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数列不等式证明放缩法运用论文


数列不等式证明放缩法运用论文 摘要: 虽然证明与数列和有关的不等式问题是高中数学中比较困 难的问题, 但是我们通过仔细分析它的条件与要证明的结论之间的内 在关系,先确定能不能直接求和,若不能直接求和则要考虑把通项朝 什么方向进行放缩.如果我们平时能多观测要证明结论的特征与数列 求和之间的关系,则仍然容易找到解决这类问题的突破口。 近两年广东高考理科数学卷的数列解答题第三问都有对放

缩法 在数列不等式证明中的运用的考查, 预计今年即2014年高考里面也会 有这方面的考查,所以在平时的教学中不得不加以重视。放缩法证明 不等式有法可依,但具体到题,又常常没有定法,它综合性强,形式 复杂,运算要求高,往往能考查考生思维的严密性,深刻性以及提取 和处理信息的能力,较好地体现高考的甄别功能。本文介绍一类与数 列和有关的不等式问题,解决这类问题常常用到放缩法,而求解途径 一般有两条:一是先求和再放缩,二是先放缩再求和. 一.先求和后放缩 例1.正数数列 an 的前 n 项的和 Sn,满足2Sn=an+1,试求: (1)数列 an 的通项公式; (2)设 bn=1anan+1,数列 bn 的前 n 项的和为 Bn,求证:Bn<12 解: (1)由已知得4Sn=(an+1)2,n≥2时,4Sn-1=(an-1+1)2, 作差得:4an=a2n+2an-a2n-1-2an-1,所以(an+an-1) (an-an-1-2) =0,又因为 an 为正数数列,所以 an-an-1=2,即 an 是公差为2的等 差数列,由2S1=a1+1,得 a1=1,所以 an=2n-1 (2)bn=1anan+1=1(2n-1) (2n+1)=12(12n-1-12n+1) ,所以 Bn=12(1-13+13-15…12n-1-12n+1)=12-12(2n+1)<12 注:一般先分析数列的通项公式.如果此数列的前 n 项和能直接 求和或者通过变形后求和, 则采用先求和再放缩的方法来证明不等式. 求和的方式一般要用到等差、 等比、 差比数列 (这里所谓的差比数列, 即指数列{an}满足条件 an+1-an=fn)求和或者利用分组、裂项、倒 序相加等方法来求和. 二.先放缩再求和 1.放缩后成等差数列,再求和 例 2. 已 知 各 项 均 为 正 数 的 数 列 {an} 的 前 n 项 和 为 Sn , 且 a2n+an=2Sn. (1)求证:Sn (2)求证:Sn2 解: (1) 在条件中, 令 n=1, 得 a21+a1=2S1=2a1, ∵a1>0?∴a1=1, 又由条件 a2n+an=2Sn 有 a2n+1+an+1=2Sn+1,上述两式相减,注意到 an+1=Sn+1-Sn 得 (an+1+an) (an+1-an-1)=0∵an>0?∴an+1+an>0∴an+1-an=1 所以,an=1+1×(n-1)=n,Sn=n(n+1)2 所以 Sn=n(n+1)2<12·n2+(n+1)22=a2n+a2n+14 (2)因为 n S1+S2+…Sn=1×22+2×32+…+n(n+1)2<22+32+…+n+12 =n2+3n22=Sn+1-12;S1+S2+…Sn>12+22+…+n2=n(n+1)22=Sn2 注:在解题时朝着什么方向进行放缩,是解题的关键,一般要看 证明的结果是什么形式.如例2要证明的结论 n2+3n22、n(n+1)22为 等差数列求和结果的类型,则把通项放缩为等差数列,再求和即可 2.放缩后成等比数列,再求和 例3(2012年高考(广东理) )设

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放缩法证明数列不等式的基本策略

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利用放缩法证明数列型不等式

一、常用的放缩法数列不等式证明的应用 1、裂项放缩法:放缩法与裂项求和的结合,用放缩法构造裂项求和,用于解决和式问题。裂项放缩法主要有两种类型: (...