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§13.1 合情推理与演绎推理


§ 13.1

合情推理与演绎推理

1.合情推理 (1)归纳推理 ①定义:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的 推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理(简称归纳). ②特点:由部分到整体、由个别到一般的推理. (2)类比推理 ①定义:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征

,推出另一类对象也 具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比). ②特点:类比推理是由特殊到特殊的推理. (3)合情推理 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类 比,然后提出猜想的推理,我们把它们统称为合情推理. 2.演绎推理 (1)演绎推理 从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理.简言之, 演绎推理是由一般到特殊的推理. (2)“三段论”是演绎推理的一般模式 ①大前提——已知的一般原理; ②小前提——所研究的特殊情况;

③结论——根据一般原理,对特殊情况做出的判断. 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)归纳推理得到的结论不一定正确,类比推理得到的结论一定正确.( × (2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质,这是一种合情推理.( √ ) )

(3)在类比时,平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.( × ) (4)“所有 3 的倍数都是 9 的倍数,某数 m 是 3 的倍数,则 m 一定是 9 的倍数”,这是三段 论推理,但其结论是错误的.( √ ) × )

(5)一个数列的前三项是 1,2,3,那么这个数列的通项公式是 an=n(n∈N*).( (6) 2 2+ =2 3 2 , 3 3 3+ =3 8 3 , 8 ) 4 4+ = 4 15 4 ,?, 15 b 6+ =6 a

b (a,b 均为实 a

数),则可以推测 a=35,b=6.( √

1. 命题“有些有理数是无限循环小数, 整数是有理数, 所以整数是无限循环小数”是假命题, 推理错误的原因是( A.使用了归纳推理 B.使用了类比推理 C.使用了“三段论”,但推理形式错误 D.使用了“三段论”,但小前提错误 答案 C 解析 由“三段论”的推理方式可知,该推理的错误原因是推理形式错误. 2.在平面上,若两个正三角形的边长的比为 1∶2,则它们的面积比为 1∶4,类似地,在空 间中,若两个正四面体的棱长比为 1∶2,则它们的体积比为__________. 答案 1∶8 解析 ∵两个正三角形是相似的三角形,∴它们的面积之比是相似比的平方.同理,两个正 四面体是两个相似几何体,体积之比为相似比的立方,∴它们的体积比为 1∶8. 3.(2013· 陕西)观察下列等式 12=1 12-22=-3 12-22+32=6 12-22+32-42=-10 ?? 照此规律,第 n 个等式可为____________________________________. )

+ + n?n+1? 答案 12-22+32-42+?+(-1)n 1n2=(-1)n 1· 2

解析 观察等式左边的式子,每次增加一项,故第 n 个等式左边有 n 项,指数都是 2,且正、 负相间,所以等式左边的通项为(-1)n 1n2.等式右边的值的符号也是正、负相间,其绝对值分


别为 1,3,6,10,15,21, ?.设此数列为{an}, 则 a2-a1=2, a3-a2=3, a4-a3=4, a5-a4=5, ?, n?n+1? an-an-1=n, 各式相加得 an-a1=2+3+4+?+n, 即 an=1+2+3+?+n= .所以第 2 n 个等式为 12-22+32-42+?+(-1)n 1n2=(-1)n
+ +1

n?n+1? . 2

4.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12 成等差数列.类比以 T16 上结论,设等比数列{bn}的前 n 项积为 Tn,则 T4,________,________, 成等比数列. T12 答案 T8 T12 T4 T8

解析 对于等比数列,通过类比,有等比数列{bn}的前 n 项积为 Tn, 则 T4=a1a2a3a4,T8=a1a2?a8,T12=a1a2?a12, T16=a1a2?a16, T8 T12 因此 =a5a6a7a8, =a9a10a11a12, T4 T8 T16 =a a a a , T12 13 14 15 16 T8 T12 T16 而 T4, , , 的公比为 q16, T4 T8 T12 T8 T12 T16 因此 T4, , , 成等比数列. T4 T8 T12

题型一 归纳推理 1 例 1 设 f(x)= x ,先分别求 f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)+f(3),然后归纳猜想一般性 3+ 3 结论,并给出证明. 思维点拨 先正确计算各式的值,再根据自变量之和与函数之和的特征进行归纳. 解 f(0)+f(1)= = 1 1 + 1 3+ 3 3+ 3
0

3-1 3- 3 1 1 3 + = + = , 2 6 3 1+ 3 3+ 3 3 , 3

同理可得:f(-1)+f(2)=

f(-2)+f(3)=

3 ,并注意到在这三个特殊式子中,自变量之和均等于 1. 3 3 . 3

归纳猜想得:当 x1+x2=1 时,均有 f(x1)+f(x2)= 证明:设 x1+x2=1, ∵f(x1)+f(x2)=

1 1 + x 3 ? 3 32? 3
x1

? ?

