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江苏省2010届高三数学模拟试题(含答案)

时间:2010-07-24


姓名__ ___ 姓名 填空题: 小题, 一,填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.将答案填在题中的横线上 1. 已知 U 为实数集,集合 M = {x | 0 < x < 2}, N = {x | y = x 1} ,则 M I (CU N ) = ____ .

2010 届高三综合练习
π

小题, 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 二,解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 解答题:

6 3. 已知虚数 z 满足等式: 2 z z = 1 + 6i ,则 z = . 4.设 p :| 4 x 3 |≤ 1; q : ( x a )( x a 1) ≤ 0 ,若 p 是 q 的充分不必要条件,则 实数 a 的取值范围是_______________. 5.如图,已知米粒等可能地落入如图所示的四边形 ABCD 内,如果通过大量的 4 实验发现米粒落入△BCD 内的频率稳定在 附近,那么点 A 和点 C 到直线 BD 的 9
距离之比约为 . . 6.给出一个算法如下,根据算法,可求得 ( 2) (3) f +f = 7.若关于 x 的不等式 ax b > 0 的解集是 (1, +∞) ,则关于 x 的不等式 是 .
2

2.已知函数 y = sin(x + ) cos(x + ) ,则其最小正周期

π

.
A

uuur uuu r AC BC c 3a r r . 15.△ABC 中,三个内角 ABC 对边分别为 a, b, c ,且 uuu uuu = c AB BC uuu uuu uuur r r (Ⅰ)求 sin B ; (Ⅱ)若 b = 4 2, ( AB BC ) AC = 0 ,求△ABC 的面积.

6

B D

C

Re ad x

ax + b > 0 的解集 x2

If x ≥ 0 Then

(x) 2 x 1 f ← Else

(x) 2x f ← 8.若双曲线的中心在原点, 一个焦点与抛物线 y = 8 x 的焦点重合, 一个顶点的坐标为 (1, End If
0) ,则此双曲线方程是 .

r r r r r r r r r r 9.已知向量 a = (1, 2), b = (0,1) ,设 u = a + kb, v = 2a b ,若 u v ,则实数 k 的值为
10.函数 y = cos(2 x + 小值为

Pr int (x) f
.

16.如图,四边形 ABCD 为矩形, DA ⊥ 平面 ABE , AE = EB = BC = 2 , BF ⊥ 平面 ACE 于点 F , 且点 F 在 CE 上. (Ⅰ)求证: AE ⊥ BE ; (Ⅱ)求三棱锥 D AEC 的体积; C D (Ⅲ)设点 M 在线段 AB 上,且满足 AM = 2 MB , 试在线段 CE 上确定一点 N ,使得 MN // 平面 DAE .

π
4

) 的图像可由函数 y = cos 2 x 的图像向右平移 m (m > 0) 个单位而得到,则 m 的最 A E

F
M

.

B

11.若 f ( x ) = 2 x 2 ln x 在定义域的一个子区间 (k 1, k + 1) 上不是单调函数,则实数 k 的取值范围是 ____________________. 12.已知数列 2008,2009,1,-2008,-2009,……这个数列的特点是从第二项起,每一项都等于它的前 后两项之和,则这个数列的前 2009 项之和 S 2009 等于 . 13.棱长为 1 的正方体 ABCD A1 B1C1 D1 中,若 E,G 分别为 C1 D1 , BB1 的中点,F 是正方形 ADD1 A1 的中 心,则空间四边形 BGEF 在正方体的六个面内射影的面积的最大值为 14.已知平面上的向量 PA , PB 满足 PA + PB = 4 , AB = 2 ,设向量 PC = 2 PA + PB ,则 PC 的最 小值是 .

(16 题图)

uuu r

uuu r

uuu 2 r

uuu 2 r

uuu r

uuu r

uuu uuu r r

uuu r

3 x2 y2 ,直线 l : y = x + 2 与以原点为圆心,椭圆 C1 的短 + 2 = 1(a > b > 0) 的离心率为 2 3 a b 半轴长为半径的圆相切. (Ⅰ)求椭圆 C1 的方程;
17. 已知椭圆 C1 : (Ⅱ)设椭圆 C1 的左焦点为 F1 ,右焦点为 F2 ,直线 l1 过点 F1 且垂直于椭圆的长轴,动直线 l 2 垂直于直线

19.已知函数 f ( x) = x3 + ax 2 + bx + c .

