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第四章 第一节 三角函数的概念、同角三角函数的关系和诱导公式(往年高考集锦)

时间:2017-10-23


第四章 第一节

三角函数及三角恒等变换

三角函数的概念、同角三角函数的关系和诱导公式 第一部分 五年高考荟萃

2009 年高考题 一、选择题 1.(2009 海南宁夏理,5).有四个关于三角函数的命题:

p1 : ? x ? R, sin 2 p3 : ? x ? ? 0, ? ? ,

/>其中假命题的是 A. p1 , p4 答案 A

x 1 2 x + cos = 2 2 2

p2 : ? x、y ? R, sin(x-y)=sinx-siny p4 : sinx=cosy ? x+y=

1 ? cos 2 x =sinx 2

? 2

B. p2 , p4

C. p1 , p3

D. p2 , p4

2.. (2009 辽宁理, 8) 已知函数 f ( x ) =Acos( ? x ? ? )的图象如图所示,f ( ) ? ?

?

2

2 0 ) = , 则 f( 3





A. ?

2 3
C

B.

2 3

C.-

1 2

D.

1 2

答案

2 2 3.(2009 辽宁文,8)已知 tan ? ? 2 ,则 sin ? ? sin ? cos ? ? 2cos ? ? (



A. ?

4 3
D

B.

5 4

C. ?

3 4

D.

4 5

答案

4.(2009 全国 I 文,1) sin 585 °的值为 A. ?

2 2

B.

2 2

C. ?

3 2

D.

3 2

答案

A

5.(2009 全国 I 文,4)已知 tan a =4,cot ? = A.

7 11
B

B. ?

7 11

1 ,则 tan(a+ ? )= ( 3 7 7 C. D. ? 13 13



答案

6.(2009 全国 II 文,4) 已知 ?ABC 中, cot A ? ? A.

12 13

B.

5 13

C. ?

解析:已知 ?ABC 中, cot A ? ?

12 ? ,? A ? ( , ? ) . 5 2

5 13

12 , 则 cos A ? 5 12 D. ? 13

cos A ? ?

1 1 ? tan A
2

??

1 5 1 ? (? ) 2 12

??

12 13

故选 D.

7. (2009 全国 II 文, 9) 若将函数 y ? tan( ?x ? 与函数 y ? tan( ?x ? A.

?
4

)(? ? 0) 的图像向右平移
) D.

?
6

? 个单位长度后, 6

) 的图像重合,则 ? 的最小值为( 1 4
C.

1 6
D

B.

1 3

1 2

答案

8.(2009 北京文) “? ? A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件 答案 A

?
6

”是“ cos 2? ?

1 ”的 2

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析 本题主要考查本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断. 属于 基础知识、基本运算的考查. 当? ?

?
6

时, cos 2? ? cos

?
3

?

2? ? 2k? ?

?
3

? ? ? k? ?

?
6

1 1 ,反之,当 cos 2? ? 时, 2 2

?k ? Z ? ,
?
6

或 2? ? 2k? ?

?
3

? ? ? k? ?

? k ? Z ? ,故应选 A.
1 ”的 2

9.(2009 北京理) “? ? ( )

?
6

? 2k? (k ? Z ) ”是“ cos 2? ?

A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 答案 A

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析 本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断. 属于基础知识、基 本运算的考查. 当? ?

?

?? ? 1 ? ? 2k? (k ? Z ) 时, cos 2? ? cos ? 4k? ? ? ? cos ? 6 3? 3 2 ?
1 ? ? 时,有 2? ? 2k? ? ? ? ? k? ? ? k ? Z ? , 2 3 6 ? ? ? k? ?

反之,当 cos 2? ? 或 2? ? 2k? ?

?
3

?

6

? k ? Z ? ,故应选 A.
12 ,则 cos A ? 5 12 D. ? 13

10.(2009 全国卷Ⅱ文)已知△ABC 中, cot A ? ? A.

12 13

B.

5 13

C. ?

5 13

答案:D

12 知 A 为钝角,cosA<0 排除 A 5 cos A 12 12 ? ? , 和 sin 2 A ? cos 2 A ? 1求得 cos A ? ? 选 D 和 B,再由 cot A ? sin A 5 13 ? 11.(2009 四川卷文)已知函数 f ( x) ? sin( x ? )( x ? R) ,下面结论错误 的是 .. 2
解析:本题考查同角三角函数关系应用能力,先由 cotA= ? A. 函数 f ( x) 的最小正周期为 2 ? B. 函数 f ( x) 在区间[0,

? ]上是增函数 2

C.函数 f ( x) 的图象关于直线 x =0 对称 D. 函数 f ( x) 是奇函数 答案 D 解析∵ f ( x) ? sin( x ?

?
2

) ? ? cos x ,∴A、B、C 均正确,故错误的是 D

【易错提醒】利用诱导公式时,出现符号错误。 12.(2009 全国卷Ⅱ理)已知 ?ABC 中, cot A ? ? A.

12 13

B.

5 13

12 , 则 cos A ? ( 5 5 C. ? 13

) D. ?

12 13

解析:已知 ?ABC 中, cot A ? ?

12 ? ,? A ? ( , ? ) . 5 2

cos A ? ?

1 1 ? tan A
2

??

1 5 1 ? (? ) 2 12

??

12 13

故选 D.

答案 D 13.(2009 湖北卷文) “sin ? = A.充分而不必要条件 C.充要条件 答案 A 解析 由 cos 2a ? 故选 A. 14.(2009 重庆卷文)下列关系式中正确的是( A. sin11 ? cos10 ? sin168
0 0 0 0

1 1 ”是“ cos 2? ? ” 的 ( 2 2



B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

1 1 1 1 2 2 可得 sin a ? ? ,故 sin a ? 是sin a ? 成立的充分不必要条件, 2 2 2 4


0 0

B. sin168 ? sin11 ? cos10
0 0

C. sin11 ? sin168 ? cos10
0 0

0

D. sin168 ? cos10 ? sin11

0

答案 C 解析 因为 sin160 ? sin(180 ?12 ) ? sin12 ,cos10 ? cos(90 ? 80 ) ? sin80 ,由于正
? ? 弦函数 y ? sin x 在区间 [0 ,90 ] 上为递增函数,因此 sin11 ? sin12 ? sin 80 ,即
? ? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

sin11? ? sin160? ? cos10?
二、填空题 15.(2009 北京文)若 sin ? ? ? 答案

4 , tan ? ? 0 ,则 cos ? ? 5

.

?

3 5
属于基础知识、基本运算的考查.
2 2

解析 本题主要考查简单的三角函数的运算.

3 3 ? 4? 由已知, ? 在第三象限,∴ cos ? ? ? 1 ? sin ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ,∴应填 ? . 5 5 ? 5?
16.(2009 湖北卷理)已知函数 f ( x) ? f '( ) cos x ? sin x, 则 f ( ) 的值为

?