(3x1 ? 3) ? (3x2 ? 3) 3x1 ? 3x2 ? 2 3 ? (3x1 ? 3)(3x2 ? 3) 3x1 ? x2 ? 3(3x1 ? 3x2 ) ? 3 3x1 ? 3x2 ? 2 3 3x1 ? 3x2 ? 2 3 3 ? ? . x1 x2 x1 x2 3(3 ? 3 ) ? 2 ? 3 3(3 ? 3 ? 2 3) 3

思维升华 归纳推理的一般步骤: (1)通过观察个别情况发现某些相同特征; (2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题. (1)观察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 ? 照此规律,第五个等式应为_______________________________________________. 1 1 1 5 7 (2) 已知 f(n) = 1 + + +?+ (n∈N*) ,经计算得 f(4)>2 , f(8)> , f(16)>3 , f(32)> ,则有 2 3 n 2 2 __________________________. 答案 (1)5+6+7+8+9+10+11+12+13=81 (2)f(2n)> 解析 n+2 (n≥2,n∈N*) 2

(1)由于 1=12,2+3+4=9=32,3+4+5+6+7=25=52,4+5+6+7+8+9+10=49=

72,所以第五个等式为 5+6+7+8+9+10+11+12+13=92=81. 4 5 6 7 (2)由题意得 f(22)> ,f(23)> ,f(24)> ,f(25)> , 2 2 2 2 n+2 所以当 n≥2 时,有 f(2n)> . 2 n+2 故填 f(2n)> (n≥2,n∈N*). 2 题型二 类比推理

nb-ma 例 2 已知数列{an}为等差数列,若 am=a,an=b(n-m≥1,m,n∈N*),则 am+n= . n-m 类比等差数列{an}的上述结论,对于等比数列{bn}(bn>0,n∈N*),若 bm=c,bn=d(n-m≥2, m,n∈N*),则可以得到 bm+n=________. 思维点拨 等差数列{an}和等比数列{bn}类比时,等差数列的公差对应等比数列的公比,等

差数列的加减法运算对应等比数列的乘除法运算,等差数列的乘除法运算对应等比数列中的 乘方开方运算. 答案 n-m dn cm

解析 设数列{an}的公差为 d,数列{bn}的公比为 q. nb-ma - 因为 an=a1+(n-1)d,bn=b1qn 1,am+n= , n-m 所以类比得 bm+n= n-m dn . cm

思维升华 (1)进行类比推理,应从具体问题出发,通过观察、分析、联想进行类比,提出猜 想.其中找到合适的类比对象是解题的关键. (2)类比推理常见的情形有平面与空间类比; 低维的与高维的类比; 等差数列与等比数列类比; 数的运算与向量的运算类比;圆锥曲线间的类比等. 在平面上,设 ha,hb,hc 是三角形 ABC 三条边上的高,P 为三角形内任一点,P Pa Pb Pc 到相应三边的距离分别为 Pa,Pb,Pc,我们可以得到结论: + + =1.把它类比到空间, ha hb hc 则三棱锥中的类似结论为______________________. 答案 Pa Pb Pc Pd + + + =1 ha hb hc hd

解析 设 ha,hb,hc,hd 分别是三棱锥 A-BCD 四个面上的高,P 为三棱锥 A-BCD 内任一 Pa Pb Pc Pd 点,P 到相应四个面的距离分别为 Pa,Pb,Pc,Pd,于是可以得出结论: + + + = ha hb hc hd 1. 题型三 演绎推理 a 例 3 已知函数 f(x)=- x (a>0,且 a≠1). a+ a 1 1 (1)证明:函数 y=f(x)的图象关于点( ,- )对称; 2 2 (2)求 f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)的值. 思维点拨 证明本题依据的大前提是中心对称的定义,函数 y=f(x)的图象上的任一点关于对 a 1 1 称中心的对称点仍在图象上.小前提是 f(x)=- x (a>0,且 a≠1)的图象关于点( ,- ) 2 2 a+ a

