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2014届高考数学(理)一轮复习专题集训:平面向量的概念及其线性运算

时间:2014-01-29


平面向量的概念及其线性运算
(时间:35 分钟 分值:80 分) 基础热身 → → → → → 1.[2013· 石家庄模拟] 若四边形 ABCD 满足AB+CD=0,(AB-AD)· AC=0,则该四边形 一定是( ) A.直角梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形

图 K25-1 2.如图 K25-1,e1,e2 为互相垂直的单位向量,向量 a,

b 如图,则向量 a-b 可表示为 ( ) A.3e2-e1 B.-2e1-4e2 C.e1-3e2 D.3e1-e2 → → → → 3. [2013· 邯郸一模] 在△ABC 所在的平面内有一点 P, 如果 2PA+PC=AB-PB, 那么△PBC 的面积与△ABC 的面积之比是( ) 3 1 1 2 A. B. C. D. 4 2 3 3 μ → → → → → 4. 在△ABC 中, 已知 D 是 AB 边上一点, 若AD=2DB, CD=λCA+μCB, 则 的值为( ) λ 1 1 A.1 B. C.2 D. 2 3

能力提升 → → → 5.在△ABC 中,D 为 BC 的中点,已知AB=a,AC=b,则在下列向量中与AD同向的向 量是( ) a b a b A. + B. - |a| |b| |a| |b| a+b C. D.|a|a+|b|b |a+b| → → 6. [2013· 长春模拟] 设OA=e1, OB=e2, 若 e1 与 e2 不共线, 且点 P 在线段 AB 上, |AP|∶|PB| → =2,如图 K25-2 所示,则OP=( )

图 K25-2 1 2 2 1 A. e1- e2 B. e1+ e2 3 3 3 3

1 2 2 1 C. e1+ e2 D. e1- e2 3 3 3 3 7.[2013· 沈阳模拟] 在数列{an}中,an+1=an+a(n∈N*,a 为常数),若平面上的三个不共 → → → → → → 线的非零向量OA,OB,OC满足OC=a1OA+a2 014OB,三点 A,B,C 共线且该直线不过 O 点, 则 S2 014 等于( ) A.1 007 B.1 006 C.2 010 D.2 012 8.[2013· 长春质检] 已知向量 a=( 3,1),b=(0,-1),c=(k, 3).若 a-2b 与 c 共线, 则 k=________. → → → 9.设 a,b 是两个不共线向量,AB=2a+pb,BC=a+b,CD=a-2b,若 A,B,D 三点 共线,则实数 p 的值是________. → → → 1→ → 1 → → 10. 在平行四边形 ABCD 中, AB=e1, AC=e2, NC= AC, BM= MC, 则MN=________. (用 4 2 e1,e2 表示) 1 2 11.[2013· 郑州模拟] 已知 m>0,n>0,向量 a=(m,1),b= (1-n,1)且 a∥b,则 + 的 m n 最小值为________. 12.(13 分)已知四点 A(x,0),B(2x,1),C(2,x),D(6,2x). → → (1)求实数 x,使两向量AB,CD共线; → → (2)当向量AB与CD共线时,A,B,C,D 四点是否在同一条直线上?

难点突破 → → → 13.(12 分)已知△ABC 中,AB=a,AC=b,对于平面 ABC 上任意一点 O,动点 P 满足OP → =OA+λa+λb,则动点 P 的轨迹是什么?其轨迹是否过定点,并说明理由.

【基础热身】 → → → → 1.B [解析] 由AB+CD=0 知,AB=DC, 即 AB=CD,AB∥CD,∴四边形 ABCD 是平行四边形. → → → → → 又(AB-AD)· AC=0,∴DB·AC=0,即 AC⊥BD, 因此四边形 ABCD 是菱形,故选 B. 2.C [解析] 连接图中向量 a 与 b 的终点,并指向 a 的终点的向量即为 a-b,∴a-b= e1-3e2. → → → → → → → → → → → 3.A [解析] 2PA+PC=AB-PB,即 2PA+PC=AB+BP=AP,即PC=3AP,即点 P 在 3 3 边 AC 上且 PC= AC,即△PBC 与△ABC 在 BC 边上的高的比是 ,两三角形具有相同的底, 4 4 3 故面积之比为 . 4 → → → → 2→ 4.C [解析] CD=CA+AD=CA+ AB 3 2 1 2 → → → → → =CA+ (CB-CA)= CA+ CB, 3 3 3 μ 1 2 ∴λ = ,μ= ,∴ =2. 3 3 λ 【能力提升】 a+b → 5.C [解析] 是 a+b 的单位向量,a+b 与向量AD同向. |a+b| → → → → → → 6.C [解析] ∵ AP=2PB,∴AB=AP+PB=3PB, → → → → 1→ OP=OB+BP=OB- AB 3 1 1 2 → → → =OB- (OB-OA)= e1+ e2. 3 3 3 a1+a2 014 7.A [解析] 由题意知,a1+a2 014=1,又数列{an}为等差数列,所以 S2 014= × 2 2 014=1 007,故选 A. 8.1 [解析] 因为 a-2b 与 c 共线,向量 a=( 3,1),b=(0,-1),c=(k, 3),a-2b =( 3,3),所以 3-3k=0,k=1. → → → → 9.-1 [解析] ∵BD=BC+CD=2a-b,又 A,B,D 三点共线,∴存在实数 λ,使AB= → λBD, ? ?2=2λ, 即? ∴p=-1. ?p=-λ, ? 2 5 1 → 1→ 1 → 10.- e1+ e2 [解析] ∵NC= AC= e2,∴CN=- e2. 3 12 4 4 4 → 1→ → → → → → ∵BM= MC,BM+MC=BC=AC-AB=e2-e1, 2 1 2 5 → 2 → → → 2 ∴MC= (e2-e1),∴MN=MC+CN= (e2-e1)- e2=- e1+ e2. 3 3 4 3 12 11.3+2 2 [解析] 由 a=(m,1),b=(1-n,1)且 a∥b 可得 m=1-n,即 m+n=1, 1 2? 1 2 n 2m n 2m + (m+n)=1+ + +2≥3+2 2,当且仅当 = 时取等号. 所以 + =? m n ? m n ? m n m n → → 12.解:(1)AB=(x,1),CD=(4,x). → → ∵AB∥CD, ∴x2-4=0,即 x=± 2.

→ → (2)当 x=± 2 时,AB∥CD. → → 当 x=-2 时,BC=(6,-3),AB=(-2,1), → → ∴AB∥BC,此时 A,B,C 三点共线, 从而,当 x=-2 时,A,B,C,D 四点在同一条直线上. 但 x=2 时,A,B,C,D 四点不共线. 【难点突破】 → → 13.解:依题意,由OP=OA+λa+λb, → → 得OP-OA=λ(a+b), → → → 即AP=λ(AB+AC). 如图,以 AB,AC 为邻边作平行四边形 ABDC,对角线交于 O,

→ → 则AP=λAD, ∴A,P,D 三点共线, 即 P 点的轨迹是 AD 所在的直线,由图可知 P 点轨迹必过△ABC 边 BC 的中点(或△ABC 的重心).


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