?

4

4

.

答案 1 解析 因为 f '( x) ? ? f '( ) ? sin x ? cos x 所以 f '( ) ? ? f '( ) ? sin

?

?

?

?
4

? f '( ) ? 2 ? 1 故 f ( ) ? f '( ) cos ? sin ? f ( ) ? 1 4 4 4 4 4 4
三、解答题 17.(2009 江苏,15)设向量 a ? (4cos ? ,sin ? ), b ? (sin ? , 4cos ? ), c ? (cos ? , ?4sin ? ) (1)若 a 与 b ? 2c 垂直,求 tan(? ? ? ) 的值; (2)求 | b ? c | 的最大值; (3)若 tan ? tan ? ? 16 ,求证: a ∥ b . 分析 本小题主要考查向量的基本概念, 同时考查同角三角函数的基本关系式、 二倍角的正 弦、两角和的正弦与余弦公式,考查运算和证明得基本能力。

?

?

4

?

?

?

4

?

4

? cos

?
4

?

?

?

?

?

?

? ?

?

?

18.( 2009 广 东 卷 理 ) (本小题满分12分) 已知向量 a ? (sin? ,?2) 与 b ? (1, cos? ) 互相垂直,其中 ? ? (0, (1)求 sin ? 和 cos ? 的值; (2)若 sin(? ? ? ) ?

?
2

).

10 ? , 0 ? ? ? ,求 cos ? 的值. 10 2

解: (1)∵ a 与 b 互相垂直,则 a ? b ? sin ? ? 2 cos? ? 0 ,即 sin ? ? 2 cos ? ,代入

sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 得 sin ? ? ?

? 2 5 5 , cos? ? ? ,又 ? ? (0, ) , 2 5 5

∴ sin ? ?

2 5 5 , cos? ? . 5 5

(2)∵ 0 ? ? ?

?
2

,0 ? ? ?

?
2

,∴ ?

?
2

? ? ?? ?

?
2

,则

cos(? ? ? ) ? 1 ? sin 2 (? ? ? ) ?

3 10 , 10 2 . 2

∴ cos ? ? cos[? ? (? ? ? )] ? cos? cos(? ? ? ) ? sin ? sin(? ? ? ) ? 19.(2009 安徽卷理)在 ? ABC 中, sin(C ? A) ? 1 , sinB= (I)求 sinA 的值; (II)设 AC= 6 ,求 ? ABC 的面积.

1 . 3

本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、解三角形等有关知识,考查运算求解能力。 (Ⅰ)由 C ? A ?

? ? B ? B 2 ,且 C ? A ? ?? B ,∴ A ? ? ,∴ sin A ? sin( ?) ? (cos 2 4 2 4 2 2
C

B B , sin? ) 2 2

2 ∴ sin A ?

1 1 3 (1 ? sin B) ? ,又 sin A ? 0 ,∴ sin A ? 2 3 3

(Ⅱ)如图,由正弦定理得

AC BC ? sin B sin A

A

B

AC sin A ∴ BC ? ? sin B

6? 1 3

3 3 ? 3 2 ,又 sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B

?

3 2 2 6 1 6 ? ? ? ? 3 3 3 3 3 1 1 6 AC ? BC ? sin C ? ? 6 ? 3 2 ? ?3 2 2 2 3

∴ S?ABC ?

20.(2009 天津卷文)在 ?ABC 中, BC ? 5, AC ? 3, sin C ? 2 sin A (Ⅰ)求 AB 的值。 (Ⅱ)求 sin( 2 A ?

?
4

) 的值。 AB BC ? ,于是 sin C sin A

(1)解:在 ?ABC 中,根据正弦定理,

AB ? sin C

BC ? 2 BC ? 2 5 sin A

(2)解:在 ?ABC 中,根据余弦定理,得 cos A ?

AB 2 ? AC 2 ? BC 2 2 AB ? AC

于是 sin A ? 1 ? cos2 A =

5 , 5
4 3 , cos 2 A ? cos 2 A ? sin 2 A ? 5 5

从而 sin 2 A ? 2 sin A cos A ?

? ? ? 2 sin(2 A ? ) ? sin 2 A cos ? cos 2 A sin ? 4 4 4 10
【考点定位】本题主要考查正弦定理,余弦定理同角的三角函数的关系式,二倍角的正弦和 余弦,两角差的正弦等基础知识,考查基本运算能力。 21.(2009 四川卷文)在 ?ABC 中, A、B 为锐角,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c , 且 sin A ?

5 10 ,sin B ? 5 10

(I)求 A ? B 的值; (II)若 a ? b ?

2 ? 1 ,求 a、b、c 的值。
5 10 ,sin B ? 5 10

解(I)∵ A、B 为锐角, sin A ?

∴ cos A ? 1 ? sin A ?
2

2 5 3 10 , cos B ? 1 ? sin 2 B ? 5 10 2 5 3 10 5 10 2 ? ? ? ? . 5 10 5 10 2

cos( A ? B) ? cos A cos B ? sin A sin B ?
∵ 0 ? A? B ?? ∴ A? B ?

?
4

…………………………………………6 分

(II)由(I)知 C ? 由

3? 2 ,∴ sin C ? 4 2

a b c ? ? 得 sin A sin B sin C

5a ? 10b ? 2c ,即 a ? 2b, c ? 5b
又∵ ∴ ∴

a ? b ? 2 ?1 2b ? b ? 2? 1 ∴ b ? 1

a ? 2 ,c ?

5

…………………………………………12 分

22.(2009 湖南卷文)已知向量 a ? (sin ? ,cos? ? 2sin ? ), b ? (1, 2). (Ⅰ)若 a / / b ,求 tan ? 的值; (Ⅱ)若 | a |?| b |,0 ? ? ? ? , 求 ? 的值。 解: (Ⅰ) 因为 a / / b ,所以 2sin ? ? cos ? ? 2sin ? , 于是 4sin ? ? cos ? ,故 tan ? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

1 . 4

(Ⅱ)由 | a |?| b | 知, sin 2 ? ? (cos? ? 2sin ? )2 ? 5, 所以 1 ? 2sin 2? ? 4sin ? ? 5.
2

?

?

从而 ?2sin 2? ? 2(1 ? cos 2? ) ? 4 ,即 sin 2? ? cos 2? ? ?1, 于是 sin(2? ? 所以 2? ?

?
4

)??

? ? 9? 2 .又由 0 ? ? ? ? 知, ? 2? ? ? , 4 4 4 2

5? ? 7? ,或 2? ? ? . 4 4 4 4 ? 3? . 因此 ? ? ,或 ? ? 4 2 ?
23.(2009 天津卷理)在⊿ABC 中,BC= 5 ,AC=3,sinC=2sinA (I) 求 AB 的值: (II) 求 sin ? 2 A ?

