nbhkdz.com冰点文库

第四章 第一节 三角函数的概念、同角三角函数的关系和诱导公式(往年高考集锦)

时间:2016-04-07


第四章 第一节

三角函数及三角恒等变换

三角函数的概念、同角三角函数的关系和诱导公式 第一部分 五年高考荟萃

2009 年高考题 一、选择题 1.(2009 海南宁夏理,5).有四个关于三角函数的命题:

p1 : ? x ? R, sin 2 p3 : ? x ? ? 0, ? ? ,
其中假命题的是 A. p1 , p4 答案 A

x 1 2 x + cos = 2 2 2

p2 : ? x、y ? R, sin(x-y)=sinx-siny p4 : sinx=cosy ? x+y=

1 ? cos 2 x =sinx 2

? 2

B. p2 , p4

C. p1 , p3

D. p2 , p4

2.. (2009 辽宁理, 8) 已知函数 f ( x ) =Acos( ? x ? ? )的图象如图所示,f ( ) ? ?

?

2

2 0 ) = , 则 f( 3





A. ?

2 3
C

B.

2 3

C.-

1 2

D.

1 2

答案

2 2 3.(2009 辽宁文,8)已知 tan ? ? 2 ,则 sin ? ? sin ? cos ? ? 2cos ? ? (



A. ?

4 3
D

B.

5 4

C. ?

3 4

D.

4 5

答案

4.(2009 全国 I 文,1) sin 585 °的值为 A. ?

2 2

B.

2 2

C. ?

3 2

D.

3 2

答案

A

5.(2009 全国 I 文,4)已知 tan a =4,cot ? = A.

7 11
B

B. ?

7 11

1 ,则 tan(a+ ? )= ( 3 7 7 C. D. ? 13 13



答案

6.(2009 全国 II 文,4) 已知 ?ABC 中, cot A ? ? A.

12 13

B.

5 13

C. ?

解析:已知 ?ABC 中, cot A ? ?

12 ? ,? A ? ( , ? ) . 5 2

5 13

12 , 则 cos A ? 5 12 D. ? 13

cos A ? ?

1 1 ? tan A
2

??

1 5 1 ? (? ) 2 12

??

12 13

故选 D.

7. (2009 全国 II 文, 9) 若将函数 y ? tan( ?x ? 与函数 y ? tan( ?x ? A.

?
4

)(? ? 0) 的图像向右平移
) D.

?
6

? 个单位长度后, 6

) 的图像重合,则 ? 的最小值为( 1 4
C.

1 6
D

B.

1 3

1 2

答案

8.(2009 北京文) “? ? A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件 答案 A

?
6

”是“ cos 2? ?

1 ”的 2

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析 本题主要考查本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断. 属于 基础知识、基本运算的考查. 当? ?

?
6

时, cos 2? ? cos

?
3

?

2? ? 2k? ?

?
3

? ? ? k? ?

?
6

1 1 ,反之,当 cos 2? ? 时, 2 2

?k ? Z ? ,
?
6

或 2? ? 2k? ?

?
3

? ? ? k? ?

? k ? Z ? ,故应选 A.
1 ”的 2

9.(2009 北京理) “? ? ( )

?
6

? 2k? (k ? Z ) ”是“ cos 2? ?

A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 答案 A

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析 本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断. 属于基础知识、基 本运算的考查. 当? ?

?

?? ? 1 ? ? 2k? (k ? Z ) 时, cos 2? ? cos ? 4k? ? ? ? cos ? 6 3? 3 2 ?
1 ? ? 时,有 2? ? 2k? ? ? ? ? k? ? ? k ? Z ? , 2 3 6 ? ? ? k? ?

反之,当 cos 2? ? 或 2? ? 2k? ?

?
3

?

6

? k ? Z ? ,故应选 A.
12 ,则 cos A ? 5 12 D. ? 13

10.(2009 全国卷Ⅱ文)已知△ABC 中, cot A ? ? A.

12 13

B.

5 13

C. ?

5 13

答案:D

12 知 A 为钝角,cosA<0 排除 A 5 cos A 12 12 ? ? , 和 sin 2 A ? cos 2 A ? 1求得 cos A ? ? 选 D 和 B,再由 cot A ? sin A 5 13 ? 11.(2009 四川卷文)已知函数 f ( x) ? sin( x ? )( x ? R) ,下面结论错误 的是 .. 2
解析:本题考查同角三角函数关系应用能力,先由 cotA= ? A. 函数 f ( x) 的最小正周期为 2 ? B. 函数 f ( x) 在区间[0,

? ]上是增函数 2

C.函数 f ( x) 的图象关于直线 x =0 对称 D. 函数 f ( x) 是奇函数 答案 D 解析∵ f ( x) ? sin( x ?

?
2

) ? ? cos x ,∴A、B、C 均正确,故错误的是 D

【易错提醒】利用诱导公式时,出现符号错误。 12.(2009 全国卷Ⅱ理)已知 ?ABC 中, cot A ? ? A.

12 13

B.

5 13

12 , 则 cos A ? ( 5 5 C. ? 13

) D. ?

12 13

解析:已知 ?ABC 中, cot A ? ?

12 ? ,? A ? ( , ? ) . 5 2

cos A ? ?

1 1 ? tan A
2

??

1 5 1 ? (? ) 2 12

??

12 13

故选 D.

答案 D 13.(2009 湖北卷文) “sin ? = A.充分而不必要条件 C.充要条件 答案 A 解析 由 cos 2a ? 故选 A. 14.(2009 重庆卷文)下列关系式中正确的是( A. sin11 ? cos10 ? sin168
0 0 0 0

1 1 ”是“ cos 2? ? ” 的 ( 2 2



B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

1 1 1 1 2 2 可得 sin a ? ? ,故 sin a ? 是sin a ? 成立的充分不必要条件, 2 2 2 4


0 0

B. sin168 ? sin11 ? cos10
0 0

C. sin11 ? sin168 ? cos10
0 0

0

D. sin168 ? cos10 ? sin11

0

答案 C 解析 因为 sin160 ? sin(180 ?12 ) ? sin12 ,cos10 ? cos(90 ? 80 ) ? sin80 ,由于正
? ? 弦函数 y ? sin x 在区间 [0 ,90 ] 上为递增函数,因此 sin11 ? sin12 ? sin 80 ,即
? ? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

sin11? ? sin160? ? cos10?
二、填空题 15.(2009 北京文)若 sin ? ? ? 答案

4 , tan ? ? 0 ,则 cos ? ? 5

.

?

3 5
属于基础知识、基本运算的考查.
2 2

解析 本题主要考查简单的三角函数的运算.

3 3 ? 4? 由已知, ? 在第三象限,∴ cos ? ? ? 1 ? sin ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ,∴应填 ? . 5 5 ? 5?
16.(2009 湖北卷理)已知函数 f ( x) ? f '( ) cos x ? sin x, 则 f ( ) 的值为

?

?

4

4

.

答案 1 解析 因为 f '( x) ? ? f '( ) ? sin x ? cos x 所以 f '( ) ? ? f '( ) ? sin

?

?

?

