③式及 a0 ? 1, a1 ? 5 可知,对任意 n ? N , an 为正整数.??????????10 分 (2)将①两边配方,得 (a n ?1 ? a n ) ? 9(a n a n ?1 ? 1),? a n a n ?1 ? 1 ? (
2

a n ?1 a n 2 ) .④ 3

由③ an?1 ? an ? 9an ? (an?1 ? an ) ≡ ?(an ? an?1 ) ? mod3? ∴ an?1 ? an ≡ (?1) ④式成立.
n

? a1 ? a0 ? ≡0(mod3)∴

an ?1 ? an 为正整数 3

? an an?1 ? 1 是完全平方数.????????????????????????20 分
14.将编号为 1,2,?,9 的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上,每个等分点上各有一个 小球.设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为要 S.求使 S 达到最小值的放法的概率.(注: 如果某种放法,经旋转或镜面反射后可与另一种放法重合,则认为是相同的放法) 解:九个编号不同的小球放在圆周的九个等分点上,每点放一个,相当于九个不同元素在圆周上 的一个圆形排列,故共有 8!种放法,考虑到翻转因素,则本质不同的放法有

8! 种. ?5 分 2

下求使 S 达到最小值的放法数:在圆周上,从 1 到 9 有优弧与劣弧两条路径,对其中任一条路径, 设 x1 , x2 ,?, xk 是依次排列于这段弧上的小球号码,则

| 1 ? x1 | ? | x1 ? x2 | ??? || xk ? 9 |?| (1 ? x1 ) ? ( x1 ? x2 ) ? ? ? ( xk ? 9) |?| 1 ? 9 |? 8. 上 式 取
等号当且仅当 1 ? x1 ? x2 ? ? ? xk ? 9 ,即每一弧段上的小球编号都是由 1 到 9 递增排列. 因此 S 最小 ? 2 ? 8 ? 16 .?????????????????????????10 分 由上知,当每个弧段上的球号 {1, x1 , x2 ,? xk ,9} 确定之后,达到最小值的排序方案便唯一确定. 在 1,2,?,9 中,除 1 与 9 外,剩下 7 个球号 2,3,?,8,将它们分为两个子集,元素较少的
0 1 2 3 一个子集共有 C7 每种情况对应着圆周上使 S 值达到最小的唯一排法, ? C7 ? C7 ? C7 ? 26 种情况,

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8

即有利事件总数是 2 种,故所求概率 P ?
6

26 1 ? . ?????20 分 8! 315 2

15.过抛物线 y ? x 2 上的一点 A(1,1)作抛物线的切线,分别交 x 轴于 D,交 y 轴于 B.点 C 在 抛物线上,点 E 在线段 AC 上,满足

AE BF ? ?1 ;点 F 在线段 BC 上,满足 ? ? 2 ,且 ?1 ? ?2 ? 1 , EC FC

线段 CD 与 EF 交于点 P.当点 C 在抛物线上移动时,求点 P 的轨迹方程. 解一:过抛物线上点 A 的切线斜率为: y? ? 2 x | x?1 ? 2,?切线 AB 的方程为 y ? 2 x ? 1. ? B、D 的坐标为 B (0,?1), D ( ,0),? D 是线段 AB 的中点. ??????5 分
2 设 P( x, y) 、 C( x0 , x0 ) 、 E ( x1 , y1 ) 、 F ( x2 , y2 ) ,则由

1 2

AE ? ?1 知, EC

x1 ?

2 2 1 ? ?1 x0 1 ? ?1 x0 ? x ? 1 ? ? 2 x0 BE ? ? 2 , 得 x2 ? 2 0 , y 2 ? , y1 ? ; . 1 ? ?1 1 ? ?1 FC 1 ? ?2 1 ? ?2

2 1 ? ?1 x0 1 ? ?1 x0 y? x? 1 ? ?1 1 ? ?1 ∴EF 所在直线方程为: ? , 2 2 ? 1 ? ? 2 x0 1 ? ?1 x0 ? 2 x0 1 ? ?1 x0 ? ? 1 ? ?2 1 ? ?1 1 ? ?2 1 ? ?1

2 2 化 简 得 [(?2 ? ?1 ) x0 ? (1 ? ?2 )]y ? [(?2 ? ?1 ) x0 ? 3]x ? 1 ? x0 ? ?2 x0 .?

①????10 分 当 x0 ?
2 2 2 x0 x ? x0 1 时,直线 CD 的方程为: y ? ?② 2 2 x0 ? 1

x ?1 ? x? 0 ? 1 ? 3 2 联立①、②解得 ? ,消去 x0 ,得 P 点轨迹方程为: y ? (3 x ? 1) . ???15 分 2 3 ? y ? x0 ? 3 ?
当 x0 ?