?

? ?

??

? 的值 4?

本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦、两 角差的正弦等基础知识,考查基本运算能力。满分 12 分。 (Ⅰ)解:在△ABC 中,根据正弦定理, 于是 AB=
sinC BC ? 2BC ? 2 5 sin A AB BC ? sinC sin A

(Ⅱ)解:在△ABC 中,根据余弦定理,得 cosA= 于是 sinA= 1 ? cos2 A ? 从而 sin2A=2sinAcosA= 所以 sin(2A5 5

AB2 ? AC2 ? BD2 2 5 ? 2 AB ? AC 5

4 3 ,cos2A=cos2A-sin2A= 5 5

? ? ? 2 )=sin2Acos -cos2Asin = 4 4 4 10

2005—2008 年高考题 一、选择题 1.(2008 山东)已知 a,b,c 为 △ ABC 的三个内角 A,B,C 的对边,向量

m ? ( 3, ?1),n ? (cos A, sin A) .若 m ? n ,且 a cos B ? b cos A ? csin C ,则角 A,B
的大小分别为( A. , 答案 C 解析 本小题主要考查解三角形问题.? 3 cos A ? sin A ? 0 , ) B.

π π 6 3

2π π , 3 6

C. ,

π π 3 6

D. ,

π π 3 3

?A?

?
3

; ? sin A cos B ? sin B cos A ? sin 2 C,

sin A cos B ? sin B cos A ? sin( A ? B) ? sin C ? sin 2 C ,
C?

? π . ? B ? .选 C. 本题在求角 B 时,也可用验证法. 2 6
3 ? sin 70? ?( 2 ? cos 2 10?
C. 2 )

2.(2008 海南、宁夏)

A.

1 2

B.

2 2

D.

3 2

答案 C 解析
? 3? s i n 7 0 ? 2 ? 2? c o s 1 0 ? ?3 c o?s 2 0 ? 3 2 ( 2 c o ?s 2 0 1 ) ? ? 2 ,选 C 2 ? 2 ? ?2 c o s 1 0 ? 2 c o s 1 0

3.(2007 北京)已知 cos ? ? tan ? ? 0 ,那么角 ? 是( A.第一或第二象限角 C.第三或第四象限角 答案 C 4.(2007 重庆)下列各式中,值为 A. 2sin15 cos15
? ?



B.第二或第三象限角 D.第一或第四象限角

3 的是( 2
2 ?


2 ?

B. cos 15 ? sin 15

C. 2sin 15 ? 1
2 ?

D. sin 15 ? cos 15
2 ? 2

?

答案 B 5.(2007 江西)若 tan ? ? 3 , tan ? ? A. ?3 答案 D 6.(2007 全国 I) ? 是第四象限角, tan ? ? ? A. B. ?

1 3

4 ,则 tan(? ? ? ) 等于( 3 1 C. 3 D. 3 5 ,则 sin ? ? ( 12 5 D. ? 13





1 5

B. ?

1 5

C.

5 13

答案 D 7.(2006福建)已知 ? ? ( A.

?

1 7

B. 7

3 ? , ? ),sin ? ? ,则 tan(? ? ) 等于 ( 2 5 4 1 C. ? D. ?7 7



答案 A 8.(2006年湖北)若△ ABC 的内角

A 满足 sin 2 A ? 2 ,则 sin A ? cos A =( )
3
C.

A. 答案 A

15 3

B. ?

15 3

5 3

D. ?

5 3

9.(2005 全国 III)已知 ? 为第三象限角,则 A.第一或第二象限 C.第一或第三象限 答案 D 10.(2005 全国 I)在 ?ABC 中,已知 tan ① tan A ? cot B ? 1
2 2 ③ sin A ? cos B ? 1

?
2

所在的象限是

B.第二或第三象限 D.第二或第四象限

A? B ? sin C ,给出以下四个论断: 2
② 0 ? sin A ? sin B ?

2

2 2 2 ④ cos A ? cos B ? sin C

其中正确的是( A.①③ 答案 B 二、填空题

) B.②④ C.①④ D.②③

11.(2008 山东)已知 a,b,c 为△ABC 的三个内角 A,B,C 的对边,向量 m=( 3,?1 ) ,

n=(cosA,sinA).若 m⊥n,且 acosB +bcosA=csinC,则角 B=
答案

? 6

解析 本题考查解三角形

? , sin A cos B ? sin B cos A ? sin C sin C , 3 ? ? sin A cos B ? sin B cos A ? sin( A ? B) ? sin C ? sin 2 C , C ? . ∴ B ? 。 2 6
3 cos A ? sin A ? 0 , A ?
(2007 湖南)在 △ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,若 a ? 1 ,b= 7 ,

c ? 3,C ?
答案

π ,则 B ? 3



5π 6

12.(2007 北京)2002 年在北京召开的国际数学家大会,会标是以我国古代数 学家赵爽的弦图为基础设计的.弦图是由四个全等直角三角形与一个小正 方形拼成的一个大正方形(如图) .如果小正方形的面积为 1,大正方形的 面积为 25,直角三角形中较小的锐角为 ? ,那么 cos 2? 的值等于 答案

7 25
o s 2C ? AC ? 5 , 三角形面积为 12, 则c

13. (2006 年上海春卷) 在△ ABC中, 已知 BC ? 8,

答案

7 25

三、解答题

1 ? 2 sin(2 x ? ) 4 , 14.(2008 北京)已知函数 f ( x) ? cos x
(1)求 f ( x ) 的定义域; (2)设 ? 是第四象限的角,且 tan ? ? ?

?

4 ,求 f (? ) 的值. 3

解: (1)依题意,有 cosx?0,解得 x?k?+ 即 f ( x ) 的定义域为{x|x?R,且 x?k?+

? ,k?Z} 2

? , 2

1 ? 2 sin(2 x ? ) 4 =-2sinx+2cosx? f (? ) =-2sin?+2cos? (2) f ( x) ? cos x 4 4 3 由 ? 是第四象限的角,且 tan ? ? ? 可得 sin?=- ,cos?= 3 5 5 14 ? f (? ) =-2sin?+2cos?= 5
15.(2008 江苏)如图,在平面直角坐标系 xoy 中,以 ox 轴为始边做两个锐角 ? , ? ,它们 的终边分别与单位圆相交于 A,B 两点,已知 A,B 的横坐标分别为

?

2 2 5 , 10 5
(1) 求 tan(? ? ? ) 的值; (2) 求 ? ? 2 ? 的值。

解 本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公 式。由条件得 cos ? ?

2 2 5 , ?? 为锐角, ,cos ? ? 10 5 7 2 5 。同理可得 sin ? ? , 10 5
1 。 2

故 sin ? ? 0且 sin ? ?

因此 tan ? ? 7, tan ? ?