?
4

? f '( ) ? 2 ? 1 故 f ( ) ? f '( ) cos ? sin ? f ( ) ? 1 4 4 4 4 4 4
三、解答题 17.(2009 江苏,15)设向量 a ? (4cos ? ,sin ? ), b ? (sin ? , 4cos ? ), c ? (cos ? , ?4sin ? ) (1)若 a 与 b ? 2c 垂直,求 tan(? ? ? ) 的值; (2)求 | b ? c | 的最大值; (3)若 tan ? tan ? ? 16 ,求证: a ∥ b . 分析 本小题主要考查向量的基本概念, 同时考查同角三角函数的基本关系式、 二倍角的正 弦、两角和的正弦与余弦公式,考查运算和证明得基本能力。

?

?

4

?

?

?

4

?

4

? cos

?
4

?

?

?

?

?

?

? ?

?

?

18.( 2009 广 东 卷 理 ) (本小题满分12分) 已知向量 a ? (sin? ,?2) 与 b ? (1, cos? ) 互相垂直,其中 ? ? (0, (1)求 sin ? 和 cos ? 的值; (2)若 sin(? ? ? ) ?

?
2

).

10 ? , 0 ? ? ? ,求 cos ? 的值. 10 2

解: (1)∵ a 与 b 互相垂直,则 a ? b ? sin ? ? 2 cos? ? 0 ,即 sin ? ? 2 cos ? ,代入

sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 得 sin ? ? ?

? 2 5 5 , cos? ? ? ,又 ? ? (0, ) , 2 5 5

∴ sin ? ?

2 5 5 , cos? ? . 5 5

(2)∵ 0 ? ? ?

?
2

,0 ? ? ?

?
2

,∴ ?

?
2

? ? ?? ?

?
2

,则

cos(? ? ? ) ? 1 ? sin 2 (? ? ? ) ?

3 10 , 10 2 . 2

∴ cos ? ? cos[? ? (? ? ? )] ? cos? cos(? ? ? ) ? sin ? sin(? ? ? ) ? 19.(2009 安徽卷理)在 ? ABC 中, sin(C ? A) ? 1 , sinB= (I)求 sinA 的值; (II)设 AC= 6 ,求 ? ABC 的面积.

1 . 3

本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、解三角形等有关知识,考查运算求解能力。 (Ⅰ)由 C ? A ?

? ? B ? B 2 ,且 C ? A ? ?? B ,∴ A ? ? ,∴ sin A ? sin( ?) ? (cos 2 4 2 4 2 2
C

B B , sin? ) 2 2

2 ∴ sin A ?

1 1 3 (1 ? sin B) ? ,又 sin A ? 0 ,∴ sin A ? 2 3 3

(Ⅱ)如图,由正弦定理得

AC BC ? sin B sin A

A

B

AC sin A ∴ BC ? ? sin B

6? 1 3

3 3 ? 3 2 ,又 sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B

?

3 2 2 6 1 6 ? ? ? ? 3 3 3 3 3 1 1 6 AC ? BC ? sin C ? ? 6 ? 3 2 ? ?3 2 2 2 3

∴ S?ABC ?

20.(2009 天津卷文)在 ?ABC 中, BC ? 5, AC ? 3, sin C ? 2 sin A (Ⅰ)求 AB 的值。 (Ⅱ)求 sin( 2 A ?

?
4

) 的值。 AB BC ? ,于是 sin C sin A

(1)解:在 ?ABC 中,根据正弦定理,

AB ? sin C

BC ? 2 BC ? 2 5 sin A

(2)解:在 ?ABC 中,根据余弦定理,得 cos A ?

AB 2 ? AC 2 ? BC 2 2 AB ? AC

于是 sin A ? 1 ? cos2 A =

5 , 5
4 3 , cos 2 A ? cos 2 A ? sin 2 A ? 5 5

从而 sin 2 A ? 2 sin A cos A ?

? ? ? 2 sin(2 A ? ) ? sin 2 A cos ? cos 2 A sin ? 4 4 4 10
【考点定位】本题主要考查正弦定理,余弦定理同角的三角函数的关系式,二倍角的正弦和 余弦,两角差的正弦等基础知识,考查基本运算能力。 21.(2009 四川卷文)在 ?ABC 中, A、B 为锐角,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c , 且 sin A ?

5 10 ,sin B ? 5 10

(I)求 A ? B 的值; (II)若 a ? b ?

2 ? 1 ,求 a、b、c 的值。
5 10 ,sin B ? 5 10

解(I)∵ A、B 为锐角, sin A ?

∴ cos A ? 1 ? sin A ?
2

2 5 3 10 , cos B ? 1 ? sin 2 B ? 5 10 2 5 3 10 5 10 2 ? ? ? ? . 5 10 5 10 2

cos( A ? B) ? cos A cos B ? sin A sin B ?
∵ 0 ? A? B ?? ∴ A? B ?

?
4

…………………………………………6 分

(II)由(I)知 C ? 由

3? 2 ,∴ sin C ? 4 2

a b c ? ? 得 sin A sin B sin C

5a ? 10b ? 2c ,即 a ? 2b, c ? 5b
又∵ ∴ ∴

a ? b ? 2 ?1 2b ? b ? 2? 1 ∴ b ? 1

a ? 2 ,c ?

5

…………………………………………12 分

22.(2009 湖南卷文)已知向量 a ? (sin ? ,cos? ? 2sin ? ), b ? (1, 2). (Ⅰ)若 a / / b ,求 tan ? 的值; (Ⅱ)若 | a |?| b |,0 ? ? ? ? , 求 ? 的值。 解: (Ⅰ) 因为 a / / b ,所以 2sin ? ? cos ? ? 2sin ? , 于是 4sin ? ? cos ? ,故 tan ? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

1 . 4

(Ⅱ)由 | a |?| b | 知, sin 2 ? ? (cos? ? 2sin ? )2 ? 5, 所以 1 ? 2sin 2? ? 4sin ? ? 5.
2

?

?

从而 ?2sin 2? ? 2(1 ? cos 2? ) ? 4 ,即 sin 2? ? cos 2? ? ?1, 于是 sin(2? ? 所以 2? ?

?
4

)??

? ? 9? 2 .又由 0 ? ? ? ? 知, ? 2? ? ? , 4 4 4 2

5? ? 7? ,或 2? ? ? . 4 4 4 4 ? 3? . 因此 ? ? ,或 ? ? 4 2 ?
23.(2009 天津卷理)在⊿ABC 中,BC= 5 ,AC=3,sinC=2sinA (I) 求 AB 的值: (II) 求 sin ? 2 A ?

?

? ?

??

? 的值 4?

本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦、两 角差的正弦等基础知识,考查基本运算能力。满分 12 分。 (Ⅰ)解:在△ABC 中,根据正弦定理, 于是 AB=
sinC BC ? 2BC ? 2 5 sin A AB BC ? sinC sin A

(Ⅱ)解:在△ABC 中,根据余弦定理,得 cosA= 于是 sinA= 1 ? cos2 A ? 从而 sin2A=2sinAcosA= 所以 sin(2A5 5

AB2 ? AC2 ? BD2 2 5 ? 2 AB ? AC 5

4 3 ,cos2A=cos2A-sin2A= 5 5

? ? ? 2 )=sin2Acos -cos2Asin = 4 4 4 10

2005—2008 年高考题 一、选择题 1.(2008 山东)已知 a,b,c 为 △ ABC 的三个内角 A,B,C 的对边,向量

m ? ( 3, ?1),n ? (cos A, sin A) .若 m ? n ,且 a cos B ? b cos A ? csin C ,则角 A,B
的大小分别为( A. , 答案 C 解析 本小题主要考查解三角形问题.? 3 cos A ? sin A ? 0 , ) B.

