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用二分法求方程的近似解(学案)


用二分法求方程的近似解
新知识探究
1、利用二分法求函数 y ? f ( x) 零点的近似值,函数 y ? f ( x) 必须满足两个条件:①图象 在区间 [ a, b] 上连续不断;② f (a) ? f (b) ? 0 。 2、用二分法求函数的零点近似值的基本步骤: (1)确定区间 [ a, b] ,使 f (a) ? f (b) ? 0 ,给定精度 ?

; (2)求区间 ( a, b) 的中点 c ; (3)计算 f (c) : ①若 f (c) ? 0 ,则 c 就是函数的零点; ②若 f (a) ? f (c) ? 0 ,则令 b ? c ,此时零点 x0 ? (a, c) ; ③若 f (c) ? f (b) ? 0 ,则令 a ? c ,此时零点 x0 ? (c, b) 。 (4)判断是否达到精确度 ? 。即:若 a ? b ? ? ,则得到零点近似值 a(或b) ;否则重复步 骤(2)~(4) 。 3、用二分法求方程的近似解时,每一次取中点后,下一个有根区间的判断原则是:若中点 函数值为零,则这个中点就是方程的解;若中点函数值不等于零,则下一个有根区间是区 间端点函数值异号的区间。 4、精确度与计算次数的关系: 精确度是方程近似解的一个重要指标,它由计算次数决定。若初始区间是 [ a, b] ,那么经过

n 次取中点后,区间的长度是

a ?b ,只要这个区间的长度小于精确度 ? ,那么这个区间 2n

内的任意一个值都可以作为方程的近似解,而又满足精确度要求,因此计算次数和精确度 满足关系

a ?b a ?b ? ? ,即 n ? [log 2 ] ,其中 [??] 表示取整数。如 [2.5] ? 2,[? ] ? 3 等。 n 2 ?

5、用二分法求方程的近似解(或函数零点的近似值)时,最好是将计算过程中所得到的各 个区间、区间中点坐标、区间中点的函数值等列在一个表格中,这样可更清楚发现零点所 在区间。 例题:在一个风雨交加的夜里,从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障。这是一 条 10km 长的线路,如何迅速查出故障所在? 如果沿着线路一小段一小段查找,困难很多。每查一个点要爬一次电线杆子,10km 长, 大约有 200 多根电线杆子呢。 想一想,维修线路的工人师傅至少经过几次查找使故障范围缩小到 50~100m 左右?

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随堂练习
1.若函数 f ( x) ? x2 ? ax ? b 的两个零点是 2 和 3,则函数 g ( x) ? bx2 ? ax ?1 的零点是 ; 2. 用二分法研究函数 f ( x) ? x3 ? 3x ? 1的零点时, 第一次经计算 f (0) ? 0, f (0.5) ? 0 可得 其中一个零点 x0 ? 3.用二分法求方程 ln x ? ,第二次应计算 ;

1 在 [1, 2] 上的近似解,取中点 c ? 1.5 ,则下一个有根区间是 x 4.若函数 f ( x) ? x3 ? x2 ? 2 x ? 2 的一个正数零点附近的函数值的参考数据如下: f (1) ? ?2 f (1.5) ? 0.625 f (1.25) ? ?0.984 f (1.375) ? ?0.260 f (1.4375) ? 0.162 f (1.40625) ? ?0.054
那么方程 x ? x ? 2 x ? 2 ? 0 的一个近似根(精确到 0.1)为
3 2

.

1 5.设函数 f ( x) ? x ? ln x( x ? 0) ,则 y ? f ( x) ( ) 3 1 1 A.在区间( ,1), (1, e)内均有零点 B 在区间 . ( ,, 1 ) e( 内均无零点 1, ) e e 1 C.在区间( ,1)内有零点,在区间(1, e)内无零点 e 1 D.在区间( ,1)内无零点,在区间(1, e)内有零点 e 6.在用二分法求方程的近似解时,若初始区间是 [1,5] ,精确度要求是 0.001,则需要计算
的次数是