对称. 1 1 (1)证明 函数 f(x)的定义域为全体实数,任取一点(x,y),它关于点( ,- )对称的点的坐标 2 2 为(1-x,-1-y). a 由已知 y=- x , a+ a a ax 则-1-y=-1+ x =- x , a+ a a+ a a a a· ax f(1-x)=- 1-x =- =- a a + a a+ a· ax x+ a a ax =- x , a+ a 1 1 ∴-1-y=f(1-x),即函数 y=f(x)的图象关于点( ,- )对称. 2 2 (2)解 由(1)知-1-f(x)=f(1-x), 即 f(x)+f(1-x)=-1. ∴f(-2)+f(3)=-1,f(-1)+f(2)=-1, f(0)+f(1)=-1. 则 f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=-3. 思维升华 演绎推理是由一般到特殊的推理,常用的一般模式为三段论,演绎推理的前提和 结论之间有着某种蕴含关系,解题时要找准正确的大前提,一般地,若大前提不明确时,可 找一个使结论成立的充分条件作为大前提. 已知函数 y=f(x)满足:对任意 a,b∈R,a≠b,都有 af(a)+bf(b)>af(b)+bf(a), 试证明:f(x)为 R 上的单调增函数. 证明 设 x1,x2∈R,取 x1<x2, 则由题意得 x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1), ∴x1[f(x1)-f(x2)]+x2[f(x2)-f(x1)]>0, [f(x2)-f(x1)](x2-x1)>0, ∵x1<x2,∴f(x2)-f(x1)>0,f(x2)>f(x1). ∴y=f(x)为 R 上的单调增函数.

高考中的合情推理问题 典例: (1)(2013· 湖北 ) 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数,如三角形数

n?n+1? 1 2 1 1,3,6,10,?,第 n 个三角形数为 = n + n,记第 n 个 k 边形数为 N(n,k)(k≥3),以 2 2 2 下列出了部分 k 边形数中第 n 个数的表达式: 三角形数 正方形数 五边形数 六边形数 1 1 N(n,3)= n2+ n, 2 2 N(n,4)=n2, 3 1 N(n,5)= n2- n, 2 2 N(n,6)=2n2-n

??????????????? 可以推测 N(n,k)的表达式,由此计算 N(10,24)=____________. k-2 2 4-k 解析 由 N(n,4)=n2,N(n,6)=2n2-n,可以推测:当 k 为偶数时,N(n,k)= n+ n, 2 2 24-2 4-24 ∴N(10,24)= ×100+ ×10 2 2 =1100-100=1000. 答案 1000 x2 y2 (2)若 P0(x0,y0)在椭圆 2+ 2=1(a>b>0)外,过 P0 作椭圆的两条切线的切点为 P1,P2,则切 a b 点弦 P1P2 所在的直线方程是 x0x y0y + =1,那么对于双曲线则有如下命题:若 P0(x0,y0)在双 a2 b2

x2 y2 曲线 2- 2=1(a>0,b>0)外,过 P0 作双曲线的两条切线,切点为 P1,P2,则切点弦 P1P2 所 a b 在直线的方程是________. 解析 设 P1(x1,y1),P2(x2,y2), 则 P1,P2 的切线方程分别是 x1x y1y x2x y2y - =1, 2 - 2 =1. a2 b2 a b 因为 P0(x0,y0)在这两条切线上, x1x0 y1y0 故有 2 - 2 =1, a b x2x0 y2y0 - 2 =1, a2 b x0x y0y 这说明 P1(x1,y1),P2(x2,y2)在直线 2 - 2 =1 上, a b x0x y0y 故切点弦 P1P2 所在的直线方程是 2 - 2 =1. a b 答案 x0x y0y - =1 a2 b2

(3)观察下列不等式:

1 3 1+ 2< , 2 2 1 1 5 1+ 2+ 2< , 2 3 3 1 1 1 7 1+ 2+ 2+ 2< , 2 3 4 4 ?? 照此规律,第五个 不等式为________________________. ... 解析 归纳观察法. 观察每行不等式的特点,每行不等式左端最后一个分数的分母的开方与右端值的分母相等, 且每行右端分数的分子构成等差数列. 1 1 1 1 1 11 故第五个不等式为 1+ 2+ 2+ 2+ 2+ 2< . 2 3 4 5 6 6 1 1 1 1 1 11 答案 1+ 2+ 2+ 2+ 2+ 2< 2 3 4 5 6 6 温馨提醒 (1)解决归纳推理问题, 常因条件不足, 了解不全面而致误.应由条件多列举一些特 殊情况再进行归纳. (2)解决类比问题,应先弄清所给问题的实质及已知结论成立的缘由,再去类比另一类问题.

方法与技巧 1.合情推理的过程概括为 从具体问题出发 ― → 观察、分析、比较、联想 ― → 归纳、类比 ― → 提出猜想 2.演绎推理是从一般的原理出发,推出某个特殊情况的结论的推理方法,是由一般到特殊的 推理,常用的一般模式是三段论.数学问题的证明主要通过演绎推理来进行. 失误与防范 1.合情推理是从已知的结论推测未知的结论,发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明. 2. 演绎推理是由一般到特殊的证明, 它常用来证明和推理数学问题, 注意推理过程的严密性, 书写格式的规范性. 3.合情推理中运用猜想时不能凭空想象,要有猜想或拓展依据.

A 组 专项基础训练 (时间:45 分钟)

1.数列 2,5,11,20,x,47,?中的 x 等于( A.28B.32C.33D.27 答案 B 解析 5-2=3,11-5=6,20-11=9, 推出 x-20=12,所以 x=32.

)

2.正弦函数是奇函数,f(x)=sin(x2+1)是正弦函数,因此 f(x)=sin(x2+1)是奇函数,以上推 理( ) B.大前提不正确 D.全不正确

A.结论正确 C.小前提不正确 答案 C

解析 f(x)=sin(x2+1)不是正弦函数,所以小前提错误. 3.下列推理是归纳推理的是( )

A.A,B 为定点,动点 P 满足|PA|+|PB|=2a>|AB|,则 P 点的轨迹为椭圆 B.由 a1=1,an=3n-1,求出 S1,S2,S3,猜想出数列的前 n 项和 Sn 的表达式 x2 y2 C.由圆 x2+y2=r2 的面积 πr2,猜想出椭圆 2+ 2=1 的面积 S=πab a b D.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 答案 B 解析 从 S1,S2,S3 猜想出数列的前 n 项和 Sn,是从特殊到一般的推理,所以 B 是归纳推理, 故应选 B. 4.给出下列三个类比结论: ①(ab)n=anbn 与(a+b)n 类比,则有(a+b)n=an+bn; ②loga(xy)=logax+logay 与 sin(α+β)类比,则有 sin(α+β)=sinαsinβ; ③(a+b)2=a2+2ab+b2 与(a+b)2 类比,则有(a+b)2=a2+2a· b+b2. 其中正确结论的个数是( A.0 C.2 答案 B 解析 (a+b)n≠an+bn(n≠1,a· b≠0),故①错误. sin(α+β)=sinαsinβ 不恒成立. 如 α=30° ,β=60° ,sin90° =1,sin30° · sin60° = 由向量的运算公式知③正确. a1+a2+?+an 5.若数列{an}是等差数列,则数列{bn}(bn= )也为等差数列.类比这一性质可 n 3 ,故②错误. 4 ) B.1 D.3

知,若正项数列{cn}是等比数列,且{dn}也是等比数列,则 dn 的表达式应为( c1+c2+?+cn A.dn= n C.dn= 答案 D n?n-1? 解析 若{an}是等差数列,则 a1+a2+?+an=na1+ d, 2 ?n-1? d d ∴bn=a1+ d= n+a1- ,即{bn}为等差数列; 2 2 2 若{cn}是等比数列,则 c1· c2· ?· cn=cn q1 1·
n =c1 · q
n ( n ?1) 2
+2+?+(n-1)

)

c1· c2· ?· cn B.dn= n n D.dn= c1· c2· ?· cn

n n n cn 1+c2+?+cn n


n ?1 2

n ∴dn= c1· c2· ?· cn=c1· q 6 . 仔 细 观

,即{dn}为等比数列,故选 D. 下 面 ○ 和 ● 的 排 列 规 律 :



