nbhkdz.com冰点文库

二次函数图像和性质(复习)


中考复习专题-----二次函数的图象和性质

二次函数

?

二次函数所描述的关系

二次函数的图象

?

?

实际问题情景 二次函数的定义 用多种方式进行表示

y=x? ,y=-x?

y=

ax? ,y=ax? +c
y=a(x-h)? +k,y=ax? +bx+c 二次函数的对称轴和顶点坐标公式

用二次函数解决实际问题

?

体育运动

何时获得最大利润
最大面积是多少

一.二次函数的定义:

Y=ax? +bx+c(abc是常数,且a≠0) , 一般地如果 那么Y叫做x的二次函数.
-2 -3 1 1.二次函数Y=x? -2x-3中a=___,b=___,c=___ 3 2 0 2.二次函y=3x? +2x中a=___,b=___,c=___ 4 -7 0 3.二次函数y=4x? -7中a=__,b=__,c=___
2 4.当m= -1 时,y=(m+2)xm +3m+2是二次函数,

二.二次函数的图象及性质
a的符号 图象
开口方向 对称轴

a>0

a<0

x
开口向上
b 2a 4ac ? b 2 b (? , ) 4a 2a b x?? 当 2a 时,y x??

开口向下
b 2a 4ac ? b 2 b (? , ) 4a 2a x??

性 顶点坐标 质
增减性

随x的增大而减小; b x ? ? 时,y随x的 当 2a 增大而增大. 当 时, 4ac ? b 2 y有最小值为
4a
x?? b 2a

时,y 随x的增大而增大; b x ? ? 时,y随x的 当 2a 增大而减小. 时, 4ac ? b 2 y最大值为
4a

当x??

b 2a

最值

当x??

b 2a

三.二次函数解析式的确定:
一般式 顶点式 交点式 类 型y=ax? +k(a≠0) y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) +bx+c(a≠0) y=a(x-h)? 对 x1 ? x2 b x? x ? ? 2a x?h 称 2 轴 顶 b 4ac ? b 2 点 (? , 化成一般式求 (h, k ) ) 2a 4a 坐 标 b 最 x?? 当 时, 当 x ? h 时, 2a 大 化成一般式求 2 小 最值 y ? 4ac ? b 最值y=k 4a 值

( )

做一做: (3,7) 1.二次函数y=2(x-3)? +7的图象顶点坐标是——, X=3 对称轴是——— (-1,-5) 2.二次函数y=3(x+1)? -5顶点坐标是———,对称
轴是——— 3.抛物线y=x2+2x-4的开口方向是 ,对称轴 是 , 顶点坐标是 . 4.已知二次函数y=x2-6x+m的最小值是1, 那么m的值 是 . 5.请你写出一个二次函数y=ax2+bx+c,使它同时 具有如下性质:①图象关于直线x=1对称;②当x=2 时,y>0;③当x=-2时,y<0。答:____________

X=-1

做一做:
1.已知抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(1,0),并经过 M(0,1),则抛物线的解析式为 . 2.若二次函数有最小值-8,且a∶b∶c=1∶2∶(-3),则 抛物线的解析式为 . 3.若二次函数有最大值2,且过点A(-1,0)和 B(3,0), 则抛物线的解析式为 . 4.若函数当x>-2时y随x增大而增大(x<-2时,y随x增 大而减小),且图象过点(2,4)和(0,-2),则抛物线的 解析式为 .

四.二次函数y=ax? +bx+c(a≠0)的图象特征 与a、b、c 、Δ的关系 项目 字母的符号 图象的位置(特征) a>0 开口向上 a a<0 开口向下 对称轴是y轴 b=0 b ab>0 对称轴在y轴左侧 ab<0 对称轴在y轴右侧 c=0 经过原点 c c>0 与y轴正半轴相交 与y轴负半轴相交 c<0 Δ=0 与x轴有唯一交点(顶点) Δ Δ<0 与x轴有两个交点 Δ>0 与x轴没有交点

做一做:
1.一次函数y=ax+b与y=ax2-b在同一坐标系中的大致 B) 图象是(
y y y y

0

x B
D y

0

x

0

x

0

x

A

2. 的大致图象是(
y x

函数y=ax2+a与y=



a x
x

C

D

(a≠0)在同一坐标系中
y x y 0 0 x

0

0

A

B

C

D

3.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那abc, b2-4ac,2a+b,a+b+c,a-b+c 这五个代数式 y 中,值为正数的有( ) A.4个 B.3个 x 1 -1 C.2个 D.1个