1 tan ? ? tan ? 2 =-3 。 (1) tan(? ? ? ) ? ? 1 ? tan ? tan ? 1 ? 7 ? 1 2 1 ?3 ? 2 =-1 , (2) tan(? ? 2? ) ? tan[(? ? ? ) ? ? ] ? 1 1 ? (?3) ? 2 ? ? 3? 3? ? 0 ? ? ? , 0 ? ? ? , ? 0 ? ? ? 2? ? ,从而 ? ? 2 ? ? 。 2 2 2 4 7?
16. ( 2007 安 徽 ) 已 知 0 ? ? ?

? ?? ? ,? 为 f ( x) ? cos ? 2 x ? ? 的 最 小 正 周 期 , ? ?? ?

? ? 1 ? a ??t a n ? ? ? ? ? ?, 4 ? ? ?

2 cos 2 ? ? sin 2(? ? ? ) ? a · b ? m b ? (cos ? , 2) ,且 .求 的值. 1 , ? cos ? ? sin ? ?

解:因为 ? 为 f ( x) ? cos ? 2 x ?

? ?

π? ? 的最小正周期,故 ? ? π . 8?

· b ? m ,又 a 因a · b ? cos ? · tan ? ? ?
故 cos ? · tan ? ? ? 由于 0 ? ? ?

? ?

1 ? ? ??2. 4 ?

? ?

1 ? ? ? ? m?2. 4 ?

π ,所以 4

2cos 2 ? ? sin 2(? ? ? ) 2cos 2 ? ? sin(2? ? 2 π) ? cos ? ? sin ? cos ? ? sin ? ? 2cos 2 ? ? sin 2? 2cos ? (cos ? ? sin ? ) ? cos ? ? sin ? cos ? ? sin ?

? 2cos ?

1 ? tan ? π? ? ? 2cos ? · tan ? ? ? ? ? 2(2 ? m) 1 ? tan ? 4? ?

A, B, C 17.(2006年四川卷)已知

?? ? m ? ? 1, 3 , n ? ? cos A,sin A? 三角形 ?ABC 三内角,向量,

?

?

且 m? n ?1 (Ⅰ)求角 A ;

?? ?

1 ? sin 2 B ? ?3 2 2 (Ⅱ)若 cos B ? sin B ,求 tan B
解: (Ⅰ)∵ m ? n ? 1 ∴

?? ?

? ?1, 3 ? ? ? cos A,sin A? ? 1
?? 1 ? sin ? A ? ? ? 6? 2 ?

即 3 sin A ? cos A ? 1

? 3 1? 2? ? sin A ? 2 ? cos A ? 2 ? ? ?1 ? ? ,



0 ? A ? ?,?

?
6

? A?

?
6

?

5? 6



A?

?
6

?

?
6


A?

?
3

1 ? 2sin B cos B ? ?3 2 2 2 2 (Ⅱ)由题知 cos B ? sin B ,整理得 sin B ? sin B cos B ? 2cos B ? 0
∴ cos B ? 0 ∴ tan B ? tan B ? 2 ? 0
2

∴ tan B ? 2 或 tan B ? ?1 而 tan B ? ?1 使 cos B ? sin B ? 0 ,舍去
2 2

∴ tan B ? 2

tan A ? tan B ? ? 2 ? 3 8 ? 5 3 ? ? ? tan C ? tan ? ? ? A ? B ? ? ? ? ? ? ? tan ? A ? B? 1? 2 3 1 ? tan A tan B 11 ∴

第二部分

三年联考汇编

2009 年联考题 一、选择题 1.(2009 年 4 月北京海淀区高三一模文)若 sin ? ? cos ? ? 0 ,且 cos ? ? 0 ,则角 ? 是 ( ) B. 第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角

A.第一象限角 答案 C

2. (北京市崇文区 2009 年 3 月高三统一考试理)已知 sin ? ? cos ? ? ( )

1 ,则 sin 2? 的值为 3 8 9

A. ? 答案 D

2 3

B.

2 3

C. ?

8 9

D.

3.(北京市东城区 2009 年 3 月高中示范校高三质量检测文)已知 sin ? ? 则 sin 2? = A. ? ( B. ? ) C. ?

4 , sin ? ? cos ? ? 1 , 5 24 25

24 25

12 25

4 5

D.

答案 A 4.(2009 福州三中)已知 tan? ? ? ( A. ? ) B.

3 ,且 tan(sin ? ) ? tan ? cos ? ? 则 sin?的值为 4 3 5 4 5

3 5

3 5

C. ?

D. ?

答案 B 二、填空题 5.(20009 青岛一模)已知 sin( 答案

?
4

? x) ?

3 ,则 sin 2 x 的值为 5



7 25

6.(沈阳二中 2009 届高三期末数学试题)

在△ABC 中,若 tan A ? 答案: 10 . 三、解答题

1 , C ? 150?, BC ? 2 ,则 AB= 3

.

7.(2009 厦门集美中学)已知 tan (2)

?
2

=2,求 (1) tan(? ?

?
4

) 的值;

6 sin ? ? cos ? 的值. 3sin ? ? 2 cos ?

? 2 tan ? 2 ? 2? 2 ? ? 4 ; 解: (I)∵ tan =2, ∴ tan ? ? ? 1? 4 2 3 1 ? tan 2 2 4 ? ? ?1 tan ? ? tan ? 1 4 ? tan ? ? 1 = 3 所以 tan(? ? ) ? ?? ; 4 1 ? tan ? tan ? 1 ? tan ? 1 ? 4 7 4 3
4 6 sin ? ? cos ? 6 tan ? ? 1 (II)由(I), tanα=- , 所以 = = 3 3sin ? ? 2 cos ? 3 tan ? ? 2

4 6(? ) ? 1 7 3 ? . 4 3(? ) ? 2 6 3
4 ? ?? , ? ? ? 0, ? 5 ? 2?

8.(2009 年福建省普通高中毕业班质量检查)已知 sin ?? ? ? ? ? (1)求 sin 2? ? cos
2

?

2 5 1 (2)求函数 f ? x ? ? cos ? sin 2 x ? cos 2 x 的单调递增区间。 6 2 4 4 ? sin ?? ? ? ? ? ,? sin ? ? 5 5 3 ? ?? 又 ?? ? ? 0, ? ,? cos ? ? 5 ? 2?
(I)

的值

sin 2? ? cos 2

?
2

1 ? cos ? 2 3 1? 4 3 ? 2? ? ? 5 5 5 2 4 25 ? 2sin ? cos ? ?

(II)

5 3 1 f ? x? ? ? s i n x 2? c ox s2 6 5 2 2 ?? ? ? sin 2? ? ? x 2 4? ? 令 2 k? ? 得k ? ?

?
2

? 2x ?

?
4

? 2 k? ?

?
2

?
8

? x ? k? ?