(Ⅰ)若函数 f ( x) 在区间 [ 1,0] 上是单调递减函数,求 a 2 + b 2 的最小值; (Ⅲ)在⑵的条件下,函数 f ( x) 存在两个极值点: A( x1 , m), B ( x2 , n) ,若 x1 x2 = 析式.

(Ⅱ)若函数 f ( x) 的三个零点分别为 1 t ,1, 1 + t (0 < t < 1) ,求证: a 2 = 2b + 3 .

l1 ,垂足为点 P ,线段 PF2 的垂直平分线交 l 2 于点 M ,求点 M 的轨迹 C 2 的方程;
(Ⅲ)设 C 2 与 x 轴交于点 Q ,不同的两点 R, S 在 C 2 上,且满足 QR RS = 0 ,求 | QS | 的取值范围.

2 ,求函数 f ( x) 的解 3

18. 如图,矩形纸片 ABCD 的边 AB = 24, AD = 25,点 E ,F 分别在边 AB 与 BC 上.现将纸片的右下角沿 EF 翻折,使得顶点 B 翻折后的新位置 B1 恰好落在边 AD 上.设

20.已知:数列{ a n },{ bn }中, a1 =0, b1 =1,且当 n ∈ N + 时, a n , bn , a n +1 成等差数列, bn , a n +1 ,

BE = t , EF = l , l 关于 t 的函数为 l = f (t ) ,试求: EF (Ⅰ)函数 f (t ) 的解析式; (Ⅱ)函数 f (t ) 的定义域; (Ⅲ) l 的最小值.
D C F

bn +1 成等比数列.
(1)求数列{ a n },{ bn }的通项公式; 恒成立; (3)设 d n =
1 b1 + 1 b2 + + 1 bn

(2)求最小自然数 k ,使得当 n ≥ k 时,对任意实数 λ ∈ [0, ,不等式 2λ 3) n ≥ 2λ 4) n + λ 3) 1] ( b ( a (
d d d + 2 (n∈N ) ,求证:当 n ≥2 都有 d n >2 2 + 3 + + n ) ( . 2 3 n

B1 A B

E

2010 届高三综合练习参考答案 1.(0,1) 2. π

3. 1 + 2i
9.

4. [0, ]

1 2

5.

5 4

6.

21 4

7. ( ∞, 1) U (2, +∞) 13.

y2 8. x =1 3
2

1 3 7π 10. 11. 1 ≤ k < 2 8 2 b a cos c c 3a 15. (Ⅰ)由题意得 = , c a cos(π B) c

x2 y2 + = 1. ∴椭圆 C1 的方程为: 3 2 (Ⅱ)由 MP = MF2 得动点 M 的轨迹是以 l1 : x = 1 为准线, F2 为焦点的抛物线,∴点 M 的轨迹 C 2 的方
程为 y 2 = 4 x .
2 y12 y2 (3) Q (0,0) ,设 R ( , y1 ), S ( , y 2 ) , 4 4 2 2 y1 y 2 y12 ∴ QR = ( , y1 ), RS = ( , y 2 y1 ) , 4 4 y 2 ( y 2 y12 ) 由 QR RS = 0 ,得 1 2 + y1 ( y 2 y1 ) = 0 ,∵ y1 ≠ y 2 16 16 ∴化简得 y 2 = y1 , y1 256 2 2 ∴ y 2 = y1 + 2 + 32 ≥ 2 256 + 32 = 64 (当且仅当 y1 = ±4 时等号成立), y1

12.1

1 2

14.2

b cos C = (c 3a ) cos B,sin B cos C = 3sin A cos B sin C cos B
1 sin( B + C ) = 3sin A cos B, sin A = 0或 cos B = . 3 1 2 2 Q A ∈ (0, π ) ∴ cos B = , sin B = 3 3 uuu uuu uuu uuu r r r r uuu 2 uuu 2 r r (2) Q ( AB BC ) ( AB + BC ) = 0, AB BC = 0 uuu r uuu r ∴ AB = BC , 即c=a,