4.小明从右边的二次函数y=ax2+bx+c的图象观 察得出下面的五条信息:① a< 0;② c=0; ③ 函数的最小值为-3; ④当x<0时,y>0; y ⑤当0<x1<x2<2时,y1 > y2 你认为其中正确的个数有( ) x A.2 B.3 C.4 D.5 2 0
-3

5.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于 (x1,0)、(x2,0),且0<x1<1, 1<x2<2,与y 轴交于点(0,-2), 下列结论:①2a+b>1, ②3a+b>0③a+b<2, ④a<-1, 其中正确的个数有( )

(A)1个 (C)3个

(B)2个 (D)4个

五.二次函数图象的平移:
抛物线 y=ax2 y=ax2 +k 对称轴 y轴 y轴 顶点 坐标 (0,0) (0,c) 结论
抛物线y=a(x-h)2+k与 y=ax2 的形状相同,位置 不同,经过平移后可以 互相重合。

平移 规律 左 加 右 减 , 上 加 下 减

y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k

抛物线y=ax2向左 直线X=h (h,0) (h<0)、向右(h>0) 平移|h|个单位, 向上 (k>0)、向下(k<0) 直线X=h (h,k) 平移|k|个单位后,可以得 到抛物线y=a(x-h)2+k 。

a 越大,开口越小.

a 越小,开口越大.

做一做: 1 2 y? 2 y? x , x 1. 已知函数 2 的图象如图所示。 抛物线①②③④ 分别对应哪个函数?

1 2 y,? x ? 2
y

y ?,x 2 ?

y ? x2 ① 1 2 ②y ? x 2

x 2.函数y=x2-1的图象, 1 2 可由y=x2的图象向 ③y ? ? x 1 下 ___平移 个单位. ④ y ? ? x 22 3.把函数y=3x2+2的图象沿x轴对折,得到 y=-3x2-2 的图象的函数解析式为_______.

4.若将抛物线 y ? x 向左平移 3个单位得抛物 2 y ?(x ? 3) , 再向下平移 2 个单位得 线 y ?(x ? 3)2 ? 2 。 抛物线 5.若将抛物线 y=x2向 右 平移 1 个单 位,再向 下 平移 1 个单位得抛物线y=x2-2x+2。
2

y ? x 2 ? 2 x ? 2 沿 y 轴向上或向下平移 6.将抛物线
后经过点(3,4),则平移后抛物线的解析式 2 是 y ? x ? 2x ? 1 ; 7.若将抛物线 y ? x 2 ? 2 x ? 2 沿 x 轴向左或向右 平移后经过点(3,10),则平移后抛物线的解 2 2 y ? x ? 1或y ?(x - 6) ? 1 析式是 。

六.二次函数与一元二次方程的关系:
二次函数y=ax2+bx+c
数 静看 整式方程 解
X=m y=n

形 动看 二次函数 抛物线 点 点的坐标(x,y)

对应值(x,y)

六.二次函数与一元二次方程的关系:


与y轴交点的求法:令x=0,得y=c 即(0,c) 与y轴始终有一个交点(0,c)
C x1 o x2 x y



?当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴 有交点时,交点的横坐标就是当y=0时 自变量x的值,即一元二次方程 ax2+bx+c=0的根.

如果y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点 为A(x1,0),B(x2,0);


? 那么AB=|x1-x2|= | a |

b 2 ? 4ac ? 0
一元二次方程

b 2 ? 4ac ? 0
有两个相等 实根 x0

b 2 ? 4ac ? 0
没有实根
图象与x轴没有交点

ax ? bx ? c ? 0
2

有两个不等 实根 x1 ,x2

二次函数

图象与x轴有两个交点 图象与x轴有一个交点

y ? ax ? bx ? c
2

?x1 ,0? ?x2 ,0?
y

?x0 ,0?
y

y

二 次 函 数 的 图 象

a?0
O x1
x2

x

O
x0

x0

x x

O

x

y

y
O

y
O

x

a?0
x1

O

x2

x

六.二次函数与一元二次方程的关系:
抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为 A(x1,0), B(x2,0);
A x1 P B x2