3? ,k ?Z 8

? 3? ? ? ? 函数 f ? x ? 的单调递增区间为 ? k? ? , k? ? ? k ? Z 8 8 ? ?
9. (2009 年龙岩市普通高中毕业班单科质量检查) 已知 ? ? ( (Ⅰ)求 cos? 的值;

?
2

,? ) , 且 sin

?
2

? cos

?
2

?

2 3 . 3

3 ? , ? ? (0, ) ,求 sin ? 的值. 5 2 ? ? 2 3 解: (Ⅰ)因为 sin ? cos ? , 2 2 3
(Ⅱ)若 sin(? ? ? ) ? ? 所以 1 ? 2sin 因为 ? ? (

?
2

cos

?
2

?

4 1 , sin ? ? . 3 3

…………………………(2 分)

?
2

,? ) ,

所以 cos ? ? ? 1 ? sin (Ⅱ)因为 ? ? (

2

? ? ? 1?

1 2 2 . ……………………(6 分) ?? 9 3

?

? ? 3? , ? ), ? ? (0, ) ,所以 ? ? ? ? ( , ) 2 2 2 2
3 4 ,得 cos(? ? ? ) ? ? . …………………………(9 分) 5 5

又 sin(? ? ? ) ? ?

sin ? ? sin ?(? ? ? ) ? ? ?
? sin(? ? ? ) ? cos ? ? cos(? ? ? ) ? sin ?

3 3 2 4 1 ? (? ) ? (? ) ? (? ) ? 5 3 5 3 ? 6 2?4 . 15
………………………………………………(12 分)
x 2 x x 1 ? cos2 ? . 2 2 2

10.(银川一中 2009 届高三年级第一次模拟考试)已知函数 f ( x ) ? sin cos (1)若 f (? ) ?

2 , ? ? ?0, ? ?, 求?的值; 4
? ? ? , ? ? 上最大值和最小值 ? 4 ?

(2)求函数 f ( x ) 在 ? ? 解: (1) f ( x) ?

1 1 ? cos x 1 1 2 ? sin x ? ? ? (sin x ? cos x) ? sin(x ? ) …2 分 2 2 2 2 2 4

由题意知 f (? ) ?

? 1 2 ? 2 ,即 sin(? ? ) ? sin(? ? ) ? 4 2 2 4 4

…………3 分

∵ ? ? (0, ? ) 即 ? ? ∴ ? ? ? ? 5? 4 6 (2)∵
?

?

? 5? ?( , ) 4 4 4
? ?
7? 12
?
4 ? 5? 4

?
?? ?? 即

…………6 分 …………8 分 …………12 分

?
4

0?? ?

∴ f ( x) max ? f ( ? ) ? 2 , f ( x) min ? f (? ) ? ? 1 2 4 2 11.在 ?ABC 中, cos A ? ? (1)求 sin C 的值 (2)设 BC ? 5 ,求 ?ABC 的面积 解(I)由 cos A ? ?

5 3 , cos B ? , 13 5

5 12 ,sin A ? ,得 13 13

3 4 ,sin B ? ,得 5 5 又 A? B ?C ??
由 cos B ? 所以 sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ?

16 65

4 BC ? sin B 5 ? 13 (II)由正弦定理得 AC ? ? 12 sin A 3 13 1 1 13 16 8 ? 所以 ?ABC 的面积 S ? ? BC ? AC ? sin C ? ? 5 ? ? 2 2 3 65 3 5?
12. ( 山 东 省 枣 庄 市 2009 届 高 三 年 级 一 模 考 ) 已 知 函 数

f ( x) ? sin 2 ?x ? 3 sin ?x sin(?x ?
(1)求 f ( x); (2)当 x ? [?

?
2

)(? ? 0) 的最小正周期为 ?

, ]时, 求函数 f ( x) 的值域。 12 2 1 ? cos 2?x ? 3 sin ?x cos ?x 解: (1) f ( x) ? 2

? ?

2分

?

3 1 1 ? 1 sin 2?x ? cos 2?x ? ? sin(2?x ? ) ? . 2 2 2 6 2

4分

?函数f ( x)的最小正周期为 ? , 且? ? 0,
? 2? ? ? , 解得 ? ? 1. 2?

? f ( x) ? sin( 2 x ?
(2)? x ? [?

?

? ? 5? , ],? 2 x ? ? [? , ]. 12 2 6 3 6
, 即x ?

? ?

1 )? . 6 2

6分

根据正弦函数的图象可得: 当 2x ?

?
6

?

?
2

?
3

时, 8分

g ( x) ? sin( 2 x ?
当 2x ?

?
6

) 取最大值 1

?
6

??

?
3

,即x ? ?

?
12



? 3 g ( x) ? sin(2 x ? )取最小值 ? . 6 2

10 分

1 3 ? 1 3 ? ? ? sin(2 x ? ) ? ? , 2 2 6 2 2
即 f ( x)的值域为 [

1? 3 3 , ]. 2 2

12 分

13.(2009 广东地区高三模拟)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.已知 a+b=5, c = 7 ,且 4 sin 2

A? B 7 ? cos 2C ? . 2 2

(1) 求角 C 的大小; (2)求△ABC 的面积. (1) 解:∵A+B+C=180°

A? B 7 C 7 ? cos 2C ? 得4 cos 2 ? cos 2C ? 2 2 2 2 1 ? cos C 7 ∴4? ………………3 分 ? (2 cos 2 C ? 1) ? 2 2
由 4 sin 2 整理,得 4 cos C ? 4 cosC ? 1 ? 0
2

…………1 分

…………4 分

解 得: cos C ?

1 2

……5 分 ∴C=60° ………………6 分

∵ 0? ? C ? 180 ?

(2)解:由余弦定理得:c2=a2+b2-2abcosC,即 7=a2+b2-ab …………7 分 ∴ 7 ? (a ? b) 2 ? 3ab ………………8 分

由条件 a+b=5 得 7=25-3ab …… 9 分

ab=6 ……10 分
∴ S ?ABC ?

1 1 3 3 3 ab sin C ? ? 6 ? ? 2 2 2 2

…………12 分

9 月份更新
一、选择题 1.(2009 滨州一模)(4)△ABC 中, AB ? 3, AC ? 1, ?B ? 30? ,则△ABC 的面积等于 A. 答案 D

3 2

B.

3 4

C.

3 或 3 2

D.

3 3 或 2 4

2.(2009 临沂一模)使奇函数 f(x)=sin(2x+θ)+ 3 cos(2x+θ)在[ ? A、 ?

?
4

,0]上为减函数的θ值为

?
3

B、 ?

?
6

C、
tan a ?

5? 6

D、

2? 3

答案 D 3.(2009 泰安一模)若

1 10 ? ? ? ? , a ? ( , ), 则sin(2a+ )的值为 tan a 3 4 2 4

A.