○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●○○○○○○●??若依此规律继续下去,得 到一系列的○和●,那么在前 120 个○和●中,●的个数是________. 答案 14 解析 进行分组○●|○○●|○○○●|○○○○●|○○○○○●|○○○○○○●|??, 则前 n 组两种圈的总数是 f(n)=2+3+4+?+(n+1)= 易知 f(14)=119,f(15)=135,故 n=14. 1 7.在平面几何中,有“正三角形内切圆半径等于这个正三角形高的 ”.拓展到空间,类比 3 平面几何的上述正确结论,则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的________. 答案 1 4 n?n+3? , 2

解析 设正三角形的边长为 a,高为 h,内切圆半径为 r, 1 由等面积法知 3ar=ah,所以 r= h; 3 1 同理,由等体积法知 4SR=HS,所以 R= H. 4 8.(2013· 陕西)观察下列等式: (1+1)=2×1 (2+1)(2+2)=22×1×3 (3+1)(3+2)(3+3)=23×1×3×5 ?

照此规律,第 n 个等式可为____________________________. 答案 (n+1)(n+2)?(n+n)=2n×1×3×?×(2n-1) 解析 由已知的三个等式左边的变化规律,得第 n 个等式左边为(n+1)(n+2)?(n+n),由已 知的三个等式右边的变化规律, 得第 n 个等式右边为 2n 与 n 个奇数之积, 即 2n×1×3×?×(2n -1). 9.已知等差数列{an}的公差 d=2,首项 a1=5. (1)求数列{an}的前 n 项和 Sn; (2)设 Tn=n(2an-5),求 S1,S2,S3,S4,S5;T1,T2,T3,T4,T5,并归纳出 Sn 与 Tn 的大小 规律. 解 (1)∵a1=5,d=2, n?n-1? ∴Sn=5n+ ×2=n(n+4). 2 (2)∵Tn=n(2an-5)=n[2(2n+3)-5]=4n2+n. ∴T1=5,T2=4×22+2=18,T3=4×32+3=39, T4=4×42+4=68,T5=4×52+5=105. S1=5,S2=2×(2+4)=12,S3=3×(3+4)=21, S4=4×(4+4)=32,S5=5×(5+4)=45. 由此可知 S1=T1,当 2≤n≤5,n∈N 时,Sn<Tn. 归纳猜想:当 n=1 时,Sn=Tn;当 n≥2,n∈N 时,Sn<Tn. 1 1 1 10.在 Rt△ABC 中,AB⊥AC,AD⊥BC 于 D,求证: 2= 2+ 2,那么在四面体 ABCD AD AB AC 中,类比上述结论,你能得到怎样的猜想,并说明理由. 解 如图所示,由射影定理 AD2=BD· DC,AB2=BD· BC, AC2=BC· DC, ∴ = 1 1 2= AD BD· DC BC2 BC2 = 2 . BD· BC· DC· BC AB · AC2

又 BC2=AB2+AC2, ∴ AB2+AC2 1 1 1 = + . 2= AD AB2· AC2 AB2 AC2

猜想,四面体 ABCD 中,AB、AC、AD 两两垂直,AE⊥平面 BCD, 则 1 1 1 1 = + + . AE2 AB2 AC2 AD2

证明:

如图,连接 BE 并延长交 CD 于 F,连接 AF. ∵AB⊥AC,AB⊥AD, ∴AB⊥平面 ACD. ∴AB⊥AF. 在 Rt△ABF 中,AE⊥BF, ∴ 1 1 1 = + . AE2 AB2 AF2

1 1 1 在 Rt△ACD 中,AF⊥CD,∴ 2= 2+ 2, AF AC AD ∴ 1 1 1 1 = + + . AE2 AB2 AC2 AD2 B 组 专项能力提升 (时间:30 分钟) 11.已知①正方形的对角线相等;②矩形的对角线相等;③正方形是矩形.根据“三段论” 推理出一个结论.则这个结论是( A.正方形的对角线相等 B.矩形的对角线相等 C.正方形是矩形 D.其他 答案 A 解析 根据演绎推理的特点,正方形与矩形是特殊与一般的关系,所以结论是正方形的对角 线相等. 12.设?是 R 的一个运算,A 是 R 的非空子集.若对于任意 a,b∈A,有 a ? b∈A,则称 A 对运算?封闭. 下列数集对加法、 减法、 乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是( A.自然数集 C.有理数集 答案 C 解析 A 错:因为自然数集对减法、除法不封闭;B 错:因为整数集对除法不封闭;C 对: 因为任意两个有理数的和、差、积、商都是有理数,故有理数集对加、减、乘、除法(除数不 等于零)四则运算都封闭;D 错:因为无理数集对加、减、乘、除法都不封闭. 13.如图(1)若从点 O 所作的两条射线 OM、ON 上分别有点 M1、M2 与点 N1、N2,则三角形 面积之比 B.整数集 D.无理数集 ) )