π π 6 3

2π π , 3 6

C. ,

π π 3 6

D. ,

π π 3 3

?A?

?
3

; ? sin A cos B ? sin B cos A ? sin 2 C,

sin A cos B ? sin B cos A ? sin( A ? B) ? sin C ? sin 2 C ,
C?

? π . ? B ? .选 C. 本题在求角 B 时,也可用验证法. 2 6
3 ? sin 70? ?( 2 ? cos 2 10?
C. 2 )

2.(2008 海南、宁夏)

A.

1 2

B.

2 2

D.

3 2

答案 C 解析
? 3? s i n 7 0 ? 2 ? 2? c o s 1 0 ? ?3 c o?s 2 0 ? 3 2 ( 2 c o ?s 2 0 1 ) ? ? 2 ,选 C 2 ? 2 ? ?2 c o s 1 0 ? 2 c o s 1 0

3.(2007 北京)已知 cos ? ? tan ? ? 0 ,那么角 ? 是( A.第一或第二象限角 C.第三或第四象限角 答案 C 4.(2007 重庆)下列各式中,值为 A. 2sin15 cos15
? ?



B.第二或第三象限角 D.第一或第四象限角

3 的是( 2
2 ?


2 ?

B. cos 15 ? sin 15

C. 2sin 15 ? 1
2 ?

D. sin 15 ? cos 15
2 ? 2

?

答案 B 5.(2007 江西)若 tan ? ? 3 , tan ? ? A. ?3 答案 D 6.(2007 全国 I) ? 是第四象限角, tan ? ? ? A. B. ?

1 3

4 ,则 tan(? ? ? ) 等于( 3 1 C. 3 D. 3 5 ,则 sin ? ? ( 12 5 D. ? 13





1 5

B. ?

1 5

C.

5 13

答案 D 7.(2006福建)已知 ? ? ( A.

?

1 7

B. 7

3 ? , ? ),sin ? ? ,则 tan(? ? ) 等于 ( 2 5 4 1 C. ? D. ?7 7



答案 A 8.(2006年湖北)若△ ABC 的内角

A 满足 sin 2 A ? 2 ,则 sin A ? cos A =( )
3
C.

A. 答案 A

15 3

B. ?

15 3

5 3

D. ?

5 3

9.(2005 全国 III)已知 ? 为第三象限角,则 A.第一或第二象限 C.第一或第三象限 答案 D 10.(2005 全国 I)在 ?ABC 中,已知 tan ① tan A ? cot B ? 1
2 2 ③ sin A ? cos B ? 1

?
2

所在的象限是

B.第二或第三象限 D.第二或第四象限

A? B ? sin C ,给出以下四个论断: 2
② 0 ? sin A ? sin B ?

2

2 2 2 ④ cos A ? cos B ? sin C

其中正确的是( A.①③ 答案 B 二、填空题

) B.②④ C.①④ D.②③

11.(2008 山东)已知 a,b,c 为△ABC 的三个内角 A,B,C 的对边,向量 m=( 3,?1 ) ,

n=(cosA,sinA).若 m⊥n,且 acosB +bcosA=csinC,则角 B=
答案

? 6

解析 本题考查解三角形

? , sin A cos B ? sin B cos A ? sin C sin C , 3 ? ? sin A cos B ? sin B cos A ? sin( A ? B) ? sin C ? sin 2 C , C ? . ∴ B ? 。 2 6
3 cos A ? sin A ? 0 , A ?
(2007 湖南)在 △ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,若 a ? 1 ,b= 7 ,

c ? 3,C ?
答案

π ,则 B ? 3



5π 6

12.(2007 北京)2002 年在北京召开的国际数学家大会,会标是以我国古代数 学家赵爽的弦图为基础设计的.弦图是由四个全等直角三角形与一个小正 方形拼成的一个大正方形(如图) .如果小正方形的面积为 1,大正方形的 面积为 25,直角三角形中较小的锐角为 ? ,那么 cos 2? 的值等于 答案

7 25
o s 2C ? AC ? 5 , 三角形面积为 12, 则c

13. (2006 年上海春卷) 在△ ABC中, 已知 BC ? 8,

答案

7 25

三、解答题

1 ? 2 sin(2 x ? ) 4 , 14.(2008 北京)已知函数 f ( x) ? cos x
(1)求 f ( x ) 的定义域; (2)设 ? 是第四象限的角,且 tan ? ? ?

?

4 ,求 f (? ) 的值. 3

解: (1)依题意,有 cosx?0,解得 x?k?+ 即 f ( x ) 的定义域为{x|x?R,且 x?k?+

? ,k?Z} 2

? , 2

1 ? 2 sin(2 x ? ) 4 =-2sinx+2cosx? f (? ) =-2sin?+2cos? (2) f ( x) ? cos x 4 4 3 由 ? 是第四象限的角,且 tan ? ? ? 可得 sin?=- ,cos?= 3 5 5 14 ? f (? ) =-2sin?+2cos?= 5
15.(2008 江苏)如图,在平面直角坐标系 xoy 中,以 ox 轴为始边做两个锐角 ? , ? ,它们 的终边分别与单位圆相交于 A,B 两点,已知 A,B 的横坐标分别为

?

2 2 5 , 10 5
(1) 求 tan(? ? ? ) 的值; (2) 求 ? ? 2 ? 的值。

解 本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公 式。由条件得 cos ? ?

2 2 5 , ?? 为锐角, ,cos ? ? 10 5 7 2 5 。同理可得 sin ? ? , 10 5
1 。 2

故 sin ? ? 0且 sin ? ?

因此 tan ? ? 7, tan ? ?

1 tan ? ? tan ? 2 =-3 。 (1) tan(? ? ? ) ? ? 1 ? tan ? tan ? 1 ? 7 ? 1 2 1 ?3 ? 2 =-1 , (2) tan(? ? 2? ) ? tan[(? ? ? ) ? ? ] ? 1 1 ? (?3) ? 2 ? ? 3? 3? ? 0 ? ? ? , 0 ? ? ? , ? 0 ? ? ? 2? ? ,从而 ? ? 2 ? ? 。 2 2 2 4 7?
16. ( 2007 安 徽 ) 已 知 0 ? ? ?

? ?? ? ,? 为 f ( x) ? cos ? 2 x ? ? 的 最 小 正 周 期 , ? ?? ?

? ? 1 ? a ??t a n ? ? ? ? ? ?, 4 ? ? ?

2 cos 2 ? ? sin 2(? ? ? ) ? a · b ? m b ? (cos ? , 2) ,且 .求 的值. 1 , ? cos ? ? sin ? ?

