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空间角和距离


空间角与距离 【教学目标】 1.理解空间几何体中点、线、面距离的概念,并会求点与点、点与线、点与 面、线与线、线与面、面与面及异面直线之间的距离; 2.两条异面直线所成的角、直线与平面所成角、二面角的概念,掌握线面角 与二面角的求法 【教学重难点】 用综合法求解空间角,如何作辅助线找出线面角与二面角的平面角。 【知识回顾】 1.异面直线所成的角 (1)定义:设 a、b 是两条异面

直线,经过空间任一点 O 作直线 a′∥a,b′∥b, 把 a′与 b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角). (2)范围:(0, π ]. 2

2.直线和平面垂直的定义 直线 l 与平面 α 内的任意一条直线都垂直, 就说直线 l 与平面 α 互相垂直. 3.直线和平面所成的角 (1)定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个 平面所成的角. 规定:当直线与平面垂直和平行(含直线在平面内)时,则直线和平面所成的角分 π 别为 和 0. 2 (2)线面角的范围为[0, π ] 2

4.二面角 (1)二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线 叫做二面角的棱,两个半平面叫做二面角的面. 如图,记作:α -l-β 或 α -AB-β 或 P-AB-Q.

(2)二面角的平面角:如图,二面角 α -l-β ,若有①O∈l,②OA?α ,OB?β , ③OA⊥l,OB⊥l,则∠AOB 就叫做二面角 α lβ 的平面角.

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5.两点之间的距离:空间中两点之间的线段长度即为两点之间的距离。 6. 点到直线之间的距离:从直线外一点向直线作垂线,这个点和垂足间的距离 叫做这个点到这条直线的距离。 7.点到平面的距离: 从平面外一点引平面的一条垂线, 这个点和垂足间的距离叫 做这个点到这个平面的距离。 8.两条平行线间的距离: 在其中一条直线上任取一点, 由这个点作另一条直线的 垂线,这个点和垂足间的距离叫做两条平行线间的距离。 9.两条异面直线间的距离: (1) 公垂线的定义:和两条异面直线都垂直相交的直线叫做这两条异面直 线的公垂线。 (2) 两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度,叫做两条 异面直线间的距离。 (3) 任何两条异面直线的公垂线都存在且唯一的。 10.平面的平行直线与平面间的距离:一条直线和一个平面平行时,这条直线上 任意一点到这个平面的距离,叫做这条直线和这个平面的距离。 11.两个平行平面之间距离:一条直线垂直于这两个平行平面中的一个平面,那 么它也垂直于另一个平面,这条直线叫做两个平行平面的公垂线,他夹在两个平 面的部分叫做这两个平面的公垂线段,他的长度叫做这两个平面间的距离。 【重点题型】 题型 1 等体积法求距离 例 1. 如图,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 1,E 为线段 B1C 上的一点,则三棱 锥 A ? DED1 的体积为_____.

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【答案】

1 6
1 1 3 2 1 6

【解析】以△ ADD1 为底面,则易知三棱锥的高为 1,故 V ? ? ? 1? 1? 1 ?

例 2. 如图, 直四棱柱 ABCD – A1B1C1D1 中, AB//CD, AD⊥AB, AB=2, AD= 2, AA1=3, E 为 CD 上一点,DE=1,EC=3 (1) 证明:BE⊥平面 BB1C1C; (2) 求点 B1 到平面 EA1C1 的距离

(1)证明:过 B 作 CD 的垂线交 CD 于 F,则

BF ? AD ? 2, EF ? AB ? DE ? 1, FC ? 2
在 Rt ?BFE中,BE= 3 ,Rt?BFC中,BC= 6 . 在 ?BCE中,因为BE 2 ? BC 2=9=EC 2 ,故 BE ? BC 由 BB1 ? 平面ABCD,得BE ? BB1,所以BE ? 平面BB1C1C
1 (2) 三棱锥E ? A1B1C1的体积V= AA1 ? S ?A1B1C1= 2 3

在Rt ?A1 D1C1中,A1C1= A1 D12 ? D1C12 =3 2 , EA1= AD 2 ? ED 2 ? AA12 =2 3 同理, EC1= EC 2 ? CC12 =3 2 ,

因此 S?A1C1E ? 3 5 。设点 B1 到平面 EAC 的体积 1 ? EAC 1 1 1 1 的距离为 d,则 三棱锥B
1 10 V= ? d ? S?A1EC1= 5d ,从而 5d ? 2, d ? 3 5

变式训练 1

如图,直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, D , E 分别是 AB , BB1 的中点,

(Ⅰ)证明: BC1 / / 平面 ACD 1 1;
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(Ⅱ)设 AA1 ? AC ? CB ? 2 , AB ? 2 2 ,求三棱锥 C ? A1DE 的体积。

A1 B1 A D B
变式训练 2 正 方 设 体

C1

E

C

ABCD–A1B1C1D1 的棱长为 1,E, F 分别是 B1C1、 C1D1 的中点,则 点 A 到平面 EFDB 的距离为___2/3____ 变式训练 3 如图,正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的所有棱长都为 2 , D 为 CC1 中点.

(1)求证: AB1 ⊥平面 A1BD ; (2)求点 C 到平面 A1BD 的距离.

