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2016年杭州职业技术学院单招数学模拟试题(附答案)

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2016 年杭州职业技术学院单招数学模拟试题(附答案)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的 4 个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.已知向量 OA ? (a, a ? 1) 的模为 5 ,则实数 a 的值是 A.-1 B.2 C.-1 或 2 D.1 或-2 ( ) (



2.在等比数列{ an }中, an ? 0, 且a2 ? 1 ? a1 , a4 ? 9 ? a3 , 则a4 ? a5 ? A.16 B.27 C.36 D.81

3.使得点 A(cos2? , sin 2? ) 到点 B( cos? , sin ? )的距离为 1 的 ? 的一个值是 ( A.



? 12

B.

? 6

C. ?

?
3

D. ?

?
4

4.已知偶函数 f ( x) ? loga | x ? b | 在(0,??) 上单调递减,则 f (b ? 2)与f (a ? 1) 的大 小关系是 A. f (b ? 2) ? f (a ? 1) C. f (b ? 2) ? f (a ? 1) B. f (b ? 2) ? f (a ? 1) D.无法确定的 ( )

5.将一块边长为 2 的正三角形铁皮沿各边的中位线折叠成一个正四面体,则这一正四 面体某顶点到其相对面的距离是 A. ( C. )

6 3

B.

5 3

3 3

D.

2 3
( )

6.已知 A(m ? 1, m ? 1)与点B(m, m) 关于直线 l 对称,则直线 l 的方程是 A. x ? y ? 1 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0 B. x ? y ? 1 ? 0 D. x ? y ? 1 ? 0

7.已知双曲线 kx 2 ? y 2 ? 1的一条渐近线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 垂直,则这一双曲线的 离心率是 A. ( B. )

5 2

3 2

C. 3

D. 5

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8.如图,某电路中,在 A、B 之间有 1,2,3,4 四个焊接点,若焊 接点脱落,则电路不通. 则可能出现的使 A、B 之间的电路不通的 焊接点脱落的不同的情况有 A.4 种 C.12 种 B.10 种 D.13 种 ( )

9.设 (3 ? x) n ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? an x n , 若n ? 4, 则a0 ? a1 ? a2 ? ? ? (?1) n an ? ( A.256 B.136 C.120 )

D.16

10.椭圆有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光 线必经过椭圆的另一个焦点. 今有一个水平放置的椭圆形台球球盘,点 A、B 是它 的两个焦点,长轴长为 2a,焦距为 2c. 当静放在点 A 的小球(小球的半径不计), 从点 A 沿直线 l 击出,经椭圆壁反弹后再回到点 A,若 l 与椭圆长轴的夹角为锐角, 则小球经过的路程是 ( A.4b B. 2(a ? c) C. 2(a ? c) )

D. 4 a

11.已知不等式 ? 1 ? logx (3x) ? 0 成立,则实数 x 的取值范围是 ( A. ( )

3 ,1) 3

B. (0,

3 ) 3

C. ( ,1)

1 3

D. ( ,

1 3 ) 3 3

12.已知一个半径为 21 的球中有一个各条棱长都相等的内接正三棱柱,则这一正三 棱柱的体积是 A. 54 3 B.48 3 C. 36 3 D. 24 3 ( )

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把各题的结果直接填在各题中 的横线上. 13.有一个简单的随机样本:6,10,12,9,14,15,则样本平均数 x .

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14.设棱锥的底面面积是 8,那么这个棱锥的中截面(过棱锥高的中点且平行于底面 的截面)的面积是. 15.函数 y ? sin

2x 2x ? ? cos( ? ) 的图象中相邻两条对称轴的距离是. 3 3 6

16.已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点在直线 y ? x ? 2 上,现将抛物线沿向量 a 进 行平移,且使得抛物线的焦点沿直线 y ? x ? 2 移到点 (2a,4a ? 2) 处,则在平移中 抛物线的顶点移动的距离 d=. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)已知非钝角 ?ABC中, ?B ? 60? ,边 AB 的长减去 BC 的长等 于 AC 边上的高,若 sin C和 ? sin A 分别是方程 x 2 ? mx ? m 2 ? 求实数 m 和角 A、C 的值.

3 ? 0 的两个根, 4

18.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 线上一点 P ( 和极小值.

1 3 x ? ax ? b 在 y 轴上的截距为 1,且在曲 3

1 2 , y0 ) 处的切线斜率为 ,求这一切线方程,并求该函数的极大值 3 2

19.(本小题满分 12 分)已知函数 y ? loga x, 其中a ?{a | 20 ? 12a ? a 2 } . (1)判断函数 y ? loga x 的单调性; (2)若命题 p :| f ( x ) |? 1? | f (2 x ) | 为真命题,求实数 x 的取值范围.

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20.(本小题满分 12 分)如图所示,已知四边形 ABCD、EADM 和 MDCF 都是边长为

a 的正方形,点 P、Q 分别是 ED 和 AC 的中点,求:
(1)异面直线 PM 与 FQ 所成的角; (2)四面体 P—EFB 的体积; (3)(附加题,满分 5 分,全卷总分不超过 150 分)异面直线 PM 与 FQ 的距离.