函数模型及其应用
新知识探究
1.几类函数模型及其增长差异 (1)几类函数模型 函数模型 一次函数模型 反比例函数模型 函数解析式 f(x)=ax+b (a、b 为常数,a≠0) k f(x)= +b (k,b 为常数且 k≠0) x f(x)=ax2+bx+c (a,b,c 为常数,a≠0) f(x)=bax+c (a,b,c 为常数,b≠0,a>0 且 a≠1) f(x)=blogax+c (a,b,c 为常数,b≠0,a>0 且 a≠1) f(x)=axn+b (a,b 为常数,a≠0)

二次函数模型

指数函数模型

对数函数模型

幂函数模型

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(2)三种增长型函数之间增长速度的比较 ①指数函数 y=ax (a>1)与幂函数 y=xn (n>0) 在区间(0,+∞),无论 n 比 a 大多少,尽管在 x 的一定范围内 ax 会小于 xn,但由于 y=ax 的增长速度快于 y=xn 的增长速度, 因而总存在一个 x0, 当 x>x0 时有__________. n ②对数函数 y=logax (a>1)与幂函数 y=x (n>0) 对数函数 y=logax (a>1)的增长速度,不论 a 与 n 值的大小如何总会慢于 y=xn 的增 长速度,因而在定义域内总存在一个实数 x0,使 x>x0 时有____________. 由①②可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数,但它们的增长速度不同,且不 在 同 一 个 档 次 上 , 因 此 在 (0 , + ∞) 上 , 总 会 存 在 一 个 x0 , 使 x>x0 时 有 __________________. 2.解函数应用问题的步骤(四步八字) (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型; (2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识, 建立相应的数学模型; (3)求模:求解数学模型,得出数学结论; (4)还原:将数学问题还原为实际问题的意义. 以上过程用框图表示如下:

例 1:假设你是一个投资家,现有三种投资方案供你选择,这三种方案的回报如下: 方案一:每年回报 100 万元; 方案二:第一年回报 50 万元,以后每年比前一年多回报 20 万元; 方案三:第一年回报 2 万元,以后每年的回报比前一年翻一番。 请问,你会选择哪种投资方案?

例 2. 某工厂今年 1 月、2 月、3 月生产某产品分别为 1 万件、1.2 万件、1.3 万件.为了估测 以后每个月的产量,以这三个月的产品数量为依据,用一个函数模型来模拟该产品的月产 量 y 与月份数 x 的关系.模拟函数可以选用二次函数 f(x)或函数 g(x)=abx+c(其中 a、b、c 为 常数).已知 4 月份该产品的产量为 1.37 万件.请问用以上哪个函数作为函数模型较好?并说 明理由.?

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例 3.如图所示,在矩形 ABCD 中,已知 AB=a,BC=b(b<a),在 AB,AD,CD,CB 上分 别截取 AE,AH,CG,CF 都等于 x,当 x 为何值时,四边形 EFGH 的面积最大?并求出 最大面积.?

例 4.某企业投入 81 万元经销某产品,经销时间共 60 个月,市场调研表明,该企业在经销

1 ? x ? 20 ?1, ? 这个产品期间第 x 个月的利润 f ( x) ? ? 1 。为 ( x ? N *) (单位:万元) x, 21 ? x ? 60 ? ?10
了获得更多的利润,企业将每月获得的利润再投入到次月的经营中。记第 x 个月的利润率 为 g ( x) ?

第x个月的利润 f (3) ,例如 g (3) ? . 第x月前的资金总和 81 ? f (1) ? f (2)