解:因为 ? 为 f ( x) ? cos ? 2 x ?

? ?

π? ? 的最小正周期,故 ? ? π . 8?

· b ? m ,又 a 因a · b ? cos ? · tan ? ? ?
故 cos ? · tan ? ? ? 由于 0 ? ? ?

? ?

1 ? ? ??2. 4 ?

? ?

1 ? ? ? ? m?2. 4 ?

π ,所以 4

2cos 2 ? ? sin 2(? ? ? ) 2cos 2 ? ? sin(2? ? 2 π) ? cos ? ? sin ? cos ? ? sin ? ? 2cos 2 ? ? sin 2? 2cos ? (cos ? ? sin ? ) ? cos ? ? sin ? cos ? ? sin ?

? 2cos ?

1 ? tan ? π? ? ? 2cos ? · tan ? ? ? ? ? 2(2 ? m) 1 ? tan ? 4? ?

A, B, C 17.(2006年四川卷)已知

?? ? m ? ? 1, 3 , n ? ? cos A,sin A? 三角形 ?ABC 三内角,向量,

?

?

且 m? n ?1 (Ⅰ)求角 A ;

?? ?

1 ? sin 2 B ? ?3 2 2 (Ⅱ)若 cos B ? sin B ,求 tan B
解: (Ⅰ)∵ m ? n ? 1 ∴

?? ?

? ?1, 3 ? ? ? cos A,sin A? ? 1
?? 1 ? sin ? A ? ? ? 6? 2 ?

即 3 sin A ? cos A ? 1

? 3 1? 2? ? sin A ? 2 ? cos A ? 2 ? ? ?1 ? ? ,



0 ? A ? ?,?

?
6

? A?

?
6

?

5? 6



A?

?
6

?

?
6


A?

?
3

1 ? 2sin B cos B ? ?3 2 2 2 2 (Ⅱ)由题知 cos B ? sin B ,整理得 sin B ? sin B cos B ? 2cos B ? 0
∴ cos B ? 0 ∴ tan B ? tan B ? 2 ? 0
2

∴ tan B ? 2 或 tan B ? ?1 而 tan B ? ?1 使 cos B ? sin B ? 0 ,舍去
2 2

∴ tan B ? 2

tan A ? tan B ? ? 2 ? 3 8 ? 5 3 ? ? ? tan C ? tan ? ? ? A ? B ? ? ? ? ? ? ? tan ? A ? B? 1? 2 3 1 ? tan A tan B 11 ∴

第二部分

三年联考汇编

2009 年联考题 一、选择题 1.(2009 年 4 月北京海淀区高三一模文)若 sin ? ? cos ? ? 0 ,且 cos ? ? 0 ,则角 ? 是 ( ) B. 第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角

A.第一象限角 答案 C

2. (北京市崇文区 2009 年 3 月高三统一考试理)已知 sin ? ? cos ? ? ( )

1 ,则 sin 2? 的值为 3 8 9

A. ? 答案 D

2 3

B.

2 3

C. ?

8 9

D.

3.(北京市东城区 2009 年 3 月高中示范校高三质量检测文)已知 sin ? ? 则 sin 2? = A. ? ( B. ? ) C. ?

4 , sin ? ? cos ? ? 1 , 5 24 25

24 25

12 25

4 5

D.

答案 A 4.(2009 福州三中)已知 tan? ? ? ( A. ? ) B.

3 ,且 tan(sin ? ) ? tan ? cos ? ? 则 sin?的值为 4 3 5 4 5

3 5

3 5

C. ?

D. ?

答案 B 二、填空题 5.(20009 青岛一模)已知 sin( 答案

?
4

? x) ?

3 ,则 sin 2 x 的值为 5



7 25

6.(沈阳二中 2009 届高三期末数学试题)

在△ABC 中,若 tan A ? 答案: 10 . 三、解答题

1 , C ? 150?, BC ? 2 ,则 AB= 3

.

7.(2009 厦门集美中学)已知 tan (2)

?
2

=2,求 (1) tan(? ?

?
4

) 的值;

6 sin ? ? cos ? 的值. 3sin ? ? 2 cos ?

? 2 tan ? 2 ? 2? 2 ? ? 4 ; 解: (I)∵ tan =2, ∴ tan ? ? ? 1? 4 2 3 1 ? tan 2 2 4 ? ? ?1 tan ? ? tan ? 1 4 ? tan ? ? 1 = 3 所以 tan(? ? ) ? ?? ; 4 1 ? tan ? tan ? 1 ? tan ? 1 ? 4 7 4 3
4 6 sin ? ? cos ? 6 tan ? ? 1 (II)由(I), tanα=- , 所以 = = 3 3sin ? ? 2 cos ? 3 tan ? ? 2

4 6(? ) ? 1 7 3 ? . 4 3(? ) ? 2 6 3
4 ? ?? , ? ? ? 0, ? 5 ? 2?

8.(2009 年福建省普通高中毕业班质量检查)已知 sin ?? ? ? ? ? (1)求 sin 2? ? cos
2

?

2 5 1 (2)求函数 f ? x ? ? cos ? sin 2 x ? cos 2 x 的单调递增区间。 6 2 4 4 ? sin ?? ? ? ? ? ,? sin ? ? 5 5 3 ? ?? 又 ?? ? ? 0, ? ,? cos ? ? 5 ? 2?
(I)

的值

sin 2? ? cos 2

?
2

1 ? cos ? 2 3 1? 4 3 ? 2? ? ? 5 5 5 2 4 25 ? 2sin ? cos ? ?

(II)

5 3 1 f ? x? ? ? s i n x 2? c ox s2 6 5 2 2 ?? ? ? sin 2? ? ? x 2 4? ? 令 2 k? ? 得k ? ?

?
2

? 2x ?

?
4

? 2 k? ?

?
2

?
8

? x ? k? ?

3? ,k ?Z 8

? 3? ? ? ? 函数 f ? x ? 的单调递增区间为 ? k? ? , k? ? ? k ? Z 8 8 ? ?
9. (2009 年龙岩市普通高中毕业班单科质量检查) 已知 ? ? ( (Ⅰ)求 cos? 的值;

?
2

,? ) , 且 sin

?
2

? cos

?
2

?

2 3 . 3

3 ? , ? ? (0, ) ,求 sin ? 的值. 5 2 ? ? 2 3 解: (Ⅰ)因为 sin ? cos ? , 2 2 3
(Ⅱ)若 sin(? ? ? ) ? ? 所以 1 ? 2sin 因为 ? ? (

?
2

cos

?
2

?

4 1 , sin ? ? . 3 3

…………………………(2 分)

?
2

,? ) ,

所以 cos ? ? ? 1 ? sin (Ⅱ)因为 ? ? (

2

? ? ? 1?

1 2 2 . ……………………(6 分) ?? 9 3

?

? ? 3? , ? ), ? ? (0, ) ,所以 ? ? ? ? ( , ) 2 2 2 2
3 4 ,得 cos(? ? ? ) ? ? . …………………………(9 分) 5 5

又 sin(? ? ? ) ? ?

sin ? ? sin ?(? ? ? ) ? ? ?
? sin(? ? ? ) ? cos ? ? cos(? ? ? ) ? sin ?