21.(本小题满分 12 分)已知等差数列{ an }前四项的和为 60,第二项与第四项的和 为 34,等比数列{ bn }的前四项的和为 120,第二项与第四项的和为 90. (1)求数列{ an }、{ bn }的通项公式;
2 (2)对一切正整数 n,是否存在正整数 p,使得 a p ? bn ?无论存在与否,都请给

出证明.

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22.(本小题满分 14 分)有如下命题:已知椭圆

x2 y2 ? ? 1, AA? 是椭圆的长轴, 9 4

P( x1 , y1 )
是椭圆上异于 A、A′的任意一点,过 P 点斜率为 ? 点 M、 M′在 x 轴上的射影分别为 A、A′,则(1)|AM||A′M′|为定值 4;(2)由 A、A′、 M′、M 四点构成的四边形面积的最小值为 12. 请分析上述命题,并根据上述问题对于椭圆 有一 般性结论的命题. 写出这一命题,并判断这一命题的真假.

4 x1 的直线 l,若直线 l 上的两 9 y1

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 构造出一个具 a2 b2

参考答案及解析
1.C(解 a 2 ? (a ? 1) 2 ? 5得 ) 2.B(即

(a1 ? a2 )q 2 ? 9, a1 ? a2

? q ? 3, a4 ? a5 ? (a3 ? a4 )q) )

2 2 3.C(|AB|= (cos 2? ? cos ? ) ? (sin 2? ? sin ? ) ? 2 | sin

?
2

|? 1 )

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4.A(必有 b=0,且 0 ? a ? 1, f (b ? 2) ? f (2),而2 ? a ? 1 ? 0 ) 5.A(即求棱长为 1 的正四面体的高,?为 (

3 2 3 ) ? ( )2 ) ) 2 3
2m ? 1 2m ? 1 , )) 2 2

6.B(直线与 AB 垂直,且过 AB 的中点,故得 k1 ? 1, 且过点 ( 7.A(渐近线方程是 kx 2 ? y 2 ? 0,由此得 k ?

1 , 再求 a 、 c) 4

8.D(1 号接点脱落,有 23 种情况;1 号接点正常,2 号脱落有 22 种情况;1 号、2 号 接点正常,3、4 号接点都脱落有 1 种情况) 9.A(在展开式中令 x ? ?1得a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 4 4 ) 10.D(由椭圆的第一定义得 4a) 11.D(必有 0 ? x ? 1, 且2x 2 ? 1 ? 3x ? 1 ) 12.A( R 2 ? ( ) 2 ? ( ? 13.11 (即

a 2

2 3

3 2 a) , 2

?a ? 6 )

6 ? 10 ? 12 ? 9 ? 14 ? 15 ) 6 S 1 ? ( )2 ) 8 2

14.2 (设中截面面积是 S,则

15. ?

3 2

(y?

1 2x 3 2x ? T 2? sin ? cos 2 x ? sin( ? ),? ? ) 2 2 3 2 3 3 2 2? 3

16. l ? 6 2 (由4a ? 2 ? 2a ? 2, 得a ? ?2, ? 平移后抛物线的焦点为 F(-4,-6),

? x? ? x ? 6, 代入 ? p ? 4 ,由此可以求得平移公式为 ? ? y ? y ? 6 ; ? 2 原方程得平移后的抛物线方程是 ( y ? 6) ? 8( x ? 6) ,其顶点坐标为(-6,-6))
又(

p ,0) 在 y ? x ? 2上, 2

17.设△ABC 的 AC 边上的高为 h,由∠B=60°,且三角形是非钝角三 角形,? AB ?

h h , BC ? ,依题意得 AB-BC=h, sin A sin C

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?
h h ? ? h, 故得 sin C ? sin A ? sin C sin A, 又 sin C和 ? sin A sin A sin C
?sin C ? sin A ? m; 3 3 ? m ? ? m2 , =0 的两个根,? ? ? 3 2 4 4 sin C (? sin A) ? m ? ; ? ? 4

是方程 x 2 ? mx ? m 2 ?

即 4m 2 ? 4m ? 3 ? 0,? m ? 1 (对m ? ? 3 ,由sin C sin A ? 0, 故舍去 )
2 2

此时方程为 x 2 ? 1 x ? 1 ? 0 ,它的两个根是 x1 ? ? 和x 2 ? 1, ? sin C ? 1, sin A ?
2 2

1 2

1 , 2

即有 A ? 30? , C ? 90? 18.依题意, f (0) ? 1,? b ? 1, 又? f ?( x) ? x 2 ? a, 由已知 f ?(

2 1 1 ) ? ,? a ? , 2 3 6

? f ( x) ?