S ?OM1 N1 S ?OM 2 N 2



OM1 ON1 · .如图(2), 若从点 O 所作的不在同一平面内的三条射线 OP、 OQ OM2 ON2

和 OR 上分别有点 P1、 P2, 点 Q1、 Q2 和点 R1、 R2, 则类似的结论为______________________.

答案

VO ? P1Q1R1 VO ? P2Q2 R2

OP1 OQ1 OR1 = · · OP2 OQ2 OR2

解析 考查类比推理问题,由图看出三棱锥 P1-OR1Q1 及三棱锥 P2-OR2Q2 的底面面积之比 为

VO ? P1Q1R1 OQ1 OR1 OP1 · ,又过顶点分别向底面作垂线,得到高的比为 ,故体积之比为 = OQ2 OR2 OP2 V
O ? P2 Q2 R2

OP1 OQ1 OR1 · · . OP2 OQ2 OR2 14.数列{an}的前 n 项和记为 Sn,已知 a1=1,an+1= Sn (1)数列{ }是等比数列; n (2)Sn+1=4an. n+2 证明 (1)∵an+1=Sn+1-Sn,an+1= S, n n ∴(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn), 即 nSn+1=2(n+1)Sn. 故 Sn+1 Sn =2· ,(小前提) n n+1 n+2 S (n∈N*).证明: n n

Sn 故{ }是以 2 为公比,1 为首项的等比数列.(结论) n (大前提是等比数列的定义,这里省略了) (2)由(1)可知 Sn+1 Sn-1 =4· (n≥2), n+1 n-1

Sn-1 n-1+2 ∴Sn+1=4(n+1)· =4· · Sn-1=4an(n≥2).(小前提) n-1 n-1 又∵a2=3S1=3,S2=a1+a2=1+3=4=4a1,(小前提) ∴对于任意正整数 n,都有 Sn+1=4an.(结论) 15. 对于三次函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0), 给出定义: 设 f′(x)是函数 y=f(x)的导数, f″(x) 是 f′(x)的导数, 若方程 f″(x)=0 有实数解 x0, 则称点(x0, f(x0))为函数 y=f(x)的“拐点”. 某 同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且 1 1 5 “拐点”就是对称中心.若 f(x)= x3- x2+3x- ,请你根据这一发现, 3 2 12

1 1 5 (1)求函数 f(x)= x3- x2+3x- 的对称中心; 3 2 12 1 2 3 4 2012 (2)计算 f( )+f( )+f( )+f( )+?+f( ). 2013 2013 2013 2013 2013 解 (1)f′(x)=x2-x+3,f″(x)=2x-1, 1 由 f″(x)=0,即 2x-1=0,解得 x= . 2 1 1 1 1 1 1 5 f( )= ×( )3- ×( )2+3× - =1. 2 3 2 2 2 2 12 1 1 5 1 由题中给出的结论,可知函数 f(x)= x3- x2+3x- 的对称中心为( ,1). 3 2 12 2 1 1 5 1 (2)由(1),知函数 f(x)= x3- x2+3x- 的对称中心为( ,1), 3 2 12 2 1 1 所以 f( +x)+f( -x)=2,即 f(x)+f(1-x)=2. 2 2 1 2012 故 f( )+f( )=2, 2013 2013 2 2011 f( )+f( )=2, 2013 2013 3 2010 f( )+f( )=2, 2013 2013 ? 2012 1 f( )+f( )=2. 2013 2013 1 2 3 4 2012 所以 f( )+f( )+f( )+f( )+?+f( ) 2013 2013 2013 2013 2013 1 = ×2×2012=2012. 2


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