1 3 1 1 3 1 1 时,EF 方程为: ? y ? ( ? 2 ? ?1 ? 3) x ? ? ? 2 , CD 方程为: x ? ,联立解 2 2 4 4 2 4 2

1 ? ? x? , ? ? 2 ? 2 ? 得? ? 也在 P 点轨迹上.因 C 与 A 不能重合,∴ x0 ? 1,? x ? . 3 ? y ? 1 .? ? 12 ? ? ?
∴所求轨迹方程为 y ?

1 2 (3 x ? 1) 2 ( x ? ). ??????????????????20 分 3 3

共 13 页

9

解二:由解一知,AB 的方程为 y ? 2 x ? 1, B(0,?1), D( ,0), 故 D 是 AB 的中点. ??5 分 令? ?

1 2

CD CA CB , t1 ? ? 1 ? ?1 , t 2 ? ? 1 ? ? 2 , 则 t1 ? t 2 ? 3. 因为 CD 为 ?ABC 的中线, CP CE CF

? S ?CAB ? 2S ?CAD ? 2S ?CBD .


S S t ?t 1 CE ? CF S ?CEF 1 1 1 3 3 ? ? ? ?CEP ? ?CFP ? ( ? )? 1 2 ? ,?? ? , ? P t1t 2 CA ? CB S ?CAB 2S ?CAD 2S ?CBD 2 t1? t 2? 2t1t 2? 2t1t 2? 2

是 ?ABC 的重心. ???????????????????????????10 分
2 设 P( x, y),C( x0 , x0 ), 因点 C 异于 A,则 x0 ? 1, 故重心 P 的坐标为
2 0 ? 1 ? x0 1 ? x0 ? 1 ? 1 ? x0 x2 1 2 ? , ( x ? ), y ? ? 0 , 消去 x0 , 得 y ? (3 x ? 1) 2 . 3 3 3 3 3 3

x?

故所求轨迹方程为 y ?

1 2 (3 x ? 1) 2 ( x ? ). ??????????????????20 分 3 3

2005 年全国高中数学联赛试题(二)
一、 (本题满分 50 分) 如图,在△ABC 中,设 AB>AC,过 A 作△ABC 的外接圆的切线 l,又以 A 为圆心,AC 为半径作圆 分别交线段 AB 于 D;交直线 l 于 E、F。 证明:直线 DE、DF 分别通过△ABC 的内心与一个旁心。

(注:与三角形的一边及另两边的延长线均相切的圆称为三角形的旁切圆,旁切圆的圆心称为 旁心。 ) 证明: (1)先证 DE 过△ABC 的内心。 如图,连 DE、DC,作∠BAC 的平分线分别交 DC 于 G、DE 于 I,连 IC,则由 AD=AC, 得,AG⊥DC,ID=IC. 又 D、C、E 在⊙A 上, ∴∠IAC=

1 ∠DAC=∠IEC,∴A、I、C、E 四点共圆, 2 1 ∠ABC. 2 1 1 ∠ABC,∴∠ACI= ∠ACB,∴I 为△ABC 的内心。 2 2
10

∴∠CIE=∠CAE=∠ABC,而∠CIE=2∠ICD, ∴∠ICD=

∴∠AIC=∠IGC+∠ICG=90°+

共 13 页

(2)再证 DF 过△ABC 的一个旁心. 连 FD 并延长交∠ABC 的外角平分线于 I1,连 II1、B I1、B I,由(1)知,I 为内心, ∴∠IBI1=90°=∠EDI1,∴D、B、l1、I 四点共圆, ∵∠BI l1 =∠BDI1=90°-∠ADI1 =(

1 1 ∠BAC+∠ADG)-∠ADI= ∠BAC+∠IDG,∴A、I、I1 共线. 2 2

I1 是△ABC 的 BC 边外的旁心 二、 (本题满分 50 分) 设正数 a、b、c、x、y、z 满足 cy ? bz ? a, az ? cx ? b; bx ? ay ? c. 求函数 f ( x, y, z ) ?

x2 y2 z2 的最小值. ? ? 1? x 1? y 1? z

解:由条件得, b(az ? cx ? b) ? c(bx ? ay ? c) ? a(cy ? bz ? a) ? 0 , 即 2bcx ? a ? b ? c ? 0 ,
2 2 2

?x ?

b2 ? c2 ? a2 a2 ? c2 ? b2 a2 ? b2 ? c2 y ? , z ? . ,同理,得 2ac 2ab 2bc

? a、b、c、x、y、z 为正数,据以上三式知,
b2 ? c 2 ? a 2 , a 2 ? c2 ? b2 , a 2 ? b2 ? c 2 ,
故以 a、b、c 为边长,可构成一个锐角三角形 ABC,

? x ? cos A, y ? cos B, z ? cosC ,问题转化为:在锐角△ABC 中,

cos2 A cos2 B cos2 C ? ? 求函数 f (cos A 、 cos B 、 cos C )= 的最小值. 1 ? cos A 1 ? cos B 1 ? cosC
? 令 u ? cot A, v ? cot B, w ? cot C, 则 u, v, w ? R , uv ? vw ? wu ? 1,