?

2 10

B.

2 10

C

5 2 10

D.

7 2 10
( )

4.(2009 枣庄一模)已知 sin( A. ?

7 9

1 2? ? ? ) ? , 则 cos( ? 2? ) 的值是 6 3 3 1 1 7 B. ? C. D. 3 3 9
0 0 0 0

?

5.(2009 潍坊一模) sin 45 ? cos15 ? cos 225 ? sin15 的值为

(A) -

3 2

(B) -

1 1 (C) 2 2

3 (D) 2

C 二、填空题 1.(2009 聊城一模) 在 ?ABC 中, 角A, B, C所对的边分别为 a, b, c, 若其面积 S ?

1 2 (b ? c 2 ? a 2 ), 4

则?A =
答案



? 4
?
4 ? x) ? 3 ,则 sin 2 x 的值为 5


2.(2009 青岛一模)已知 sin( 答案

7 25

3.(2009 泰安一模)在 △ ABC 中,AB=2,AC= 6 ,BC=1+ 3 ,AD 为边 BC 上的高,则 AD 的长是 答案 3 三、解答题 1. ( 2009 青 岛 一 模 ) 在 ?ABC 中 , a, b, c 分 别 是 ?A, ?B, ?C 的 对 边 长 , 已 知 。

2 sin A ? 3 cos A .
(Ⅰ)若 a ? c ? b ? mbc,求实数 m 的值;
2 2 2

(Ⅱ)若 a ?

3 ,求 ?ABC 面积的最大值.
2

解:(Ⅰ) 由 2 sin A ? 3 cos A 两边平方得: 2 sin A ? 3 cos A 即 (2 cos A ? 1)(cosA ? 2) ? 0 解得: cos A ?
2 2

1 …………………………3 分 2
2

b2 ? c2 ? a2 m ? 而 a ? c ? b ? mbc可以变形为 2bc 2
即 cos A ?

m 1 ? ,所以 m ? 1 …………………………6 分 2 2
1 3 ,则 sin A ? …………………………7 分 2 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 cos A ?



b2 ? c2 ? a2 1 ? …………………………8 分 2bc 2
2 2 2 2 2

所以 bc ? b ? c ? a ? 2bc ? a 即 bc ? a …………………………10 分 故 S ?ABC ?

bc a2 3 3 3 ………………………………12 分 sin A ? ? ? 2 2 2 4

2007—2008 年联考题 一、选择题 π 24 , ?∈(- ,0),则 sin?+cos?= 4 25

1、(2008 江苏省启东中学高三综合测试三)已知 sin2?=- ( A.- )

1 5

B.

1 5

C.-

7 5

D.

7 5

答案:B 2.(安徽省巢湖市 2008 届高三第二次教学质量检测)若 cos 一定落在直线( A. 7 x ? 24 y ? 0 )上。 B. 7 x ? 24 y ? 0

?
2

?

3 ? 4 , sin ? ? ,则角 ? 的终边 5 2 5

C. 24 x ? 7 y ? 0 答案:D 3.(2007 海南海口)若 A 是第二象限角,那么 A.第一象限角 C.第三象限角 答案 B 二、填空题

D. 24 x ? 7 y ? 0

A ? 和 -A 都不是( 2 2
B.第二象限角 D.第四象限角



4.(北京市西城区 2008 年 5 月高三抽样测试)设 ? 是第三象限角, tan ? ? 12 答案:- 13 5. ?为锐角,且sin ? ? ?

? ,则 cos? = ??

? ?

??

1 ? ? , 则 cos? ? ________________ 6? 3

答案:

2 6 -1 6

6.cos43°cos77°+sin43°cos167°的值为 答案

1 2

三、解答题 7.(山东省济南市 2008 年 2 月高三统考)设向量 a ? (cos(? ? ? ),sin(? ? ? )) , 且a ?b ? ( , ) (1)求 tan ? ;

?

?

?

4 3 5 5

2cos 2
(2)求

?
2

? 3sin ? ? 1

2 sin(? ? ) 4 ? ? 解: (1) a ? b
4 3 ? (2 cos ? cos ? , 2sin ? sin ? ) ? ( , ) 5 5 4 3 ∴ 2 cos ? cos ? ? , 2sin ? sin ? ? 5 5

?



∴ tan ? ?

3 4

2cos 2
(2)

?
2

? 3sin ? ? 1

2 sin(? ? ) 4

?

?

cos ? ? 3sin ? 1 ? 3tan ? 5 ? ?? cos ? ? sin ? 1 ? tan ? 7
3 sin(?x) ? 2 sin 2

8.(广东地区 2008 年 01 月份期末试题)已知:函数 f ( x) ? 周期为 3? ,且当 x ? [0, ? ] 时,函数 f ( x) 的最小值为 0. (1)求函数 f ( x) 的表达式;

?x
2

?m的

(2)在△ABC 中,若 f (C) ? 1, 且2 sin 2 B ? cos B ? cos(A ? C),求sin A的值. 解: (1) f ( x) ?

3 sin(?x) ? cos( ?x) ? 1 ? m ? 2 sin(?x ?

?
6

) ?1? m

3分 4分 5分

依题意函数 f ( x) 的周期为 3? ,

2 2x ? , f ( x) ? 2 sin( ? ) ? 1 ? m ? 3 3 6 ? 2 x ? 5? 1 2x ? ? x ? [0, ? ],? ? ? ? ? ? sin( ? ) ? 1 6 3 6 6 2 3 6


2?

? 3? ,? ? ?

? f ( x) 的最小值为 m,? m ? 0
2x ? ? ) ?1 3 6 2C ? ? ) ?1 ? 1 (2) f (C ) ? 2 sin( 3 6 ? 而∠C∈(0,π), ∴∠C= 2
即 f ( x ) ? 2 sin( 在 Rt△ABC 中,? A ? B ?

6分 7分

? sin(

2C ? ? ) ?1 3 6
9分

?

2

,2 sin 2 B ? cos B ? cos( A ? C )

? 2 cos2 A ? sin A ? sin A ? 0解得sin A ? 5 ?1 . 2

?1? 5 2

11 分

? 0 ? sin A ? 1,? sin A ?

12 分

9.(广东 2008 年 01 月份期末试题)已知 f ( x) ? cos (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ) 当 x ? ?

3x x 3x x cos ? sin sin ? 2 sin x cos x , 2 2 2 2

?? ? , ? ,求函数 f ( x) 的零点. ?2 ? ?

解: (Ⅰ) f ( x) ? cos2 x ? sin 2 x = 2 cos( 2 x ?

?
4

) …………………….4 分

故 T ? ? …………………………………………………5 分 (Ⅱ)令 f ( x) ? 0 , 2 cos(

?

?? ? ? 2 x) =0,又? x ? ? , ? ? 4 ?2 ?

…… ………….7 分

?