y

b c x1 ? x2 ? ? , x1 ? x2 ? a a
对称轴
? AB=|x1-x2|= | a |
x ? x2 x? 1 2

o

x

x1 ? x2 x? 2
y

x1x2>0, 点A,点B在原点同侧

x1 ? x2 ? 0, 原点右侧
x1 ? x2 ? 0,原点左侧

x1x2<0,点A,点B在原点两侧 x1 ? x2 ? 0, BO ? AO
x1 ? x2 ? 0,AO ? BO

A A AB AB B B x1 x1 x21o x21 x2 x2 x x

x

做一做:
1.根据下列表格中二次函数y=ax2+bx+c的自变量 与函数值的对应值,判断方程ax2+bx+c =0 (a≠0, a, b, c为常数)的一个解的范围是( ) x y=ax2+bx+c 6.17 -0.03 6.18 -0.01 6.19 0.02 6.20 0.04

A.6.17< X <6.18 C.-0.01< X <0.02

B.6.18< X <6.19 D.6.19< X <6.20

做一做:

2.竖直上抛物体的高度 h(m) 与运动时间 t(s) 的关系可以 用公式 h=-5t? 0t+h0 表示,其中 h0(m) 是抛出时的高度, +v v0(m/s) 是抛出时的速度。

一个小球从地面被以40m/s h/m 的速度竖直向上抛起,小球的 高度 h(m) 与运动时间 t(s) 80 的关系如图所示,那么 70

60 50 h ? ?5t 2 ? 40t 40 (2)小球经过多少秒后落地? 30 8s 20 (3)何时小球离地面的高度是60m? 方法一:利用图象 10 t/s 方法二:解方程 2 ? 5t ? 40t ? 60 O 1 2 3 4 5 6 7 8
(1)h与t的关系式是什么?

做一做:
3.已知抛物线y=ax2+2x+c 经过点(-1,0)、(0,3) (1)求此抛物线解析式,并在直角坐标系中画出这条 抛物线 … -2 -1 0 1 2 3 4 … y =-X2+2X+3 … -5 0 3 4 3 0 -5 … X

y

· ·· · · ·
·

X

做一做:

3.已知抛物线y=ax2+2x+c 经过点(-1,0)、(0,3) (2)x取何值时,y 随 x 的增大而增大; x取何值时,抛物线在 x 轴的上方; x取何值时,y 随 x 的增大而减小且 y <0。 (3)利用图象求方程 ax2+2x+c=-5 解。

y =ax2+2x+c

(3)利用图象求方程 ax2+2x+c=-5 解。 (4)若将上题的-5 改为2x-1,又如何利用图象 求方程ax2+2x+c=2x-1的解呢? 并比较ax2+2x+c与2x-1的大小。
y 1=2x--1

y 2=ax2+2x+c

2 (5)判断方程 x ? 2 x ? 1 ? ? 的解的个数。 x
2

y

· ·· ·· · · ·

· · ·

x

拓展与应用
已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点 A(-3,0),对称轴为x=-1,顶点M到x轴的距离 为2,求此抛物线的解析式.

拓展与应用
已知抛物线y=ax2+bx+c,其顶点在x轴的 上方,它与y轴交于点C(0,3),与x轴交于点A 及点B(6,0).又知方程:ax2+bx+c=0(a≠0) 两根平方和等于40. (1)求抛物线的解析式; (2)试问:在此抛物线上是否存在一点P,在x轴上 方且使S△PAB=2S△CAB.如果存在,求出点P的坐 标;如果不存在,说明理由.

1.已知圆P的圆心在反比例函数 图象上,并与x轴相 交于A、B两点. 且始终与y轴相切于定点C(0,1). (1)求经过A、B、C三点的二次函数图象的解析式; (2)若二次函数图象的顶点为D,问当k为何值时, 四边形ADBP为菱形.

c2 2.已知抛物线y ? x 2 ? (a ? b) x ? 其中a、b、c分别 4

是△ABC的∠A、∠B、∠C的对边。

⑴求证:该抛物线与x轴必有两个交点 ⑵设有直线y=ax-bc与抛物线交于点E、F,与y轴 交于点M,抛物线与y轴交于点N,若抛物线对称 轴为x=a,△MNE与△MNF的面积之比为5:1,求证 △ABC是等边三角形。 ⑶当S△ABC= 3 时,设抛物线与x轴交于P、Q,问 是否存在过P、Q两点且与y轴相切的圆?若存在 这样的圆,求出圆心坐标;若不存在,请说明 理由。