3 3 2 4 1 ? (? ) ? (? ) ? (? ) ? 5 3 5 3 ? 6 2?4 . 15
………………………………………………(12 分)
x 2 x x 1 ? cos2 ? . 2 2 2

10.(银川一中 2009 届高三年级第一次模拟考试)已知函数 f ( x ) ? sin cos (1)若 f (? ) ?

2 , ? ? ?0, ? ?, 求?的值; 4
? ? ? , ? ? 上最大值和最小值 ? 4 ?

(2)求函数 f ( x ) 在 ? ? 解: (1) f ( x) ?

1 1 ? cos x 1 1 2 ? sin x ? ? ? (sin x ? cos x) ? sin(x ? ) …2 分 2 2 2 2 2 4

由题意知 f (? ) ?

? 1 2 ? 2 ,即 sin(? ? ) ? sin(? ? ) ? 4 2 2 4 4

…………3 分

∵ ? ? (0, ? ) 即 ? ? ∴ ? ? ? ? 5? 4 6 (2)∵
?

?

? 5? ?( , ) 4 4 4
? ?
7? 12
?
4 ? 5? 4

?
?? ?? 即

…………6 分 …………8 分 …………12 分

?
4

0?? ?

∴ f ( x) max ? f ( ? ) ? 2 , f ( x) min ? f (? ) ? ? 1 2 4 2 11.在 ?ABC 中, cos A ? ? (1)求 sin C 的值 (2)设 BC ? 5 ,求 ?ABC 的面积 解(I)由 cos A ? ?

5 3 , cos B ? , 13 5

5 12 ,sin A ? ,得 13 13

3 4 ,sin B ? ,得 5 5 又 A? B ?C ??
由 cos B ? 所以 sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ?

16 65

4 BC ? sin B 5 ? 13 (II)由正弦定理得 AC ? ? 12 sin A 3 13 1 1 13 16 8 ? 所以 ?ABC 的面积 S ? ? BC ? AC ? sin C ? ? 5 ? ? 2 2 3 65 3 5?
12. ( 山 东 省 枣 庄 市 2009 届 高 三 年 级 一 模 考 ) 已 知 函 数

f ( x) ? sin 2 ?x ? 3 sin ?x sin(?x ?
(1)求 f ( x); (2)当 x ? [?

?
2

)(? ? 0) 的最小正周期为 ?

, ]时, 求函数 f ( x) 的值域。 12 2 1 ? cos 2?x ? 3 sin ?x cos ?x 解: (1) f ( x) ? 2

? ?

2分

?

3 1 1 ? 1 sin 2?x ? cos 2?x ? ? sin(2?x ? ) ? . 2 2 2 6 2

4分

?函数f ( x)的最小正周期为 ? , 且? ? 0,
? 2? ? ? , 解得 ? ? 1. 2?

? f ( x) ? sin( 2 x ?
(2)? x ? [?

?

? ? 5? , ],? 2 x ? ? [? , ]. 12 2 6 3 6
, 即x ?

? ?

1 )? . 6 2

6分

根据正弦函数的图象可得: 当 2x ?

?
6

?

?
2

?
3

时, 8分

g ( x) ? sin( 2 x ?
当 2x ?

?
6

) 取最大值 1

?
6

??

?
3

,即x ? ?

?
12



? 3 g ( x) ? sin(2 x ? )取最小值 ? . 6 2

10 分

1 3 ? 1 3 ? ? ? sin(2 x ? ) ? ? , 2 2 6 2 2
即 f ( x)的值域为 [

1? 3 3 , ]. 2 2

12 分

13.(2009 广东地区高三模拟)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.已知 a+b=5, c = 7 ,且 4 sin 2

A? B 7 ? cos 2C ? . 2 2

(1) 求角 C 的大小; (2)求△ABC 的面积. (1) 解:∵A+B+C=180°

A? B 7 C 7 ? cos 2C ? 得4 cos 2 ? cos 2C ? 2 2 2 2 1 ? cos C 7 ∴4? ………………3 分 ? (2 cos 2 C ? 1) ? 2 2
由 4 sin 2 整理,得 4 cos C ? 4 cosC ? 1 ? 0
2

…………1 分

…………4 分

解 得: cos C ?

1 2

……5 分 ∴C=60° ………………6 分

∵ 0? ? C ? 180 ?

(2)解:由余弦定理得:c2=a2+b2-2abcosC,即 7=a2+b2-ab …………7 分 ∴ 7 ? (a ? b) 2 ? 3ab ………………8 分

由条件 a+b=5 得 7=25-3ab …… 9 分

ab=6 ……10 分
∴ S ?ABC ?

1 1 3 3 3 ab sin C ? ? 6 ? ? 2 2 2 2

…………12 分

9 月份更新
一、选择题 1.(2009 滨州一模)(4)△ABC 中, AB ? 3, AC ? 1, ?B ? 30? ,则△ABC 的面积等于 A. 答案 D

3 2

B.

3 4

C.

3 或 3 2

D.

3 3 或 2 4

2.(2009 临沂一模)使奇函数 f(x)=sin(2x+θ)+ 3 cos(2x+θ)在[ ? A、 ?

?
4

,0]上为减函数的θ值为

?
3

B、 ?

?
6

C、
tan a ?

5? 6

D、

2? 3

答案 D 3.(2009 泰安一模)若

1 10 ? ? ? ? , a ? ( , ), 则sin(2a+ )的值为 tan a 3 4 2 4

A.

?

2 10

B.

2 10

C

5 2 10

D.

7 2 10
( )

4.(2009 枣庄一模)已知 sin( A. ?

7 9

1 2? ? ? ) ? , 则 cos( ? 2? ) 的值是 6 3 3 1 1 7 B. ? C. D. 3 3 9
0 0 0 0

?

5.(2009 潍坊一模) sin 45 ? cos15 ? cos 225 ? sin15 的值为

(A) -

3 2

(B) -

1 1 (C) 2 2

3 (D) 2

C 二、填空题 1.(2009 聊城一模) 在 ?ABC 中, 角A, B, C所对的边分别为 a, b, c, 若其面积 S ?

1 2 (b ? c 2 ? a 2 ), 4

则?A =
答案



? 4
?
4 ? x) ? 3 ,则 sin 2 x 的值为 5


2.(2009 青岛一模)已知 sin( 答案

7 25

3.(2009 泰安一模)在 △ ABC 中,AB=2,AC= 6 ,BC=1+ 3 ,AD 为边 BC 上的高,则 AD 的长是 答案 3 三、解答题 1. ( 2009 青 岛 一 模 ) 在 ?ABC 中 , a, b, c 分 别 是 ?A, ?B, ?C 的 对 边 长 , 已 知 。

2 sin A ? 3 cos A .
(Ⅰ)若 a ? c ? b ? mbc,求实数 m 的值;
2 2 2

(Ⅱ)若 a ?