5? ? 9? ? 3? ? ? 2x ? ? ? 2x ? …………………………………………9 分 4 4 4 4 2 5? 5? 故x ? 函数 f ( x) 的零点是 x ? ……………. 12 分 8 8
10.(广东 2008 年 01 月份期末试题)已知向量 a ? (1 ? sin 2x , sin x ? cos x) ,

?

? ? ? b ? (1, sin x ? cos x) ,函数 f ( x) ? a ? b .
(Ⅰ)求 f ( x) 的最大值及相应的 x 的值; (Ⅱ)若 f (? ) ?

8 ?π ? ,求 cos 2 ? ? 2? ? 的值. 5 ?4 ?
?

解: (Ⅰ)因为 a ? (1 ? sin 2x , sin x ? cos x) , b ? (1, sin x ? cos x) ,所以

?

f ( x) ? 1 ? sin 2 x ? sin 2 x ? cos2 x ? 1 ? sin 2 x ? cos2 x
π? ? ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 1 . 4? ?

π π 3 ? 2kπ ? ,即 x ? kπ ? π ( k ? Z )时, f ( x) 取得最大值 2 ? 1 ; 4 2 8 8 3 (Ⅱ)由 f (? ) ? 1 ? sin 2? ? cos 2? 及 f (? ) ? 得 sin 2? ? cos2? ? ,两边平方得 5 5 9 16 1 ? sin 4? ? ,即 sin 4? ? . 25 25
因此,当 2 x ?

16 ?π ? ?π ? 因此, cos 2 ? ? 2? ? ? cos ? ? 4? ? ? sin 4? ? . 25 ?4 ? ?2 ?
11.(2008 年高三名校试题汇编)设 a ? (1 ? cos? , sin ? ), b ? (1 ? cos? , sin ? ), c ? (1, 0) , 其 ? ? (0, ? ), ? ? (? , 2? ) ,a 与 c 的夹角为 ? 1 ,b 与 c 的夹角为 ?2 ,且 ?1 ? ? 2 ?

?
6

,求

sin


? ??
4

的值.

a=(2cos2

? ? ? ? ? ? ,2sin cos )=2cos (cos ,sin ), 2 2 2 2 2 2

? ? ? ? ? ? ,2sin cos )=2sin (sin ,cos ), 2 2 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ∵α∈(0,π),β∈(π,2π), ∴ ∈(0, ), ∈( ,π) ,故|a|=2cos ,|b|=2sin , 2 2 2 2 2 2 ? 2cos 2 a?c 2 ? 2cos ? , cos ?1 ? ? | a || c | 2cos ? 2 2 ? 2 sin 2 b?c 2 ? sin ? ? cos( ? ? ? ) , cos? 2 ? ? ? | b || c | 2 2 2 2 sin 2 ? ? ? ? ? ∵0< ? < ,∴ ?2 = ? , 2 2 2 2 2 ? 又 ? 1 - ?2 = , 6 ? ? ? ? ? ?? ? ∴ - + = ,故 =- , 2 2 2 2 6 3 ? ?? ? 1 ∴sin =sin(- )=- . 4 2 6
b=(2sin2 12.(2008 广东高三地区模拟)如图 A、B 是单位圆 O 上的点,且 B 在第二象限. C 是圆与 x 轴正半轴的交点,A 点的坐标为 ? , (Ⅰ)求 sin ?COA ; (Ⅱ)求 cos ?COB .

?3 4? ? ,△AOB 为正三角形. ?5 5?
B

y

A( , ) C

3 4 5 5

O

x

解: (1)因为 A 点的坐标为 ? ,

4 ?3 4? ? ,根据三角函数定义可知 sin ?COA ? 5 ---4 分 ?5 5?
0

(2)因为三角形 AOB 为正三角形,所以 ?AOB ? 60 ,

sin ?COA ?

4 3 , cos ?COA ? , 5 5
0

-----------------------------6 分

所以 cos ?COB = cos(?COA ? 60 )

? cos ?COA cos 600 ? sin ?COA sin 600
= ?

-------------------------10 分

3 1 4 3 3?4 3 ? ? ? . 5 2 5 2 10

--------------------------------------12 分

理(Ⅱ)求 | BC |2 的值. 解:(Ⅱ)因为三角形 AOB 为正三角形,所以 ?AOB ? 60? , sin ?COA ?

4 , 5
……5 分

cos ?COA ?

3 , 5

所以 cos ?COB ? cos(?COB ? 60? ) ? cos ?COB cos60? ? sin ?COB sin 60?
? 3 1 4 3 3?4 3 ? ? ? ? 5 2 5 2 10

……8 分

所以 | BC |2 ?| OC |2 ? | OB |2 ?2 | OC || OB | cos ?BOC

?1?1? 2?

3? 4 3 7 ? 4 3 ? 10 5

……12 分

13.(北京市十一学校 2008 届高三数学练习题)已知函数 f ( x) ? 2 3sin x ? 2cos x . (Ⅰ)若 x ??0,? ? ,求 f ( x ) 的最大值和最小值;

(Ⅱ)若 f ( x) ? 0 ,求

2cos2

x ? sin x ? 1 2 的值. ?? ? 2 sin ? x ? ? 4? ?

解: (Ⅰ) f ( x) ? 2 3sin x ? 2cos x

? 3 ? 1 ? 4? sin x ? cos x ? ? 2 ? 2 ? ?

?? ? ? 4sin ? x ? ? .…………………………3 分 6? ?
又∵ x ??0,? ? ,∴ -

π π 5π π? ≤ x ? ≤ , ??2 ≤ 4sin ? x ? ?≤4 , ? 6 6 6 6? ?

∴ f ( x)max ? 4,f ( x)min ? ?2 .…………………………6 分
(II)由于 f ( x) ? 0 ,所以 2 3 sin x ? 2cos x 解得 tan x ?

1 …………………………8 分 3

2cos 2

x ? sin x ? 1 cos x ? sin x 2 ? ?? ? ? 2 2? 2 sin ? x ? ? 2 ? sin x · ? cos x · ? 4? ? 2 2 ? ?
1?

1 cos x ? sin x 1 ? tan x 3 ? 2? 3 ? ? ? 1 cos x ? sin x 1 ? tan x 1 ? 3
14.(广东省 2008 届六校第二次联考)已知向量 a ? (cos ? ,sin ? ) , b ? (cos ? ,sin ? ) ,

a ?b ?

2 5 . 5

(Ⅰ)求 cos(? ? ? ) 的值; (Ⅱ)若 0 ? ? ?

?
2

, ?

?
2

? ? ? 0 , 且 sin ? ? ?

5 , 求 sin ? . 13

解:(Ⅰ)? a ? (cos ? ,sin ? ) , b ? (cos ? ,sin ? ) ,

?a ? b ? ? cos? ? cos ?, sin ? ? sin ? ? .
? a ?b ?