∵ | QS |=

(

Q b2 = a 2 + c 2 2ac cos B
1 a + a 2a × = 32, a 2 = 24, 3
2 2 2

2 y2 2 1 2 2 ) + y2 = ( y 2 + 8) 2 64 , 4 4

2 2 又∵ y 2 ≥ 64 ,∴当 y 2 = 64 ,即 y 2 = ±8 时 | QS | min = 8 5 ,

S

ABC

=

1 1 2 2 ac sin B = × 24 × = 8 2. 2 2 3

18. (Ⅰ)设 ∠BFE = θ ,则 t = sin θ . 由于 ∠B1 FE = ∠BFE = θ , ∠FB1 E = ∠FBE = 则 ∠AB1 E = π 2θ

∴ | QS | 的取值范围是 [8 5 ,+∞)

π
2

,

16. (Ⅰ)证明:由 AD ⊥ 平面 ABE 及 AD // BC 得 BC ⊥ 平面 ABE ,则 AE ⊥ BC 而 BF ⊥ 平面 ACE ,则 BF ⊥ AE ,又 BC I BF = B ,则 AE ⊥ 平面 BCE , 又 BE 平面 BCE ,故 AE ⊥ BE . (Ⅱ)在 ABE 中,过点 E 作 EH ⊥ AB 于点 H ,则 EH ⊥ 平面 ACD .

1 AB = 2, S ADC = 2 2 . 2 1 4 故 VD AEC = VE ADC = × 2 2 × 2 = 3 3 (Ⅲ)在 ABE 中过点 M 作 MG // AE 交 BE 于点 G ,在 BEC 中过点 G 作 GN // BC 交 BC 于点 N ,连 CN BG MB 1 1 = = = 得 CN = CE 接 MN ,则由 CE BE AB 3 3 由平面 ADE , AE 平面 ADE ,则 MG // 平面 ADE 再由 GN // BC , BC // AD 得 GN // 平面 ADE ,又 MN 平面 MGN ,则 MN // 平面 ADE . 故当点 N 为线段 CE 上靠近点 C 的一个三等分点时, MN // 平面 ADE .
由已知及(Ⅰ)得 EH =

2θ ,即 ∠AEB1 = 2θ . 2 2 而 BE = l sin θ , AE = B1 E cos 2θ = l sin θ cos 2θ , AE + BE = AB = 6 , 24 24 所以 l sin θ + l sin θ cos 2θ = 24 ,解得 l = = sin θ + sin θ cos 2θ sin θ (1 + cos 2θ ) 24 12 12 = = . 故 l = f (t ) = 2 2 sin θ (2 2sin θ ) sin θ (1 sin θ ) t t3 BE BE (Ⅱ)因为 tan θ = ,故当点 E 与点 A 重合时, tan θ = =1. BF BF =

π

π

当点 E 向右运动时,BE 长度变小,为保持点 B1 在边 AD 上,则点 F 要向上运动,从而 BA 的长度变大,则 tan θ 就变小,当点 F 与点 C 重合时, tan θ 取得最小值. 又当点 F 与点 C 重合时,有 25 tan θ + 25 tan θ cos 2θ = 24 ,即 12 tan θ 25 tan θ + 12 = 0 ,解之得
2

17. (Ⅰ) e = 解: 由

3 2 2 得 2a = 3b , 又由直线 l : y = x + 2 与圆 x 2 + y 2 = b 2 相切, b = 2 ,a = 3 , 得 3

3 4 3 3 2 或 tan θ = (舍). 所以 tan θ ∈ [ ,1] ,又 θ 是锐角,所以 sin θ ∈ [ , ]. 4 3 4 5 2 3 2 综上,函数 f (t ) 的定义域为 t ∈ [ , ]. 5 2 3 2 3 2 3 ] ,因为 g ′(t ) = 1 3t 2 < 0 ,所以函数 g (t ) = t t 3在[ , ] 上单调递减,则当 (Ⅲ)记 g (t ) = t t , t ∈ [ , 5 2 5 2 tan θ =

t=

3 48 125 时, g (t ) 取得最大值为 .从而 l 的最小值为 . 5 125 4

∴ d n 2 d n21 = 2
2 2

dn 1 n n2
2 2

……………………………………………………………12 分
2

19. (Ⅰ)依题意, f ′( x) = 3 x 2 + 2ax + b ≤ 0 ,在 [ 1,0] 上恒成立.