3 ,求 ?ABC 面积的最大值.
2

解:(Ⅰ) 由 2 sin A ? 3 cos A 两边平方得: 2 sin A ? 3 cos A 即 (2 cos A ? 1)(cosA ? 2) ? 0 解得: cos A ?
2 2

1 …………………………3 分 2
2

b2 ? c2 ? a2 m ? 而 a ? c ? b ? mbc可以变形为 2bc 2
即 cos A ?

m 1 ? ,所以 m ? 1 …………………………6 分 2 2
1 3 ,则 sin A ? …………………………7 分 2 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 cos A ?



b2 ? c2 ? a2 1 ? …………………………8 分 2bc 2
2 2 2 2 2

所以 bc ? b ? c ? a ? 2bc ? a 即 bc ? a …………………………10 分 故 S ?ABC ?

bc a2 3 3 3 ………………………………12 分 sin A ? ? ? 2 2 2 4

2007—2008 年联考题 一、选择题 π 24 , ?∈(- ,0),则 sin?+cos?= 4 25

1、(2008 江苏省启东中学高三综合测试三)已知 sin2?=- ( A.- )

1 5

B.

1 5

C.-

7 5

D.

7 5

答案:B 2.(安徽省巢湖市 2008 届高三第二次教学质量检测)若 cos 一定落在直线( A. 7 x ? 24 y ? 0 )上。 B. 7 x ? 24 y ? 0

?
2

?

3 ? 4 , sin ? ? ,则角 ? 的终边 5 2 5

C. 24 x ? 7 y ? 0 答案:D 3.(2007 海南海口)若 A 是第二象限角,那么 A.第一象限角 C.第三象限角 答案 B 二、填空题

D. 24 x ? 7 y ? 0

A ? 和 -A 都不是( 2 2
B.第二象限角 D.第四象限角



4.(北京市西城区 2008 年 5 月高三抽样测试)设 ? 是第三象限角, tan ? ? 12 答案:- 13 5. ?为锐角,且sin ? ? ?

? ,则 cos? = ??

? ?

??

1 ? ? , 则 cos? ? ________________ 6? 3

答案:

2 6 -1 6

6.cos43°cos77°+sin43°cos167°的值为 答案

1 2

三、解答题 7.(山东省济南市 2008 年 2 月高三统考)设向量 a ? (cos(? ? ? ),sin(? ? ? )) , 且a ?b ? ( , ) (1)求 tan ? ;

?

?

?

4 3 5 5

2cos 2
(2)求

?
2

? 3sin ? ? 1

2 sin(? ? ) 4 ? ? 解: (1) a ? b
4 3 ? (2 cos ? cos ? , 2sin ? sin ? ) ? ( , ) 5 5 4 3 ∴ 2 cos ? cos ? ? , 2sin ? sin ? ? 5 5

?



∴ tan ? ?

3 4

2cos 2
(2)

?
2

? 3sin ? ? 1

2 sin(? ? ) 4

?

?

cos ? ? 3sin ? 1 ? 3tan ? 5 ? ?? cos ? ? sin ? 1 ? tan ? 7
3 sin(?x) ? 2 sin 2

8.(广东地区 2008 年 01 月份期末试题)已知:函数 f ( x) ? 周期为 3? ,且当 x ? [0, ? ] 时,函数 f ( x) 的最小值为 0. (1)求函数 f ( x) 的表达式;

?x
2

?m的

(2)在△ABC 中,若 f (C) ? 1, 且2 sin 2 B ? cos B ? cos(A ? C),求sin A的值. 解: (1) f ( x) ?

3 sin(?x) ? cos( ?x) ? 1 ? m ? 2 sin(?x ?

?
6

) ?1? m

3分 4分 5分

依题意函数 f ( x) 的周期为 3? ,

2 2x ? , f ( x) ? 2 sin( ? ) ? 1 ? m ? 3 3 6 ? 2 x ? 5? 1 2x ? ? x ? [0, ? ],? ? ? ? ? ? sin( ? ) ? 1 6 3 6 6 2 3 6


2?

? 3? ,? ? ?

? f ( x) 的最小值为 m,? m ? 0
2x ? ? ) ?1 3 6 2C ? ? ) ?1 ? 1 (2) f (C ) ? 2 sin( 3 6 ? 而∠C∈(0,π), ∴∠C= 2
即 f ( x ) ? 2 sin( 在 Rt△ABC 中,? A ? B ?

6分 7分

? sin(

2C ? ? ) ?1 3 6
9分

?

2

,2 sin 2 B ? cos B ? cos( A ? C )

? 2 cos2 A ? sin A ? sin A ? 0解得sin A ? 5 ?1 . 2

?1? 5 2

11 分

? 0 ? sin A ? 1,? sin A ?

12 分

9.(广东 2008 年 01 月份期末试题)已知 f ( x) ? cos (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ) 当 x ? ?

3x x 3x x cos ? sin sin ? 2 sin x cos x , 2 2 2 2

?? ? , ? ,求函数 f ( x) 的零点. ?2 ? ?

解: (Ⅰ) f ( x) ? cos2 x ? sin 2 x = 2 cos( 2 x ?

?
4

) …………………….4 分

故 T ? ? …………………………………………………5 分 (Ⅱ)令 f ( x) ? 0 , 2 cos(

?

?? ? ? 2 x) =0,又? x ? ? , ? ? 4 ?2 ?

…… ………….7 分

?

5? ? 9? ? 3? ? ? 2x ? ? ? 2x ? …………………………………………9 分 4 4 4 4 2 5? 5? 故x ? 函数 f ( x) 的零点是 x ? ……………. 12 分 8 8
10.(广东 2008 年 01 月份期末试题)已知向量 a ? (1 ? sin 2x , sin x ? cos x) ,

?

? ? ? b ? (1, sin x ? cos x) ,函数 f ( x) ? a ? b .
(Ⅰ)求 f ( x) 的最大值及相应的 x 的值; (Ⅱ)若 f (? ) ?

8 ?π ? ,求 cos 2 ? ? 2? ? 的值. 5 ?4 ?
?

解: (Ⅰ)因为 a ? (1 ? sin 2x , sin x ? cos x) , b ? (1, sin x ? cos x) ,所以

?

f ( x) ? 1 ? sin 2 x ? sin 2 x ? cos2 x ? 1 ? sin 2 x ? cos2 x
π? ? ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 1 . 4? ?

π π 3 ? 2kπ ? ,即 x ? kπ ? π ( k ? Z )时, f ( x) 取得最大值 2 ? 1 ; 4 2 8 8 3 (Ⅱ)由 f (? ) ? 1 ? sin 2? ? cos 2? 及 f (? ) ? 得 sin 2? ? cos2? ? ,两边平方得 5 5 9 16 1 ? sin 4? ? ,即 sin 4? ? . 25 25
因此,当 2 x ?

16 ?π ? ?π ? 因此, cos 2 ? ? 2? ? ? cos ? ? 4? ? ? sin 4? ? . 25 ?4 ? ?2 ?
11.(2008 年高三名校试题汇编)设 a ? (1 ? cos? , sin ? ), b ? (1 ? cos? , sin ? ), c ? (1, 0) , 其 ? ? (0, ? ), ? ? (? , 2? ) ,a 与 c 的夹角为 ? 1 ,b 与 c 的夹角为 ?2 ,且 ?1 ? ? 2 ?