2 5 , 5

?

? cos ? ? cos ? ? ? ? sin ? ? sin ? ?
2

2

?

2 5 , 5

2 ? 2 c o?? s ????

? ? ? 0, ? 0 ? ? ? ? ? ? , 2 2 3 4 ? cos ?? ? ? ? ? , ? sin ?? ? ? ? ? . 5 5 5 12 ? sin ? ? ? , ? cos ? ? , 13 13 , ?
? sin ? ? sin ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? cos ? ? cos ?? ? ? ? sin ?

(Ⅱ)? 0 ? ? ?

?

?

4 , 5

3 ? cos ?? ? ? ? ? . 5

4 12 3 ? 5 ? 33 ? ? ? ?? ? ? ? . 5 13 5 ? 13 ? 65
15.(贵州省贵阳六中、遵义四中 2008 年高三联考)已知函数 f(x)=2sinxcosx+cos2x. (Ⅰ)求 f (

? )的值; 4
3 4

(Ⅱ)设 ? ∈(0,

? ? ),f ( )= 1 ,求 cos2 ? 的值.
2
5

解: (Ⅰ)∵f(x)=sin2x+cos2x,∴f( (Ⅱ)∵f( ∴cos2α= ?

? 1 1 24 )=sinα+cosα= ,∴1+sin2α= , sin2α= ? ,……7 分 25 5 25 2
3 3 7 ∵α∈(0, π)∴2α∈(π, π) ∴cos2α<0. 4 2 25

? ? ? )=sin +cos =1………5 分 4 2 2

故 cos2α= ?

7 ……10 分 25

8 16.(河北衡水中学 2008 年第四次调考)已知向量→ a =(cosx,sinx),→ b =( 2, 2),若→ a 〃→ b= , 5 π π sin 2 x(1 ? tan x) 且 <x< , 求 的值. 4 2 1 ? tan x

8 8 ? 4 ,? 2 cos x ? 2 sin x ? ,即 cos( x ? ) ? …………2 分 5 5 4 5 ? ? ? ? ? 3 ? 3 ∵ ? x ? ,? 0 ? x ? ? , sin( x ? ) ? , tan( x ? ) ? ……4 分 4 2 4 4 4 5 4 4 ? ? 4 tan( x ? ) ? ? cot( x ? ) ? ? 4 4 3 ? ? 7 sin 2 x ? cos( 2 x ? ) ? 2 cos 2 ( x ? ) ? 1 ? …………6 分 2 4 25 sin 2 x(1 ? tan x) ? 7 4 28 ? sin 2 x ? tan( x ? ) ? ? (? ) ? ? . …………10 分 ∴ 1 ? tan x 4 25 3 75
解:? a ? b ?
? ?

17.(河北省正定中学 2008 年高三第五次月考)已知 A、B、C 的坐标分别为 A(4,0) ,B(0, 4) ,C( 3 cos? ,3 sin ? ). (Ⅰ)若 ? ? (?? ,0) ,且 AC ? BC ,求角 ? 的大小; (Ⅱ)若 AC ? BC ,求

2 sin 2 ? ? sin 2? 的值。 1 ? tan?
9 cos 2 ? ? (3 sin ? ? 4) 2

2 2 解、 (Ⅰ)由已知得: (3 cos ? ? 4) ? 9 sin ? ?

则 sin ? ? cos ?

因为 ? ? (?? ,0)

?? ? ?

3? 4

…… …5 分

(Ⅱ)由 (3 cos? ? 4) ? 3 cos? ? 3 sin ? ? (3 sin ? ? 4) ? 0 得 sin ? ? cos ? ?

3 4

平方得

sin 2? ? ?

7 16

………..8 分



2 sin 2 ? ? sin 2? 2 sin 2 ? cos? ? 2 sin ? cos2 ? 7 ? ? 2 sin ? cos? ? sin 2? ? ? --10 分 1 ? tan? sin ? ? cos? 16

18.(江苏省常州市北郊中学 2008 届高三第一次模拟检测)已知向量 a= (3sinα, cosα) , b=(2sin α, 5sinα-4cosα),α∈( (1)求 tanα的值; (2)求 cos(

3π ,且 a⊥b. , 2π ) 2

?
2

?

π )的值. 3

解: (1)∵a⊥b,∴a〃b=0.而 a=(3sinα,cosα) ,b=(2sinα, 5sinα-4cosα), 故 a〃b=6sin2α+5sinαcosα-4cos2α=0.

4 1 ,或 tanα= . 3 2 1 4 3π ∵α∈( , ,tanα<0,故 tanα= (舍去) .∴tanα=- . 2π ) 2 2 3 ? 3π 3π (2)∵α∈( , ,∴ ? . 2π ) ( ,π) 2 2 4 4 ? 1 ? 由 tanα=- ,求得 tan ? ? , tan =2(舍去) . 3 2 2 2 ? 5 ? 2 5
由于 cosα≠0,∴6tan2α+5tanα-4 =0.解之,得 tanα=- ∴ sin cos(
2 ? 5 , cos 2 ?? 5



?

? π ? π π )= cos cos ? sin sin 2 3 2 3 2 3 2 5 1 5 3 2 5 ? 15 ? ? ? =? =? . 5 2 5 2 10
?

19.(江苏省南通市 2008 届高三第二次调研考试)在△ABC 中, 角 A, B,C 所对边分别为 a, b,

c,且 1 ?

tan A 2c ? . tan B b (Ⅰ)求角 A;

(Ⅱ)若 m ? (0, ?1) ,n ? cos B, 2cos2 C ,试求|m ? n|的最小值. 2 解: (Ⅰ) 1 ? 即 ∴

?

?

tan A 2c sin A cos B 2sin C ,………………………………3 分 ? ?1? ? tan B b sin B cos A sin B

sin B cos A ? sin A cos B 2sin C , ? sin B cos A sin B sin( A ? B) 2sin C , ? sin B cos A sin B

1 ∴ cos A ? . ………………………………………………5 分 2 0 ? A ? π ∵ ,
∴A?

π .………………………………………………………………7 分 3 C ? 1) ? (cos B,cos C) , 2 2π 1 π ? B) ? 1 ? sin(2B ? ) . 10 分 3 2 6

(Ⅱ)m ? n ? (cos B,2cos2

? |m ? n| 2 ? cos2 B ? cos2 C ? cos2 B ? cos2 (

∵A?

π 2π 2π ,∴ B ? C ? ,∴ B ? (0, ) . 3 3 3

π π 7π 从而 ? ? 2B ? ? .…………………………………………12 分 6 6 6 π π 1 2 ∴当 sin(2B ? ) =1,即 B ? 时,|m ? n| 取得最小值 .……………………13 分 6 3 2
所以|m ? n| min ?
2 .………………………………………………………………14 分 2


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