且 u ? 1 ? (u ? v)(u ? w), v ? 1 ? (u ? v)(v ? w), w ? 1 ? (u ? w)(v ? w).
2 2 2

?

cos2 A ? 1 ? cos A

1?

u2 u2 ?1 u u2 ?1

?

u2 u 2 ? 1( u 2 ? 1 ? u )

?

u 2 ( u 2 ? 1 ? u) u2 ?1

? u2 ?

u3 u2 ?1

u2 ?

u3 (u ? v)(u ? w)

? u2 ?

u3 1 1 ( ? ), 2 u?v u?w

同理,

cos2 B v3 1 1 cos2 C w3 1 1 ? v2 ? ( ? ), ? w2 ? ( ? ). 1 ? cos B 2 u ? v u ? w 1 ? cosC 2 u?w v?w

共 13 页

11

1 u 3 ? v 3 v 3 ? w3 u 3 ? w3 1 ? f ? u 2 ? v 2 ? w2 ? ( ? ? ) ? u 2 ? v 2 ? w 2 ? [(u 2 ? uv ? v 2 ) 2 u?v v?w u?w 2
+ (v ? vw ? w ) ? (u ? uw ? w )] ?
2 2 2 2

1 1 (uv ? vw ? uw) ? . (取等号当且仅当 u ? v ? w ,此时, 2 2 1 1 a ? b ? c, x ? y ? z ? ), [ f ( x, y, z )] min ? . 2 2

三、 (本题满分 50 分)

当n为平方数, ?0 ? 对每个正整数 n,定义函数 f (n) ? ? 1 . ?[{ n }]当n不为平方数 ?
(其中[x]表示不超过 x 的最大整数, {x} ? x ? [ x]). 试求:
2

? f (k ) 的值.
k ?1

240

* 2 2 解:对任意 a, k ? N ,若 k ? a ? (k ? 1) ,则 1 ? a ? k ? 2k ,设 a ? k ? ? ,0 ? ? ? 1,



1

{ a} ?

?

1

?

1 a ?k

?

a ? k 2k ? ? 2k 1 2k ? ? ? 1,?[ ]?[ ]. 2 2 2 a?k a?k a?k a ?k2 { a}

让 a 跑遍区间 (k 2 , (k ? 1) 2 )中的所有整数,则

k 2 ? a ?( k ?1) 2
( n ?1) 2

?

[

2k 1 2k ] ? ?[ ], {a} i i ?1

于是

?
a ?1

f (a) ? ?? [
i ?1 i ?1

n

2k

2k ??① ] i

下面计算

?[
i ?1

2k

2k ], 画一张 2k×2k 的表,第 i 行中,凡是 i 行中的位数处填写“*”号,则这行 i

的“*”号共 [

2k 2k 2k ] 个,全表的“*”号共 ? [ ] 个;另一方面,按列收集“*”号数,第 j 列中,若 i i i ?1

j 有 T(j)个正因数,则该列使有 T(j)个“*”号,故全表的“*”号个数共

2k 2 k T ( j ) 个,因此 ?[ ] = ? T ( j ) . ? i i ?1 j ?1 j ?1
2k

2k

示例如下: j i 1 2 3 4 5 6
共 13 页 12

1 *

2 * *

3 * *

4 * * *

5 *

6 * * *

*



? f (a) ? ??T ( j) ? n[T (1) ? T (2)] ? (n ? 1)[T (3) ? T (4)] ?? ? [T (2n ? 1) ? T (2n)]
i ?1 i ?1 j ?1

n

n

2k

??② 由此,

? f (k ) ?? (16 ? k )[T (2k ? 1) ? T (k )] ??③
k ?1 k ?1

256

15

记 ak ? T (2k ? 1) ? T (2k ), k ? 1,2,?,15, 易得 ak 的取值情况如下:

k

1 3

2 5
16 n

3 6

4 6

5 7

6 8

7 6

8 9

9 8

10 8

11 8

12 10

13 7

14 10

15 10

ak

因此,

? f (k ) ?? (16 ? k )ak ? 783??④
k ?1 k ?1

15

据定义 f (256) ? f (162 ) ? 0 , 又当 k ?{241 ,242,?,255 }, 设k ? 152 ? r

(16 ? r ? 30) ,
?

k ? 15 ? 152 ? r ? 15 ?

r r r , ? ? 152 ? r ? 15 31 152 ? r ? 15 30

r

1?

1 30 1 31 ] ? 1, k ? {241 ,242,?,255 } ??⑤ ? ? ? 2 ,则 [ 2 r { 15 ? r } r { k}

从则

? f (k ) ? 783? ? f (k ) ? 783? 15 ? 768.
i ?1 i ?1

240

256

共 13 页

13


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