?
6

,求

sin


? ??
4

的值.

a=(2cos2

? ? ? ? ? ? ,2sin cos )=2cos (cos ,sin ), 2 2 2 2 2 2

? ? ? ? ? ? ,2sin cos )=2sin (sin ,cos ), 2 2 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ∵α∈(0,π),β∈(π,2π), ∴ ∈(0, ), ∈( ,π) ,故|a|=2cos ,|b|=2sin , 2 2 2 2 2 2 ? 2cos 2 a?c 2 ? 2cos ? , cos ?1 ? ? | a || c | 2cos ? 2 2 ? 2 sin 2 b?c 2 ? sin ? ? cos( ? ? ? ) , cos? 2 ? ? ? | b || c | 2 2 2 2 sin 2 ? ? ? ? ? ∵0< ? < ,∴ ?2 = ? , 2 2 2 2 2 ? 又 ? 1 - ?2 = , 6 ? ? ? ? ? ?? ? ∴ - + = ,故 =- , 2 2 2 2 6 3 ? ?? ? 1 ∴sin =sin(- )=- . 4 2 6
b=(2sin2 12.(2008 广东高三地区模拟)如图 A、B 是单位圆 O 上的点,且 B 在第二象限. C 是圆与 x 轴正半轴的交点,A 点的坐标为 ? , (Ⅰ)求 sin ?COA ; (Ⅱ)求 cos ?COB .

?3 4? ? ,△AOB 为正三角形. ?5 5?
B

y

A( , ) C

3 4 5 5

O

x

解: (1)因为 A 点的坐标为 ? ,

4 ?3 4? ? ,根据三角函数定义可知 sin ?COA ? 5 ---4 分 ?5 5?
0

(2)因为三角形 AOB 为正三角形,所以 ?AOB ? 60 ,

sin ?COA ?

4 3 , cos ?COA ? , 5 5
0

-----------------------------6 分

所以 cos ?COB = cos(?COA ? 60 )

? cos ?COA cos 600 ? sin ?COA sin 600
= ?

-------------------------10 分

3 1 4 3 3?4 3 ? ? ? . 5 2 5 2 10

--------------------------------------12 分

理(Ⅱ)求 | BC |2 的值. 解:(Ⅱ)因为三角形 AOB 为正三角形,所以 ?AOB ? 60? , sin ?COA ?

4 , 5
……5 分

cos ?COA ?

3 , 5

所以 cos ?COB ? cos(?COB ? 60? ) ? cos ?COB cos60? ? sin ?COB sin 60?
? 3 1 4 3 3?4 3 ? ? ? ? 5 2 5 2 10

……8 分

所以 | BC |2 ?| OC |2 ? | OB |2 ?2 | OC || OB | cos ?BOC

?1?1? 2?

3? 4 3 7 ? 4 3 ? 10 5

……12 分

13.(北京市十一学校 2008 届高三数学练习题)已知函数 f ( x) ? 2 3sin x ? 2cos x . (Ⅰ)若 x ??0,? ? ,求 f ( x ) 的最大值和最小值;

(Ⅱ)若 f ( x) ? 0 ,求

2cos2

x ? sin x ? 1 2 的值. ?? ? 2 sin ? x ? ? 4? ?

解: (Ⅰ) f ( x) ? 2 3sin x ? 2cos x

? 3 ? 1 ? 4? sin x ? cos x ? ? 2 ? 2 ? ?

?? ? ? 4sin ? x ? ? .…………………………3 分 6? ?
又∵ x ??0,? ? ,∴ -

π π 5π π? ≤ x ? ≤ , ??2 ≤ 4sin ? x ? ?≤4 , ? 6 6 6 6? ?

∴ f ( x)max ? 4,f ( x)min ? ?2 .…………………………6 分
(II)由于 f ( x) ? 0 ,所以 2 3 sin x ? 2cos x 解得 tan x ?

1 …………………………8 分 3

2cos 2

x ? sin x ? 1 cos x ? sin x 2 ? ?? ? ? 2 2? 2 sin ? x ? ? 2 ? sin x · ? cos x · ? 4? ? 2 2 ? ?
1?

1 cos x ? sin x 1 ? tan x 3 ? 2? 3 ? ? ? 1 cos x ? sin x 1 ? tan x 1 ? 3
14.(广东省 2008 届六校第二次联考)已知向量 a ? (cos ? ,sin ? ) , b ? (cos ? ,sin ? ) ,

a ?b ?

2 5 . 5

(Ⅰ)求 cos(? ? ? ) 的值; (Ⅱ)若 0 ? ? ?

?
2

, ?

?
2

? ? ? 0 , 且 sin ? ? ?

5 , 求 sin ? . 13

解:(Ⅰ)? a ? (cos ? ,sin ? ) , b ? (cos ? ,sin ? ) ,

?a ? b ? ? cos? ? cos ?, sin ? ? sin ? ? .
? a ?b ?


2 5 , 5

?

? cos ? ? cos ? ? ? ? sin ? ? sin ? ?
2

2

?

2 5 , 5

2 ? 2 c o?? s ????

? ? ? 0, ? 0 ? ? ? ? ? ? , 2 2 3 4 ? cos ?? ? ? ? ? , ? sin ?? ? ? ? ? . 5 5 5 12 ? sin ? ? ? , ? cos ? ? , 13 13 , ?
? sin ? ? sin ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? cos ? ? cos ?? ? ? ? sin ?

(Ⅱ)? 0 ? ? ?

?

?

4 , 5

3 ? cos ?? ? ? ? ? . 5

4 12 3 ? 5 ? 33 ? ? ? ?? ? ? ? . 5 13 5 ? 13 ? 65
15.(贵州省贵阳六中、遵义四中 2008 年高三联考)已知函数 f(x)=2sinxcosx+cos2x. (Ⅰ)求 f (

? )的值; 4
3 4

(Ⅱ)设 ? ∈(0,

? ? ),f ( )= 1 ,求 cos2 ? 的值.
2
5

解: (Ⅰ)∵f(x)=sin2x+cos2x,∴f( (Ⅱ)∵f( ∴cos2α= ?

? 1 1 24 )=sinα+cosα= ,∴1+sin2α= , sin2α= ? ,……7 分 25 5 25 2
3 3 7 ∵α∈(0, π)∴2α∈(π, π) ∴cos2α<0. 4 2 25

? ? ? )=sin +cos =1………5 分 4 2 2

故 cos2α= ?

7 ……10 分 25

8 16.(河北衡水中学 2008 年第四次调考)已知向量→ a =(cosx,sinx),→ b =( 2, 2),若→ a 〃→ b= , 5 π π sin 2 x(1 ? tan x) 且 <x< , 求 的值. 4 2 1 ? tan x

8 8 ? 4 ,? 2 cos x ? 2 sin x ? ,即 cos( x ? ) ? …………2 分 5 5 4 5 ? ? ? ? ? 3 ? 3 ∵ ? x ? ,? 0 ? x ? ? , sin( x ? ) ? , tan( x ? ) ? ……4 分 4 2 4 4 4 5 4 4 ? ? 4 tan( x ? ) ? ? cot( x ? ) ? ? 4 4 3 ? ? 7 sin 2 x ? cos( 2 x ? ) ? 2 cos 2 ( x ? ) ? 1 ? …………6 分 2 4 25 sin 2 x(1 ? tan x) ? 7 4 28 ? sin 2 x ? tan( x ? ) ? ? (? ) ? ? . …………10 分 ∴ 1 ? tan x 4 25 3 75
解:? a ? b ?
? ?