(1)求 g(10); (2)求第 x 个月的当月利润率; (3)求该企业经销此产品期间,哪一个月的当月利润率最大,并求出该月的当月利润率。

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随堂练习
1.某个体企业的一个车间有 8 名工人,以往每人年薪为 1 万元,从今年起,计划每人的年薪 都比上一年增加 20%,另外,每年新招 3 名工人,每名新工人的第一年的年薪为 8 千元, 第二年起与老工人的年薪相同.若以今年为第一年,如果将第 n 年企业付给工人的工资总额 y(万元)表示成 n 的函数,则其表达式为 ( ) A.y=(3n+5)1.2n+2.4 B.y=8×1.2n+2.4n C.y=(3n+8)1.2n+2.4 - D.y=(3n+5)1.2n 1+2.4 2.某商店将进货价每个 10 元的商品按每个 18 元售出时,每天可卖出 60 个.商店经理到市场 上做了一番调查后发现,若将这种商品的售价(在每个 18 元的基础上)每提高 1 元,则日销 售量就减少 5 个;若将这种商品的售价(在每个 18 元的基础上)每降低 1 元,则日销售量就 增加 10 个.为了每日获得最大利润,则商品的售价应定为 ( ) A.10 元 B.15 元 C.20 元 D.25 元 3.某电信公司推出两种手机收费方式:A 种方式是月租 20 元, B 种方式是月租 0 元.一个月的本地网内打出电话时间 t(分钟) 与打出电话费 s(元)的函数关系如图,当打出电话 150 分钟时, 这两种方式电话费相差 ( ) 40 A.10 元 B.20 元 C.30 元 D. 元 3 4.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运,据市场分析 每辆客车营运的总利润 y(单位:10 万元)与营运年数 x(x∈N*) 为二次函数关系(如右图所示),则每辆客车营运多少年时, 其营运的平均利润最大 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 5. A 市和 B 市分别有某种库存机器 12 台和 6 台,现决定支援 C 村 10 台,D 村 8 台.已知从 A 市调运一台机器到 C 村和 D 村的运费分别是 400 元和 800 元,从 B 市调运一台机器到 C 村和 D 村的运费分别是 300 元和 500 元.设 B 市运往 C 村机器 x 台,若要求运费 W 不超过 9 000 元,共有________种调运方案. 6.某同学高三阶段 12 次数学考试的成绩呈现前几次与后几次均连续上升,中间几次连续下 降的趋势.现有三种函数模型:①f(x)=pqx,②f(x)=logax+q,③f(x)=(x-1)(x-q)2+p(其 中 p,q 为正常数,且 q>2).能较准确反映数学成绩与考试序次关系,应选________作为模拟 函数;若 f(1)=4,f(3)=6,则所选函数 f(x)的解析式为___________. 7.如图所示,将一矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛 AMPN,要求 B 点在 AM 上,D 点在 AN 上,且对角线 MN 过 C 点,已知 AB=3 米,AD=2 米. (1)要使矩形 AMPN 的面积大于 32 平方米,则 DN 的长应在什么范围内? (2)当 DN 的长为多少时,矩形花坛 AMPN 的面积最小?并求出最小值.

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8.(2011· 湖北)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大 桥上的车流速度 v(单位:千米/时)是车流密度 x(单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达 到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/千米时,车流速 度为 60 千米/时.研究表明:当 20≤x≤200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数. (1)当 0≤x≤200 时,求函数 v(x)的表达式; (2)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位: 辆/时)f(x)=x· v(x)可以达到最大,并求出最大值.(精确到 1 辆/时)

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用二分法求方程的近似解学案

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《用二分法求方程的近似解》学案

用二分法求方程的近似解学案(高一)命题人:高瑞霞 审核人:刘静 一、学习目标:通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件,了解二分法是求方程近似解 的常用方法,从中...

全国一等奖用二分法求方程的近似解教学设计

全国一等奖用二分法求方程的近似解教学设计_数学_高中教育_教育专区。用二分法求方程的近似解 一、教学内容分析 本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学 1 必修...

二分法求方程的近似解导学案

富裕三中高一数学必修一导学案 主备人: 备课时间:2011-10-24 备课组长: 3.1.2 用二分法求方程的近似解导学案 一、三维目标:知识与技能: 根据具体函数图象,能够...

利用二分法求方程的近似解导学案

3.1.2 利用二分法求方程的近似解一、教学目标 1、知识与技能目标: 理解用二分法求函数零点的原理, 能借助计算器用二分法求出给定函数满足一定精度要求的 零点的...

3.1.2用二分法求方程的近似解 导学案

2、 掌握用二分法求函数零点近似值的步骤,通过二分法求方程的近似解,体会方程与...探究案 探究点一:二分法概概念的理解: 阅读《金版学案》P81 例 1,完成 P81 ...

用二分法求方程的近似解 学案

3.1.2 用二分法求方程的近似解 学案 本节课要达到的目标: 理解求方程近似解的二分法的基本思想, 能够借助计算器用二分法求 方程的满足一定精确度要求的近似解. ...

《用二分法求方程的近似解》教学设计

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