1 3 1 2 2 2 x ? x ? 1, y0 ? f ( ) ? ? ? 1 ? 1, ∴所求的切线方程是 3 6 2 12 12

1 2 1 6 y ?1 ? (x ? ),即2 x ? 6 y ? 6 ? 2 ? 0, 令f ?( x) ? x 2 ? ? 0, 得x ? ? , 3 2 6 6 ?当x ? ? 6 6 6 6 时, f ?( x) ? 0,当 ? ?x? 时f ?( x) ? 0,当x ? 时f ?( x) ? 0 6 6 6 6 6 6 6 6 )? ? 1, 极小值 f ( ) ? 1 ? . 6 54 6 54

∴函数 f ( x) 有极大值 f (? 19.(1)

? a ?{a | 20 ? 12a ? a 2 },? a 2 ? 12a ? 20 ? 0,即2 ? a ? 10,?函数y ? loga x
是增函数; (2) | f ( x |? 1? | f (2 x ) | 即| loga x | ? | loga 2 x |? 1, 必有x ? 0,当0 ? x ? 1,

loga x ? 0, 不等式化为? loga x ? loga 2 x ? 1,?loga 2 ? 1, 这显然成立,此


0 ? x ? 1;当x ? 1;当x ? 1 时, loga x ? 0, 不等式化为 loga x ? loga 2 x ? 1,

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? log a 2 x ? 1, 故x ? a 2 a a , 此时1 ? x ? ; 综上所述知,使命题 p 为真命题的 x 的取值 2 2

范围是{ x | 0 ? x ? } 20.(1)将已知图形以 AD、DC、DM 为相邻的三条棱补成如图 所示的正方体,易知 BF//MP,连结 BQ,则∠QFB 即为异 面直线 PM 与 FQ 所成的角,由正方体的性质知△BFQ 是直 角三角形,由 BQ ? 为 30°; (2)由于 DP=PE,所以四面体 P—EBF 的体积等于四面体 D—EBF 的一半,所以 所求的体积 V=

1 2 BF ? a, 知?QFB ? 30? ,即所求的 2 2

1 1 1 a3 (V正方体 ? 4V A? BDE ) ? ? a 3 ? ; 2 2 3 6

(3)由(1)异面直线 PM 与 FQ 的距离即为 MP 到平面 BFQ 的距离,也即 M 点 到平面 BFD 的距离,设这一距离为 d,

VM ? DBF ? VB ? DCF 有S DBF d ? S DCF BC ?

a3 , 2

而 S BDF

a3 3 2 3 3 a ,? d ? 2 ? a. ? ( 2a ) 2 = 2 3 4 3 2 a 2

21.(1)设等差数列的首项为 a1 ,公差为 d,等比数列的首项为 b1 ,公比为 q,依题 意有
? b1 (1 ? q 4 ) ? 120, ? ? 1? q ?b q ? b q 3 ? 90; 1 ? 1

4(4 ? 1) ? d ? 60, ?4a1 ? 2 ? ? ?(a1 ? d ) ? (a1 ? 3d ) ? 3;

?a ? 9,?b1 ? 3, 解得? 1 ? a n ? 4n ? 5, bn ? 3 n ? ?d ? 4; ?q ? 3;

2 ? 9 n , 令4 p ? 5 ? 9 n , 得p ? (2)由(1) bn

9n ? 5 , 而9 n ? 5 ? (8 ? 1) n ? 5 ? 4

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0 n 1 n?1 n?1 (Cn 8 ? Cn 8 ? ? ? Cn 8) ? 1 ? 5,由于n ? N ? , ? 9 n ? 5 ? 4 ,且上式小括号中

2 的数为 8 的倍数,故对于一切正整数 n,使得 a p ? bn 的正整数 p 总存在.

x2 y2 22.这一命题是:已知 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0), AA? 是椭圆的长轴, P( x1 , y1 ) 是椭圆上 a b b2 x 异于 A、A′的任意一点,过 P 点作斜率为 ? 2 1 的直线 l,若直线 l 上的两点 M、 a y1
M′在 x 轴上的射影分别为 A、A′则(1)|AM||A′M′|为定值 b 2 ;(2)由 A、A′、M′、 M 四点构成的四边形面积的最小值为 2ab ,这一命题是真命题,证明如下: (1)不防设 A(?a,0) 、 A?(a,0) 由点斜式得直线 l 的方程是

b 2 x1 y ? y1 ? ? 2 ( x ? x1 ), a y1
即 b 2 x1 x ? a 2 y1 y ? a 2b 2 ,由射影的概念知 M 与 A、M′与 A′有相同有横坐标,由 此可得

M (?a,

ab2 ? b 2 x1 ab2 ? b 2 x1 ab2 ? b 2 x1 ), M ?(a, ),? | AM || A?M ? |?| y M y M ? |?| ? ay1 ay1 a1 y1

2 2 2 2 ab2 ? b 2 x1 2 a b ? b x1 |?| b |? b 2 ; 2 2 ay1 a y1

(2)由图形分析知,不论四点的位置如何,四边形的面积
S? 1 | AA? | (| AM | ? A?M ? |) , 2

? | AA? |? 2a, 且 | AM | 、| A?M ? | 都为正数, ? S ?

1 | AA? | (| AM | ? | A?M ? |) 2

? a(| AM | ? | A?M ? |) ? a(2 | AM || A?M ? | ) ? 2ab,即四边形的面积的最小值为
2ab.

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