17.(河北省正定中学 2008 年高三第五次月考)已知 A、B、C 的坐标分别为 A(4,0) ,B(0, 4) ,C( 3 cos? ,3 sin ? ). (Ⅰ)若 ? ? (?? ,0) ,且 AC ? BC ,求角 ? 的大小; (Ⅱ)若 AC ? BC ,求

2 sin 2 ? ? sin 2? 的值。 1 ? tan?
9 cos 2 ? ? (3 sin ? ? 4) 2

2 2 解、 (Ⅰ)由已知得: (3 cos ? ? 4) ? 9 sin ? ?

则 sin ? ? cos ?

因为 ? ? (?? ,0)

?? ? ?

3? 4

…… …5 分

(Ⅱ)由 (3 cos? ? 4) ? 3 cos? ? 3 sin ? ? (3 sin ? ? 4) ? 0 得 sin ? ? cos ? ?

3 4

平方得

sin 2? ? ?

7 16

………..8 分



2 sin 2 ? ? sin 2? 2 sin 2 ? cos? ? 2 sin ? cos2 ? 7 ? ? 2 sin ? cos? ? sin 2? ? ? --10 分 1 ? tan? sin ? ? cos? 16

18.(江苏省常州市北郊中学 2008 届高三第一次模拟检测)已知向量 a= (3sinα, cosα) , b=(2sin α, 5sinα-4cosα),α∈( (1)求 tanα的值; (2)求 cos(

3π ,且 a⊥b. , 2π ) 2

?
2

?

π )的值. 3

解: (1)∵a⊥b,∴a〃b=0.而 a=(3sinα,cosα) ,b=(2sinα, 5sinα-4cosα), 故 a〃b=6sin2α+5sinαcosα-4cos2α=0.

4 1 ,或 tanα= . 3 2 1 4 3π ∵α∈( , ,tanα<0,故 tanα= (舍去) .∴tanα=- . 2π ) 2 2 3 ? 3π 3π (2)∵α∈( , ,∴ ? . 2π ) ( ,π) 2 2 4 4 ? 1 ? 由 tanα=- ,求得 tan ? ? , tan =2(舍去) . 3 2 2 2 ? 5 ? 2 5
由于 cosα≠0,∴6tan2α+5tanα-4 =0.解之,得 tanα=- ∴ sin cos(
2 ? 5 , cos 2 ?? 5



?

? π ? π π )= cos cos ? sin sin 2 3 2 3 2 3 2 5 1 5 3 2 5 ? 15 ? ? ? =? =? . 5 2 5 2 10
?

19.(江苏省南通市 2008 届高三第二次调研考试)在△ABC 中, 角 A, B,C 所对边分别为 a, b,

c,且 1 ?

tan A 2c ? . tan B b (Ⅰ)求角 A;

(Ⅱ)若 m ? (0, ?1) ,n ? cos B, 2cos2 C ,试求|m ? n|的最小值. 2 解: (Ⅰ) 1 ? 即 ∴

?

?

tan A 2c sin A cos B 2sin C ,………………………………3 分 ? ?1? ? tan B b sin B cos A sin B

sin B cos A ? sin A cos B 2sin C , ? sin B cos A sin B sin( A ? B) 2sin C , ? sin B cos A sin B

1 ∴ cos A ? . ………………………………………………5 分 2 0 ? A ? π ∵ ,
∴A?

π .………………………………………………………………7 分 3 C ? 1) ? (cos B,cos C) , 2 2π 1 π ? B) ? 1 ? sin(2B ? ) . 10 分 3 2 6

(Ⅱ)m ? n ? (cos B,2cos2

? |m ? n| 2 ? cos2 B ? cos2 C ? cos2 B ? cos2 (

∵A?

π 2π 2π ,∴ B ? C ? ,∴ B ? (0, ) . 3 3 3

π π 7π 从而 ? ? 2B ? ? .…………………………………………12 分 6 6 6 π π 1 2 ∴当 sin(2B ? ) =1,即 B ? 时,|m ? n| 取得最小值 .……………………13 分 6 3 2
所以|m ? n| min ?
2 .………………………………………………………………14 分 2


赞助商链接

高考数学 试题汇编 第一节 三角函数的概念、同角三角函...

高考数学 试题汇编 第一节 三角函数的概念同角三角函数的基本关系诱导公式 文(含解析)_数学_高中教育_教育专区。第一节 三角函数的概念同角三角函数的基本...

...三角函数的概念、同角三角函数的关系和诱导公式

第四章 第一节 三角函数及三角恒等变换 三角函数的概念同角三角函数的关系和诱导公式 第一部分 六年高考荟萃 2013 年高考题 1 .( 2013 年普通高等学校招生...

...届高考数学三角函数的概念、同角三角函数基本关系式...

最新高考数学,真题专题复习,完美版,全国各地高考数学真题 第一节 三角函数的概念同角三角函数 基本关系式及诱导公式 考点 同角三角函数基本关系式及诱导公式 3π...

...4.1三角函数的概念同角三角函数的关系和诱导公式对...

2017高考数学一轮复习第四章三角函数4.1三角函数的概念同角三角函数的关系和诱导公式对点训练理_数学_高中教育_教育专区。2017 高考数学一轮复习 第四章 三角函数 ...

...三角函数的概念、同角三角函数的关系和诱导公式

第四章 第一节 三角函数的概念同角三角函数的关系和诱导公式 第四章 第一节 三角函数及三角恒等变换 三角函数的概念三角函数的概念、同角三角函数的关系和...

...三角函数的概念、同角三角函数的关系和诱导公式(09...

第四章 第一节 三角函数及三角恒等变换 三角函数的概念同角三角函数的关系和诱导公式 第一部分 五年高考荟萃 2009 年高考题 一、选择题 1.(2009 海南宁夏理...

三角函数的概念、同角三角函数的关系和诱导公式

高考资源网(ks5u.com) 您身边的高考专家 第四章 第一节 三角函数及三角恒等变换 三角函数的概念三角函数的概念同角三角函数的关系和诱导公式 第一部分 ...

...年三角函数的概念、同角三角函数的关系和诱导公式真...

第四章 第一节 三角函数及三角恒等变换 三角函数的概念同角三角函数的关系和诱导公式 第一部分 五年高考荟萃 2009 年高考题 一、选择题 1.(2009 海南宁夏理...

...一节三角函数的概念同角三角函数的关系和诱导公式_...

第四章第一节三角函数的概念同角三角函数的关系和诱导公式 【5·3金典】2010届高考复习(5年高考3年联考)数学精品题库(共17专题.最新修订版)【5·3金典】2010...

...三角函数的概念、同角三角函数的关系、诱导公式

2014年高考一轮复习数学教案:4.1 三角函数的概念同角三角函数的关系诱导公式_数学_高中教育_教育专区。高三数学 2014年高考第一轮复习数学教案集第...