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题型 2 线面角的求法 1.求直线与平面所成的角,关键是作出线面角,其中寻找线面垂直又是重中 之重. 2.求直线与平面所成的角的步骤是 (1)寻找过直线上一点与平面垂直的直线; (2)连接垂足和斜足得出射影,确定出所求角; (3)把该角放入三角形中计算. 3.易作角的选择作角法,垂线段往往在已知面的垂面上,垂足落在已知面和垂面 的交线上;不易作角的选择等体积法,先将垂线段算出来,在计算线面角的三角 函数值。 例 3. 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,AD⊥PD,BC=1,PC=2 3 , PD=CD=2. (I)证明平面 PDC⊥平面 ABCD; (II)求直线 PB 与平面 ABCD 所成角的正弦值。

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变式训练 1 在正方体 ABCD–A1B1C1D1 中,若 E 为棱 AB 的中点,求直线 C1E 与平面 ACC1A1 所成角的正切值

变式训练 2 如图, 三棱柱 ABC-A1B1C1 中, 侧棱 A1A⊥底面 ABC,且各棱长均相等. D, E, F 分别为棱 AB, BC, A1C1 的中点. (Ⅰ) 证明 EF//平面 A1CD; (Ⅱ) 证明平面 A1CD⊥平面 A1ABB1; (Ⅲ) 求直线 BC 与平面 A1CD 所成角的正弦值.

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变式训练 3

如图所示, 在四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD,

PA=AD=2, AB=1,BM⊥PD 于点 M. (1)求证:AM⊥PD; (2)求直线 CD 与平面 ACM 所成角的余弦值.

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题型 3 二面角的平面角求法 确定二面角的平面角的常用方法 (1) 定义法:在棱上任取一点,过这点在两个半平面内分别引棱的垂线,这两条 射线所成的角,就是二面角的平面角. (2) 利用线面垂直的判定与性质作角法(三垂线定理法).自二面角的一个半平 面上一点 A(不在棱上)向另一半平面所在平面引垂线, 再由垂足 B(垂足在棱上则 二面角为直二面角)向棱作垂线得到棱上的点 C,连接 AC 则∠ACB(或其补角)即 为二面角的平面角. (3)作棱的垂面法:自空间一点作与棱垂直的平面,截二面角得两条射线,这两 条射线所成的角就是二面角的平面角. (4)面积射影定理法:利用面积射影公式:cosθ =

S射影 (适用于锐二面角). S原来

例 4.若 P 是?ABC 所在平面外一点,而?PBC 和?ABC 都是边长为 2 的正三角形, PA= 6,求二面角 P-BC-A 的大小

变式训练 在正方体 ABCD–A1B1C1D1 中,求二面角 B-A1C1-B1 的正切值

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例 5.如图所示,在四棱锥 S-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,S A⊥底面 ABCD, SA=AB,点 M 是 SD 的中点. (1)求证:SB∥平面 ACM; (2)求二面角 D-AC-M 的平面角的正切值;

(1)证明:连接 BD 交 AC 于 E,连接 ME. ∵四边形 ABCD 是正方形,∴E 是 BD 的中点. ∵M 是 SD 的中点,∴ME 是△DSB 的中位线. ∴ME∥SB. 又∵ME?平面 ACM,SB?平面 ACM,∴SB∥平面 ACM.

(2)取 AD 的中点 F,连接 MF,则 MF∥SA.作 FQ⊥AC 于 Q,连接 MQ. ∵SA⊥底面 ABCD,∴MF⊥底面 ABCD.∴FQ 为 MQ 在平面 ABCD 内的射影. ∵FQ⊥AC,∴MQ⊥AC.∴∠FQM 为二面角 D-AC-M 的平面角. 设 SA=AB=a,

a
2 1 a 1 2 在 Rt△MFQ 中,MF= SA= ,FQ= DE= a,∴tanFQM= = 2. 2 2 2 4 2 a 4 即所求二面角的平面角的正切值为 2.
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变式训练 1 的正切值

已知?ABC 是正三角形, PA⊥平面 ABC 且 PA=AB=a, 求二面角 A-PC-B

变式训练 2 如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 是矩形, 已知 AB=3,AD=2,PA=2, PD=2 2,∠PAB=60° (1)证明 AD⊥平面 PAB (2)求二面角 P-BD-A 的正切值

变式训练 3

如图,在三棱锥 P ? ABC 中, ?APB ? 90? , ?PAB ? 60? ,

AB ? BC ? CA ,点 P 在平面 ABC 内的射影 O 在 AB 上。[来源:学科网] (Ⅰ)求直线 PC 与平面 ABC 所成的角的大小; (Ⅱ)求二面角 B ? AP ? C 的大小。
P C

A

B

(1)连接 OC. 由已知, ?OCP为直线PC与平面ABC 所成的角 设 AB 的中点为 D,连接 PD、CD. 因为 AB=BC=CA,所以 CD ? AB . 因为 ?APB ? 90?,?PAB ? 60?,所以?PAD为等边三角形,
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不妨设 PA=2,则 OD=1,OP= 3 , AB=4. 所以 CD=2 3 ,OC= OD2 ? CD 2 ? 1 ? 12 ? 13 . 在 Rt ?OCP中, tan ?OPC ?

OP 3 39 .…………………………6 分 ? ? OC 13 13

例 6.如图, 已知正方体 ABCD–A1B1C1D1 中, E 是 AA1 棱的中点, 求面 BEC1 与面 ABCD 所成的二面角的余弦值

变式训练 1 已知正方体 ABCD–A1B1C1D1 中, M,N 分别是 BB1,DD1 的中点, 求截面 AMC1N 与平面 ABCD 所成角的余弦值
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变式训练 2 如图,已知四棱锥 S-ABCD 的底面是边长为 1 的正方形,SD⊥平面 ABCD, SB= 3 (1) 求证:BC⊥SC (2)求面 ASD 与面 BSC 所成的二面角的大小

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