由( d n d n 1 )+( d n 1 d n 2 )+…+( d 2 d12 )
d d 2 d3 d 4 1 1 1 1 + + + …+ n ) ( 2 + 2 + 2 + …+ 2 ) , 2 3 4 n 2 3 4 n dn d 2 d3 d 4 1 1 1 1 2 即: d n = 2( + + + …+ ) ( 2 + 2 + 2 + …+ 2 ) + 1 ……………………………14 分 2 3 4 n 2 3 4 n 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + …+ ∵ 2 + 2 + 2 + …+ 2 < (n 1) n 2 3 4 n 1× 2 2 × 3 3 × 4 1 1 1 1 1 1 1 = 1 + + + …+ 2 2 3 3 4 n 1 n 1 = 1 <1 n d d d d 2 ∴当 n≥2 时, d n >2( 2 + 3 + 4 + …+ n ) …………………………………16 分 . 2 3 4 n = 2(

f ′( 1) ≤ 0 3 2a + b ≤ 0 3 2a + b ≤ 0 只需要 即可,也即 ,而 a 2 + b 2 可视为平面区域 内的点到原点 ′(0) ≤ 0 f b ≤ 0 b ≤ 0

3 9 的距离的平方,由点到直线的距离公式 d = = , 5 5 9 ∴ a 2 + b 2 得最小值为 . 5 (Ⅱ)由 f (1) = 0 ,得 c = a b 1 ,
2

2

∴ f ( x) = x3 + ax 2 + bx + c = x 3 + ax 2 + bx (a + b + 1) = ( x 1) x 2 + (a + 1) x + (a + b + 1) . ∴方程 x 2 + (a + 1) x + (a + b + 1) = 0 的两根是 1 t , 1 + t , ∴ 1 t + 1 + t = ( a + 1), 1 t 1 + t = a + b + 1 ,

(

1 t + 1+ t

)

2

= (a + 1)2 ,即 1 t + 2 1 t 1 + t + 1 + t = (a + 1)2 ,

∴ 2 + 2(a + b + 1) = (a + 1)2 ,∴ a 2 = 2b + 3 . (Ⅲ)依题意 x1 , x2 是方程 f ′( x) = 3 x 2 + 2ax + b = 0 的根. 故有 x1 + x2 =

2a b , x1 x2 = ,且 = (2a ) 2 12b > 0 . 3 3 ∴ 4(2b + 3) 12b > 0 ,

∴ b < 3 , x1 x2 = ( x1 + x2 ) 2 4 x1 x2 =

2 a 2 3b 2 3 b 2 = = , 3 3 3 2 ∴ b = 2, a = 2b + 3 = 7, a = ± 7 ,由 1 t + 1 + t = (a + 1) > 0 ,∴ a < 1 ,
+

∴ a = 7, c = ( a + b + 1) = 7 3 , f ( x) = x3 7 x 2 + 2 x + 7 3 . 20. (1) ∵当 n ∈ N 时, a n , bn , a n +1 成等差数列, bn , a n +1 , bn +1 成等比数列. ∴2 bn = a n + a n +1 , a n +1 = bn bn +1 . ∴ 2 bn =
2

2

………………………………………………………2 分

又∵ a1 = 0 , b1 = 1 ,∴ bn ≥0, a n ≥0 , 且 2bn =

bn1bn + bn bn +1 ,

bn 1 + bn +1 ( n ≥2),……………………………………………………………4 分
……………………………………………………………………6 分 ( )

∴数列{ bn }是等差数列,又 b2 = 4 ,∴ bn = n , n = 1 也适合. ∴ bn = n , a n = ( n 1) n .

( b ( a ( (2) 将 a n , bn 代入不等式 2λ 3) n ≥ 2λ 4) n + λ 3)

整理得: ( 2n 1)λ + n 2 4n + 3 ≥0 ……………………………………………………………8 分 令 f (λ ) = ( 2n 1)λ + n 2 4n + 3 ,则 f (λ ) 是关于 λ 的一次函数,

n 2 4 n + 3 ≥ 0 f ( 0) ≥ 0 ∴ ,解得 n ≤1 或 n ≥3. 由题意可得 n 2 2 n + 2 ≥ 0 f (1) ≥ 0 ∴存在最小自然数 k = 3 ,使得当 n ≥ k 时,不等式( )恒成立.…………………………10 分 1 1 1 1 1 (3) 由(1)得: d n = 1 + + + …+ .∴ d n d n 1 = , d n + d n 1 = 2d n ( n ≥2) , n 2 3 n n

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