3.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A(2,4), 顶点横坐标为
1 2

,它的图象与x轴交于两点

B(x1,0),C(x2,0)与y轴交于点D,且x12+x22=13。
试问:y轴上是否存在点P使得△POB与△DOC 相似(O为坐标原点)?若存在,请求出过P、 B两点的直线解析式;若不存在,请说明理由。

4.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与 x轴交于 不同的两点A、B,点A在点B左边,与y轴交于点C. 若△AOC 与△ BOC的面积之和为6,且这个二次 函数的图象顶点坐标为( 2,-a),求这个二次函 数解析式。 5.设二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于两 点A、B,与y轴交于点C,若AC=20, BC=15, ∠ACB=900,求这个二次函数解析式。

6.已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴的两个交点 为A(m,0)、B(n,0),且m+n=4,n=3m. (1)求此抛物线解析式; (2)设此抛物线与y轴的交点为C ,过C 点作 一条平行于x轴的直线交抛物线于另一点P , 求△ACP的面积。

7.二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点 A(2,4), 1 其顶点横坐标为 ,它的图象与x轴交点为 2 B(x1,0)、C(x2,0),且x12+x22=13.

(1)求此函数解析式;
(2)在x 轴上方的抛物线上是否存在点D, 使得S△ABC=2S△BDC,若存在,求出所有满足条件的 点D,若不存在,请说明理由。

小结:
数学思想方法是数学中的精髓,是联系 数学中各类知识的纽带,是数学知识的重要组 成部分.学习本章知识,要注意领悟和掌握蕴 涵其中的数学思想和方法. 本章主要的数学思想有函数思想、数形 结合思想和方程思想,主要方法是待定系数法 和配方法.特别是数形结合的意识力越强,发 现和辨认隐蔽的和谐关系的直觉也就越强, 让形象思维与抽象思维结合,焕发出独特的 精彩。


二次函数图像与性质的复习课

教学设计与反思 课题:二次函数的图象与性质复习课 科目: 数学 提供者:杨惠仙 一、教学内容分析函数是初等数学中最基本的概念之一,贯穿于整个初等数学体系之中,也...

二次函数图象和性质复习教案

二次函数的图象和性质复习教材来源:初中九年级《数学(上册) 》教科书、人民教育出版社 2014 版 内容来源:初中九年级《数学(上册) 》第二十二章 主题:二次函数...

二次函数的图象和性质(复习学案)

二次函数的图象与性质复习学案设计人:景云峰(2013.11.19) 教学目标: 1、梳理本章知识形成知识结构 2、灵活应用二次函数的图象性质解决问题 教学过程: 一、自主...

二次函数的图像和性质专项练习题

二次函数图像和性质专项练习题_初三数学_数学_初中教育_教育专区。北师版九年级数学《二次函数图像和性质》周末练习题一、选择题 1、下列函数是二次函数的有...

《二次函数的图像与性质复习课》观课报告

二次函数图像与性质复习课》观课报告_数学_初中教育_教育专区。不错 《二次函数图像与性质复习课》观课报告 雪宫中学 王静 在 2016 年这个炎热的假期中,...

二次函数的图像和性质综合复习试题

二次函数图像和性质综合复习试题_初三数学_数学_初中教育_教育专区。二次函数复习 二次函数与 x 轴、y 轴的交点 1、如果二次函数 y=x +4x+c 图象与 x ...

二次函数的图像与性质经典练习题附带详细答案

二次函数图像与性质经典练习题附带详细答案_数学_初中教育_教育专区。练习一 1.二次函数 y ? ax 2 的图像开口向___,对称轴是___,顶点坐标是___,图像有...

二次函数的图像和性质基础知识测试题

九年级数学下册《二次函数图像和性质》基础知识测验班级:___姓名:___得分:___ 一、选择题(每小题 3 分,共 45 分) : 1、下列函数是二次函数的有( )...

二次函数图像和性质综合复习

二次函数图像和性质综合复习_数学_初中教育_教育专区。九年级上册二次函数的总复习 二次函数总复习 知识点一、二次函数的概念和图像 1、 二次函数的概念: 一般...